Monge metoda je projiciranje objekata. Mongeova metoda, složeno crtanje

Mongeova metoda koristi metodu pravokutnih projekcija ili metodu ortogonalne projekcije geometrijske slike (točka, prava, ravnina, ploha) na dvije međusobno okomite i međusobno povezane projekcijske ravnine sa zrakama okomitim na te projekcijske ravnine, to je suština Monge metoda:

Riža. osamnaest Mongeova metoda: H - horizontalna projekcijska ravnina; V- frontalna ravnina projekcije; W - ravnina projekcije profila.

Linije presjeka projekcijskih ravnina nazivaju se os projekcije ili koordinatna os:

A`- projekcija točke A na ravninu H (horizontalna projekcija točke A);

A "- projekcija točke A na ravninu V (frontalna projekcija točke A);

A "`- projekcija točke A na ravninu W (profilna projekcija točke A).

Metode projekcije pomoću crteža s jednom slikom omogućuju rješavanje izravnog problema (tj. izgradnju projekcije na zadanom originalu). Međutim, inverzni problem (tj. reproducirati izvornik projekcijom) ne može se jednoznačno riješiti. Ovaj problem ima beskonačan broj rješenja, jer svaka točka Ab ravnine projekcija b može se smatrati projekcijom bilo koje točke projektirajuće zrake SAb koja prolazi kroz Ab.

Dakle, razmatrani crteži s jednom slikom nemaju svojstvo reverzibilnosti.

Da bi se dobili reverzibilni crteži s jednom slikom, oni su dopunjeni potrebnim podacima.

Postoje različiti načini da to dodate. Na primjer, crteži s brojčanim oznakama.

Metoda se sastoji u tome da se uz projekciju točke A1 postavlja visina točke, t.j. njegova udaljenost od ravnine projekcije. Također postavite ljestvicu.

Ova metoda se koristi u građevinarstvu, arhitekturi, geodeziji itd. Međutim, nije univerzalna za izradu crteža složenih prostornih oblika.

Riža. 19

Godine 1798., francuski geometar-inženjer Gaspard Monge, sažimajući teoretsko znanje i iskustvo stečeno u to vrijeme, po prvi je put dao znanstveno opravdanje za opću metodu konstruiranja slika, predlažući da se razmotri ravni crtež koji se sastoji od dvije projekcije, kao rezultat kombiniranja dviju međusobno povezanih međusobno okomitih ravnina s projekcijama ravnine.

Odatle dolazi princip konstruiranja crteža, nazvan Mongeova metoda, za koju je gore rečeno da projekcija točke ne određuje položaj točke u prostoru, a da bi se taj položaj uspostavio, ima projekciju točka, potrebni su dodatni uvjeti. Na primjer, dana je pravokutna projekcija točke na horizontalnu projekcijsku ravninu, a udaljenost ove točke od ravnine označena je brojčanom oznakom; projekcijska ravnina se uzima kao "ravnina nulte razine", a brojčana oznaka se smatra pozitivnom ako je točka u prostoru iznad ravnine nulte razine, a negativnom ako je točka ispod ove ravnine.

Na tome se temelji metoda projekcija s brojčanim oznakama").

U sljedećem prikazu određivanje položaja točaka u prostoru provodit će se prema njihovim pravokutnim projekcijama na dvije ili više projekcijskih ravnina.

Na sl. 20 prikazane su dvije međusobno okomite ravnine. Uzmimo ih kao projekcijske ravnine. Jedan od njih, označen slovom k1, nalazi se vodoravno; drugi, označen slovom i2, je okomit. Ta se ravnina naziva frontalna ravnina projekcija, pl. i, naziva se horizontalna projekcijska ravnina. Projekcijske ravnine Kj i R2 tvore se sa sustavom Kj, R2.

Linija presjeka projekcijskih ravnina naziva se os projekcije. Os projekcija odvaja svaku od ravnina I! a n2 na poluravni. Za ovu os koristit ćemo oznaku l ili oznaku u obliku razlomka ra2/raj. Od četiri diedralna kuta koju čine projekcijske ravnine, prvi se smatra onaj čija su lica na Sl. 9 ima oznaku I! i i2.

Na sl. Slika 10 prikazuje konstrukciju projekcija neke točke A u sustavu r15 n2. Crtajući iz A okomice na itj i n2, dobivamo projekcije točke A: horizontalnu, označenu A ", i frontalnu, označenu A".

Projiciranje pravca, odnosno okomito na l, odnosno r2, definiraju ravninu okomitu na ravnine i na os projekcija. Ova ravnina na sjecištu s i, i i2 tvori dvije međusobno okomite ravne A "AX i A" AX, koje se sijeku u točki Ax na osi projekcija. Posljedično, dobivaju se projekcije određene točke smještene na ravnim crtama okomitim na os projekcije i sijeku tu os u istoj točki.

Metoda projekcija brojčanim ocjenama nije uključena u program prezentiranog kolegija. Zainteresirani se upućuju na knjige o nacrtnoj geometriji za građevinske i arhitektonske specijalnosti.

Ako su zadane projekcije A" i A" neke točke A (slika 21), onda, povlačeći okomice - kroz A" na kvadrat TCj i kroz A" na kvadrat. l2 - dobivamo određenu točku na sjecištu ovih okomica. Dakle, dvije projekcije točke u potpunosti određuju njezin položaj u prostoru u odnosu na zadani sustav projekcijskih ravnina.

Okretanje kvadrata Kj oko osi projekcije pod kutom od 90 ° (kao što je prikazano na slici 22), dobivamo jednu ravninu - ravninu crteža; projekcije A "i A" bit će smještene na istoj okomici na os projekcija - na komunikacijskoj liniji. Kao rezultat naznačenog poravnanja ravnina i, i l2, dobiva se crtež, poznat kao dijagram ") (Mongeov dijagram). Ovo je crtež u sustavu 2 (ili u sustavu dviju pravokutnih projekcija).

Okrenuvši se dijagramu, izgubili smo prostornu sliku položaja projekcijskih ravnina i točaka. Ali, kao što ćemo kasnije vidjeti, dijagrami pružaju točnost i čitljivost slika uz priličnu jednostavnost konstrukcije. Da bi se na njemu prikazala prostorna slika, potreban je rad mašte.

Budući da je u prisutnosti osi projekcije utvrđen položaj točke A u odnosu na ravnine projekcije Tij i n2, segment A "AX izražava udaljenost točke A od ravnine projekcije l2, a segment A" AX je udaljenost točke A od ravnine projekcije n ^ Također možete odrediti udaljenost točke A od osi projekcije. Izražava se hipotenuzom trokuta izgrađenog duž krakova A "AX i A" AX (slika 23): polažući na dijagram segment A "A", jednak A "AX, okomit na A" AX, dobiti hipotenuzu AAX, koja izražava traženu udaljenost.

Treba obratiti pozornost na potrebu povlačenja crte veze između projekcija točke: samo ako je ta linija, koja međusobno povezuje projekcije, moguće utvrditi položaj točke definirane njima.

U budućnosti ćemo se dogovoriti da Mongeove dijagrame, kao i projekcijske crteže, koji se temelje na Mongeovoj metodi (vidi § 3), jednom riječju nazivamo crtežom i razumijemo ga samo u naznačenom smislu. U ostalim slučajevima, uz korištenje riječi "crtež" bit će priložena odgovarajuća definicija (crtež u perspektivi, aksonometrijski crtež itd.).

Yorige (francuski) - crtež, projekt. Ponekad umjesto "epure" pišu i izgovaraju "epure", što ne odgovara izgovoru riječi yorige, već ženskom rodu ove riječi u francuski.

Informacije i načini građenja, uvjetovani potrebom za ravnim slikama prostornih oblika, gomilaju se postupno od davnina. Dugo su se ravne slike izvodile uglavnom kao vizualne slike. Razvojem tehnologije postavlja se pitanje primjene metode koja osigurava točnost i čitljivost slike, odnosno mogućnost preciznog određivanja položaja svake točke slike u odnosu na druge točke ili ravnine, te jednostavnim metodama određivanja veličina linijskih segmenata i figura, postala je od najveće važnosti. Postupno akumulirana odvojena pravila i tehnike za konstruiranje takvih slika unesena su u sustav i razvijena u radu francuskog znanstvenika Mongea, objavljenom 1799. pod naslovom "Géometrie déscriptive".

Gaspard Monge (1746-1818) ušao je u povijest kao glavni francuski geometar kasnog 18. početkom XIX stoljeća, inženjer, javni i državnik tijekom revolucije 1789.-1794. i vladavine Napoleona I., jednog od utemeljitelja poznate Politehničke škole u Parizu, sudionika radova na uvođenju metričkog sustava mjera i utega. Kao jedan od ministara u revolucionarnoj vladi Francuske, Monge je učinila mnogo da je zaštiti od strane intervencije i da pridobije revolucionarne trupe. Monge nije odmah dobio priliku objaviti svoj rad s prikazom metode koju je razvio. S obzirom na veliku praktičnu važnost ove metode za izradu crteža objekata od vojnog značaja, a ne želeći da Mongeova metoda postane poznata izvan granica Francuske, njezina vlada zabranila je izdavanje knjige. Tek krajem XVIII stoljeća ova je zabrana ukinuta. Nakon obnove Bourbona, Gaspard Monge je bio proganjan, prisiljen na skrivanje i završio je život u siromaštvu. Mongeova metoda - metoda paralelne projekcije (štoviše, pravokutne projekcije se uzimaju na dvije međusobno okomite projekcijske ravnine)- pružajući izražajnost, točnost i čitljivost slika objekata na ravnini, bio je i ostao glavna metoda izrade tehničkih crteža.

Riječ pravokutančesto zamjenjuju riječju ortogonalni, nastao od riječi starogrčkog jezika, koji označava "ravno" i "kut". U nastavku, termin ortogonalne projekcije koristit će se za označavanje sustava pravokutnih projekcija na međusobno okomite ravnine.

Ovaj tečaj se fokusira na pravokutne projekcije. U slučaju korištenja paralelnih kosih projekcija, to će se svaki put specificirati.

Nacrtna geometrija (NG) je u našoj zemlji predmet nastave od 1810. godine, kada je nastava iz nacrtne geometrije, uz ostale discipline nastavnog plana i programa, započela u novoosnovanom Zavodu zbora željezničkih inženjera. To je bilo zbog njegove sve veće praktične važnosti.

Jakov Aleksandrovič Sevastjanov (1796-1849), koji je diplomirao na ovom institutu 1814., predavao je na Institutu korpusa željezničkih inženjera 1), čije se ime povezuje s pojavom u Rusiji prvih radova o modernom vremenu. , prvo preveden s francuskog, a potom i prvo originalno djelo pod naslovom "Osnove deskriptivne geometrije" (1821.), uglavnom posvećeno prikazu metode ortogonalnih projekcija.

1) Sada Lenjingradski institut inženjera željeznice. akademik V. N. Obrazcov.

Ya. A. Sevastyanov je držao predavanja na ruskom, iako se nastava tih godina uglavnom izvodila na francuskom. Tako je Ya. A. Sevastyanov postavio temelj za poučavanje i uspostavljanje terminologije u n. g. na svom materinjem jeziku. Još za života Ya. A. Sevastyanova n. grad je bio uključen u nastavne planove i programe brojnih civilnih i vojnih obrazovnih ustanova.

Glavni trag u razvoju n. U 19. stoljeću Nikolaj Ivanovič Makarov (1824-1904), koji je predavao ovaj predmet na Tehnološkom institutu u Sankt Peterburgu, i Valerijan Ivanovič Kurdjumov (1853-1904), koji je kao profesor na Institutu za željeznicu u Sankt Peterburgu Inženjeri na odjelu za građevinsku umjetnost, napustili ovaj institut, tečaj N. d. U svojoj učiteljskoj praksi V. I. Kurdyumov daje brojne primjere primjene n. za rješavanje inženjerskih problema.

Djelovanje i djela V. I. Kurdyumova, takoreći, završila je gotovo stoljeće razvoja naše ere. grad i njegovo učenje u Rusiji. U tom je razdoblju najveća pozornost posvećena organizaciji nastave, izradi radova namijenjenih udžbenicima, razvoju poboljšanih tehnika i metoda za rješavanje niza problema. Bili su to bitni i nužni momenti u razvoju nastave n. G.; međutim, njegov je znanstveni razvoj zaostajao za dostignućima na području metode izlaganja predmeta. Tek u djelima V. I. Kurdyumova teorija je dobila življi odraz. U međuvremenu, u nekim stranim zemljama u 19. stoljeću n.e. Grad je već dobio značajan znanstveni razvoj. Očito, kako bi se otklonili zaostaci i da daljnji razvoj znanstveni sadržaj n. bilo je potrebno proširiti njezinu teorijsku osnovu i okrenuti se istraživačkom radu.

To se može vidjeti u radovima i aktivnostima Evgrafa Stepanoviča Fedorova (1853-1919), poznatog ruskog znanstvenika, kristalografa, i Nikolaja Aleksejeviča Rinjina (1877-1942), koji su već bili u posljednjih godina prije Velike listopadske socijalističke revolucije okrenuli su se razvoju deskriptivne geometrije kao znanosti. Do danas je deskriptivna geometrija kao znanost dobila značajan razvoj u djelima sovjetskih znanstvenika N. A. Glagoljeva (1888-1945), A. I. Dobryakova (1895-1947), D. D. Y. Gromova (1884-1963), SM Kolotova (1885-1965). ), NF Chetverukhin (1891-1974), II Kotov (1909-1976) i mnogi drugi.

Pitanja za poglavlje I

1. Kako se konstruira središnja projekcija točke?
2. Kada je središnja projekcija ravne crte točka?
3. Kako se metoda projekcije naziva paralelno?
4. Kako se konstruira paralelna projekcija ravne crte?
5. Može li paralelna projekcija ravne biti točka?
6. Ako točka pripada danom pravcu, kako su njihove projekcije međusobno raspoređene?
7. U kojem se slučaju u paralelnoj projekciji projicira ravni segment u punoj veličini?
8. Što je "Mongeova metoda"?
9. Što znači riječ "ortogonalno"?

Početno obrazovanje stekao je u gradskoj školi grada Bone. Nastava u ovoj školi bila je koncentrirana gotovo isključivo na drevne jezike; fizičke i matematičke znanosti, kojima je Monge posebno privlačio, morao se baviti bez vanjske pomoći.

U dobi od 16 godina, Monge je izradio plan svog rodnog grada Beaunea, izuzetno točan. Metode i instrumente potrebne za njegovu kompilaciju za mjerenje kutova i crtanje linija izumio je sam sastavljač.

Upisavši dodatni odjel za izobrazbu inženjerskih dirigenta Škole vojnih inženjera Mézieres, Monge je ubrzo izašao iz redova svojih suboraca. Izravno i lako rješenje koje je dao zadatku oskvrnjenja utvrde dalo je povoda školskim vlastima da ga imenuju za učitelja matematike.

U isto vrijeme počinje znanstvena djelatnost Mongea, čiji je prvi rezultat stvaranje "Deskriptivne geometrije" - ovog najvažnijeg njegovog znanstvenog rada. Nespremnost da se strancima pruži prilika da uživaju u plodovima izuma francuskog genija potaknula je voditelja škole Mézieres da zabrani Mongeu da svoje otkriće objavi. Drugo veliko Mongeovo djelo bilo je istraživanje teorije površina, izneseno u brojnim memoarima, koje mu je prezentirao na pariškoj i torinskoj akademiji.

Godine 1768. Monge je imenovan profesorom matematike; osim toga, 1771. (nakon smrti Abbéa Nolleta) katedra fizike također je premještena u Monge. Valja napomenuti da je on razgradio vodu 1783. godine, iako je taj posao obavljen nakon homogenog rada Henryja Cavendisha, ali prije primitka podataka o ovom potonjem i stoga predstavlja neotuđivo vlasništvo Mongea.

Godine 1780. Monge je imenovan učiteljem hidraulike u školi osnovanoj u Louvreu, s obvezom da šest mjeseci živi u Mézièresu i Parizu. Iste godine Monge je izabran za člana Akademije. Mézières Montge morao je biti potpuno napušten 1783. godine.

Izabran za akademika, Monge, osim istraživanja o višoj analizi, iznesenih u nizu izvrsnih memoara u publikacijama Akademije, bavio se, zajedno s Bertholletom i Vandermontom, proučavanjem različitih stanja željeza, izvodio eksperimente na kapilarnosti, vršio opažanja o optičkim pojavama, radio, iako neuspješno, na izgradnji teorije glavnih meteoroloških pojava, konačno, u velikoj mjeri poboljšao praktičnu mehaniku. U ovom posljednjem on je pokazao da se svi složeni strojevi, koliko god bili složeni, mogu svesti na vrlo mali broj sastavnih elemenata; dao je tablice koje objašnjavaju promjenu jednog pokreta drugim, uzrokovanu vezom između dijelova stroja; pokazao isplativije načine korištenja sila vode, zraka i pare tijekom rada. U isto vrijeme potječe i kompilacija njegove slavne "Traité de statique" (P., 1788.). Francuska revolucija našla je gorljivog pobornika u Mongeu. U to doba najprije je imenovan članom povjerenstva za osnivanje novi sustav mjere i utege, a 1792. zauzima mjesto ministra mora, koje mu je ostalo do 10. travnja 1793. godine.

Unatoč škrtosti državne riznice, energija Mongea uspjela je djelomično napuniti spuštene arsenale i nastaviti s izgradnjom potrebnih zgrada na obalama. Još je važnija bila činjenica da je Monge istaknuo i popularno ocrtao metode vađenja salitre potrebne za proizvodnju baruta iz zemlje u štalama, podrumima i grobljima, te da je osnovao mnoge tvornice ljevaonica topova, tvornice oštrih oružja i proizvodnju oružja. Iz njegovih uputa radnicima naknadno je sastavljeno njegovo poznato djelo iz topničke tehnologije, L’Art de fabriquer les canons (1794.).

Ne primajući nikakvu naknadu za sav svoj rad od propale države, došao je do takvog siromaštva da je morao jesti samo kruh, a optužba na temelju prijave vratara natjerala ga je u bijeg. Brza promjena smjera vrlo brzo mu je, međutim, omogućila povratak u Pariz. Od tada više nije izravno sudjelovao u poslovima državne uprave i posve se posvetio znanstvenoj i nastavnoj djelatnosti.

U Normalnoj školi osnovanoj nakon 9. Thermidora, on je prvi put u nastavni plan i program uveo kolegij deskriptivne geometrije, čije su bilješke, koje su učenici sastavili, brzo rasprostranjene.

Prijelomni trenutak Mongeove pedagoške djelatnosti bio je rad na organizaciji nastave i njezinoj provedbi u praksi na poznatoj Politehničkoj školi osnovanoj krajem 1794. godine. Po zatvaranju akademija 1793. i osnivanju godinu dana kasnije Nacionalnog instituta koji ih je zamijenio, u čijoj je povelji značajno sudjelovao Monge, bio je među prvih 48 članova nove akademske ustanove koji su bili koje je imenovala vlada.

Poslan 1796. u Italiju da primi slike i kipove uključene u vojnu odštetu, upoznao je i sprijateljio se s Napoleonom Bonaparteom. Godine 1798. vlada mu je, zajedno s još dvije osobe, povjerila tešku zadaću da na temelju francuskog ustava iz treće godine uspostavi Rimsku Republiku, koja je trebala zamijeniti svjetovnu vlast papa, uništena od strane francuskih trupa. Međutim, Monge i njegovi suborci nisu mogli pobijediti nad teškoćama povjerenog im zadatka.

Napoleon je, pripremajući se za pohod na Egipat, pozvao njega i Bertholleta da okupe znanstvenu ekspediciju, koja je trebala pratiti vojsku koja ide u pohod, a imala je za cilj proučavanje osvojenih zemalja i širenje prosvjete u njima. Značajan dio ove ekspedicije činili su ljudi koji su pripadali Veleučilištu. U Kairu je 29. kolovoza 1798. od članova ove ekspedicije i dijela vojske, kojoj je pripadao i sam Napoleon, formiran Egipatski institut po uzoru na francuski i izabran Mongea za predsjednika.

Radovi članova novog instituta stavljeni su u Décade Egyptienne, koji je izdavao, a izlazio je u razmaku od deset dana. U njemu su se prvi put pojavili Mongeovi memoari o fatamorgani. Za vrijeme Carstva imenovan je senatorom i dobio je titulu grofa od Peluze i najviši stupanj Legije časti. Na njegov zahtjev, iz carevih osobnih sredstava istisnuti su manje-više značajni iznosi. različite osobe u vidu beneficija, a jednom mu je car poslao iznos od 100.000 franaka. Malo po malo, Monge je mijenjao svoja uvjerenja, pretvarajući se iz republikanskog u imperijalističko.

Nakon pada Carstva i obnove Burbona, Monge je izgubio sve što je dobio pod Carstvom, pa čak i akademsku fotelju koju je zauzimao i prije revolucije. Godine 1816. vladinim dekretom on i Carnot izbačeni su iz instituta, koji je na novi način preoblikovan, a zamijenili su ih Cauchy i Breguet. Od svih tih katastrofa, dovršenih progonstvom njegova zeta Echasserija, kao bivšeg člana konvencije, Monge se psihički razbolio i ubrzo umro.

Znanstvena djelatnost

Stvaranje "Deskriptivne geometrije", čija se rasprava pojavila tek 1799. pod naslovom "Géométrie deskriptivna", poslužila je kao početak i temelj djela koje je omogućilo novoj Europi da ovlada geometrijskim smjerom antičke Grčke; radovi na teoriji površina, pored svog neposrednog značaja, doveli su do razjašnjenja važno načelo kontinuitetu i otkrivanju značenja široke nesigurnosti koja nastaje pri integraciji jednadžbi s parcijalnim derivacijama, proizvoljnim konstantama i, još više, pojavom proizvoljnih funkcija.

Načelo kontinuiteta, kako se pojavljuje kod Mongea, može se izreći na sljedeći način. Svako svojstvo figure koje izražava odnose položaja i opravdano je u nebrojenom mnoštvu kontinuirano međusobno povezanih slučajeva može se proširiti na sve figure iste vrste, čak i ako dopušta dokaz samo uz pretpostavku da su konstrukcije izvedive samo u određenim granicama , zapravo se može proizvesti. Takvo svojstvo postoji i u onim slučajevima kada se, zbog potpunog nestanka nekih međuveličina potrebnih za dokaz, predložene konstrukcije ne mogu provesti u praksi.

Među manje važnim doprinosima znanosti treba istaknuti Mongeovu teoriju polarnih ravnina na površine drugog reda; o otkriću kružnih presjeka hiperboloida i hiperboličkih paraboloida; do otkrića dvostrukog načina oblikovanja površina istih tijela uz pomoć ravne linije; stvoriti prvu ideju o linijama zakrivljenosti površina; uspostaviti prve temelje teorije recipročnih polarnika, koju je kasnije razvio Poncelet, i, konačno, dokazati teorem da je mjesto vrha trokutnog kuta s pravim ravnim kutovima opisanim u blizini površine drugog reda lopta.

Za vrijeme Direktorija zbližio se s Napoleonom, sudjelovao u njegovom pohodu na Egipat i osnivanju Egipatskog instituta u Kairu (1798.); je podignut na graf.

Monge Gaspard (10. svibnja 1746. - 28. srpnja 1818.) - francuski geometar i javna osoba, član Pariške akademije znanosti (1780.). Tvorac nacrtne geometrije, jedan od organizatora Politehničke škole u Parizu i njezin dugogodišnji ravnatelj. Rođen u Bon Côte d "0r. Završio je Školu vojnih inženjera u Mezieresu. Od 1768. bio je profesor matematike, od 1771. bio je i profesor fizike u ovoj školi. Od 1780. predavao je hidrauliku u školi u Louvreu. (Pariz). Bavio se matematičkom analizom, kemijom, meteorologijom, praktičnom mehanikom. Za vrijeme Francuske buržoaske revolucije radio je u komisiji za uspostavljanje novog sustava mjera i utega, zatim bio ministar mora i organizator nacionalne obrane.Tijekom Direktorata zbližio se s Napoleonom, sudjelovao je u njegovoj kampanji u Egiptu i osnovao Egipatski institut u Kairu (1798); uzdignut je u grofa. Dobio svjetsko priznanje, stvarajući (70-ih godina) moderne metode projekcijski crtež i njegova osnova – nacrtna geometrija. Glavno Mongeovo djelo o tim pitanjima je "Deskriptivna geometrija"; objavljena 1799 Također je napravio važna otkrića u diferencijalnoj geometriji. Prva Mongeova djela o jednadžbama površina objavljena su 1770. i 1773. godine. Godine 1795. i 1801. objavljeni su Mongeovi radovi o konačnim i diferencijalnim jednadžbama različitih površina. Godine 1804. objavljena je knjiga "Primjena analize u geometriji". U njemu je Monge razmatrao cilindrične i stožaste plohe nastale kretanjem vodoravne crte koja prolazi kroz fiksnu okomitu liniju, plohe "kanala", plohe u kojima linije najvećeg nagiba posvuda tvore konstantan kut s horizontalnom ravninom; translacijskih površina itd. Kao dodatak knjizi Monge je dao svoju teoriju integracije jednadžbi s parcijalnim derivacijama 1. reda i svoje rješenje problema vibracija struna. Za svaku od vrsta površina prvo je izveo diferencijalnu, a zatim konačnu jednadžbu. Prvi se označava slovima p i q parcijalne derivacije od z u odnosu na x i y, a slovima r, s i t - derivacije 2. reda.

Gašpar Monge

Nakon uspješno završene škole, njezino vodstvo preporučilo je Gasparda Mongea za daljnji studij na College of the Holy Trinity u Lyonu. Tamo je primljen i ubrzo (sa 16 godina!) ondje postaje učitelj fizike, držeći tu dužnost do 1764. godine. Kako bi dobio specijalno obrazovanje u dobi od 18 godina, Monge je ušao u Vojnotehničku školu u Mezieresu, ali nije primljen u časnički razred, jer nije imao plemićko podrijetlo, već u odjel koji je obučavao obrtnike i radnike. Tamo su učenici svladavali osnove algebre, geometrije, crtanja, a izrađivali su i sve vrste modela zgrada i utvrda. U školi Mézières Monge je brzo postao jedan od prvih učenika. Imajući dobru matematičku pozadinu, mogao je lako i na originalan način rješavati najsloženije probleme.

Nakon diplome, Monge je ostavljen u školi Mézieres kao učitelj: prvo kao asistent na odsjeku za matematiku prof. Charles Bossu(1730–1814), a zatim kao asistent na katedri za fiziku kod prof JeanAntoine Nollet(1700–1770). Godine 1770., nakon Nolletove smrti i premještaja Bossua na drugo radno mjesto, Monge je odjednom postao voditelj oba ova odjela. Uz fiziku i matematiku, predavao je i kolegij kemije, te teoriju perspektive i sjene. Tijekom Mézieresovog razdoblja svog života Monge je počeo razvijati ideje deskriptivne geometrije i pronašao im brojne primjene, posebice za proračun reljefa utvrda.

Učenici tadašnje škole jako su voljeli svog mladog profesora. Nije bio zgodan, govorio je brzo i nije uvijek bio jasan, ali je bio vrlo ljubazan i nikada ni za koga nije štedio svoje osobno vrijeme. Često je u učionici prilazio nekom razjapljenom slušatelju s riječima: "Prijatelju moj, ponovit ću od trenutka kada si me prestao razumjeti."

Profesor Monge znao je prenijeti na druge svoju strast prema znanosti, među njegovim studentima nije bilo besposličara i zaostalih. Uopće nije mario za vlastitu karijeru.

Godine 1777. oženio se, a tri godine kasnije postao je učitelj hidraulike u školi Louvre u Parizu. Tijekom tih godina aktivno se bavio matematičkom analizom, kemijom, meteorologijom i praktičnom mehanikom. Za postignuća u tim područjima Pariška akademija znanosti 1780. izabrala je 34-godišnjeg Mongea za svog punopravnog člana.

Sudjelovanje na sastancima Akademije zahtijevalo je od mladog znanstvenika trajni boravak u Parizu, pa mu je dopušteno boraviti šest mjeseci godišnje. Tijekom Mongeove odsutnosti, predavanja u školi Mézières držao je njegov mlađi brat Louis Monge(1748–1827), također profesor matematike.

Kada je počela Francuska revolucija, Monge je postao njezin gorljivi pobornik. Ove godine za njega su bile ispunjene iznimno aktivnim društvenim i praktičnim aktivnostima. Najprije je radio u komisiji za uspostavljanje novog sustava utega i mjera, zatim je postao jedan od organizatora nacionalne obrane i francuske vojne industrije. To se dogodilo pod sljedećim okolnostima. Dana 10. kolovoza 1792., nakon smjene kralja Luja XVI., Monge je izabran u privremenu vladu, gdje je dobio portfelj ministra mora. Nakon stvaranja Nacionalnog sabora, koji je konačno ukinuo kraljevsku vlast, u rujnu te godine zadržao je mjesto ministra Republike, nadležnog za mornaricu. Takvo imenovanje znanstvenika koji je daleko od problema flote može se objasniti na sljedeći način: nakon revolucije, svi stručnjaci, aristokrati u Admiralitetu, pobjegli su, a njima je samo trebao odan narodu, autoritativan i pošten čovjek .

Monge je uvijek nastojao primijeniti svoju obožavanu matematiku na bilo koje polje, bez obzira gdje ga je sudbina bacila. Bio je enciklopedist, kao i svaki znanstvenik tog vremena, i, postavši ispitivač veznih brodova, nije učinio nikakvu popustljivost budućim pomorskim časnicima. Međutim, flota u to vrijeme nije bila glavni prioritet za vladu. Francuska je trebala mnogo više streljiva. Pod kraljem se briljantni Lavoisier pozabavio ovim pitanjem, ali su ga revolucionari pogubili, razotkrivši tako najvažniju frontu, a bez baruta njihovi su puški i topovi postali kao štapovi beskorisni u pravoj bitci.

I Monge se bavio proizvodnjom baruta. Zajedno s Claudeom Louisom Bertholletom shvatio je kako i gdje kopati salitru u Francuskoj. Rezultat je bio nevjerojatan: ako prije 1789. Francuska nije trošila više od milijun funti salitre godišnje, trudom Mongea i njegovih zaposlenika, minirano je 12 milijuna funti u deset mjeseci!

Ali nabavka sastavnih dijelova nije rješenje problema. Mlinovi praha, čiji je broj bio vrlo ograničen, nisu imali vremena sve to obraditi. Zatim je Monge predložio stavljanje bakrenih kuglica u obične bačve. Ovi "mlinovi u malom" mogli su se postaviti u bilo koje dvorište, a Francuska se njegovim trudom pretvorila u ogromnu tvornicu baruta. Naravno, bez općeg entuzijazma ljudi ovaj golemi posao ne bi se mogao obaviti, ali ni bez Mongeove domišljate glave ništa se ne bi dogodilo.

Puške su u to vrijeme bile izrađene od lijevanog željeza i bronce. Puške od lijevanog željeza bilo je lakše zalijevati, ali su bile mnogo teže. U pravilu su se koristili u mornarici ili u tvrđavama. Monge je povećao broj tvornica željeznih topova s ​​četiri na trideset. Umjesto 900 pušaka, bacalo se 30.000 godišnje. Broj tvornica bakrenih topova zahvaljujući Mongeovim naporima povećao se s dvije na petnaest. Počeli su proizvoditi sedam tisuća pušaka. Za to su se crkvena zvona počela koristiti kao izvor bakra. Istina, sastav zvonastog bakra nije bio prikladan za proizvodnju topova, ali Monge je privukao kemičare i pronašao nove načine odvajanja bakra od kositra. Prije su za proizvodnju bili potrebni glineni kalupi alata. Monge je predložio bacanje topova u pijesak. Prvi na ovaj način dobiven top testiran je na Champ de Mars, a cijeli je Pariz pljeskao uspješnim rezultatima. Tijekom dana Monge nije izlazio iz radionica, noću je napisao uputu "O topovskoj umjetnosti". Sve što nije bilo posebno vezano uz pitanja obrane i naoružanja vojske činilo se nevažnim.

Monge je podnosio glad i hladnoću. Općenito, jeo je uglavnom kruh, dopuštajući mu da se ruga. Na primjer, poznata je takva šala: „Monge je počeo raskošno rasipati; Sad jede rotkvice!"

Jednog je dana Madame Monge doznala da je protiv njezina muža i Bertholle napisana prijava. Otrčala je do Bertholle, ali je veliki kemičar samo zamišljeno promrmljao: "Vrlo je moguće da ćemo biti osuđeni i odvedeni na giljotinu, ali to će se dogoditi ne prije nego za osam dana."

Zašto za osam dana i što će se dogoditi za osam dana, Madame Monge nije razumjela, ali je bilo očito da je znanstvenika u to vrijeme brinulo nešto sasvim drugo. Sam Monge je, odgovarajući na plač svoje supruge, rekao: "Najvažnije je da moje ljevaonice rade divno."

Godine 1794. zajedno s Bertholletom Mongeom postaje utemeljitelj i prvi profesor Ecole Polytechnique, jedne od najboljih visokoškolskih ustanova u Francuskoj (ovdje je predavao više od deset godina). Ovaj Mongeov doprinos znanosti teško se može precijeniti: kao rezultat njegovih plodnih organizacijskih i nastavnih aktivnosti, Politehnička škola je brzo postala središte opće znanstvene izobrazbe visokokvalificiranih stručnjaka, svih glavnih inženjera i matematičara Francuske u 19. stoljeća ili su završili ovu školu ili bili njezini učitelji.

Vrativši se znanstvenoj djelatnosti, Monge se posvetio deskriptivnoj geometriji. Ovo je sada naziv inženjerske discipline koja se sastoji od skupa algoritama za proučavanje svojstava prostornih geometrijskih objekata i temelji se na reprezentaciji tih objekata pomoću dvije neovisne projekcije. Jednostavno rečeno, to je znanost koja proučava prostorne figure projicirajući ih na ravninu.

Međutim, Mongeovi glavni spisi o ovom odjeljku objavljeni su tek 1799. godine, budući da duge godine francuska vlada je ovu disciplinu držala u tajnosti, kvalificirajući je kao vojnu tajnu. Istodobno, poznato je da je Monge svoje značajno djelo "Primjena analize na geometriju" stvorio 1795. godine. Ovaj rad je bio udžbenik analitičke geometrije, u kojem je poseban naglasak stavljen na diferencijalne jednadžbe.

Unutar zidova Ecole Polytechnique de Montjou bilo je moguće osigurati da deskriptivna geometrija i geometrija općenito postanu središnji, definirajući predmeti kurikuluma. Bio je u stanju izraziti najsloženije probleme s nevjerojatnom jasnoćom i jasnoćom.

Za vrijeme vladavine Direktorija Monge se zbližio s Napoleonom i zahvaljujući njemu je postigao velike činove i slavu. Napoleon, kao što znate, nikada nije postavljao neradnike na visoke položaje. A za Mongea je već tada bio uzoran državnik i zapovjednik. Napoleon i Monge posebno su se zbližili 1796. u Italiji, kamo je potonjeg poslao Direktorij s uputama da odaberu najistaknutija djela znanosti i umjetnosti za pariške muzeje i spremišta.

Kada je Napoleon 1797. potpisao mir s Austrijancima, Monge je poslan iz Milana u Pariz da ovaj dokument predoči Direktoriju na ratifikaciju. U isto vrijeme, Napoleon je o Mongeu napisao sljedeće:

“Građanin Monge poznat je po svom znanju i domoljublju. Svojim ponašanjem u Italiji postigao je da se Francuzi poštuju. On je zaslužio moje prijateljstvo."

Godine 1797. Monge je pomogao Napoleonu da uđe u Francuski institut ( Nacionalni institut znanosti i umjetnosti), stvoren Konvencijom umjesto "buržoaske" Akademije znanosti, ukinute 1793. godine.

Kad se Monge vratio iz Italije u Pariz u listopadu 1797., već je bio svjestan Napoleonove želje da se "pridruži znanosti" i odmah je počeo "kuhati javno mišljenje". U tome mu je pomogao još jedan akademik odan Napoleonu, Claude-Louis Berthollet. Prilika se pokazala vrlo prigodno: pojavilo se slobodno mjesto u redovima akademika. Ali na njega su polagale pravo još dvoje ljudi, i mnogo poznatiji u znanosti od generala Bonapartea. Prvi je bio Jacques Dillon(1760-1807) - inženjer koji je izgradio prvi željezni most u Francuskoj, drugi - 84-godišnji inženjer OcjenaRené Montalembert(1713–1799), autor jedanaest svezaka o utvrđivanju.

Tajno glasovanje održano je 25. prosinca 1797.: za Napoleona je dano 305 glasova, za Dillona 166, a za Montalemberta 123 glasa. Kao što vidite, vjernici Mongea i Bertholleta nisu razočarali: odabrali su Napoleona, koji nije imao znanstvene radove i druge zasluge, osim pobjeda na ratištima. Nakon toga je u novinama pisalo da je general Bonaparte, "nevjerojatna osoba, filozof, koji je stajao na čelu vojske, izabran u akademike".

Kad je Napoleon počeo planirati svoju egipatsku ekspediciju, nije oklijevao ni trenutka pozvati Mongea i Bertholleta u svoj "tim". Rado su pristali.

U ekspediciji je sudjelovalo oko 150 znanstvenika i stručnjaka iz više od petnaest različitih profesija.

Povjesničar Jean Tulart daje sljedeće podatke:

“21 matematičar, 3 astronoma, 17 građevinskih inženjera, 13 prirodoslovaca i rudarskih inženjera, isto toliko geografa, 3 kemičara, specijalista za barut i salitru, 4 arhitekta, 8 crtača, 10 mehaničara, 1 kipar, 110 prevoditelja, , 22 skladatelja.

Popis imena znanstvenika koji su otišli s Napoleonom u Egipat je impresivan. Na čelu su bili Monge i Berthollet. Pod njihovim su zapovjedništvom bili matematičari trapericaBatistJoseph Fourier(1768–1830) i Louis Costaz(1767–1842), kemičari Hipolit Colletdekotil(1773–1815) i JacquesPierre Champy(1744–1816), prirodoslovac EtienneGeoffroy SaintHilaire(1772–1844), astronomi NicolasAntoine Nuet(1740–1811) i PierreJoseph de Beauchamp(1752–1801), geolog Deoda de Dolomieu(1750–1801), slikari Dominique VivantDenon (1747–1825), HenriJoseph Redoute(1766–1852) i André Dutertre (1753–1842).

A mnoga svjetla francuske znanosti, usput, odbili su. U broj "odbijenika" bio je, na primjer, inženjer matematičar Gaspard de Prony(1755–1839), kemičar AntoineFrançois Fourcroix(1755–1809), prirodoslovci GeorgesLeopolda Cuviera(1769–1832) i Frederic Cuvier (1773–1838).

Naravno, svatko je za to imao svoje razloge. "Moja je računica," objasnio je svoje odbijanje Georges Leopold Cuvier, "sljedeća: ja sam sada u središtu znanosti, među najistaknutijim zbirkama, i siguran sam da ću ovdje u Parizu napraviti mnogo važnija otkrića nego sudjelovati u čak i najplodnije putovanje.”

Već u Kairu, Monge je postao jedan od osnivača Egipatskog instituta.

Egipatski institut bio je vrlo važna istraživačka institucija, koja se sastojala od četiri odjela: matematike, fizike, političke ekonomije, književnosti i umjetnosti. Sam Napoleon postao je potpredsjednik Instituta, a Monge predsjednik. Otvaranje ove "akademije" bilo je vrlo svečano, a u isto vrijeme Napoleon je izjavio da je "trijumf nad neznanjem najveći od trijumfa, a uspjesi njegovog oružja uspjesi prosvjetiteljstva".

U Egiptu je Monge zapravo postao desna ruka Napoleon. Proveli su dosta vremena u znanstvenim raspravama, zajedno putovali u Suez kako bi vidjeli tragove drevnog kanala koji je nekada povezivao Nil s Crvenim morem.