Označavanje kuta u riječi. Kut geometrijskog lika: definicija kuta, mjerenje kutova, simboli i primjeri

Vrlo često čujem pitanje "Kako dobiti simbol kvačice u Wordu?" Odgovori su jedan pametniji od drugog! Najlakši način je pritisnuti tipku Alt i, bez puštanja, na bočnoj numeričkoj tipkovnici upisati broj 10003. Također možete upisati broj 2713, a zatim pritisnuti Alt X. Samo da su oba ova broja jednaka jedan drugome: 10003 ( decimalni) = 2713 ( heksadecimalni).

Kada puno radite u programima Word i Excel, počinjete shvaćati da je bacanje tipkovnice, hvatanje miša, a zatim povratak u "klavu" nezgodno, neergonomsko, a ne ... - nastavite sami. Vjerojatno su za to izmišljene različite kombinacije tipki, "vrućih" tipki itd. U tom smislu, jako mi se sviđa funkcijska tipka F4, pritiskom na koju se ponavlja bilo koja radnja koja je upravo izvršena. Na primjer, potrebno vam je 8 riječi na različitim mjestima teksta da biste bili podebljani. Prvu riječ možete podebljati klikom na slovo "dobro" u izborniku ili istovremenim pritiskom na dvije tipke Ctrl i b (rusko slovo i). Za ostale riječi, samo kliknite desnom tipkom bilo gdje u željenoj riječi i lijevom rukom pritisnite tipku F4. "I tako opet sam."

Mnogi se stresu na riječ "makro", ali u međuvremenu u njima nema ništa strašno ili opasno. Općenito, makronaredbe su vrlo korisna stvar! Stvaranje makronaredbe u Wordu jednostavno je kao i ljuštenje krušaka. Recimo da često trebate umetnuti naziv organizacije kada pišete: LLC "Rogovi i kopita". Ili ispišite na kraju dokumenta: Umjetnik - Vasya Pupkin. Razmotrimo kako upisati prvi tekst sa samo dva pritiska tipke, a drugi - jednim klikom na gumb s bilo kojom slikom stvorenom na alatnoj traci za brzi pristup.

Dakle, pokušajmo: otvorite Word i odaberite "Service-Macros" ili "View-Macros" (ovisno o tome je li 2003. ili 2007.) i kliknite "Record macro...". U prozoru koji se pojavi možete smisliti naziv za makronaredbu i napraviti njen opis, ali možete ostaviti zadani naziv "Macro1" i ne opisivati ​​ništa - kako želite. Ali morate kliknuti na ikonu sa slikom tipkovnice ili čekića. U prvom slučaju od vas će se tražiti da smislite bilo koji tipkovnički prečac, au drugom - gumb na ploči. Za prvi tekst odaberite kombinaciju Ctrl + P (da bismo ga lakše zapamtili, uzimamo prvo slovo Roga), zatim kliknite "Dodijeli" i "Zatvori". Istodobno, prozor nestaje, a uz kursor se pojavljuje ikona kasete trake, što znači da su "svi potezi snimljeni". U programu Word 2003 i dalje se pojavljuje malena plutajuća ploča. Prvi i zadnji put (tada će to računalo učiniti umjesto vas) upisujemo potreban tekst s nazivom tvrtke i zaustavljamo snimanje. U starom Wordu - samo klikom na kvadrat na plutajućoj ploči, a u novom - odlaskom na izbornik "Prikaz-Makroi-Zaustavi snimanje". Sada i uvijek (prije ponovne instalacije Officea ili brisanja makronaredbe), pritiskom na odabrani tipkovnički prečac dobit ćete ono što ste upisali tijekom snimanja makronaredbe.

Ako u početnoj fazi kliknete na čekić, tada će se 2003. godine pojaviti prozor Postavke sa standardnom ikonom makroa, koju trebate zgrabiti mišem, povući je na bilo koje mjesto na gornjoj traci izbornika, a zatim klikom na gumbu "Promijeni odabrani objekt" i na retku "Odaberi ikonu za gumb" odaberite emotikon ili bilo koju sliku koja vam se sviđa. Ako kliknete na redak "Promijeni ikonu na gumbu ...", otvorit će se jednostavan grafički uređivač u kojem možete sami nacrtati ikonu po svom ukusu.

2007. sličan put: kada odaberete čekić, pojavljuje se Postavke alatne trake za brzi pristup, gdje je potrebno, odabirom makronaredbe u lijevom prozoru i klikom na gumb "Dodaj". Nakon toga, standardna ikona makroa s vašim imenom bit će dodana u desni prozor, gdje je možete ponovno odabrati i kliknuti gumb "Uredi". Izbor slika bit će veći nego u starom Wordu, ali mogućnost crtanja vlastite ikone je uklonjena i možete je postaviti samo na ploču za brzi pristup.

Daljnje radnje su iste kao i 2003. godine: upisivanje željenog teksta i zaustavljanje snimanja. Takvih makronaredbi možete kreirati koliko god želite, a rezultat ćete moći dobiti željeni tekst ili bilo koji slijed operacija jednim klikom na svoju ikonu (koju, imajte na umu, nitko od vaših kolega nema!)

Kako i što treba utipkati na tipkovnici da bi se u tekstualnom dokumentu dobila slika srca? Najlakši način je pritisnuti tipku Alt i bez puštanja pritisnuti broj 3 na desnoj strani tipkovnice. Drugi način je da upišete broj 2665 i pritisnete Alt+x. Također, da biste dobili srca, možete birati brojeve 2765, 2764 ili 2661. Jedno od slova gruzijske abecede ღ vrlo je slično srcu, koje možete dobiti tako da upišete kod 10E5 (E - latinica) i pritisnete Alt + x.

Općenito, da biste dobili bilo koji znak, dovoljno ga je upisati ASCII kod i pritisnite Alt+x. Na primjer, da biste ispisali znak dolara "$", lakše je i brže upisati broj 24 bez prelaska na engleski font, a zatim pritisnuti Alt+x. Brzo možete dobiti predznak zbroja "∑" (šifra - 2211), simbol kuta "∠" (šifra - 2220), približnu jednakost« ≈ » (šifra - 2248), razne strelice itd. Zato ponekad umjesto riječi "pas" kažu "četrdeset alt x" što znači @.

Evo tablice kodova za neke znakove:

Kod	Simbol	Kod	Simbol	Kod	Simbol	Kod	Simbol
23	#	2020	†	2194	↔	2265	≥
24	$	2030	‰	2195	↕	2640	♀
26	&	2122	™	2211	∑	2642	♂
27	"	2190	←	2220		2660	♠
40	@	2191		2248	≈	2663	♣
60	`	2192	→	2260	≠	2665
394	Δ	2193	↓	2264	≤	2666	♦

Kut je glavna geometrijska figura koju ćemo analizirati kroz cijelu temu. Definicije, načini postavljanja, označavanje i mjerenje kuta. Analizirajmo principe odabira kutova na crtežima. Cijela teorija je ilustrirana i ima veliki broj vizualnih crteža.

Definicija 1

Injekcija- jednostavna važna figura u geometriji. Kut izravno ovisi o definiciji zrake, koja se pak sastoji od osnovnih pojmova točke, pravca i ravnine. Za temeljitu studiju morate proniknuti u teme ravna crta na ravnini - potrebne informacije I avion - potrebne informacije.

Pojam kuta počinje pojmovima točke, ravnine i ravne linije prikazane na ovoj ravnini.

Definicija 2

Zadana je pravac a na ravnini. Označimo neku točku O na njoj. Linija je podijeljena točkom na dva dijela, od kojih svaki ima ime Zraka, a točka O je start snopa.

Drugim riječima, greda ili polucrta - to je dio pravca koji se sastoji od točaka danog pravca, smještenih na istoj strani u odnosu na početnu točku, odnosno točku O.

Označavanje grede dopušteno je u dvije varijacije: jedno malo ili dva velika slova latinične abecede. Kada se označava s dva slova, greda ima naziv koji se sastoji od dva slova. Pogledajmo pobliže crtež.

Prijeđimo na koncept definiranja kuta.

Definicija 3

Injekcija- ovo je lik koji se nalazi u danoj ravnini, formiran od dvije neusklađene zrake koje imaju zajedničko podrijetlo. bočni kut je greda vrh- zajednički početak stranaka.

Postoji slučaj kada strane kuta mogu djelovati kao ravna crta.

Definicija 4

Kada se obje strane kuta nalaze na istoj pravoj ili njegove stranice služe kao dodatne poluprave jedne ravne, tada se takav kut naziva raspoređeni.

Slika ispod prikazuje spljošteni kut.

Točka na ravnoj crti je vrh kuta. Najčešće se označava točkom O.

Kut se u matematici označava znakom "∠". Kada su stranice kuta označene malom latinicom, tada se za ispravnu definiciju kuta pišu slova u nizu, odnosno prema stranicama. Ako su dvije stranice označene k i h, tada se kut označava kao ∠ k h ili ∠ h k .

Kada postoji oznaka velikim slovima, tada strane ugla imaju nazive O A i O B. U ovom slučaju kut ima naziv od tri slova latinične abecede, ispisana u nizu, u sredini s vrhom - ∠ A O B i ∠ B O A . Postoji oznaka u obliku brojeva kada uglovi nemaju imena ili slova. Ispod je slika na kojoj su kutovi naznačeni na različite načine.

Kut dijeli ravninu na dva dijela. Ako kut nije razvijen, tada jedan dio ravnine ima ime područje unutarnjeg kuta, drugi - područje vanjskog kuta. Ispod je slika koja objašnjava koji su dijelovi ravnine vanjski, a koji unutarnji.

Kada se na ravnini podijeli ravnim kutom, smatra se da je bilo koji njegov dio unutrašnjost ravnog kuta.

Unutarnje područje kuta je element koji služi za drugu definiciju kuta.

Definicija 5

kutu naziva se geometrijski lik koji se sastoji od dvije nepodudarne zrake, koje imaju zajedničko ishodište i odgovarajuću unutarnju površinu kuta.

Ova definicija je rigoroznija od prethodne, jer ima više uvjeta. Nije preporučljivo razmatrati obje definicije odvojeno, jer je kut geometrijski lik transformiran pomoću dviju zraka koje izlaze iz jedne točke. Kada je potrebno izvršiti radnje s kutom, tada definicija znači prisutnost dvije zrake sa zajedničkim ishodištem i unutarnjom regijom.

Definicija 6

Dva ugla se zovu povezane, ako postoji zajednička stranica, a druge dvije su komplementarne poluprave ili čine ravan kut.

Slika pokazuje da se susjedni kutovi međusobno nadopunjuju, budući da su nastavak jedan drugog.

Definicija 7

Dva ugla se zovu okomito, ako su strane jedne komplementarne poluprave druge ili su produžeci stranica druge. Slika ispod prikazuje sliku okomitih kutova.

Prilikom križanja linija dobivaju se 4 para susjednih i 2 para okomitih kutova. Ispod je prikazano na slici.

U članku su prikazane definicije jednakih i nejednakih kutova. Analizirat ćemo koji kut se smatra velikim, koji manji i druga svojstva kuta. Dvije figure smatraju se jednakima ako se, kada su postavljene, potpuno poklapaju. Isto svojstvo vrijedi i za uspoređivanje kutova.

Zadana dva kuta. Potrebno je doći do zaključka jesu li ti kutovi jednaki ili ne.

Poznato je da se vrhovi dvaju ugla i strana prvog kuta preklapaju s bilo kojom drugom stranom drugog. Odnosno, u slučaju potpune podudarnosti, kada se kutovi preklapaju, stranice zadanih kutova će se potpuno poklopiti, kutovi jednak.

Može se dogoditi da se pri superponiranju strane ne mogu kombinirati, a zatim uglovi nejednak, manji od kojih se sastoji od drugog, i više uključuje potpuno drugi kut. Ispod su nejednaki kutovi koji nisu poravnati kada se preklapaju.

Razvijeni kutovi su jednaki.

Mjerenje kutova počinje mjerenjem stranice izmjerenog kuta i njegove unutarnje regije, ispunjavajući je jediničnim kutovima, apliciraju jedni na druge. Potrebno je izbrojati broj naslaganih kutova, oni unaprijed određuju mjeru izmjerenog kuta.

Jedinica kuta može se izraziti u bilo kojem mjerljivom kutu. Postoje općeprihvaćene mjerne jedinice koje se koriste u znanosti i tehnologiji. Specijalizirani su za druge naslove.

Najčešći koncept stupanj.

Definicija 8

jedan stupanj naziva se kut koji ima sto osamdesetinu ravnog kuta.

Standardna oznaka za stupanj je "°", tada je jedan stupanj 1°. Stoga se ravan kut sastoji od 180 takvih kutova, koji se sastoje od jednog stupnja. Svi dostupni uglovi su čvrsto naslagani jedni na druge, a strane prethodnog su poravnate sa sljedećim.

Poznato je da je broj stupnjeva u kutu ista mjera kuta. Razvijeni kutak u svom sastavu ima 180 naslaganih kutova. Na slici ispod prikazani su primjeri gdje je kut položen 30 puta, odnosno jedna šestina proširenog, i 90 puta, odnosno polovica.

Za točno određivanje kutova mjerenja koriste se minute i sekunde. Koriste se kada vrijednost kuta nije cjelobrojna oznaka stupnja. Takvi dijelovi diplome omogućuju vam točnije izračune.

Definicija 9

minuta naziva se jedna šezdesetina stupnja.

Definicija 10

drugi zove jednu šezdesetu minute.

Stupanj sadrži 3600 sekundi. Minute označavaju """, a sekunde """. Označavanje se odvija:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

a oznaka za kut 17 stupnjeva 3 minute i 59 sekundi je 17° 3 "59"".

Definicija 11

Navedimo primjer mjerenja stupnja kuta jednakog 17 ° 3 "59" ". Unos ima drugi oblik 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Za precizno mjerenje kutova koristi se mjerni uređaj kao što je kutomjer. Prilikom označavanja kuta ∠ A O B i njegove mjere stupnja od 110 stupnjeva, koristi se prikladnija oznaka ∠ A O B \u003d 110 °, koja glasi "Kut A O B jednak je 110 stupnjeva".

U geometriji se koristi mjera kuta iz intervala (0 , 180 ], a u trigonometriji se mjera proizvoljnog stupnja naziva kutovi zakretanja. Vrijednost kutova uvijek se izražava kao realan broj. Pravi kut je kut koji ima 90 stupnjeva. Oštar kut je kut koji je manji od 90 stupnjeva, i glupi- više.

Oštar kut se mjeri u intervalu (0, 90) , a tupi kut - (90, 180) . Dolje su jasno prikazane tri vrste kutova.

Svaka mjera stupnja bilo kojeg kuta ima istu vrijednost. Veći kut, odnosno, ima veću mjeru stupnja od manjeg. Stupanj mjera jednog kuta je zbroj svih dostupnih mjera stupnjeva unutarnjih kutova. Na slici ispod prikazan je kut AOB, koji se sastoji od kutova AOC, COD i DOB. Detaljno, to izgleda ovako: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Na temelju ovoga može se zaključiti da iznos svi susjedni kutovi je 180 stupnjeva jer svi oni čine prošireni kut.

Iz ovoga proizlazi da bilo koji okomiti kutovi su jednaki. Ako to razmotrimo na primjeru, dobivamo da su kut A O B i C O D okomiti (na crtežu), tada se parovi kutova A O B i B O C, C O D i B O C smatraju susjednim. U takvom slučaju, jednakost ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° zajedno s ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° smatra se jedinstveno istinitom. Stoga imamo da je ∠ A O B = ∠ C O D . Ispod je primjer slike i oznake okomitih hvataljki.

Osim stupnjeva, minuta i sekundi koristi se još jedna mjerna jedinica. To se zove radijan. Najčešće se može naći u trigonometriji pri označavanju kutova poligona. Ono što se zove radijan.

Definicija 12

Jedan radijanski kut zove se središnji kut, koji ima polumjer kružnice jednak duljini luka.

Na slici je radijan prikazan kao kružnica, gdje se nalazi središte, označeno točkom, s dvije točke na kružnici spojene i pretvorene u polumjere OA i O B. Po definiciji, ovaj trokut AOB je jednakostraničan, što znači da je duljina luka AB jednaka duljinama polumjera OB i Oh A.

Oznaka kuta uzima se kao "rad". To jest, unos u 5 radijana skraćen je kao 5 rad. Ponekad možete pronaći oznaku koja ima ime pi. Radijani ne ovise o duljini dane kružnice, budući da su figure ograničene pomoću kuta i njegova luka sa središtem smještenim na vrhu zadanog kuta. Smatraju se sličnima.

Radijani imaju isto značenje kao i stupnjevi, samo je razlika u njihovoj veličini. Da biste to odredili, potrebno je izračunatu duljinu luka središnjeg kuta podijeliti s duljinom njegovog polumjera.

U praksi koriste pretvoriti stupnjeve u radijane i radijane u stupnjeve radi lakšeg rješavanja problema. Navedeni članak sadrži informacije o povezanosti mjere stupnja i radijana, gdje možete detaljno proučiti prijevode iz stupnja u radijan i obrnuto.

Za vizualni i prikladan prikaz lukova, kutova, crteža se koriste. Nije uvijek moguće ispravno prikazati i označiti određeni kut, luk ili naziv. Jednaki kutovi imaju oznaku u obliku istog broja lukova, a nejednaki u obliku različitih. Na crtežu je prikazana točna oznaka oštrih, jednakih i nejednakih kutova.

Kada je potrebno označiti više od 3 kuta, koriste se posebne oznake luka, kao što su valoviti ili nazubljeni. Nije toliko bitno. Slika ispod prikazuje njihovu oznaku.

Označavanje kutova treba biti jednostavno kako ne bi ometalo druge vrijednosti. Prilikom rješavanja problema preporuča se odabrati samo kutove potrebne za rješavanje kako ne bi zatrpali cijeli crtež. To neće ometati rješenje i dokaz, a također će dati estetski izgled crtežu.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ako u dokumentima Microsoft Word morate raditi ne samo s tekstom, već ponekad trebate prikazati elementarne izračune ili umetnuti određeni znak u tekst, a zatim ga ne pronađete na tipkovnici, zapitat ćete se: kako ga dodati u dokument?

To je prilično jednostavno učiniti, budući da uređivač teksta Word ima posebnu tablicu u kojoj ćete sigurno pronaći sve što vam treba. U ovom ćemo članku razmotriti kako pomoću njega možete umetnuti približno jednak Word dokumentu.

Postavite kursor na mjesto gdje ga želite dodati u dokument. Zatim idite na karticu "Umetanje" i u grupi "Simboli" kliknite na istoimeni gumb. Odaberite "Ostalo" s padajućeg popisa.

Otvorit će se ovaj prozor. U njemu, u polju "Font", odaberite "(običan tekst)", u polju "Postavi" - "matematički operatori". Zatim na popisu pronađite ono što trebate, kliknite na njega i zatim kliknite gumb "Umetni".

Nakon što se ikona doda u dokument, zatvorite ovaj prozor klikom na odgovarajući gumb u donjem desnom kutu.

Ako dokumentu često morate dodavati razne znakove koji se ne mogu upisivati ​​izravno s tipkovnice, a morate ih potražiti u spomenutoj tablici, tada pomoću prečaca možete umetnuti odgovarajući znak u dokument.

Pronađite simbol na popisu i kliknite na njega mišem. Zatim dolje u polju "Prečac na tipkovnici" vidjeti koja se kombinacija koristi za to.

U našem slučaju, ovo je "2248, Alt+X". Prvo upišite broj "2248", a zatim pritisnite "Alt + X".

Napominjem da nemaju svi likovi kombinacije, ali ih sami možete dodijeliti klikom na gumb "Prečac na tipkovnici".

Ako, kao u primjeru, trebate staviti približni znak odmah nakon bilo kojeg broja, tada će kombinacija ispasti drugačija. U primjeru je ispalo "32248".

Stoga, nakon što pritisnete "Alt + X", možda neće biti umetnuto ono što želite.

Kako biste zbrali točno približno jednako, stavite razmak iza broja gdje bi trebao biti i upišite kombinaciju "2248". Zatim pritisnite "Alt + X".

Simbol će biti umetnut. Sada možete staviti kurziv ispred dodanog znaka i pritisnuti "Backspace" da biste uklonili razmak.

Dakle, pomoću jedne od metoda možete staviti ikonu približno jednaku Word dokumentu.

Ocijenite članak:

U ovom ćemo članku sveobuhvatno analizirati jedan od glavnih geometrijskih oblika - kut. Krenimo od pomoćnih pojmova i definicija koje će nas dovesti do definicije kuta. Nakon toga dajemo prihvaćene metode za označavanje kutova. Zatim ćemo se detaljno pozabaviti postupkom mjerenja kutova. U zaključku ćemo pokazati kako možete označiti kutove na crtežu. Omogućili smo svu teoriju s potrebnim crtežima i grafičkim ilustracijama za bolje pamćenje gradiva.

Navigacija po stranici.

Definicija kuta.

Kut je jedna od najvažnijih figura u geometriji. Definicija kuta data je kroz definiciju zraka. Zauzvrat, ideja zrake ne može se dobiti bez poznavanja takvih geometrijskih likova kao što su točka, ravna crta i ravnina. Stoga, prije upoznavanja s definicijom kuta, preporučamo osvježiti teoriju iz odjeljaka i.

Dakle, krenut ćemo od pojmova točke, ravne linije na ravnini i ravnine.

Prvo dajmo definiciju zraka.

Neka nam je dana neka ravna crta na ravnini. Označimo ga slovom a. Neka je O neka točka pravca a . Točka O dijeli pravac a na dva dijela. Svaki od tih dijelova zajedno s točkom O naziva se greda, a točka O se zove početak grede. Također možete čuti da se zraka zove poluizravni.

Radi kratkoće i praktičnosti uvedena je sljedeća oznaka za zrake: zraka se označava ili malim latinskim slovom (na primjer zraka p ili zraka k), ili s dva velika latinična slova, od kojih prvo odgovara početku zraka, a druga označava neku točku ove zrake (na primjer, zraka OA ili zraka CD). Pokažimo sliku i oznaku zraka na crtežu.

Sada možemo dati prvu definiciju kuta.

Definicija.

Injekcija- ovo je ravna geometrijska figura (to jest, koja u potpunosti leži u određenoj ravnini), koja se sastoji od dvije neusklađene zrake zajedničkog porijekla. Svaka od zraka se zove kutnu stranu, zajednički početak stranica kuta zove se gornji kut.

Moguće je da strane kuta tvore ravnu crtu. Ovaj kut ima svoje ime.

Definicija.

Ako obje strane kuta leže na istoj liniji, onda se kut naziva raspoređeni.

Predstavljamo vam grafičku ilustraciju razvijenog kuta.

Za označavanje kuta koristi se simbol kuta. Ako su stranice kuta označene malim latiničnim slovima (na primjer, jedna strana kuta je k, a druga h), tada se za označavanje ovog kuta nakon ikone kuta ispisuju slova koja odgovaraju stranicama red, a redoslijed snimanja nije bitan (odnosno ili). Ako su stranice kuta označene s dva velika latinična slova (na primjer, jedna strana kuta OA, a druga strana kuta OB), tada se kut označava na sljedeći način: iza znaka kuta su tri slova napisano koje sudjeluju u označavanju stranica kuta i slovo koje odgovara vrhu kuta, smještenom u sredini (u našem slučaju, kut će biti označen kao ili ). Ako vrh kuta nije vrh nekog drugog kuta, onda se takav kut može označiti slovom koje odgovara vrhu kuta (na primjer, ). Ponekad možete vidjeti da su kutovi na crtežima označeni brojevima (1, 2, itd.), ovi kutovi su označeni kao i tako dalje. Radi jasnoće predstavljamo sliku na kojoj su uglovi prikazani i naznačeni.

Bilo koji kut dijeli ravninu na dva dijela. Štoviše, ako kut nije razvijen, tada se naziva jedan dio ravnine područje unutarnjeg kuta, i drugi vanjsko kutno područje. Sljedeća slika objašnjava koji dio ravnine odgovara unutarnjoj strani kuta, a koji dio vanjskom.

Bilo koji od dva dijela na koje spljošteni kut dijeli ravninu može se smatrati unutrašnjosti spljoštenog kuta.

Definicija unutrašnjosti kuta dovodi nas do druge definicije kuta.

Definicija.

Injekcija- ovo je geometrijski lik koji se sastoji od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim ishodištem i odgovarajućim unutarnjim područjem kuta.

Treba napomenuti da je druga definicija kuta stroža od prve, budući da sadrži više uvjeta. Međutim, ne treba odbaciti prvu definiciju kuta, niti odvojeno razmatrati prvu i drugu definiciju kuta. Objasnimo ovu točku. Kada je u pitanju kut kao geometrijski lik, onda se pod kutom podrazumijeva lik sastavljen od dvije zrake zajedničkog ishodišta. Ako je potrebno izvršiti bilo kakve radnje s ovim kutom (na primjer, mjerenje kuta), tada bi kut već trebalo shvatiti kao dvije zrake sa zajedničkim ishodištem i unutarnjom regijom (inače bi nastala dvostruka situacija zbog prisutnost i unutarnje i vanjske regije kuta ).

Dajmo više definicija susjednih i okomitih kutova.

Definicija.

Susjedni kutovi- to su dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije tvore ravan kut.

Iz definicije proizlazi da se susjedni kutovi međusobno nadopunjuju do pravog kuta.

Definicija.

Vertikalni kutovi su dva kuta u kojima su stranice jednog kuta produžeci stranica drugog.

Na slici su prikazani okomiti kutovi.

Očito, dvije linije koje se sijeku tvore četiri para susjednih kutova i dva para okomitih kutova.

Usporedba kutova.

U ovom odlomku članka bavit ćemo se definicijama jednakih i nejednakih kutova, a također ćemo u slučaju nejednakih kutova objasniti koji se kut smatra velikim, a koji manjim.

Podsjetimo da se dva geometrijska lika nazivaju jednakima ako se mogu preklopiti.

Neka nam budu dana dva kuta. Dajemo obrazloženje koje će nam pomoći da dobijemo odgovor na pitanje: "Jesu li ova dva kuta jednaka ili ne"?

Očito, uvijek možemo uskladiti vrhove dvaju ugla, kao i jednu stranu prvog kuta s bilo kojom stranom drugog kuta. Kombinirajmo stranu prvog kuta s onom stranom drugog kuta tako da preostale strane kutova budu na istoj strani ravne linije na kojoj leže kombinirane strane uglova. Zatim, ako su druge dvije strane uglova poravnate, onda se uglovi nazivaju jednak.

Ako se druge dvije strane kutova ne podudaraju, onda se kutovi nazivaju nejednaka, i manji kut se smatra dijelom drugog ( velik je kut koji u potpunosti sadrži drugi kut).

Očito su dva ravna kuta jednaka. Također je očito da je razvijeni kut veći od bilo kojeg nerazvijenog kuta.

Mjerenje kuta.

Mjerenje kuta temelji se na usporedbi izmjerenog kuta s kutom koji se uzima kao mjerna jedinica. Postupak mjerenja kutova izgleda ovako: počevši od jedne od strana izmjerenog kuta, njegovo unutarnje područje uzastopno se ispunjava pojedinačnim kutovima, čvrsto ih slažući jedan na drugi. Pritom se pamti broj naslaganih kutova, što daje mjeru izmjerenog kuta.

Zapravo, bilo koji kut se može uzeti kao jedinica mjere za kutove. Međutim, postoje mnoge općeprihvaćene jedinice za mjerenje kutova koji se odnose na različita područja znanosti i tehnologije, dobili su posebna imena.

Jedna od jedinica za mjerenje kutova je stupanj.

Definicija.

jedan stupanj je kut jednak stoosamdesetini ispravljenog kuta.

Stupanj je označen simbolom "", dakle, jedan stupanj je označen kao.

Dakle, u razvijenom kutu možemo stati 180 kutova u jedan stupanj. Izgledat će kao pola okrugle pite izrezane na 180 jednakih komada. Vrlo važno: "komadi kolača" čvrsto pristaju jedan uz drugog (odnosno, strane uglova su poravnate), pri čemu je strana prvog kuta poravnata s jednom stranom spljoštenog kuta, a strana zadnjeg kuta jedinice poklopio s drugom stranom spljoštenog kuta.

Prilikom mjerenja kutova utvrđuje se koliko puta stupanj (ili druga mjerna jedinica kutova) stane u izmjereni kut dok se unutarnje područje mjerenog kuta potpuno ne pokrije. Kao što smo već vidjeli, u razvijenom kutu stupanj odgovara točno 180 puta. Ispod su primjeri kutova u kojima kut od jednog stupnja stane točno 30 puta (takav kut je šestina pravog kuta) i točno 90 puta (pola ravnog kuta).

Za mjerenje kutova manje od jednog stupnja (ili druge mjerne jedinice kutova) iu slučajevima kada se kut ne može izmjeriti cijelim brojem stupnjeva (uzete mjerne jedinice), morate koristiti dijelove stupnja (dijelove uzetih mjerne jedinice). Pojedini dijelovi diplome dobili su posebna imena. Najčešći su takozvani minuti i sekunde.

Definicija.

Minuta je jedna šezdesetina stupnja.

Definicija.

Drugi je jedna šezdesetina minute.

Drugim riječima, postoji šezdeset sekundi u minuti i šezdeset minuta (3600 sekundi) u stupnju. Simbol "" koristi se za označavanje minuta, a simbol "" se koristi za označavanje sekundi (ne miješati sa znakovima izvedenice i druge izvedenice). Zatim, s uvedenim definicijama i oznakama, imamo , a kut u koji stane 17 stupnjeva 3 minute i 59 sekundi može se označiti kao .

Definicija.

Stupanj mjera kuta naziva se pozitivan broj, koji pokazuje koliko puta stupanj i njegovi dijelovi stane u zadani kut.

Na primjer, mjera stupnja ispravljenog kuta je sto osamdeset, a mjera stupnja kuta je .

Za mjerenje kutova postoje posebni mjerni instrumenti, od kojih je najpoznatiji kutomjer.

Ako su i oznaka kuta (na primjer) i njegova mjera stupnja (neka 110) poznati, upotrijebite kratku oznaku oblika i reci: "Ugao AOB je sto deset stupnjeva."

Iz definicija kuta i stupnja mjere kuta proizlazi da se u geometriji mjera kuta u stupnjevima izražava realnim brojem iz intervala (0, 180] (u trigonometriji kutovi s proizvoljnom stupnjskom mjerom smatraju se, nazivaju se).Ugao od devedeset stupnjeva ima poseban naziv, zove se pravi kut. Kut manji od 90 stupnjeva naziva se oštar kut. Kut veći od devedeset stupnjeva naziva se tup kut. Dakle, mjera oštrog kuta u stupnjevima izražava se brojem iz intervala (0, 90), mjera tupog kuta - brojem iz intervala (90, 180), pravi kut je jednak devedeset stupnjeva. Ovdje su ilustracije oštrog kuta, tupog kuta i pravog kuta.

Iz principa mjerenja kutova proizlazi da su stupnjeve mjere jednakih kutova jednake, stupanj mjera većeg kuta je veći od stupnja manjeg, a stupanj mjera kuta koji se sastoji od više kutova. jednak je zbroju stupnjevanih mjera sastavnih kutova. Na slici ispod prikazan je kut AOB, koji se sastoji od kutova AOC, COD i DOB, dok .

Na ovaj način, zbroj susjednih kutova je sto osamdeset stupnjeva, budući da tvore ravan kut.

Iz ove tvrdnje slijedi da . Doista, ako su kutovi AOB i COD okomiti, onda su kutovi AOB i BOC susjedni, a kutovi COD i BOC su također susjedni, dakle vrijede jednakosti i, iz čega slijedi jednakost.

Uz stupanj naziva se i zgodna jedinica za mjerenje kutova radijan. Radijanska mjera se široko koristi u trigonometriji. Definirajmo radijan.

Definicija.

Jedan radijanski kut- ovo središnji kut, što odgovara duljini luka, jednakoj duljini polumjera odgovarajuće kružnice.

Damo grafičku ilustraciju kuta od jednog radijana. Na crtežu je duljina polumjera OA (kao i polumjera OB ) jednaka duljini luka AB , dakle, po definiciji, kut AOB jednak je jednom radijanu.

Skraćenica "rad" koristi se za označavanje radijana. Na primjer, pisanje 5 rad znači 5 radijana. Međutim, u pisanom obliku, oznaka "rad" često se izostavlja. Na primjer, kada je napisano da je kut jednak pi, to znači pi rad.

Zasebno treba napomenuti da vrijednost kuta, izražena u radijanima, ne ovisi o duljini polumjera kružnice. To je zbog činjenice da su likovi omeđeni zadanim kutom i luk kružnice sa središtem na vrhu zadanog kuta slični jedni drugima.

Mjerenje kutova u radijanima može se obaviti na isti način kao i mjerenje kutova u stupnjevima: saznajte koliko puta kut od jednog radijana (i njegovi dijelovi) stane u zadani kut. I možete izračunati duljinu luka odgovarajućeg središnjeg kuta, a zatim ga podijeliti s duljinom polumjera.

Za potrebe prakse korisno je znati kako se mjere stupnja i radijana međusobno odnose, budući da se mora provesti popriličan dio. U ovom je članku uspostavljena veza između stupnja i radijanske mjere kuta te su dati primjeri pretvaranja stupnjeva u radijane i obrnuto.

Označavanje uglova na crtežu.

Na crtežima, radi praktičnosti i jasnoće, kutovi se mogu označiti lukovima, koji se obično crtaju u unutarnjem dijelu kuta s jedne strane kuta na drugu. Jednaki kutovi su označeni istim brojem lukova, nejednaki kutovi različitim brojem lukova. Pravi kutovi na crtežu označeni su simbolom oblika "", koji je prikazan u unutarnjem dijelu pravog kuta od jedne do druge strane kuta.

Ako na crtežu morate označiti mnogo različitih kutova (obično više od tri), tada je pri označavanju kutova, uz obične lukove, dopušteno koristiti i lukove neke posebne vrste. Na primjer, možete prikazati nazubljene lukove ili nešto slično.

Treba napomenuti da se ne biste trebali zanositi označavanjem kutova na crtežima i ne zatrpavati crteže. Preporučamo označavanje samo onih kutova koji su potrebni u procesu rješavanja ili dokazivanja.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
• Pogorelov A.V., Geometrija. Udžbenik za 7.-11. razred obrazovnih ustanova.