Napišite parametarsku jednadžbu za površinu. Parametarske jednadžbe pravca na ravnini: opis, primjeri, rješavanje problema

Do sada smo razmatrali jednadžbu površine u prostoru s koordinatnim osima X, Y, Z u eksplicitnom ili implicitnom obliku

Jednadžbe površine mogu se napisati u parametarskom obliku, izražavajući koordinate njezinih točaka kao funkcije dvaju neovisnih varijabilnih parametara i

Pretpostavit ćemo da su ove funkcije jednoznačne, kontinuirane i imaju kontinuirane derivacije do drugog reda u određenom rasponu parametara

Ako ove koordinatne izraze zamijenimo kroz u i v u lijeva strana jednadžba (37), tada moramo dobiti identitet s obzirom na u i V. Diferenciranjem tog identiteta s obzirom na nezavisne varijable u i v, imamo

Razmatrajući ove jednadžbe kao dvije homogene jednadžbe s obzirom na i primjenjujući algebarsku lemu spomenutu u , dobivamo

gdje je k neki koeficijent proporcionalnosti.

Pretpostavljamo da su faktor k i barem jedna od razlika na desnim stranama posljednjih formula različiti od nule.

Označimo radi sažetosti napisane tri razlike kako slijedi:

Kao što znate, jednadžba tangentne ravnine na našu površinu u nekoj točki (x, y, z) može se napisati kao

ili, zamjenjujući s proporcionalnim veličinama, možemo prepisati jednadžbu tangentne ravnine na sljedeći način:

Poznato je da su koeficijenti u ovoj jednadžbi proporcionalni kosinusima smjera normale na površinu.

Položaj varijabilne točke M na plohi karakteriziraju vrijednosti parametara u i v, a ti se parametri obično nazivaju koordinate točaka plohe ili koordinatni parametri.

Davanjem konstantnih vrijednosti parametara u i v dobivamo dvije familije linija na plohi koje ćemo zvati koordinatne linije plohe: koordinatne linije po kojima se mijenja samo v i koordinatne linije po kojima se mijenja samo u. Ove dvije obitelji koordinatnih linija daju koordinatnu mrežu na površini.

Kao primjer, razmotrite sferu sa središtem u ishodištu i radijusom R. Parametarske jednadžbe takve sfere mogu se napisati kao

Koordinatne linije u ovom slučaju su, očito, paralele i meridijani naše sfere.

Apstrahirajući se od koordinatnih osi, površinu možemo karakterizirati varijabilnim radijus-vektorom koji ide od konstantne točke O do varijabilne točke M naše površine. Parcijalne derivacije ovog radijus-vektora s obzirom na parametre očito će dati vektore usmjerene duž tangenti na koordinatne linije. Komponente ovih vektora duž osi

bit će, prema i stoga, da su koeficijenti u jednadžbi tangentne ravnine (39) komponente vektorskog umnoška. Taj vektorski umnožak je vektor okomit na tangente, tj. vektor usmjeren duž normale površina. Kvadrat duljine ovog vektora očito je izražen skalarnim umnoškom vektora i njega samog, odnosno, drugim riječima, kvadratom ovog vektora 1). U nastavku će značajnu ulogu imati jedinični normalni vektor na površinu, koji očito možemo napisati u obliku

Promjenom redoslijeda faktora u pisanom vektorskom produktu dobivamo suprotan smjer vektora (40). U nastavku ćemo na određeni način fiksirati redoslijed faktora, tj. na određeni način ćemo fiksirati smjer normale na plohu.

Uzmimo neku točku M na plohi i povucimo kroz tu točku krivulju (L) koja leži na plohi. Ova krivulja, općenito govoreći, nije koordinatna linija i duž nje će se mijenjati i H i v. Smjer tangente na ovu krivulju bit će određen vektorom ako pretpostavimo da je duž (L) u blizini točke parametar v funkcija čija je derivacija. Iz ovoga se može vidjeti da je smjer tangente na krivulju nacrtan na površini u nekoj točki M ove krivulje potpuno karakteriziran vrijednošću u toj točki. Prilikom definiranja tangentne ravnine i izvođenja njezine jednadžbe (39), pretpostavili smo da funkcije (38) u razmatranoj točki i njezinom susjedstvu imaju kontinuirane parcijalne derivacije i da je barem jedan od koeficijenata jednadžbe (39) različit od nule na razmatrana točka.

je opća jednadžba ravnine u prostoru

Vektor normalne ravnine

Normalni vektor ravnine je vektor različit od nule okomit na svaki vektor koji leži u ravnini.

Jednadžba ravnine koja prolazi točkom sa zadanim normalnim vektorom

je jednadžba ravnine koja prolazi točkom M0 sa zadanim normalnim vektorom

Vektori pravca u ravnini

Dva nekolinearna vektora paralelna s ravninom nazivamo vektorima smjera ravnine

Parametarske jednadžbe ravnine

– parametarska jednadžba ravnine u vektorskom obliku

je parametarska jednadžba ravnine u koordinatama

Jednadžba ravnine kroz zadanu točku i dva vektora smjera

-fiksna točka

samo točka lol

su komplanarne, pa je njihov mješoviti umnožak 0.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke

– jednadžba ravnine kroz tri točke

Jednadžba ravnine u segmentima

- jednadžba ravnine u segmentima

Dokaz

Da bismo to dokazali, koristimo se činjenicom da naša ravnina prolazi kroz A, B, C i vektor normale

Zamijenimo koordinate točke i vektor n u jednadžbu ravnine s normalnim vektorom

Sve podijeli i uzmi

Tako to ide.

Jednadžba normalne ravnine

je kut između ox i vektora normale na ravninu koja izlazi iz O.

je kut između oy i vektora normale na ravninu koja izlazi iz O.

je kut između oz i vektora normale na ravninu koja izlazi iz O.

je udaljenost od ishodišta koordinata do ravnine.

Dokazi ili takvo sranje

Znak je nasuprot D.

Slično za ostale kosinuse. Kraj.

Udaljenost od točke do ravnine

Točka S, ravnina

je orijentirana udaljenost od točke S do ravnine

Ako , tada S i O leže na suprotnim stranama ravnine

Ako , tada S i O leže na istoj strani

Pomnožite s n

Međusobni raspored dviju linija u prostoru

Kut između ravnina

Na sjecištu se formiraju dva para okomitih diedarskih kutova, a najmanji se naziva kut između ravnina.

Pravac u prostoru

Linija u prostoru može se dati kao

Presjek dviju ravnina:

Parametarske jednadžbe pravca

- parametarska jednadžba pravca u vektorskom obliku

je parametarska jednadžba pravca u koordinatama

Kanonička jednadžba

je kanonska jednadžba ravne linije.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke

– kanonska jednadžba pravca u vektorskom obliku;

Međusobni raspored dviju linija u prostoru

Međusobni raspored pravca i ravnine u prostoru

Kut između pravca i ravnine

Udaljenost od točke do pravca u prostoru

a je vektor smjera naše ravne linije.

je proizvoljna točka koja pripada zadanom pravcu

- točka do koje tražimo udaljenost.

Udaljenost između dviju linija koje se sijeku

Udaljenost između dviju paralelnih pravaca

M1 - točka koja pripada prvoj liniji

M2 je točka koja pripada drugom pravcu

Krivulje i površine drugog reda

Elipsa je skup točaka u ravnini, čiji je zbroj udaljenosti do dvije zadane točke (žarišta) konstantna vrijednost.

Kanonska jednadžba elipse

Zamijenimo ga s

Podijelite po

Svojstva elipse

Sjecište s koordinatnim osima

Simetrija o

1. Porijeklo

Elipsa je krivulja koja leži u ograničenom dijelu ravnine

Elipsa se može dobiti iz kruga njegovim rastezanjem ili stiskanjem

Parametarska jednadžba elipse:

- redatelji

Hiperbola

Hiperbola je skup točaka u ravnini za koje je modul razlike udaljenosti do 2 zadane točke (žarišta) konstantna vrijednost (2a)

Radimo sve isto kao i s elipsom, dobivamo

Zamijeniti s

Podijelite po

Svojstva hiperbole

;

- redatelji

Asimptota

Asimptota je ravna linija kojoj se krivulja neograničeno približava, spuštajući se u beskonačnost.

Parabola

svojstva parabota

Odnos između elipse, hiperbole i parabole.

Odnos između ovih krivulja ima algebarsko objašnjenje: sve su dane jednadžbama drugog stupnja. U bilo kojem koordinatnom sustavu jednadžbe ovih krivulja imaju oblik: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, gdje su a, b, c, d, e, f brojevi

Transformiranje pravokutnih kartezijskih koordinatnih sustava

Paralelna translacija koordinatnog sustava

–O’ u starom koordinatnom sustavu

– koordinate točke u starom koordinatnom sustavu

-koordinate točke u novi sustav koordinate

Koordinate točaka u novom koordinatnom sustavu.

Rotacija u Kartezijevom koordinatnom sustavu

– novi koordinatni sustav

Matrica prijelaza sa stare baze na novu

- (ispod prvog stupca ja’ , pod drugom j’ ) matrica prijelaza iz baze ja,j na osnovu ja’ ,j’

Opći slučaj

1 opcija

1. Rotacija koordinatnog sustava

opcija 2

1. Rotacija koordinatnog sustava

   Paralelni prijevod podrijetla

Opća jednadžba pravaca drugog reda i njezino svođenje na kanonski oblik

– opći oblik jednadžbe krivulje drugog reda

Klasifikacija krivulja drugog reda

Elipsoid

Presjeci elipsoida

- elipsa

- elipsa

Elipsoidi revolucije

Elipsoidi revolucije su spljošteni ili izduženi sferoidi, ovisno o tome oko čega rotiramo.

Jednopojasni hiperboloid

Presjeci jednotračnog hiperboloida

– hiperbola s pravom osi oy

je hiperbola s pravom x-osi

Ispada elipsa za bilo koji h. Tako to ide.

Jednotračni hiperboloidi revolucije

Jednolisni hiperboloid revolucije može se dobiti rotacijom hiperbole oko svoje zamišljene osi.

Dvolisni hiperboloid

Odsječci dvolisnog hiperboloida

- hiperbola s radnjom. axisoz

je hiperbola s pravom osi oz

Konus

- par linija koje se sijeku

- par linija koje se sijeku

Eliptični paraboloid

- parabola

- parabola

Rotacije

Ako je , tada je eliptični paraboloid kružna ploha nastala rotacijom parabole oko svoje osi simetrije.

Hiperbolički paraboloid

Parabola

- parabola

h>0 hiperbola s realnom osi paralelnom s x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Pod cilindrom podrazumijevamo površinu koja će se dobiti kada se pravac pomiče u prostoru, a koja ne mijenja svoj smjer, ako se pravac pomiče u odnosu na oz, tada je jednadžba valjka jednadžba presjeka ravninom xoy.

Eliptični cilindar

hiperbolički cilindar

parabolični cilindar

Pravolinijski generatori površina drugog reda

Pravci koji u potpunosti leže na plohi nazivaju se pravolinijskim generatorima plohe.

Površine revolucije

Jebi se lol

Prikaz

prikazivanjem Nazovimo pravilo prema kojem je svaki element skupa A pridružen jednom ili više elemenata skupa B. Ako je svakom dodijeljen jedan element skupa B, tada se poziva preslikavanje nedvosmislen, inače dvosmislen.

Transformacija skup se naziva jedan-na-jedan preslikavanje skupa na sebe

Injekcija

Injekcija ili preslikavanje jedan na jedan skupa A u skup B

(različiti elementi od a odgovaraju različitim elementima od B) na primjer y=x^2

surjekcija

Surjekcija ili preslikavanje skupa A na skup B

Za svaki B postoji barem jedan A (na primjer, sinus)

Svaki element skupa B odgovara samo jednom elementu skupa A. (na primjer, y=x)

Svaka jednadžba prvog stupnja s obzirom na koordinate x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

definira ravninu, i obrnuto: svaka ravnina se može prikazati jednadžbom (3.1), koja se naziva jednadžba ravnine.

Vektor n(A, B, C) okomita na ravninu naziva se normalni vektor avionima. U jednadžbi (3.1) koeficijenti A, B, C nisu istovremeno jednaki 0.

Posebni slučajevi jednadžbe (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ravnina prolazi kroz ishodište.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ravnina je paralelna s osi Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ravnina prolazi kroz os Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ravnina je paralelna s ravninom Oyz.

Jednadžbe koordinatne ravnine: x = 0, y = 0, z = 0.

Pravac u prostoru može se dati:

1) kao linija presjeka dviju ravnina, tj. sustav jednadžbi:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) njegove dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je pravac koji prolazi kroz njih dan jednadžbama:

3) točku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) koja joj pripada i vektor a(m, n, p), s kolinearni. Tada je ravna crta određena jednadžbama:

Jednadžbe (3.4) nazivaju se kanonske jednadžbe pravca.

Vektor a nazvao ravna vektorska ravna.

Parametarske jednadžbe pravca dobivamo izjednačavanjem svake od relacija (3.4) s parametrom t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3.5)

Rješavanje sustava (3.2) kao sustava linearnih jednadžbi s nepoznanicama x i g, dolazimo do jednadžbi ravne linije u projekcije Ili do reducirane jednadžbe ravnih linija :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Od jednadžbi (3.6) može se prijeći na kanonske jednadžbe, nalazeći z iz svake jednadžbe i izjednačavanje dobivenih vrijednosti:

Može se prijeći s općih jednadžbi (3.2) na kanonske jednadžbe na drugi način, ako se pronađe bilo koja točka ovog pravca i njegov vektor smjera n= [n 1 , n 2], gdje n 1 (A1, B1, C1) i n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - normalni vektori zadanih ravnina. Ako jedan od nazivnika m, n ili R u jednadžbama (3.4) ispada da je jednak nuli, tada brojnik odgovarajućeg razlomka mora biti jednak nuli, tj. sustav

je ekvivalentan sustavu ; takav je pravac okomit na x-os.

Sustav je ekvivalentan sustavu x = x 1 , y = y 1 ; pravac je paralelan s osi Oz.

Primjer 1.15. Napišite jednadžbu ravnine znajući da točka A (1, -1,3) služi kao osnovica okomice povučene iz ishodišta na tu ravninu.

Riješenje. Prema uvjetu problema, vektor OA(1,-1,3) je normalni vektor ravnine, tada se njegova jednadžba može napisati kao
x-y+3z+D=0. Zamjenom koordinata točke A(1,-1,3) koja pripada ravnini, nalazimo D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Dakle x-y+3z-11=0.

Primjer 1.16. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz os Oz i čini kut od 60 stupnjeva s ravninom 2x+y-z-7=0.

Riješenje. Ravnina koja prolazi kroz os Oz dana je jednadžbom Ax+By=0, gdje A i B ne nestaju u isto vrijeme. Neka B nije
je 0, A/Bx+y=0. Prema formuli za kosinus kuta između dviju ravnina

Rješavajući kvadratnu jednadžbu 3m 2 + 8m - 3 = 0, nalazimo njezine korijene
m 1 = 1/3, m 2 = -3, odakle dobivamo dvije ravnine 1/3x+y = 0 i -3x+y = 0.

Primjer 1.17. Napiši kanonske jednadžbe pravca:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Riješenje. Kanonske jednadžbe ravne linije imaju oblik:

gdje m, n, str- koordinate vektora usmjeravanja pravca, x1, y1, z1- koordinate bilo koje točke koja pripada liniji. Pravac je definiran kao linija presjeka dviju ravnina. Da bi se našla točka koja pripada pravoj liniji, jedna od koordinata je fiksna (najlakše je staviti npr. x=0) i dobiveni sustav se rješava kao sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Dakle, neka je x=0, tada je y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, odakle je y=-1, z=1. Pronašli smo koordinate točke M (x 1, y 1, z 1) koja pripada ovom pravcu: M (0,-1,1). Usmjeravajući vektor ravne crte lako je pronaći, poznavajući normalne vektore izvornih ravnina n 1 (5,1,1) i n 2(2,3,-2). Zatim

Kanonske jednadžbe pravca su: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Vektorske i parametarske jednadžbe ravnine. Neka su r 0 i r radijus vektori točaka M 0 odnosno M. Tada je M 0 M = r - r 0 , a uvjet (5.1) da točka M pripada ravnini koja kroz točku M 0 prolazi okomito vektor različit od nule n (Sl. 5.2, a), može se napisati pomoću točkasti proizvod kao omjer

n(r - r 0) = 0, (5.4)

koji se zove vektorska jednadžba ravnine.

Fiksna ravnina u prostoru odgovara skupu vektora paralelnih s njom, tj. prostor V2. Birajmo u ovom prostoru osnova e 1 , e 2 , tj. par nekolinearnih vektora paralelnih s razmatranom ravninom i točkom M 0 na ravnini. Ako točka M pripada ravnini, to je ekvivalentno činjenici da je vektor M 0 M paralelan s njom (sl. 5.2, b), tj. pripada naznačenom prostoru V 2 . To znači da postoji dekompozicija vektora M 0 M u bazi e 1 , e 2 , tj. postoje brojevi t 1 i t 2 za koje vrijedi M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . Zapisujući lijevu stranu ove jednadžbe u smislu radijus vektora r 0 i r točaka M 0 odnosno M, dobivamo vektorska parametarska jednadžba ravnine

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)

Preći s jednakosti vektora u (5.5) na njihovu jednakost koordinate, označeno s (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) koordinate točke M 0 , M i kroz (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x ; e 2y ; e 2z ) koordinate vektora e 1 , e 2 . Izjednačavanjem istoimenih koordinata vektora r i r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 dobivamo parametarske jednadžbe ravnine

Ravnina koja prolazi kroz tri točke. Pretpostavimo da tri točke M 1 , M 2 i M 3 ne leže na jednoj ravnici. Tada postoji jedinstvena ravnina π kojoj te točke pripadaju. Nađimo jednadžbu te ravnine formuliranjem kriterija pripadnosti proizvoljne točke M zadanoj ravnini π. Zatim taj kriterij zapisujemo u koordinatama točaka. Navedeni kriterij je opis ravnine π kao skupa onih točaka M za koje su vektori M 1 M 2 , M 1 M 3 i M 1 M komplanarni. Kriterij komplanarnosti triju vektora je njihova jednakost nuli mješoviti proizvod(vidi 3.2). Mješoviti proizvod izračunava se pomoću determinanta trećeg reda, čiji nizovi su koordinate vektora u ortonormirana baza. Prema tome, ako su (x i; yx i; Zx i) koordinate točaka Mx i, i = 1, 2, 3 i (x; y; z) koordinate točke M, tada je M 1 M = (x-x 1; y-y 1 ; z-z 1 ), M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ; y 2 ​​​​-y 1 ; z 2 -z 1 ), M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) i uvjet jednakosti nuli mješovitog produkta ovih vektora ima oblik

Računajući determinantu, dobivamo linearni u odnosu na x, y, z jednadžba, koji je opću jednadžbu željene ravnine. Na primjer, ako proširiti determinantu duž 1. reda, onda dobivamo

Ta se jednakost, nakon izračuna determinanti i otvaranja zagrada, pretvara u opću jednadžbu ravnine.

Imajte na umu da se koeficijenti varijabli u posljednjoj jednadžbi podudaraju s koordinatama vektorski proizvod M 1 M 2 × M 1 M 3 . Ovaj križni umnožak, budući da je umnožak dvaju nekolinearnih vektora paralelnih s ravninom π, daje vektor različit od nule okomit na π, tj. nju normalni vektor. Stoga je pojava koordinata vektorskog umnoška kao koeficijenata opće jednadžbe ravnine sasvim prirodna.

Razmotrimo sljedeći poseban slučaj ravnine koja prolazi kroz tri točke. Točke M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, ne leže na jednoj ravnoj liniji i određuju ravninu koja siječe segmente na koordinatnim osima duljina različita od nule (sl. 5.3). Ovdje se pod "duljinama segmenata" podrazumijevaju vrijednosti različitih koordinata radijus vektora točaka M i , i = 1,2,3.

Kako je M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), jednadžba (5.7) ima oblik

Nakon što smo izračunali determinantu, nalazimo bc(x - a) + acy + abz = 0, dobivenu jednadžbu podijelimo s abc i pomaknemo slobodni član na desnu stranu,

x/a + y/b + z/c = 1.

Ova se jednadžba zove jednadžba ravnine u segmentima.

Primjer 5.2. Nađimo opću jednadžbu ravnine koja prolazi točkom s koordinatama (1; 1; 2) i od koordinatnih osi odsijeca odsječke iste duljine.

Jednadžba ravnine u segmentima, pod uvjetom da iz koordinatnih osi reže segmente jednake duljine, recimo a ≠ 0, ima oblik x/a + y/b + z/c = 1. Ova jednadžba mora zadovoljiti koordinate ( 1; 1; 2) poznata točka na ravnini, tj. vrijedi jednakost 4/a = 1. Dakle, a = 4 i tražena jednadžba je x + y + z - 4 = 0.

Normalna jednadžba ravnine. Promotrimo neku ravninu π u prostoru. Popravljamo za nju jedinica normalan vektor n usmjereno od podrijetlo"prema ravnini", a s p označimo udaljenost od ishodišta O koordinatnog sustava do ravnine π (sl. 5.4). Ako ravnina prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava, tada je p = 0, a kao pravac vektora normale n može se izabrati bilo koji od dva moguća pravca.

Ako točka M pripada ravnini π, onda je to ekvivalentno činjenici da vektorska ortogonalna projekcija OM na smjer vektor n je jednak p, tj. uvjet nOM = pr n OM = p je zadovoljen, jer duljina vektora n je jednako jedan.

Označimo koordinate točke M s (x; y; z) i neka je n = (cosα; cosβ; cosγ) (podsjetimo se da je za jedinični vektor n njegov kosinus smjera cosα, cosβ, cosγ su također njegove koordinate). Zapisujući skalarni produkt u jednakosti nOM = p u koordinatnom obliku, dobivamo normalna jednadžba ravnine

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

Slično kao u slučaju pravca u ravnini, opća jednadžba ravnine u prostoru može se transformirati u njezinu normalnu jednadžbu dijeljenjem s faktorom normalizacije.

Za jednadžbu ravnine Ax + By + Cz + D = 0, faktor normalizacije je broj ±√(A 2 + B 2 + C 2), čiji je predznak odabran suprotno od predznaka D. U apsolutnoj vrijednosti, faktor normalizacije je duljina vektora normale (A; B ; C) ravnine, a predznak odgovara željenom smjeru jediničnog vektora normale ravnine. Ako ravnina prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava, tj. D = 0, tada se predznak normalizirajućeg faktora može odabrati bilo kojim predznakom.

Jedna od podtočaka teme “Jednadžba pravca na ravnini” je pitanje sastavljanja parametarskih jednadžbi pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. U članku u nastavku raspravlja se o principu sastavljanja takvih jednadžbi za određene poznate podatke. Pokažimo kako prijeći s parametarskih jednadžbi na jednadžbe drugačijeg oblika; Analizirajmo rješenja tipičnih problema.

Određeni pravac može se definirati određivanjem točke koja pripada tom pravcu i vektora smjera za pravac.

Pretpostavimo da nam je zadan pravokutni koordinatni sustav O x y . Također je dana ravna linija a, koja označava točku M 1 koja leži na njoj (x 1, y 1) i vektor smjera dane ravne linije. a → = (a x , a y) . Dajemo opis zadane linije a pomoću jednadžbi.

Koristimo proizvoljnu točku M (x, y) i dobijemo vektor M 1 M →; izračunajte njegove koordinate iz koordinata početne i krajnje točke: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Opišimo rezultat: pravac je zadan skupom točaka M (x, y), prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i ima vektor smjera a → = (a x , a y) . Navedeni skup definira ravnu liniju samo kada su vektori M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) i a → = (a x , a y) kolinearni.

Postoji nužan i dovoljan uvjet za kolinearnost vektora, što se u ovom slučaju za vektore M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) i a → = (a x , a y) može napisati kao jednadžba:

M 1 M → = λ · a → , gdje je λ neki realni broj.

Definicija 1

Jednadžba M 1 M → = λ · a → naziva se vektorsko-parametarska jednadžba pravca.

U koordinatnom obliku to izgleda ovako:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Jednadžbe dobivenog sustava x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ nazivamo parametarskim jednadžbama pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. Suština naziva je sljedeća: koordinate svih točaka ravne linije mogu se odrediti parametarskim jednadžbama na ravnini oblika x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ kada se ponavljaju sve stvarne vrijednosti parametra λ

Prema gore navedenom, parametarske jednadžbe pravca na ravnini x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ određuju pravac koji je zadan u pravokutnom koordinatnom sustavu, prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i ima vektor vodič a → = (a x , a y) . Dakle, ako su zadane koordinate određene točke pravca i koordinate njegovog usmjeravajućeg vektora, tada je moguće odmah napisati parametarske jednadžbe zadanog pravca.

Primjer 1

Potrebno je sastaviti parametarske jednadžbe pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu, ako je zadana točka M 1 (2, 3) koja joj pripada i njen vektor smjera a → = (3 , 1) .

Riješenje

Na temelju početnih podataka dobivamo: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Parametarske jednadžbe će izgledati ovako:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Jasno ilustrirajmo:

Odgovor: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Treba uočiti: ako je vektor a → = (a x , a y) služi kao usmjerivač pravca a, a točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) pripadaju ovom pravcu, tada se može odrediti postavljanjem parametarskih jednadžbi oblika : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , kao i ova opcija: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Na primjer, dan nam je vektor usmjeravanja ravne linije a → \u003d (2, - 1), kao i točke M 1 (1, - 2) i M 2 (3, - 3) koje pripadaju ovoj liniji. Tada je pravac određen parametarskim jednadžbama: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ili x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Treba obratiti pozornost i na sljedeću činjenicu: ako a → = (a x , a y) je vektor usmjeravanja pravca a , tada će svaki od vektora također biti njegov vektor usmjeravanja μ a → = (μ a x , μ a y) , gdje je μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Dakle, pravac a na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu može se definirati parametarskim jednadžbama: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ za bilo koju vrijednost μ različitu od nule.

Pretpostavimo da je pravac a dan parametarskim jednadžbama x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Zatim a → = (2 , - 5) - vektor smjera ove linije. I također bilo koji od vektora μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 postat će vektor smjera za danu ravnu liniju. Radi jasnoće, razmotrite određeni vektor - 2 · a → = (- 4 , 10) , odgovara vrijednosti μ = - 2 . U tom slučaju zadanu ravnu liniju također možemo odrediti parametarskim jednadžbama x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Prijelaz s parametarskih jednadžbi pravca na ravnini na druge jednadžbe zadanog pravca i obrnuto

U rješavanju nekih problema korištenje parametarskih jednadžbi nije najbolja opcija, tada postaje potrebno prevesti parametarske jednadžbe ravne linije u jednadžbe ravne crte drugog tipa. Pogledajmo kako to učiniti.

Parametarske jednadžbe pravca x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ odgovarat će kanonskoj jednadžbi pravca na ravnini x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Rješavamo svaku od parametarskih jednadžbi s obzirom na parametar λ, izjednačavamo desne dijelove dobivenih jednakosti i dobivamo kanoničku jednadžbu zadane ravnice:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

U ovom slučaju ne bi trebalo biti neugodno ako x ili y budu jednaki nuli.

Primjer 2

Potrebno je izvršiti prijelaz s parametarskih jednadžbi pravca x = 3 y = - 2 - 4 · λ na kanoničku jednadžbu.

Riješenje

Zadane parametarske jednadžbe zapisujemo u sljedećem obliku: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Izražavamo parametar λ u svakoj od jednadžbi: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Izjednačimo desne dijelove sustava jednadžbi i dobijemo traženu kanoničku jednadžbu pravca u ravnini:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Odgovor: x - 3 0 = y + 2 - 4

U slučaju kada je potrebno napisati jednadžbu pravca oblika A x + B y + C = 0 , dok su date parametarske jednadžbe pravca na ravnini, potrebno je prvo napraviti prijelaz na kanoničku jednadžbu, a zatim na opću jednadžbu pravca. Zapišimo cijeli niz radnji:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Primjer 3

Potrebno je napisati opću jednadžbu pravca ako su zadane parametarske jednadžbe koje ga definiraju: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Riješenje

Prvo, napravimo prijelaz na kanoničku jednadžbu:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Dobiveni udio identičan je jednakosti - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otvorimo zagrade i dobijemo opću jednadžbu pravca: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Odgovor: 3x + 2y + 3 = 0

Slijedeći gornju logiku radnji, da bi se dobila jednadžba pravca s nagibom, jednadžba pravca u segmentima ili normalna jednadžba pravca, potrebno je dobiti opću jednadžbu pravca , i od njega izvršiti daljnji prijelaz.

Sada razmotrite obrnuto djelovanje: pisanje parametarskih jednadžbi ravne crte za različiti zadani oblik jednadžbi ove ravne crte.

Najlakši prijelaz: s kanonske jednadžbe na parametarske. Neka je dana kanonska jednadžba oblika: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Svaku relaciju ove jednakosti uzimamo jednakom parametru λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Riješimo dobivene jednadžbe za varijable x i y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Primjer 4

Parametarske jednadžbe pravca potrebno je napisati ako je poznata kanonska jednadžba pravca na ravnini: x - 2 5 = y - 2 2

Riješenje

Izjednačimo dijelove poznate jednadžbe s parametrom λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Iz dobivene jednakosti dobivamo parametarske jednadžbe pravca: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Odgovor: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Kada je potrebno prijeći na parametarske jednadžbe sa zadane opće jednadžbe pravca, jednadžbe pravca s nagibom ili jednadžbe pravca u segmentima, potrebno je izvornu jednadžbu dovesti do kanonsku, a zatim napraviti prijelaz na parametarske jednadžbe.

Primjer 5

Potrebno je zapisati parametarske jednadžbe pravca s poznatom općom jednadžbom ovog pravca: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Riješenje

Zadanu opću jednadžbu transformiramo u jednadžbu kanonskog oblika:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Oba dijela jednakosti izjednačimo s parametrom λ i dobijemo tražene parametarske jednadžbe pravca:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Odgovor: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Primjeri i zadaci s parametarskim jednadžbama pravca na ravnini

Razmotrimo najčešće tipove problema koji koriste parametarske jednadžbe pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu.

1. U zadacima prvog tipa zadane su koordinate točaka, neovisno o tome pripadaju li pravoj liniji opisanoj parametarskim jednadžbama.

Rješenje takvih problema temelji se na sljedećoj činjenici: brojevi (x, y) određeni iz parametarskih jednadžbi x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ za neku realnu vrijednost λ su koordinate a točka koja pripada pravoj liniji, koja je opisana ovim parametarskim jednadžbama.

Primjer 6

Potrebno je odrediti koordinate točke koja leži na ravnoj liniji zadanoj parametarskim jednadžbama x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ za λ = 3 .

Riješenje

Supstituiramo poznatu vrijednost λ = 3 u zadane parametarske jednadžbe i izračunavamo željene koordinate: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Odgovor: 1 1 2 , 5

Moguć je i sljedeći problem: neka je na ravnini zadana neka točka M 0 (x 0, y 0) u pravokutnom koordinatnom sustavu i potrebno je utvrditi pripada li ta točka pravcu opisanom parametarskim jednadžbama x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Da bi se riješio takav problem, potrebno je zamijeniti koordinate zadane točke u poznate parametarske jednadžbe pravca. Ako se utvrdi da je moguća takva vrijednost parametra λ = λ 0 u kojoj će obje parametarske jednadžbe biti istinite, tada zadana točka pripada zadanoj ravnici.

Primjer 7

Daju se bodovi M 0 (4, - 2) i N 0 (- 2, 1). Potrebno je utvrditi pripadaju li pravoj liniji definiranoj parametarskim jednadžbama x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Riješenje

Zamijenimo koordinate točke M 0 (4, - 2) u zadane parametarske jednadžbe:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Zaključujemo da točka M 0 pripada zadanom pravcu, jer odgovara vrijednosti λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Očito je da ne postoji takav parametar λ kojem će odgovarati točka N 0 . Drugim riječima, zadani pravac ne prolazi kroz točku N 0 (- 2 , 1) .

Odgovor: točka M 0 pripada zadanom pravcu; točka N 0 ne pripada zadanom pravcu.

1. U zadacima drugog tipa potrebno je sastaviti parametarske jednadžbe pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. Najjednostavniji primjer takvog problema (s poznatim koordinatama točke pravca i vektora smjera) razmatran je gore. Pogledajmo sada primjere u kojima prvo treba pronaći koordinate vektora pravca, a zatim zapisati parametarske jednadžbe.

Primjer 8

Dana je točka M 1 1 2 , 2 3 . Potrebno je sastaviti parametarske jednadžbe pravca koji prolazi kroz ovu točku i paralelnog pravca x 2 \u003d y - 3 - 1.

Riješenje

Prema uvjetu zadatka, ravna linija, čiju jednadžbu trebamo prijeći, paralelna je s ravnom linijom x 2 \u003d y - 3 - 1. Tada se kao vektor usmjerivača pravca koji prolazi kroz zadanu točku može koristiti vektor usmjerivača pravca x 2 = y - 3 - 1 koji zapisujemo u obliku: a → = (2, - 1) . Sada su poznati svi potrebni podaci za sastavljanje željenih parametarskih jednadžbi:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Odgovor: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Primjer 9

Dana je točka M 1 (0, - 7). Potrebno je napisati parametarske jednadžbe pravca koji prolazi ovom točkom okomito na pravac 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Riješenje

Kao vektor usmjerivača pravca, čiju jednadžbu treba sastaviti, moguće je uzeti vektor normale pravca 3 x - 2 y - 5 = 0 . Njegove koordinate su (3 , - 2) . Zapisujemo tražene parametarske jednadžbe pravca:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Odgovor: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. U problemima trećeg tipa potrebno je napraviti prijelaz s parametarskih jednadžbi zadane ravne linije na druge vrste jednadžbi koje ga određuju. Gore smo razmotrili rješenje takvih primjera, dat ćemo još jedan.

Primjer 10

Zadana je ravna crta na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu definirana parametarskim jednadžbama x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Potrebno je pronaći koordinate nekog vektora normale te linije.

Riješenje

Da bismo odredili željene koordinate vektora normale, napravit ćemo prijelaz s parametarskih jednadžbi na opću jednadžbu:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koeficijenti varijabli x i y daju nam tražene koordinate vektora normale. Dakle, vektor normale pravca x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ima koordinate 1 , 3 4 .

Odgovor: 1 , 3 4 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter