Formula za izračun udaljenosti od točke do pravca. Koordinatna metoda (udaljenost između točke i ravnine, između ravnih linija)

Sposobnost pronalaženja udaljenosti između različitih geometrijskih objekata važna je pri izračunavanju površine figura i njihovih volumena. U ovom članku razmotrit ćemo pitanje kako pronaći udaljenost od točke do ravne crte u prostoru i na ravnini.

Matematički opis ravne linije

Da biste razumjeli kako pronaći udaljenost od točke do pravca, trebali biste se pozabaviti pitanjem matematičke specifikacije ovih geometrijskih objekata.

Sve je jednostavno s točkom, opisuje se skupom koordinata, čiji broj odgovara dimenziji prostora. Na primjer, na ravnini su to dvije koordinate, u trodimenzionalnom prostoru - tri.

Što se tiče jednodimenzionalnog objekta – ravne linije, za opisivanje se koristi nekoliko vrsta jednadžbi. Razmotrimo samo dva od njih.

Prva vrsta naziva se vektorska jednadžba. Ispod su izrazi za linije u trodimenzionalnom i dvodimenzionalnom prostoru:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

U ovim izrazima koordinate s nultim indeksima opisuju točku kroz koju zadana linija prolazi, skup koordinata (a; b; c) i (a; b) su takozvani vektori smjera za odgovarajući pravac, α je a parametar koji može uzeti bilo koju stvarnu vrijednost.

Vektorska jednadžba je zgodna u smislu da eksplicitno sadrži vektor smjera ravne, čije se koordinate mogu koristiti u rješavanju problema paralelizma ili okomitosti različitih geometrijskih objekata, na primjer, dvije ravne linije.

Druga vrsta jednadžbe koju ćemo razmotriti za ravnu liniju naziva se općom. U prostoru je ovaj oblik dan općim jednadžbama dviju ravnina. U avionu ima sljedeći oblik:

A × x + B × y + C = 0

Kada se izvodi crtanje, često se piše kao ovisnost o x / y, odnosno:

y = -A / B × x +(-C / B)

Ovdje slobodni pojam -C / B odgovara koordinati presjeka pravca s y-osi, a koeficijent -A / B je povezan s kutom pravca prema x-osi.

Koncept udaljenosti između pravca i točke

Nakon što smo se pozabavili jednadžbama, možete izravno prijeći na odgovor na pitanje kako pronaći udaljenost od točke do ravne linije. U 7. razredu škole počinju razmatrati ovo pitanje određujući odgovarajuću vrijednost.

Udaljenost između pravca i točke je duljina segmenta okomitog na ovaj pravac, koji je izostavljen iz točke koja se razmatra. Slika ispod prikazuje pravac r i točku A. Plava linija prikazuje segment okomit na pravac r. Njegova duljina je potrebna udaljenost.

Ovdje je, međutim, 2D slučaj ovu definiciju udaljenost vrijedi i za trodimenzionalni problem.

Obavezne formule

Ovisno o obliku u kojem je zapisana jednadžba ravne linije i u kojem se prostoru rješava problem, mogu se dati dvije osnovne formule koje daju odgovor na pitanje kako pronaći udaljenost ravne crte i točke.

Označite poznatu točku simbolom P 2 . Ako je jednadžba ravne linije dana u vektorskom obliku, tada za udaljenost d između predmeta koji se razmatra, vrijedi formula:

d = || / |v¯|

Odnosno, da bi se odredilo d, treba izračunati modul vektorskog umnoška izravnog vektora v¯ i vektora P 1 P 2 ¯, čiji početak leži u proizvoljnoj točki P 1 na pravoj, a kraj je u točki P 2 , zatim podijelimo ovaj modul duljinom v ¯. Ova formula je univerzalna za ravne i trodimenzionalne prostore.

Ako se problem razmatra na ravnini u xy koordinatnom sustavu i jednadžba ravne je dana u opći pogled, tada vam sljedeća formula za pronalaženje udaljenosti od ravne linije do točke omogućuje:

Prava crta: A × x + B × y + C = 0;

Točka: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Udaljenost: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Gornja formula je prilično jednostavna, ali je njezina upotreba ograničena gore navedenim uvjetima.

Koordinate projekcije točke na pravu i udaljenost

Na pitanje kako pronaći udaljenost od točke do ravne linije možete odgovoriti i na drugi način koji ne uključuje pamćenje gornjih formula. Ova metoda se sastoji u određivanju točke na ravnoj liniji, koja je projekcija izvorne točke.

Pretpostavimo da postoji točka M i pravac r. Projekcija na r točke M odgovara nekoj točki M 1 . Udaljenost od M do r jednaka je duljini vektora MM 1 ¯.

Kako pronaći koordinate M 1 ? Jako jednostavno. Dovoljno je podsjetiti da će vektor linije v¯ biti okomit na MM 1 ¯, odnosno njihov skalarni proizvod mora biti jednak nuli. Dodajući ovom uvjetu činjenicu da koordinate M 1 moraju zadovoljiti jednadžbu ravne r, dobivamo sustav jednostavnih linearnih jednadžbi. Kao rezultat njegova rješenja dobivaju se koordinate projekcije točke M na r.

Metoda opisana u ovom odlomku za pronalaženje udaljenosti od pravca do točke može se koristiti za ravninu i za prostor, ali njezina primjena zahtijeva poznavanje vektorske jednadžbe za pravac.

Zadatak u avionu

Sada je vrijeme da pokažemo kako se prezentiranim matematičkim aparatom koristiti za rješavanje stvarnih problema. Pretpostavimo da je na ravnini dana točka M(-4; 5). Potrebno je pronaći udaljenost od točke M do ravne, koja je opisana općom jednadžbom:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

To jest, M ne leži na liniji.

Kako jednadžba ravne linije nije dana u općem obliku, svodimo je na takvu da bismo mogli koristiti odgovarajuću formulu, imamo:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Sada možete zamijeniti poznate brojeve u formulu za d:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Zadatak u svemiru

Sada razmotrite slučaj u svemiru. Neka je pravac opisan sljedećom jednadžbom:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Kolika je udaljenost od njega do točke M(0; 2; -3)?

Kao iu prethodnom slučaju, provjeravamo pripada li M danom retku. Da bismo to učinili, zamjenjujemo koordinate u jednadžbu i prepisujemo je eksplicitno:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Budući da se dobivaju različiti parametri α, onda M ne leži na ovoj liniji. Sada izračunavamo udaljenost od nje do ravne linije.

Da biste koristili formulu za d, uzmite proizvoljnu točku na pravoj, na primjer P(1; -1; 0), a zatim:

Izračunajmo križni umnožak između PM¯ i linije v¯. dobivamo:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Sada zamjenjujemo module pronađenog vektora i vektora v¯ u formulu za d, dobivamo:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Taj se odgovor može dobiti gore opisanom metodom koja uključuje rješavanje sustava linearnih jednadžbi. U ovom i prethodnim problemima izračunate vrijednosti udaljenosti od pravca do točke prikazane su u jedinicama odgovarajućeg koordinatnog sustava.

Udaljenost od točke do pravca je duljina okomice od točke do pravca. U deskriptivnoj geometriji određuje se grafički prema donjem algoritmu.

Algoritam

1. Ravna crta se prenosi u položaj u kojem će biti paralelna s bilo kojom ravninom projekcije. Da biste to učinili, primijenite metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Nacrtajte okomicu iz točke na pravi. Ova konstrukcija temelji se na teoremu projekcije pravog kuta.
3. Duljina okomice određuje se pretvaranjem njezinih projekcija ili korištenjem metode pravokutnog trokuta.

Sljedeća slika prikazuje složeni crtež točka M i pravac b zadan segmentom CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomaknuti liniju u položaj paralelan s ravninom projekcije. Važno je razumjeti da se nakon transformacija stvarna udaljenost između točke i linije ne bi trebala mijenjati. Zato je ovdje zgodno koristiti metodu zamjene ravnine koja ne uključuje kretanje figura u prostoru.

Rezultati prve faze izgradnje prikazani su u nastavku. Na slici je prikazano kako se paralelno s b uvodi dodatna frontalna ravnina P 4. NA novi sustav(P 1 , P 4) točke C"" 1, D"" 1, M"" 1 su na istoj udaljenosti od osi X 1 kao C"", D"", M"" od osi X.

Provodeći drugi dio algoritma, s M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na pravu b"" 1, budući da je pravi kut MND između b i MN projiciran na ravninu P 4 u punoj veličini. Određujemo položaj točke N" duž komunikacijske linije i crtamo projekciju M"N" segmenta MN.

Na završna faza potrebno je odrediti vrijednost segmenta MN njegovim projekcijama M"N" i M"" 1 N"" 1 . Da bismo to učinili, gradimo pravokutni trokut M"" 1 N"" 1 N 0, u kojem je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 - Y N 1) uklanjanja točaka M "i N" od osi X 1. Duljina hipotenuze M"" 1 N 0 trokuta M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugi način rješavanja

• Paralelno s tim, CD predstavlja novu frontalna ravnina P 4 . Presijeca P 1 duž osi X 1, a X 1 ∥C"D". Sukladno načinu zamjene ravnina određujemo projekcije točaka C "" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C "" 1 D "" 1 gradimo dodatnu horizontalnu ravninu P 5 na koju se ravna crta b projicira na točku C" 2 \u003d b" 2.
• Udaljenost između točke M i ravne crte b određena je duljinom odsječka M "2 C" 2 označenog crvenom bojom.

Povezani zadaci:

Razmotrite primjenu analiziranih metoda za pronalaženje udaljenosti od zadane točke do zadane ravne crte na ravnini pri rješavanju primjera.

Pronađite udaljenost od točke do pravca:

Prvo, riješimo problem na prvi način.

U uvjetu zadatka dana nam je opća jednadžba ravne a oblika:

Nađimo opću jednadžbu pravca b, koji prolazi kroz zadanu točku okomito na pravu:

Budući da je pravac b okomit na pravac a, vektor smjera pravca b je vektor normale zadane linije:

odnosno vektor smjera pravca b ima koordinate. Sada možemo napisati kanonsku jednadžbu pravca b na ravnini, budući da znamo koordinate točke M 1 kroz koju prolazi pravac b i koordinate usmjeravajućeg vektora pravca b:

Iz dobivene kanonske jednadžbe ravne b prelazimo na opću jednadžbu ravne:

Sada pronađimo koordinate točke presjeka pravaca a i b (označimo je H 1) rješavanjem sustava jednadžbi sastavljenog od općih jednadžbi pravaca a i b (ako je potrebno, pogledajte članak rješavanje sustava linearnih jednadžbi):

Dakle, točka H 1 ima koordinate.

Ostaje izračunati željenu udaljenost od točke M 1 do ravne linije a kao udaljenost između točaka i:

Drugi način rješavanja problema.

Dobivamo normalnu jednadžbu zadanog pravca. Da bismo to učinili, izračunamo vrijednost faktora normalizacije i pomnožimo oba dijela izvorne opće jednadžbe ravne linije s njom:

(O tome smo govorili u odjeljku o dovođenju opće jednadžbe ravne u normalni oblik).

Faktor normalizacije je jednak

tada normalna jednadžba ravne ima oblik:

Sada uzimamo izraz s lijeve strane rezultirajuće normalne jednadžbe ravne linije i izračunavamo njegovu vrijednost za:

Željena udaljenost od određene točke do zadane ravne linije:

jednaka je apsolutnoj vrijednosti primljene vrijednosti, odnosno pet ().

udaljenost od točke do linije:

Očigledno je da je prednost metode određivanja udaljenosti od točke do ravne u ravnini, koja se temelji na korištenju normalne jednadžbe ravne, relativno manja količina računskog rada. Zauzvrat, prvi način za pronalaženje udaljenosti od točke do linije je intuitivan i odlikuje se dosljednošću i logikom.

Na ravnini je fiksiran pravokutni koordinatni sustav Oxy, zadane su točka i ravna linija:

Pronađite udaljenost od zadane točke do zadanog pravca.

Prvi način.

Možete prijeći od zadane jednadžbe ravne linije s nagibom do opće jednadžbe ove ravne crte i nastaviti na isti način kao u primjeru o kojem se gore govori.

Ali možete to učiniti drugačije.

Znamo da je umnožak nagiba okomitih pravaca jednak 1 (vidi članak okomite linije, okomitost pravaca). Dakle, nagib pravca koji je okomit na danu liniju:

jednaka je 2. Tada jednadžba ravne koja je okomita na zadanu ravnu i koja prolazi kroz točku ima oblik:

Sada pronađimo koordinate točke H 1 - točke presjeka linija:

Dakle, željena udaljenost od točke do ravne linije:

jednaka udaljenosti između točaka i:

Drugi način.

Prijeđimo iz zadane jednadžbe ravne s nagibom na normalnu jednadžbu ove ravne:

faktor normalizacije je jednak:

dakle, normalna jednadžba zadane ravne ima oblik:

Sada izračunavamo potrebnu udaljenost od točke do prave:

Izračunajte udaljenost od točke do pravca:

i na ravnu liniju:

Dobivamo normalnu jednadžbu ravne linije:

Sada izračunajte udaljenost od točke do prave:

Faktor normalizacije za jednadžbu ravne linije:

jednaka je 1. Tada normalna jednadžba ovog pravca ima oblik:

Sada možemo izračunati udaljenost od točke do prave:

jednako je.

Odgovor: i 5.

U zaključku ćemo posebno razmotriti kako se nalazi udaljenost od zadane točke ravnine do koordinatnih pravaca Ox i Oy.

U pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy, koordinatni pravac Oy dana je nepotpunom općom jednadžbom pravca x=0, a koordinatni pravac Ox jednadžbom y=0. Ove su jednadžbe normalne jednadžbe pravaca Oy i Ox, stoga se udaljenost od točke do ovih pravaca izračunava po formulama:

odnosno.

Slika 5

Na ravninu je uveden pravokutni koordinatni sustav Oxy. Pronađite udaljenosti od točke do koordinatnih pravaca.

Udaljenost od zadane točke M 1 do koordinatnog pravca Ox (zadana je jednadžbom y=0) jednaka je modulu ordinate točke M 1, odnosno .

Udaljenost od zadane točke M 1 do koordinatnog pravca Oy (odgovara jednadžbi x=0) jednaka je apsolutnoj vrijednosti apscise točke M 1: .

Odgovor: udaljenost od točke M 1 do pravca Ox je 6, a udaljenost od zadane točke do koordinatnog pravca Oy je jednaka.

U ovom ćemo članku ti i ja započeti raspravu o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da mnoge probleme u geometriji svedete na jednostavnu aritmetiku. Ovaj “štapić” može vam uvelike olakšati život, pogotovo kada se osjećate nesigurno u građenju prostornih figura, presjeka itd. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda, koju ćemo ovdje početi razmatrati, omogućit će vam da se gotovo potpuno apstrahirate od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i zaključivanja. Metoda se zove "koordinatna metoda". U ovom članku razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Koordinatna ravnina
2. Točke i vektori na ravnini
3. Izgradnja vektora iz dvije točke
4. Duljina vektora (udaljenost između dvije točke).
5. Koordinate sredine
6. Točkasti proizvod vektora
7. Kut između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatna metoda tako zove? Istina je da je dobio takav naziv, budući da ne operira s geometrijskim objektima, već s njihovim brojčanim karakteristikama (koordinatama). A sama transformacija, koja omogućuje prijelaz s geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sustava. Ako je izvorna figura bila ravna, tada su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom članku ćemo razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavna svrha članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatne metode (one se ponekad pokažu korisnima pri rješavanju problema iz planimetrije u dijelu B Jedinstvenog državnog ispita). Sljedeća dva odjeljka na ovu temu posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerojatno s konceptom koordinatnog sustava. Sjeti se kad si je prvi put sreo. Čini mi se da ste u 7. razredu kada ste učili o postojanju linearne funkcije npr. Dopustite mi da vas podsjetim da ste ga gradili točku po točku. Sjećaš li se? Odabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i izračunali na ovaj način. Na primjer, ako, onda, ako, onda itd. Što ste dobili kao rezultat? I dobili ste bodove s koordinatama: i. Zatim ste nacrtali “križ” (koordinatni sustav), na njemu odabrali mjerilo (koliko ćelija ćete imati kao jedan segment) i na njemu označili točke koje ste dobili, koje ste zatim povezali ravnom linijom, rezultirajućom linijom je graf funkcije.

Postoji nekoliko stvari koje vam treba malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete jedan segment iz razloga praktičnosti, tako da sve lijepo i kompaktno stane na sliku

2. Pretpostavlja se da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore

3. Sjeku se pod pravim kutom, a točka njihova presjeka naziva se ishodište. Označeno je slovom.

4. U zapisu koordinate točke, na primjer, lijevo u zagradama je koordinata točke duž osi, a desno, duž osi. Konkretno, jednostavno znači da je točka

5. Da biste postavili bilo koju točku na koordinatnu os, morate odrediti njene koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju točku koja leži na osi,

7. Za bilo koju točku koja leži na osi,

8. Os se naziva x-os

9. Os se naziva y-os

Idemo sada s vama na sljedeći korak: označite dvije točke. Ove dvije točke povežite linijom. A strelicu ćemo staviti kao da crtamo segment od točke do točke: to jest, naš segment ćemo učiniti usmjerenim!

Sjećate li se koji je drugi naziv za usmjereni segment? Tako je, to se zove vektor!

Dakle, ako povežemo točku s točkom, i početak će biti točka A, a kraj će biti točka B, tada dobivamo vektor. I ovu ste konstrukciju radili u 8. razredu, sjećate se?

Ispada da se vektori, kao i točke, mogu označiti s dva broja: ti se brojevi nazivaju koordinatama vektora. Pitanje: mislite li da nam je dovoljno znati koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! A to je vrlo lako učiniti:

Dakle, budući da je u vektoru točka početak, a kraj, vektor ima sljedeće koordinate:

Na primjer, ako, onda koordinate vektora

Sada učinimo suprotno, pronađite koordinate vektora. Što trebamo promijeniti za ovo? Da, trebate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u točki, a kraj u točki. Zatim:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znakovi u koordinatama. Oni su suprotni. Ova činjenica je napisana ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja je točka početak vektora, a koja kraj, vektori se ne označavaju s dva velika slova, već jednim malim slovima, na primjer: itd.

Sad malo praksa i pronađite koordinate sljedećih vektora:

pregled:

Sada riješite problem malo teže:

Vektorski torus s on-cha-otpadom u točki ima co-or-di-on-you. Find-di-te abs-cis-su točke.

Sve je isto prilično prozaično: Neka su koordinate točke. Zatim

Sastavio sam sustav određujući koje su koordinate vektora. Tada točka ima koordinate. Zanima nas apscisa. Zatim

Odgovor:

Što još možete učiniti s vektorima? Da, gotovo sve je isto kao i s običnim brojevima (osim što ne možete dijeliti, ali možete množiti na dva načina, od kojih ćemo jedan malo kasnije raspravljati ovdje)

1. Vektori se mogu slagati jedan s drugim
2. Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
3. Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) s proizvoljnim brojem koji nije nula
4. Vektori se mogu međusobno množiti

Sve ove operacije imaju prilično vizualni geometrijski prikaz. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za zbrajanje i oduzimanje:

Vektor se rasteže ili smanjuje ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli s brojem:

Međutim, ovdje će nas zanimati pitanje što se događa s koordinatama.

1. Prilikom zbrajanja (oduzimanja) dva vektora zbrajamo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Kada se vektor množi (dijeli) brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) s ovim brojem:

Na primjer:

· Find-di-zbroj ko-or-di-nat stoljeća-to-ra.

Nađimo prvo koordinate svakog od vektora. Obje imaju isto ishodište – ishodišnu točku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Sada izračunavamo koordinate vektora Tada je zbroj koordinata rezultirajućeg vektora jednak.

Odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

· Pronađite zbroj koordinata vektora

Provjeravamo:

Razmotrimo sada sljedeći problem: imamo dvije točke na koordinatnoj ravnini. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva točka, a druga. Označimo udaljenost između njih kao . Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Što sam učinio? Prvo sam se povezao točke i, a također je iz točke povukao pravac paralelan s osi, a iz točke povukao pravac paralelan s osi. Jesu li se presijecale u točki, formirajući prekrasan lik? Zašto je divna? Da, ti i ja znamo gotovo sve o pravokutnom trokutu. Pa, Pitagorin teorem, sigurno. Željeni segment je hipotenuza ovog trokuta, a segmenti su katete. Koje su koordinate točke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni s osi i, odnosno, njihove je duljine lako pronaći: ako duljine segmenata, odnosno, označimo kroz, tada

Sada se poslužimo Pitagorinom teoremom. Znamo duljine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, udaljenost između dviju točaka je korijenski zbroj kvadrata razlika od koordinata. Ili - udaljenost između dvije točke je duljina segmenta koji ih povezuje. Lako je vidjeti da udaljenost između točaka ne ovisi o smjeru. Zatim:

Iz ovoga izvlačimo tri zaključka:

Vježbajmo malo u izračunavanju udaljenosti između dvije točke:

Na primjer, ako, onda je udaljenost između i je

Ili idemo drugačije: pronađite koordinate vektora

I pronađite duljinu vektora:

Kao što vidite, isto je!

Sada malo vježbajte sami:

Zadatak: pronađite udaljenost između zadanih točaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema za istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Pronađite-di-te kvadrat duljine kapka-to-ra.

2. Nai-di-te kvadrat dužine kapka-to-ra

Pretpostavljam da se lako možete nositi s njima? Provjeravamo:

1. A ovo je za pozornost) Već smo prije pronašli koordinate vektora: . Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove duljine bit će:

2. Pronađite koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove duljine

Ništa komplicirano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeće zagonetke ne mogu se jednoznačno klasificirati, one su prije za opću erudiciju i sposobnost crtanja jednostavnih slika.

1. Nađi-di-one sinuse kuta na-klo-na-od-reza, spoji-jednu-n-tu točku, s osi apscise.

i

Kako ćemo to učiniti ovdje? Morate pronaći sinus kuta između i osi. A gdje možemo tražiti sinus? Tako je, u pravokutnom trokutu. Dakle, što trebamo učiniti? Izgradite ovaj trokut!

Budući da su koordinate točke i, tada je segment jednak, a segment. Moramo pronaći sinus kuta. Dopustite mi da vas podsjetim da je sinus, dakle, omjer suprotnog kraka i hipotenuze

Što nam preostaje učiniti? Pronađite hipotenuzu. Možete to učiniti na dva načina: Pitagorinim teoremom (noge su poznate!) ili formulom za udaljenost između dvije točke (zapravo isto kao i prva metoda!). ići ću drugim putem:

Odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se činiti još lakšim. Ona - na koordinatama točke.

Zadatak 2. Od točke, per-pen-di-ku-lar se spušta na os abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnovica okomice je točka u kojoj ona siječe x-os (os) za mene je to točka. Slika pokazuje da ima koordinate: . Zanima nas apscisa - odnosno "X" komponenta. Ona je ravnopravna.

Odgovor: .

Zadatak 3. Pod uvjetima prethodnog zadatka pronađite zbroj udaljenosti od točke do koordinatnih osi.

Zadatak je općenito elementaran ako znate kolika je udaljenost od točke do osi. Znaš? Nadam se, ali ipak vas podsjećam:

Dakle, na svom crtežu, smještenom malo više, već sam prikazao jednu takvu okomicu? Koja je os? na os. I kolika mu je onda duljina? Ona je ravnopravna. Sada sami nacrtajte okomicu na os i pronađite njezinu duljinu. Bit će ravnopravno, zar ne? Tada je njihov zbroj jednak.

Odgovor: .

Zadatak 4. U uvjetima zadatka 2 pronađite ordinatu točke simetrične točki oko x-osi.

Mislim da intuitivno shvaćate što je simetrija? Ima ga jako mnogo objekata: mnogo zgrada, stolova, aviona, mnogo geometrijski likovi: lopta, cilindar, kvadrat, romb itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: lik se sastoji od dvije (ili više) identičnih polovica. Ta se simetrija naziva aksijalna. Što je onda os? To je upravo linija duž koje se lik može, relativno govoreći, "prerezati" na identične polovice (na ovoj slici je os simetrije ravna):

Vratimo se sada našem zadatku. Znamo da tražimo točku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova os os simetrije. Dakle, trebamo označiti točku tako da os siječe segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu točku. Sada usporedi s mojim rješenjem:

Jeste li i vi učinili isto? Dobro! U pronađenoj točki zanima nas ordinata. Ona je ravnopravna

Odgovor:

Sada mi recite, nakon što malo razmislim, kolika će biti apscisa točke simetrične točki A oko y-osi? Koji je tvoj odgovor? Točan odgovor: .

Općenito, pravilo se može napisati ovako:

Točka simetrična točki oko osi x ima koordinate:

Točka simetrična točki oko y-osi ima koordinate:

E, sad je stvarno strašno. zadatak: Pronađite koordinate točke koja je simetrična točki, u odnosu na ishodište. Prvo razmislite sami, a onda pogledajte moj crtež!

Odgovor:

Sada problem paralelograma:

5. zadatak: Bodovi su ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite-dee-te ili-dee-on-tu točke.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logikom i koordinatnom metodom. Prvo ću primijeniti koordinatnu metodu, a zatim ću vam reći kako možete odlučiti drugačije.

Sasvim je jasno da je apscisa točke jednaka. (leži na okomici povučenoj iz točke na os x). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naš lik paralelogram, što znači da. Odredite duljinu segmenta koristeći formulu za udaljenost između dvije točke:

Spuštamo okomicu koja povezuje točku s osi. Točka presjeka označena je slovom.

Duljina segmenta je jednaka. (pronađite sami problem, gdje smo raspravljali o ovom trenutku), tada ćemo pronaći duljinu segmenta koristeći Pitagorin teorem:

Duljina segmenta je potpuno jednaka njegovoj ordinati.

Odgovor: .

Drugo rješenje (samo ću dati sliku koja to ilustrira)

Napredak rješenja:

1. Potrošite

2. Pronađite koordinate i duljinu točke

3. Dokažite to.

Još jedan problem duljine rezanja:

Točke su-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Pronađite duljinu njegove srednje linije, par-ral-lel-noy.

Sjećate li se koja je srednja crta trokuta? Onda je za vas ovaj zadatak elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja crta trokuta je crta koja spaja sredine suprotnih strana. Paralelan je s bazom i jednak njenoj polovici.

Baza je segment. Ranije smo morali tražiti njegovu duljinu, jednaka je. Tada je duljina srednje linije upola manja i jednaka.

Odgovor: .

Komentar: Ovaj se problem može riješiti i na drugi način, na koji ćemo se obratiti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko zadataka za vas, vježbajte na njima, prilično su jednostavni, ali pomažu da “napunite ruku” koordinatnom metodom!

1. Točke se pojavljuju-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Pronađite duljinu njegove središnje linije.

2. Bodovi i yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite-dee-te ili-dee-on-tu točke.

3. Pronađite duljinu iz reza, spojite drugu točku i

4. Pronađite-di-te područje za-crveni-shen-noy fi-gu-ry na ravnini ko-or-di-nat-noy.

5. Krug sa središtem na na-cha-le ko-or-di-nat prolazi kroz točku. Nađi-de-te joj ra-di-brkove.

6. Nai-di-te ra-di-us krug-no-sti, opišite-san-noy blizu pravog kuta-no-ka, vrhovi-shi-ny nečega-ro-go imaju ko-ili - di-na-ti ko-od-odgovori-ali

rješenja:

1. Poznato je da je srednja crta trapeza jednaka polovici zbroja njegovih baza. Baza je jednaka, ali baza. Zatim

Odgovor:

2. Najlakši način za rješavanje ovog problema je primijetiti da (pravilo paralelograma). Izračunajte koordinate vektora i nije teško: . Kod zbrajanja vektora zbrajaju se koordinate. Zatim ima koordinate. Točka ima iste koordinate, budući da je početak vektora točka s koordinatama. Zanima nas ordinata. Ona je ravnopravna.

Odgovor:

3. Djelujemo odmah prema formuli za udaljenost između dvije točke:

Odgovor:

4. Pogledaj sliku i reci, između koje dvije figure je “stisnuto” zasjenjeno područje? U sendviču je između dva kvadrata. Tada je površina željene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Stranica malog kvadrata je segment koji povezuje točke i njegova je duljina

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo s velikim kvadratom: njegova je stranica segment koji povezuje točke i njegova je duljina jednaka

Tada je površina velikog kvadrata

Područje željene figure nalazi se po formuli:

Odgovor:

5. Ako krug ima ishodište kao središte i prolazi kroz točku, tada će njegov polumjer biti točno jednak duljini segmenta (napravite crtež i shvatit ćete zašto je to očito). Pronađite duljinu ovog segmenta:

Odgovor:

6. Poznato je da je polumjer kružnice opisane oko pravokutnika jednak polovici njegove dijagonale. Nađimo duljinu bilo koje od dvije dijagonale (na kraju krajeva, u pravokutniku su jednake!)

Odgovor:

Pa, jeste li sve uspjeli? Nije bilo tako teško shvatiti, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - moći napraviti vizualnu sliku i jednostavno "pročitati" sve podatke iz nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje doslovno još dvije točke o kojima bih želio raspravljati.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka su dvije točke i dano. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je točka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo pravilo je vrlo jednostavno i obično ne uzrokuje poteškoće studentima. Pogledajmo u kojim problemima i kako se koristi:

1. Pronađite-di-te ili-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Točke su yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu točke re-re-se-che-niya njegovog dia-go-on-lei.

3. Pronađite-di-te abs-cis-su središta kruga, opišite-san-noy u blizini pravokutnika-no-ka, vrhove-shi-imamo nešto-ro-go co-or-di- na-vi ko-od-vet-stvenno-ali.

rješenja:

1. Prvi zadatak je samo klasik. Djelujemo odmah određivanjem sredine segmenta. Ona ima koordinate. Ordinata je jednaka.

Odgovor:

2. Lako je vidjeti da je zadani četverokut paralelogram (čak i romb!). To možete sami dokazati izračunavanjem duljina stranica i međusobnom usporedbom. Što ja znam o paralelogramu? Njegove su dijagonale prepolovljene točkom presjeka! Aha! Što je, dakle, točka presjeka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje od dijagonala! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada točka ima koordinate.Ordinata točke je jednaka.

Odgovor:

3. Koje je središte kružnice opisane oko pravokutnika? Poklapa se s točkom presjeka njegovih dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika? Oni su jednaki i točka presjeka je podijeljena na pola. Zadatak je sveden na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Tada ako je središte opisane kružnice, onda je sredina. Tražim koordinate: Apscisa je jednaka.

Odgovor:

Sada malo vježbajte sami, ja ću samo dati odgovore na svaki problem da se sami provjerite.

1. Nai-di-te ra-di-us krug-no-sti, opiši-san-noy u blizini trokuta-no-ka, vrhovi nekoga-ro-go imaju ko-or-di -ne gospodina

2. Pronađite-di-te ili-di-na-tu središte kruga, opišite san-noy u blizini trokuta-no-ka, vrhove-shi-imamo nešto-ro-go koordinate

3. Kakav bi ra-di-y-sa trebao postojati krug sa središtem u točki tako da dodiruje os abs-cis?

4. Pronađite-di-te ili-di-na-tu točku ponovnog ponovnog-se-che-inga osi i od-reza, spojite-nya-yu-th-tu točku i

odgovori:

Je li sve uspjelo? Stvarno se tome nadam! Sada - posljednji guranje. Sada budite posebno oprezni. Materijal koji ću sada objasniti nije relevantan samo za probleme jednostavne koordinatne metode u dijelu B, već je također sveprisutan u zadatku C2.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate se koje sam operacije na vektorima obećao uvesti, a koje sam na kraju uveo? Jesam li siguran da nisam ništa zaboravio? Zaboravio! Zaboravio sam objasniti što znači množenje vektora.

Postoje dva načina da se vektor pomnoži s vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobit ćemo objekte različite prirode:

Vektorski proizvod je prilično težak. Kako to učiniti i zašto je potrebno, razgovarat ćemo s vama u sljedećem članku. I ovdje ćemo se usredotočiti na skalarni proizvod.

Već postoje dva načina koji nam omogućuju da ga izračunamo:

Kao što ste pogodili, rezultat bi trebao biti isti! Dakle, pogledajmo prvi način:

Točkasti proizvod kroz koordinate

Pronađite: - uobičajeni zapis za točkasti proizvod

Formula za izračun je sljedeća:

Odnosno, točkasti umnožak = zbroj proizvoda koordinata vektora!

Primjer:

Find-dee-te

Riješenje:

Pronađite koordinate svakog od vektora:

Izračunavamo skalarni proizvod po formuli:

Odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplicirano!

Pa, sada pokušajte sami:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie stoljeća-do-otka i

Jeste li uspjeli? Možda je primijetio mali trik? Provjerimo:

Vektorske koordinate, kao u prethodnom zadatku! Odgovor: .

Osim koordinate, postoji još jedan način izračunavanja skalarnog proizvoda, naime, kroz duljine vektora i kosinus kuta između njih:

Označava kut između vektora i.

To jest, skalarni proizvod jednak je umnošku duljina vektora i kosinusa kuta između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je puno jednostavnija, barem u njoj nema kosinusa. A to nam je potrebno kako bismo iz prve i druge formule mogli zaključiti kako pronaći kut između vektora!

Neka Onda zapamti formulu za duljinu vektora!

Zatim, ako ubacim ove podatke u formulu točkastog proizvoda, dobivam:

Ali s druge strane:

Dakle, što imamo? Sada imamo formulu za izračunavanje kuta između dva vektora! Ponekad se, radi kratkoće, piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračun kuta između vektora je sljedeći:

1. Preko koordinata izračunavamo skalarni proizvod
2. Pronađite duljine vektora i pomnožite ih
3. Podijelite rezultat točke 1 rezultatom točke 2

Vježbajmo s primjerima:

1. Pronađite kut između kapaka-to-ra-mi i. Odgovor dajte u stupnjevima.

2. Pod uvjetima prethodnog zadatka pronađite kosinus između vektora

Učinimo ovo: pomoći ću vam riješiti prvi problem, a drugi pokušajte sami! Slažem se? Onda krenimo!

1. Ovi vektori su naši stari prijatelji. Već smo razmotrili njihov skalarni umnožak i bio je jednak. Njihove koordinate su: , . Zatim nalazimo njihove duljine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus kuta? Ovo je kut.

Odgovor:

Pa, sad riješite sami drugi problem, a onda usporedite! Dat ću samo vrlo kratko rješenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Dopustiti biti kut između vektora i, onda

Odgovor:

Treba napomenuti da su zadaci izravno na vektorima i metodi koordinata u dijelu B ispitnog rada prilično rijetki. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sustava. Stoga ovaj članak možete smatrati temeljom, na temelju kojeg ćemo napraviti prilično zeznute konstrukcije koje će nam trebati za rješavanje složenih problema.

KOORDINATE I VEKTORI. SREDNJA RAZINA

Ti i ja nastavljamo proučavati metodu koordinata. U zadnjem dijelu smo izveli niz važnih formula koje omogućuju:

1. Pronađite vektorske koordinate
2. Pronađite duljinu vektora (alternativno: udaljenost između dvije točke)
3. Zbrajanje, oduzimanje vektora. Pomnožite ih realnim brojem
4. Pronađite sredinu segmenta
5. Izračunati točkasti umnožak vektora
6. Pronađite kut između vektora

Naravno, cijela koordinatna metoda se ne uklapa u ovih 6 točaka. Ona je u osnovi takve znanosti kao što je analitička geometrija, s kojom ćete se upoznati na sveučilištu. Samo želim izgraditi temelj koji će vam omogućiti rješavanje problema u jednoj državi. ispit. Shvatili smo zadatke dijela B u Sada je vrijeme da prijeđemo na kvalitativno novu razinu! Ovaj će članak biti posvećen metodi rješavanja onih C2 problema u kojima bi bilo razumno prijeći na koordinatnu metodu. Ta je razumnost određena onim što treba pronaći u problemu i koja je brojka navedena. Dakle, koristio bih koordinatnu metodu ako su pitanja:

1. Pronađite kut između dvije ravnine
2. Pronađite kut između pravca i ravnine
3. Pronađite kut između dvije linije
4. Pronađite udaljenost od točke do ravnine
5. Pronađite udaljenost od točke do pravca
6. Pronađite udaljenost od ravne do ravnine
7. Pronađite razmak između dva reda

Ako je lik dan u uvjetu zadatka tijelo okretanja (kugla, cilindar, stožac...)

Prikladne brojke za koordinatnu metodu su:

1. kuboidan
2. Piramida (trokutasta, četverokutna, šesterokutna)

Također prema mom iskustvu neprikladno je koristiti koordinatnu metodu za:

1. Pronalaženje površina presjeka
2. Proračuni volumena tijela

Međutim, odmah treba napomenuti da su tri „nepovoljno” situacije za koordinatnu metodu prilično rijetke u praksi. U većini zadataka može postati vaš spasitelj, pogotovo ako niste jako jaki u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje su ponekad prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam naveo gore? Više nisu ravne, poput kvadrata, trokuta, kruga, već voluminozne! Sukladno tome, moramo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sustav. Gradi se prilično jednostavno: samo uz apscisu i ordinate, uvest ćemo još jednu os, apliciranu os. Slika shematski prikazuje njihov relativni položaj:

Svi su oni međusobno okomiti, sijeku se u jednoj točki, koju ćemo nazvati ishodištem. Os apscise će, kao i do sada, biti označena, ordinatna os - , a uvedena aplikatna os - .

Ako je ranije svaka točka na ravnini bila okarakterizirana s dva broja - apscisa i ordinata, tada je svaka točka u prostoru već opisana s tri broja - apscisa, ordinata, aplikat. Na primjer:

Prema tome, apscisa točke je jednaka, ordinata je , a aplikacija je .

Ponekad se apscisa točke naziva i projekcija točke na os apscise, ordinata je projekcija točke na os y, a aplikacija je projekcija točke na os aplikata. Prema tome, ako je dana dana, točka s koordinatama:

zove se projekcija točke na ravninu

zove se projekcija točke na ravninu

Postavlja se prirodno pitanje: jesu li sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj vrijedne u prostoru? Odgovor je da, samo su i imaju isti izgled. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili koji. U sve formule morat ćemo dodati još jedan pojam koji je odgovoran za primijenjenu os. Naime.

1. Ako su dane dvije točke: , tada:

• Vektorske koordinate:
• Udaljenost između dvije točke (ili vektorska duljina)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Ako su dana dva vektora: i, tada:

• Njihov točkasti proizvod je:
• Kosinus kuta između vektora je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što razumijete, dodavanje još jedne koordinate uvodi značajnu raznolikost u spektar figura koje "žive" u ovom prostoru. A za daljnje pripovijedanje trebam uvesti neku, grubo rečeno, “generalizaciju” ravne crte. Ova "generalizacija" bit će avion. Što znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje, što je avion? Vrlo je teško reći. Međutim, svi mi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo govoreći, ovo je neka vrsta beskonačnog "lista" gurnutog u svemir. "Beskonačnost" treba shvatiti da se ravnina proteže u svim smjerovima, odnosno da je njezina površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo objašnjenje "na prste" ne daje ni najmanju ideju o strukturi aviona. I to će nas zanimati.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

• Prava linija prolazi kroz dvije različite točke na ravnini, štoviše, samo jednu:

Ili njegov analog u svemiru:

Naravno, sjećate se kako izvesti jednadžbu ravne iz dvije zadane točke, to uopće nije teško: ako prva točka ima koordinate: a druga, tada će jednadžba ravne linije biti sljedeća:

Prošao si kroz ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba ravne linije izgleda ovako: imamo dvije točke s koordinatama: , tada jednadžba ravne koja prolazi kroz njih ima oblik:

Na primjer, pravac prolazi kroz točke:

Kako ovo treba shvatiti? To treba shvatiti na sljedeći način: točka leži na pravoj ako njezine koordinate zadovoljavaju sljedeći sustav:

Jednadžba ravne crte nas neće jako zanimati, ali trebamo obratiti pozornost na vrlo važan koncept usmjerivačkog vektora ravne linije. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na zadanom pravcu ili paralelan s njim.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera ravne linije. Dopustiti biti točka koja leži na ravnoj liniji, i biti njezin usmjeravajući vektor. Tada se jednadžba ravne linije može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neće me baš zanimati jednadžba ravne crte, ali stvarno trebam da zapamtite što je vektor smjera! Opet: to je BILO KOJI vektor različit od nule koji leži na pravcu ili paralelan s njim.

Povući jednadžba ravnine u tri točke više nije tako trivijalan i obično se ovo pitanje ne razmatra na tečaju Srednja škola. Ali uzalud! Ova tehnika je od vitalnog značaja kada pribjegavamo koordinatnoj metodi za rješavanje složenih problema. Ipak, pretpostavljam da ste puni želje da naučite nešto novo? Štoviše, moći ćete impresionirati svog učitelja na sveučilištu kada se pokaže da već znate koristiti tehniku ​​​​koju se obično proučava na tečaju analitičke geometrije. Pa počnimo.

Jednadžba ravnine se ne razlikuje previše od jednadžbe ravne na ravnini, naime, ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), ali varijable, na primjer: itd. Kao što možete vidjeti, jednadžba ravnine se ne razlikuje mnogo od jednadžbe ravne (linearne funkcije). Međutim, sjećate se što smo se s vama posvađali? Rekli smo da ako imamo tri točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji, onda se jednadžba ravnine jedinstveno obnavlja iz njih. Ali kako? Pokušat ću ti objasniti.

Budući da je jednadžba ravnine:

A točke pripadaju ovoj ravnini, onda kada zamenimo koordinate svake točke u jednadžbu ravnine, trebali bismo dobiti točan identitet:

Dakle, postoji potreba riješiti tri jednadžbe već s nepoznanicama! Dilema! Međutim, uvijek možemo pretpostaviti da (za to trebamo podijeliti s). Tako dobivamo tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Međutim, nećemo rješavati takav sustav, već ćemo ispisati zagonetni izraz koji iz njega slijedi:

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stop! Što je još ovo? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekt koji vidite ispred sebe nema nikakve veze s modulom. Ovaj objekt naziva se determinanta trećeg reda. Od sada, kada se bavite metodom koordinata na ravnini, često ćete naići upravo na te odrednice. Što je determinanta trećeg reda? Začudo, to je samo broj. Ostaje razumjeti koji ćemo određeni broj usporediti s determinantom.

Zapišimo prvo determinantu trećeg reda u općenitijem obliku:

Gdje su neki brojevi. Štoviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj retka, a pod indeksom - broj stupca. Na primjer, to znači da se navedeni broj nalazi na sjecištu drugog retka i trećeg stupca. Postavimo sljedeće pitanje: kako ćemo točno izračunati takvu determinantu? Odnosno, s kojim konkretnim brojem ćemo ga usporediti? Za determinantu upravo trećeg reda postoji pravilo heurističkog (vizualnog) trokuta, koje izgleda ovako:

1. Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gore lijevo prema donjem desnom) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomito" na glavnu dijagonalu umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na glavnu dijagonala
2. Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog do donjeg lijevog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomito" na sekundarnu dijagonalu umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomito" na sekundarna dijagonala
3. Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobivenih u koraku i

Ako sve ovo napišemo brojevima, onda ćemo dobiti sljedeći izraz:

Međutim, ne morate pamtiti način izračuna u ovom obliku, dovoljno je samo zadržati trokute u glavi i samu ideju što se čemu dodaje i što se onda oduzima od čega).

Ilustrirajmo metodu trokuta na primjeru:

1. Izračunaj determinantu:

Shvatimo što dodajemo, a što oduzimamo:

Izrazi koji dolaze s "plus":

Ovo je glavna dijagonala: proizvod elemenata je

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Drugi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Dodajemo tri broja:

Pojmovi koji dolaze s "minusom"

Ovo je bočna dijagonala: proizvod elemenata je

Prvi trokut, "okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata je

Drugi trokut, "okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata je

Dodajemo tri broja:

Sve što treba učiniti je oduzeti od zbroja plus članova zbroj minus članova:

Na ovaj način,

Kao što vidite, nema ništa komplicirano i nadnaravno u izračunu determinanti trećeg reda. Jednostavno je važno zapamtiti trokute i ne praviti aritmetičke pogreške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

1. Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
2. Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
3. Zbroj plus pojmova:
4. Prvi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
5. Drugi trokut, okomit na bočnu dijagonalu:
6. Zbroj pojmova s ​​minusom:
7. Zbroj plus pojmova minus zbroj minus pojmova:

Evo još par odrednica za vas, sami izračunajte njihove vrijednosti i usporedite s odgovorima:

odgovori:

Pa, je li se sve poklopilo? Super, onda možete dalje! Ako postoje poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: na internetu postoji hrpa programa za izračunavanje determinante na mreži. Sve što trebate je smisliti svoju determinantu, sami je izračunati, a zatim usporediti s onim što program izračuna. I tako sve dok se rezultati ne počnu podudarati. Siguran sam da ovaj trenutak neće dugo trajati!

Vratimo se sada na odrednicu koju sam napisao kada sam govorio o jednadžbi ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke:

Sve što trebate učiniti je izravno izračunati njegovu vrijednost (metoda trokuta) i postaviti rezultat na nulu. Naravno, budući da su varijable, dobit ćete izraz koji ovisi o njima. Upravo će taj izraz biti jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji!

Ilustrirajmo to jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Sastavljamo determinantu za ove tri točke:

Pojednostavljenje:

Sada ga izračunavamo izravno prema pravilu trokuta:

\[(\left| (\begin(niz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(niz)) \ desno| = \lijevo((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \desno) + \left((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dakle, jednadžba ravnine koja prolazi kroz točke je:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Pa, raspravimo sada o rješenju:

Izrađujemo odrednicu:

I izračunajte njegovu vrijednost:

Tada jednadžba ravnine ima oblik:

Ili, smanjivanjem za, dobivamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke:

odgovori:

Je li se sve poklopilo? Opet, ako postoje određene poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: uzmite tri točke iz glave (s velikim stupnjem vjerojatnosti neće ležati na jednoj ravnoj crti), izgraditi ravninu na njima. A onda se provjeri na internetu. Na primjer, na web stranici:

No, uz pomoć determinanti konstruirati ćemo ne samo jednadžbu ravnine. Zapamtite, rekao sam vam da za vektore nije definiran samo točkasti proizvod. Postoji i vektor, kao i mješoviti proizvod. A ako će skalarni proizvod dvaju vektora biti broj, tada će vektorski proizvod dvaju vektora biti vektor, a ovaj će vektor biti okomit na dane:

Štoviše, njegov će modul biti jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i. Ovaj vektor trebat će nam za izračunavanje udaljenosti od točke do pravca. Kako možemo izračunati križni umnožak vektora i ako su zadane njihove koordinate? U pomoć nam opet dolazi odrednica trećeg reda. Međutim, prije nego što prijeđem na algoritam za izračunavanje križnog proizvoda, moram napraviti malu lirsku digresiju.

Ova digresija se odnosi na bazne vektore.

Shematski su prikazani na slici:

Što mislite zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očita, jer:

vektorski proizvod

Sada mogu početi predstavljati križni proizvod:

Vektorski umnožak dvaju vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Sada dajmo nekoliko primjera izračunavanja križnog proizvoda:

Primjer 1: Pronađite križni proizvod vektora:

Rješenje: napravim odrednicu:

I ja izračunam:

Sada, od pisanja kroz bazne vektore, vratit ću se na uobičajenu vektorsku notaciju:

Na ovaj način:

Sada pokušajte.

Spreman? Provjeravamo:

I tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

1. Pronađite križni umnožak sljedećih vektora:
2. Pronađite križni umnožak sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti proizvod tri vektora

Posljednja konstrukcija koja mi treba je mješoviti proizvod tri vektora. On je, kao i skalar, broj. Postoje dva načina za izračunavanje. - kroz determinantu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, recimo da imamo tri vektora:

Tada se mješoviti proizvod tri vektora, označen s može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti umnožak je skalarni proizvod vektora i vektorski umnožak dva druga vektora

Na primjer, mješoviti proizvod tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati pomoću vektorskog proizvoda i provjerite odgovaraju li rezultati!

I opet - dva primjera za neovisno rješenje:

odgovori:

Izbor koordinatnog sustava

Pa, sada imamo sve potrebne temelje znanja za rješavanje složenih stereometrijskih problema u geometriji. Međutim, prije nego što prijeđemo izravno na primjere i algoritme za njihovo rješavanje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na sljedećem pitanju: kako točno odabrati koordinatni sustav za određeni lik. Uostalom, izbor relativnog položaja koordinatnog sustava i figure u prostoru će u konačnici odrediti koliko će proračuni biti glomazni.

Podsjećam vas da u ovom odjeljku razmatramo sljedeće brojke:

1. kuboidan
2. Ravna prizma (trokutasta, šesterokutna...)
3. Piramida (trokutasta, četverokutna)
4. Tetraedar (isto kao trokutasta piramida)

Za kocku ili kocku preporučam sljedeću konstrukciju:

Odnosno, stavit ću lik "u kut". Kocka i kutija su jako dobre figure. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrha:

Naravno, ne morate to pamtiti, ali je poželjno zapamtiti kako najbolje postaviti kocku ili pravokutnu kutiju.

ravna prizma

Prizma je štetnija figura. Možete ga rasporediti u prostoru na različite načine. Ipak, mislim da je sljedeća opcija najbolja:

Trokutasta prizma:

To jest, jednu od stranica trokuta stavljamo u potpunosti na os, a jedan od vrhova se poklapa s ishodištem.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova podudara se s ishodištem, a jedna od strana leži na osi.

Četverokutna i šesterokutna piramida:

Situacija slična kocki: kombiniramo dvije strane baze s koordinatnim osi, kombiniramo jedan od vrhova s ​​ishodištem. Jedina mala poteškoća bit će izračunati koordinate točke.

Za šesterokutnu piramidu - isto kao i za šesterokutnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti u pronalaženju koordinata vrha.

Tetraedar (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trokutastu prizmu: jedan vrh se poklapa s ishodištem, jedna strana leži na koordinatnoj osi.

E, sad smo ti i ja konačno blizu početka rješavanja problema. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, možete izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema spada u 2 kategorije: problemi za kut i problemi za udaljenost. Prvo ćemo razmotriti probleme za pronalaženje kuta. Oni su pak podijeljeni u sljedeće kategorije (kako se složenost povećava):

Problemi s pronalaženjem uglova

1. Pronalaženje kuta između dvije linije
2. Pronalaženje kuta između dvije ravnine

Razmotrimo ove probleme uzastopno: počnimo s pronalaženjem kuta između dvije ravne linije. Hajde, sjeti se, jesmo li ti i ja već rješavali slične primjere? Sjećate se, jer smo već imali nešto slično... Tražili smo kut između dva vektora. Podsjećam vas, ako su dana dva vektora: i, onda se kut između njih nalazi iz relacije:

Sada imamo cilj - pronaći kut između dvije ravne linije. Okrenimo se "ravnoj slici":

Koliko kutova dobijemo kada se dva pravca sijeku? Već stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su drugi okomiti na njih (i stoga se s njima podudaraju). Dakle, kojim kutom trebamo uzeti u obzir kut između dvije ravne linije: ili? Ovdje je pravilo: kut između dvije ravne crte uvijek nije veći od stupnjeva. Odnosno, iz dva kuta uvijek ćemo birati kut s najmanjom mjerom stupnja. To jest, na ovoj slici kut između dvije linije je jednak. Kako se svaki put ne bi zamarao pronalaženjem najmanjeg od dva kuta, lukavi matematičari predložili su korištenje modula. Dakle, kut između dvije ravne linije određuje se formulom:

Vi ste, kao pažljivi čitatelj, trebali imati pitanje: odakle, zapravo, dobivamo baš te brojeve koji su nam potrebni za izračunavanje kosinusa kuta? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera pravaca! Dakle, algoritam za pronalaženje kuta između dvije linije je sljedeći:

1. Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

1. Tražimo koordinate vektora smjera prve ravne crte
2. Tražimo koordinate vektora smjera drugog retka
3. Izračunajte modul njihovog skalarnog proizvoda
4. Tražimo duljinu prvog vektora
5. Tražimo duljinu drugog vektora
6. Pomnožite rezultate točke 4 s rezultatima točke 5
7. Rezultat točke 3 podijelimo s rezultatom točke 6. Dobivamo kosinus kuta između pravih
8. Ako nam ovaj rezultat omogućuje da točno izračunamo kut, tražimo ga
9. Inače, pišemo kroz arkosinus

E, sad je vrijeme da prijeđemo na zadatke: detaljno ću demonstrirati rješenje prva dva, rješenje drugog ću predstaviti u Sažetak, a za posljednja dva problema dat ću samo odgovore, sve izračune za njih morate izvršiti sami.

Zadaci:

1. U desnom tet-ra-ed-re, pronađite-di-te kut između vas-tako-ta tet-ra-ed-ra i me-di-a-noy bo-ko-how strane.

2. U desno-naprijed šest ugljena-pi-ra-mi-de, sto-ro-na-os-no-va-niya su nekako jednake, a bočna rebra su jednaka, pronađite kut između ravnih linije i.

3. Duljine svih bridova desnog four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy jednake su jedna drugoj. Pronađite kut između ravnih linija i ako je od-re-zok - vi-tako-da dano pi-ra-mi-dy, točka je se-re-di-na njenom bo-ko- th rebru

4. Na rubu kocke od-me-che-do točke tako da nađete-di-te kut između ravnih linija i

5. Točka - se-re-di-na rubovima kocke Nai-di-te kut između ravnih crta i.

Nije slučajno da sam zadatke rasporedio ovim redoslijedom. Dok još niste imali vremena za navigaciju koordinatnom metodom, ja ću sam analizirati najproblematičnije figure, a vas ću ostaviti da se bavite najjednostavnijom kockom! Postupno morate naučiti raditi sa svim figurama, povećavat ću složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, postavite ga u koordinatni sustav kao što sam prije predložio. Budući da je tetraedar pravilan, onda su sva njegova lica (uključujući bazu) pravilni trokuti. Budući da nam nije dana duljina stranice, mogu je uzeti jednakom. Mislim da razumijete da kut zapravo neće ovisiti o tome koliko će naš tetraedar biti "rastegnut" ?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću nacrtati njegovu podlogu (i to će nam dobro doći).

Moram pronaći kut između i. Što znamo? Znamo samo koordinate točke. Dakle, moramo pronaći više koordinata točaka. Sada mislimo: točka je točka presjeka visina (ili simetrala ili medijana) trokuta. Točka je povišena točka. Točka je središnja točka segmenta. Zatim konačno trebamo pronaći: koordinate točaka: .

Počnimo s najjednostavnijim: koordinatama točaka. Pogledajte sliku: Jasno je da je primjena točke jednaka nuli (točka leži na ravnini). Njegova ordinata je jednaka (jer je medijan). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to je lako učiniti na temelju Pitagorinog teorema: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedan katet je jednak Tada:

Konačno imamo:

Sada pronađimo koordinate točke. Jasno je da je njegova primjena opet jednaka nuli, a ordinata jednaka ordinati točke, tj. Nađimo njegovu apscisu. To je učinjeno prilično trivijalno ako se netko toga sjeti visine jednakostraničnog trokuta podijeljene su točkom presjeka u omjeru računajući od vrha. Budući da je:, tada je željena apscisa točke, jednaka duljini segmenta, jednaka:. Dakle, koordinate točke su:

Nađimo koordinate točke. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. A aplikacija je jednaka duljini segmenta. - ovo je jedan od krakova trokuta. Hipotenuza trokuta je segment – ​​krak. Traže se razlozi koje sam podebljao:

Točka je središnja točka segmenta. Zatim moramo zapamtiti formulu za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: sve podatke zamjenjujemo u formulu:

Na ovaj način,

Odgovor:

Ne biste se trebali bojati takvih "strašnih" odgovora: za probleme C2 to je uobičajena praksa. Najradije bih se iznenadio "lijepom" odgovoru u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktički nisam pribjegao ničemu drugom osim Pitagorinom teoremu i svojstvu visina jednakostraničnog trokuta. Odnosno, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam sam minimum stereometrije. Dobitak u tome djelomično se "gasi" prilično glomaznim proračunima. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Nacrtajte pravilnu šesterokutnu piramidu zajedno s koordinatnim sustavom, kao i njezinu bazu:

Moramo pronaći kut između linija i. Dakle, naš se zadatak svodi na pronalaženje koordinata točaka: . Naći ćemo koordinate posljednje tri iz malog crteža, a koordinatu vrha pronaći ćemo kroz koordinatu točke. Puno posla, ali moram početi!

a) Koordinata: jasno je da su njezina aplikacija i ordinata nula. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut. Jao, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušat ćemo pronaći nogu (jer je jasno da će nam dvostruka duljina kateta dati apscisu točke). Kako je možemo tražiti? Prisjetimo se kakav lik imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šesterokut. Što to znači? To znači da su sve strane i svi kutovi jednaki. Moramo pronaći jedan takav kutak. Ima li ideja? Ima puno ideja, ali postoji formula:

Zbroj kutova pravilnog n-kuta je .

Dakle, zbroj kutova pravilnog šesterokuta je stupnjeva. Tada je svaki od kutova jednak:

Pogledajmo još jednom sliku. Jasno je da je segment simetrala kuta. Tada je kut stupnjeva. Zatim:

Onda gdje.

Dakle, ima koordinate

b) Sada možemo lako pronaći koordinate točke: .

c) Pronađite koordinate točke. Budući da se njegova apscisa poklapa s duljinom segmenta, jednaka je. Pronalaženje ordinate također nije jako teško: ako spojimo točke i i označimo točku presjeka pravca, recimo za. (učinite sami jednostavnu konstrukciju). Tada je ordinata točke B jednaka zbroju duljina odsječaka. Pogledajmo opet trokut. Zatim

Tada od Tada točka ima koordinate

d) Sada pronađite koordinate točke. Razmotrimo pravokutnik i dokažimo da su koordinate točke:

e) Ostaje pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. Nađimo aplikaciju. Od tad. Razmotrimo pravokutni trokut. Po uvjetu problema, bočni rub. Ovo je hipotenuza mog trokuta. Tada je visina piramide noga.

Tada točka ima koordinate:

To je to, imam koordinate svih točaka koje me zanimaju. Tražim koordinate usmjeravajućih vektora pravih linija:

Tražimo kut između ovih vektora:

Odgovor:

Opet, pri rješavanju ovog problema nisam koristio nikakve sofisticirane trikove, osim formule za zbroj kutova pravilnog n-kuta, kao i definicije kosinusa i sinusa pravokutnog trokuta.

3. Budući da nam opet nisu zadane duljine bridova u piramidi, smatrat ću ih jednakima jedinici. Dakle, budući da su SVI bridovi, a ne samo bočni, međusobno jednaki, tada u podnožju piramide i mene leži kvadrat, a bočne strane su pravilni trokuti. Prikažimo takvu piramidu, kao i njenu bazu na ravnini, označavajući sve podatke navedene u tekstu problema:

Tražimo kut između i. Napravit ću vrlo kratke izračune kada tražim koordinate točaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njene koordinate:

c) Naći ću duljinu segmenta pomoću Pitagorinog teorema u trokutu. Naći ću po Pitagorinom teoremu u trokutu.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate su

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Traženje kuta:

Kocka je najjednostavniji lik. Siguran sam da to možete sami shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Pronalaženje kuta između pravca i ravnine

Pa, vrijeme jednostavnih zagonetki je prošlo! Sada će primjeri biti još teži. Da bismo pronašli kut između prave i ravnine, postupit ćemo na sljedeći način:

1. Koristeći tri točke gradimo jednadžbu ravnine
   ,
   koristeći determinantu trećeg reda.
2. Po dvije točke tražimo koordinate usmjeravajućeg vektora ravne:
3. Za izračunavanje kuta između ravne i ravnine primjenjujemo formulu:

Kao što možete vidjeti, ova formula je vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje kutova između dvije linije. Struktura desne strane je ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus, kao prije. Pa dodana je jedna gadna radnja – potraga za jednadžbom ravnine.

Nemojmo odlagati rješavanje primjera:

1. Os-no-va-ni-em ravno-moja nagrada-mi smo-la-et-xia jednaki-ali-siromašni-ren-ny trokut-nick ti-sa-tom nagradom-mi smo jednaki. Pronađite kut između ravne i ravnine

2. U pravokutnom pa-ral-le-le-pi-pe-de sa zapada Nai-di-te kut između ravne i ravnine

3. U desnoj prizmi sa šest ugljena svi su bridovi jednaki. Pronađite kut između ravne i ravnine.

4. U desnom trokutastu pi-ra-mi-de sa os-but-va-ni-em sa zapada rebra Nai-di-te kuta, ob-ra-zo-van -ny ravnina os. -no-va-niya i ravno-my, prolazeći kroz se-re-di-na rebara i

5. Duljine svih bridova pravog četverokutnog pi-ra-mi-dy s vrhom jednake su jedna drugoj. Pronađite kut između ravne i ravnine, ako je točka se-re-di-na bo-ko-in-tom rubu pi-ra-mi-dy.

Opet ću prva dva problema riješiti detaljno, treći - ukratko, a zadnja dva ostavljam vama da sami riješite. Osim toga, već ste se morali nositi s trokutastim i četverokutne piramide, ali s prizmama - još ne.

rješenja:

1. Nacrtaj prizmu, kao i njezinu bazu. Kombinirajmo ga s koordinatnim sustavom i označimo sve podatke koji su navedeni u opisu problema:

Ispričavam se zbog nekog nepoštivanja proporcija, ali za rješavanje problema to, zapravo, nije toliko važno. Avion je samo "stražnji zid" moje prizme. Dovoljno je samo pogoditi da jednadžba takve ravnine ima oblik:

Međutim, to se također može prikazati izravno:

Mi biramo proizvoljne tri točke na ovoj ravnini: na primjer, .

Napravimo jednadžbu ravnine:

Vježba za vas: sami izračunajte ovu determinantu. Jeste li uspjeli? Tada jednadžba ravnine ima oblik:

Ili jednostavno

Na ovaj način,

Za rješavanje primjera trebam pronaći koordinate usmjeravajućeg vektora ravne linije. Budući da se točka poklopila s ishodištem, koordinate vektora jednostavno će se podudarati s koordinatama točke.Da bismo to učinili, prvo ćemo pronaći koordinate točke.

Da biste to učinili, razmislite o trokutu. Nacrtajmo visinu (ona je također medijan i simetrala) od vrha. Budući da je tada ordinata točke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove točke, moramo izračunati duljinu segmenta. Po Pitagorinom teoremu imamo:

Tada točka ima koordinate:

Točka je "podignuta" na točki:

Zatim koordinate vektora:

Odgovor:

Kao što vidite, nema ništa bitno teško u rješavanju takvih problema. Zapravo, "ravnost" figure kao što je prizma malo više pojednostavljuje proces. Sada prijeđimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtamo paralelepiped, nacrtamo ravninu i ravnu liniju u njemu, a također zasebno nacrtamo njegovu donju bazu:

Prvo, nalazimo jednadžbu ravnine: koordinate triju točaka koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate dobivaju se na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći sa slike iz točke). Zatim sastavljamo jednadžbu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vektora smjera: Jasno je da se njegove koordinate podudaraju s koordinatama točke, zar ne? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate točke, podignute duž aplikativne osi za jedan! . Zatim tražimo željeni kut:

Odgovor:

3. Nacrtajte pravilnu šesterokutnu piramidu, a zatim u njoj nacrtajte ravninu i ravnu liniju.

Ovdje je čak problematično nacrtati ravninu, a da ne govorimo o rješenju ovog problema, ali koordinatnu metodu nije briga! Upravo u njegovoj svestranosti leži njegova glavna prednost!

Ravnina prolazi kroz tri točke: . Tražimo njihove koordinate:

jedan) . Sami prikažite koordinate za posljednje dvije točke. Za to ćete morati riješiti problem sa šesterokutnom piramidom!

2) Gradimo jednadžbu ravnine:

Tražimo koordinate vektora: . (Pogledajte ponovo problem trokutaste piramide!)

3) Tražimo kut:

Odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ništa nadnaravno teško. Samo trebate biti vrlo oprezni s korijenjem. Na zadnja dva problema dat ću samo odgovore:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema svugdje je ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u neke formule. Ostaje nam da razmotrimo još jednu klasu problema za izračunavanje kutova, i to:

Izračunavanje kutova između dvije ravnine

Algoritam rješenja bit će sljedeći:

1. Za tri točke tražimo jednadžbu prve ravnine:
2. Za ostale tri točke tražimo jednadžbu druge ravnine:
3. Primjenjujemo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodnoj dvije, uz pomoć kojih smo tražili kutove između ravnih linija te između ravne i ravnine. Stoga vam neće biti teško zapamtiti ovo. Prijeđimo odmah na problem:

1. Sto-ro-na temelju prave trokutaste prizme jednaka je, a dijagonala bočne strane jednaka. Pronađite kut između ravnine i ravnine baze nagrade.

2. U desno-naprijed četiri-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de, svi bridovi nekoga su jednaki, pronađite sinus kuta između ravnine i ravnine Ko-Stu, koja prolazi kroz točka per-pen-di-ku-lyar-ali ravno-moj.

3. U pravilnoj prizmi s četiri ugljena stranice os-no-va-nia su jednake, a bočni bridovi jednaki. Na rubu od-me-če-do točke tako da. Pronađite kut između ravnina i

4. U pravoj četverokutnoj prizmi stranice baza su jednake, a bočni bridovi jednaki. Na rubu od-me-che-do točke tako da Pronađite kut između ravnina i.

5. U kocki pronađite ko-sinus kuta između ravnina i

Rješenja problema:

1. Nacrtam pravilnu (u osnovi - jednakostranični trokut) trokutastu prizmu i na njoj označavam ravnine koje se pojavljuju u uvjetu zadatka:

Moramo pronaći jednadžbe dviju ravnina: Osnovna jednadžba se dobiva trivijalno: možete napraviti odgovarajuću determinantu za tri točke, ali ja ću odmah napraviti jednadžbu:

Sada pronađimo jednadžbu Točka ima koordinate Točka - Budući da - medijan i visina trokuta, lako je pronaći po Pitagorinom teoremu u trokutu. Tada točka ima koordinate: Pronađite primjenu točke Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut

Tada dobivamo sljedeće koordinate: Sastavljamo jednadžbu ravnine.

Izračunavamo kut između ravnina:

Odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je razumjeti kakva je to tajanstvena ravnina koja prolazi kroz točku okomito. Pa, glavno je što je to? Glavna stvar je pažnja! Doista, linija je okomita. Linija je također okomita. Tada će ravnina koja prolazi kroz ove dvije linije biti okomita na pravu i, usput, proći će kroz točku. Ova ravnina također prolazi kroz vrh piramide. Zatim željeni avion - I avion nam je već dan. Tražimo koordinate točaka.

Koordinatu točke nalazimo kroz točku. Lako je zaključiti iz malog crteža da će koordinate točke biti sljedeće: Što je sada ostalo za pronaći da bismo pronašli koordinate vrha piramide? Još treba izračunati njegovu visinu. To se radi pomoću istog Pitagorinog teorema: prvo to dokažite (trivijalno iz malih trokuta koji tvore kvadrat na bazi). Budući da po uvjetu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Sastavljamo jednadžbu ravnine:

Već ste stručnjak za izračunavanje determinanti. Lako ćete dobiti:

Ili drugačije (ako oba dijela pomnožimo s korijenom dva)

Sada pronađimo jednadžbu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobivamo jednadžbu ravnine, zar ne? Ako ne razumiješ otkud ovaj minus jedan, onda se vrati na definiciju jednadžbe ravnine! Jednostavno se uvijek ispostavilo da je moj avion je pripadao podrijetlu!)

Izračunavamo determinantu:

(Možda ćete primijetiti da se jednadžba ravnine poklopila s jednadžbom ravne koja prolazi kroz točke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunavamo kut:

Moramo pronaći sinus:

Odgovor:

3. Zeznuto pitanje: što je pravokutna prizma, što mislite? To vam je samo dobro poznati paralelepiped! Crtanje odmah! Ne možete čak ni zasebno prikazati bazu, ovdje je od nje malo koristi:

Ravnina je, kao što smo ranije primijetili, napisana kao jednadžba:

Sada pravimo avion

Odmah sastavljamo jednadžbu ravnine:

Tražeći kut

Sada odgovori na zadnja dva problema:

E pa, sad je vrijeme za predah, jer ti i ja smo super i napravili smo sjajan posao!

Koordinate i vektori. Napredna razina

U ovom ćemo članku s vama raspravljati o drugoj klasi problema koji se mogu riješiti koordinatnom metodom: problemi udaljenosti. Naime, razmotrit ćemo sljedeće slučajeve:

1. Izračunavanje udaljenosti između kosih linija.

Naručio sam zadane zadatke kako se njihova složenost povećava. Najlakše je pronaći udaljenost od točke do ravnine a najteže je pronaći udaljenost između linija koje se sijeku. Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odugovlačiti i odmah prijeđimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine

Što nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate točke

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako gradimo jednadžbu ravnine iz prethodnih problema koje sam analizirao u prošlom dijelu. Krenimo odmah na posao. Shema je sljedeća: 1, 2 - ja vam pomažem da odlučite, a u pojedinostima, 3, 4 - samo odgovor, vi sami donosite odluku i usporedite. Počelo!

Zadaci:

1. Zadana je kocka. Duljina ruba kocke je Find-di-te udaljenost od se-re-di-ny od reza do ravnog

2. S obzirom na pravo-vil-naya četiri-you-rekh-ugljen-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe rub sto-ro-na os-no-va-nia je jednak. Nađi-di-one udaljenosti od točke do ravnine gdje - se-re-di-na rubovima.

3. U desnom trokutastu pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em, drugi rub je jednak, a sto-ro-on os-no-va- niya je jednako. Pronađite-di-te udaljenosti od vrha do ravnine.

4. U desnoj prizmi sa šest ugljena svi su bridovi jednaki. Nađi-di-te udaljenosti od točke do ravnine.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku s pojedinačnim rubovima, izgradite segment i ravninu, označite sredinu segmenta slovom

.

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate točke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednadžbu ravnine na tri točke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu početi pronalaziti udaljenost:

2. Opet krećemo s crtežom, na kojem označavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno zasebno nacrtati njezinu bazu.

Čak i činjenica da crtam kao kokošja šapa neće nas spriječiti da lako riješimo ovaj problem!

Sada je lako pronaći koordinate točke

Budući da koordinate točke

2. Budući da su koordinate točke a sredina segmenta, onda

Lako možemo pronaći koordinate još dvije točke na ravnini. Sastavljamo jednadžbu ravnine i pojednostavljujemo je:

\[\lijevo| (\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \desno|) \right| = 0\]

Budući da točka ima koordinate: , tada izračunavamo udaljenost:

Odgovor (vrlo rijetko!):

Pa, jeste li razumjeli? Čini mi se da je ovdje sve jednako tehničko kao i u primjerima koje smo s vama razmatrali u prethodnom dijelu. Tako da sam siguran da ako ste svladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Samo ću ti dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od prave do ravnine

Zapravo, tu nema ničeg novog. Kako se pravac i ravnina mogu locirati jedna u odnosu na drugu? Imaju sve mogućnosti: da se sijeku, ili je ravna linija paralelna s ravninom. Što mislite kolika je udaljenost od pravca do ravnine s kojom se zadani pravac siječe? Čini mi se da je jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nezanimljiv slučaj.

Drugi je slučaj teži: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, budući da je pravac paralelan s ravninom, tada je svaka točka pravca jednako udaljena od ove ravnine:

Na ovaj način:

A to znači da je moj zadatak sveden na prethodni: tražimo koordinate bilo koje točke na liniji, tražimo jednadžbu ravnine, izračunavamo udaljenost od točke do ravnine. Zapravo, takvi zadaci na ispitu su iznimno rijetki. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu bili su takvi da koordinatna metoda nije bila baš primjenjiva na njega!

Sada prijeđimo na drugu, mnogo važniju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti točke do linije

Što će nam trebati?

1. Koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje točke koja leži na ravnoj crti

3. Vektorske koordinate pravca

Koju formulu koristimo?

Što vam znači nazivnik ovog razlomka i zato bi trebalo biti jasno: ovo je duljina usmjerivača vektora ravne linije. Ovdje je vrlo lukav brojnik! Izraz označava modul (dužinu) vektorskog umnoška vektora i Kako izračunati vektorski umnožak, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Osvježite svoje znanje, sada će nam biti od velike koristi!

Dakle, algoritam za rješavanje problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje točke na liniji do koje tražimo udaljenost:

3. Izgradnja vektora

4. Gradimo vektor smjera ravne linije

5. Izračunajte križni umnožak

6. Tražimo duljinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Dakle, sada usredotočite svu svoju pažnju!

1. Dana je desnoruki trokutasti pi-ra-mi-da s vrhom. Sto-ro-na os-no-va-nija pi-ra-mi-dy je jednako, ti-so-ta je jednako. Pronađite-di-te udaljenosti od se-re-di-ny bo-ko-th ruba do ravne linije, gdje su točke i se-re-di-ny rebara i ko-od-vet -stven-ali.

2. Duljine rebara i pravog kuta-no-para-ral-le-le-pi-pe-da jednake su, respektivno, a Find-di-te udaljenost od top-shi-ny do ravno-my

3. U desnoj prizmi sa šest ugljena, svi rubovi roja jednaki su find-di-one udaljenosti od točke do ravne linije

rješenja:

1. Izrađujemo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla za vas! Najprije bih želio riječima opisati što ćemo tražiti i kojim redoslijedom:

1. Koordinate točaka i

2. Koordinate točaka

3. Koordinate točaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov križni proizvod

6. Duljina vektora

7. Duljina vektorskog produkta

8. Udaljenost od do

Pa, imamo puno posla! Zasučimo rukave!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, moramo znati koordinate točke kojoj je aplikat nula, a ordinata jednaka njezinoj apscisi. Na kraju smo dobili koordinate:

Koordinate točke

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

središnja točka

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski umnožak:

6. Duljina vektora: najlakši način je zamijeniti da je segment srednja linija trokuta, što znači da je jednak polovici baze. Tako da.

7. Razmatramo duljinu vektorskog produkta:

8. Konačno, pronađite udaljenost:

Fuj, to je sve! Iskreno ću vam reći: rješenje ovog problema tradicionalne metode(putem gradnje) bilo bi puno brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da ti je algoritam rješenja jasan? Stoga ću vas zamoliti da sami riješite preostala dva problema. Usporediti odgovore?

Opet ponavljam: lakše je (brže) rješavati te probleme kroz konstrukcije, nego pribjegavati koordinatnoj metodi. Pokazao sam ovaj način rješavanja samo da bih vam pokazao univerzalnu metodu koja vam omogućuje da "ne dovršite ništa".

Konačno, razmotrite posljednju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti između kosih linija

Ovdje će algoritam rješavanja problema biti sličan prethodnom. što imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje točke prvog i drugog reda:

Kako ćemo pronaći udaljenost između linija?

Formula je:

Brojnik je modul mješovitog umnoška (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik - kao u prethodnoj formuli (modul vektorskog umnoška usmjeravajućih vektora pravaca, udaljenost između kojih tražimo za).

podsjetit ću vas na to

zatim formula udaljenosti može se prepisati kao:

Podijelite ovu odrednicu s determinantom! Iako, da budem iskren, ovdje nisam raspoložen za šale! Ova je formula, zapravo, vrlo glomazna i dovodi do prilično kompliciranih izračuna. Da sam na tvom mjestu, koristio bih ga samo kao krajnje sredstvo!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema koristeći gornju metodu:

1. U pravoj trokutastoj prizmi svi su bridovi nekako jednaki, pronađite udaljenost između pravih i.

2. S obzirom na pravougaonu trokutastu prizmu, svi rubovi os-no-va-niya nekoga jednaki su Se-che-tionu, prolazeći kroz drugo rebro i se-re-di-nu rebra su yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie između ravno-mi-mi i

Ja odlučujem o prvom, a na temelju njega o drugom!

1. Crtam prizmu i označavam linije i

Koordinate točke C: tada

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\left((B,\strelica iznad desno (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \desno) = \lijevo| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\kraj(niz))\kraj(niz)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Razmatramo križni proizvod između vektora i

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(niz)(l)\begin(niz)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(niz)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\početak(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niz)\kraj(niz) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sada razmatramo njegovu duljinu:

Odgovor:

Sada pokušajte pažljivo izvršiti drugi zadatak. Odgovor na to će biti:.

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjereni segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor je označen sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - duljina segmenta koji predstavlja vektor. Označeno kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \displaystyle a .

Zbroj vektora: .

Umnožak vektora:

Točkasti proizvod vektora:

Skalarni proizvod vektora jednak je umnošku njihovih apsolutnih vrijednosti i kosinusa kuta između njih:

PREOSTALE 2/3 ČLANKA DOSTUPNE SU SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!

Postanite učenik YouClevera,

Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šalica kave mjesečno",

I također dobiti neograničen pristup udžbeniku "YouClever", pripremnom programu "100gia" (rechebnik), neograničeno probni ispit i OGE, 6000 zadataka s analizom rješenja i drugim uslugama YouClever i 100gia.

Oh-oh-oh-oh-oh ... e, sitno je, kao da ste pročitali rečenicu u sebi =) Međutim, onda će opuštanje pomoći, pogotovo što sam danas kupio prikladne dodatke. Stoga, prijeđimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dviju ravnih linija

Slučaj kad dvorana pjeva u zboru. Dvije linije mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Pomoć za lutke : molimo zapamtite matematički znak raskrižja, to će se dogoditi vrlo često. Unos znači da se pravac siječe s pravom u točki.

Kako odrediti relativni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se podudaraju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da su jednakosti

Razmotrimo ravne i od odgovarajućih koeficijenata sastavimo tri jednadžbe: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s -1 (promijenite predznake), a sve koeficijente jednadžbe smanjite za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj kada su linije paralelne:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dva se pravca sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za ravne linije sastavit ćemo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da , a iz druge jednadžbe: , dakle, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana shema rješenja. Usput, vrlo je sličan algoritmu za provjeru vektora kolinearnosti, koji smo razmatrali u lekciji. Pojam linearne (ne)ovisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civiliziraniji paket:

Primjer 1

Saznajte relativni položaj linija:

Riješenje na temelju proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, pa vektori nisu kolinearni i pravci se sijeku.

Za svaki slučaj stavit ću kamen sa pokazivačima na raskršće:

Ostali skaču preko kamena i slijede, ravno do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Pronađite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili isti. Ovdje odrednica nije potrebna.

Očito, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Otkrijmo je li jednakost istinita:

Na ovaj način,

c) Pronađite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se podudaraju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" lako je vidjeti izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, može se pronaći i kroz koeficijente samih jednadžbi: .

Sada ćemo saznati je li jednakost istinita. Oba slobodna pojma su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (bilo koji broj općenito je zadovoljava).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovor:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) rješavati razmatrani problem usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim razloga ponuditi nešto za samostalno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravac paralelan danoj?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka Slavuj razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Ravna crta je dana jednadžbom. Napišite jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi kroz točku.

Riješenje: Nepoznati red označi slovom. Što stanje govori o tome? Pravac prolazi kroz točku. A ako su linije paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor pravca "ce" također prikladan za konstruiranje pravca "de".

Vektor smjera vadimo iz jednadžbe:

Odgovor:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička provjera sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo da linije imaju isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije pravilno pojednostavljena, tada će vektori biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas brzo će shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer se još morate natjecati s Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili s paralelnim linijama i vratit ćemo im se kasnije. Slučaj podudaranja linija malo je zanimljiv, pa razmotrimo problem koji vam je dobro poznat iz školskog programa:

Kako pronaći točku presjeka dvaju pravih?

Ako ravno sijeku se u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustavi linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku presjeka linija? Riješite sustav.

Ovo je za tebe geometrijsko značenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice su dvije koje se sijeku (najčešće) ravne na ravnini.

Primjer 4

Pronađite točku presjeka pravaca

Riješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati zadane linije i saznati točku presjeka izravno iz crteža:

Evo naše poante: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu ravne linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava. Zapravo, razmatrali smo grafički način rješavanja sustavi linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima vidljivih nedostataka. Ne, nije poanta da sedmaši odlučuju na ovaj način, stvar je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama točka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku raskrižja analitička metoda. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda terminskog zbrajanja jednadžbi. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sustav jednadžbi?

Odgovor:

Provjera je trivijalna - koordinate točke presjeka moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Zadatak se može prikladno podijeliti u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednadžbu ravne linije.
2) Napišite jednadžbu ravne linije.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku presjeka.

Razvoj algoritma radnji tipičan je za mnoge geometrijske probleme i na to ću se više puta usredotočiti.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju tutoriala:

Par cipela još nije iznošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako izgraditi ravnu liniju paralelnu sa zadanom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stupnjeva:

Kako nacrtati pravu okomitu na zadanu?

Primjer 6

Ravna crta je dana jednadžbom. Napišite jednadžbu za okomitu liniju koja prolazi kroz točku.

Riješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera ravne linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe "uklanjamo" vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor ravne linije.

Sastavljamo jednadžbu ravne linije po točki i usmjerivačkom vektoru:

Odgovor:

Rasklopimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narančasto nebo, narančasto more, narančasta deva.

Analitička provjera rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednadžbi i uz pomoć točkasti proizvod vektora zaključujemo da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Pronađite točku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku je nekoliko radnji, pa je prikladno rasporediti rješenje točku po točku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od točke do linije

Pred nama je ravan pojas rijeke i naš je zadatak da do nje stignemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta bit će kretanje duž okomice. To jest, udaljenost od točke do pravca je duljina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od točke "em" do ravne linije "de".

Udaljenost od točke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od točke do pravca

Riješenje: sve što trebate je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

Odgovor:

Izvršimo crtež:

Udaljenost pronađena od točke do linije točno je duljina crvenog segmenta. Izradite li crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrimo još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, iznijet ću algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku presjeka pravih: .

Obje su radnje detaljno obrađene u ovoj lekciji.

3) Točka je središnja točka segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. Po formule za koordinate sredine segmenta pronaći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali u tornju puno pomaže mikrokalkulator koji vam omogućuje brojanje obični razlomci. Savjetovao sam mnogo puta i ponovno ću preporučiti.

Kako pronaći udaljenost između dva paralelna pravca?

Primjer 9

Pronađite udaljenost između dva paralelna pravca

Ovo je još jedan primjer za neovisno rješenje. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami pogoditi, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Kut između dvije linije

Koji god kut, onda dovratak:


U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANJI kut, iz čega automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed odn suprotno orijentirani grimizni kut.

Ako su linije okomite, tada se za kut između njih može uzeti bilo koji od 4 kuta.

Kako se kutovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" kuta je temeljno važan. Drugo, negativno orijentirani kut je napisan sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći kutove lako može dobiti negativan rezultat, a to vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut sa predznakom minus nije ništa lošiji, a ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan kut potrebno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći kut između dvije linije? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između linija

Riješenje i Metoda prva

Razmotrite dvije linije dano jednadžbama općenito:

Ako ravno ne okomito, onda orijentiran kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratite pažnju na nazivnik - to je upravo to skalarni proizvod vektori smjera ravnih linija:

Ako , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni i linije će biti okomite. Zato je napravljena rezerva na neokomitost linija u formulaciji.

Na temelju prethodno navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod usmjeravajućih vektora pravih linija:
pa linije nisu okomite.

2) Kut između linija nalazimo po formuli:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam kut. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka (vidi sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da se kut pokazao negativnom orijentacijom, jer je u uvjetu problema prvi broj ravna crta i upravo od nje je počelo "uvijanje" kuta.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti ravne linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , i uzeti koeficijente iz prve jednadžbe . Ukratko, morate početi s izravnim .