Dom » Gastroenterologija » Ispravna piramida. Definicija

Ispravna piramida. Definicija

četverokutna piramida Poliedrom se naziva poliedar čija je osnovica kvadrat, a sve bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti.

Ovaj poliedar ima mnogo različitih svojstava:

Njegova bočna rebra i susjedni kutovi diedra međusobno su jednaki;
Područja bočnih strana su ista;
U osnovi pravilne četverokutne piramide nalazi se kvadrat;
Visina spuštena s vrha piramide siječe se s točkom presjeka dijagonala baze.

Sva ova svojstva olakšavaju pronalaženje. Međutim, vrlo često, osim njega, potrebno je izračunati i volumen poliedra. Da biste to učinili, primijenite formulu za volumen četverokutne piramide:

Odnosno, obujam piramide jednak je jednoj trećini umnoška visine piramide i površine baze. Budući da je jednak umnošku svojih jednakih stranica, formulu kvadratne površine odmah unosimo u izraz za volumen.
Razmotrimo primjer izračunavanja volumena četverokutne piramide.

Neka je dana četverokutna piramida na čijoj osnovi leži kvadrat sa stranicom a = 6 cm. Bočna strana piramide je b = 8 cm. Odredite volumen piramide.

Da bismo pronašli obujam zadanog poliedra, potrebna nam je duljina njegove visine. Stoga ćemo ga pronaći primjenom Pitagorinog poučka. Prvo izračunajmo duljinu dijagonale. U plavom trokutu to će biti hipotenuza. Također je vrijedno zapamtiti da su dijagonale kvadrata jednake jedna drugoj i podijeljene na pola u sjecištu:

Sada iz crvenog trokuta nalazimo potrebnu visinu h. Bit će jednako:

Zamijenite tražene vrijednosti i pronađite visinu piramide:

Sada, znajući visinu, možemo zamijeniti sve vrijednosti u formuli za volumen piramide i izračunati traženu vrijednost:

Tako smo, poznavajući nekoliko jednostavnih formula, mogli izračunati obujam pravilne četverokutne piramide. Ne zaboravite da se ova vrijednost mjeri u kubičnim jedinicama.

apotema- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena od njenog vrha (osim toga, apotem je duljina okomice, koja je spuštena iz sredine pravilnog mnogokuta na 1 njegovu stranu);
bočna lica (ASB, BSC, CSD, DSA) - trokuti koji se spajaju na vrhu;
bočna rebra ( KAO , BS , CS , D.S. ) - zajedničke strane bočnih lica;
vrh piramide (v. S) - točka koja spaja bočne bridove i koja ne leži u ravnini baze;
visina ( TAKO ) - segment okomice, koji se povlači kroz vrh piramide do ravnine njezine baze (krajevi takvog segmenta bit će vrh piramide i baza okomice);
dijagonalni presjek piramide- presjek piramide, koji prolazi kroz vrh i dijagonalu baze;
baza (ABCD) je poligon kojem ne pripada vrh piramide.

svojstva piramide.

1. Kada su svi bočni rubovi iste veličine, tada:

u blizini baze piramide lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projiciran u središte ovog kruga;
bočna rebra tvore jednake kutove s osnovnom ravninom;
osim toga vrijedi i obrnuto, tj. kada bočni bridovi tvore jednake kutove s ravninom baze, ili kada se krug može opisati u blizini baze piramide i vrh piramide će biti projiciran u središte tog kruga, tada svi bočni bridovi piramide imaju iste veličine.

2. Kada bočne strane imaju kut nagiba prema ravnini baze iste vrijednosti, tada:

u blizini baze piramide, lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projiciran u središte ovog kruga;
visine bočnih strana su jednake duljine;
površina bočne površine je ½ produkta opsega baze i visine bočne strane.

3. U blizini piramide može se opisati sfera ako je baza piramide mnogokut oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će točka presjeka ravnina koje prolaze središtima bridova piramide okomite na njih. Iz ovog teorema zaključujemo da se sfera može opisati i oko svake trokutaste i oko svake pravilne piramide.

4. U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u 1. točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će postati središte sfere.

Najjednostavnija piramida.

Prema broju uglova baze piramide se dijele na trokutaste, četverokutne i tako dalje.

Piramida će trokutasti, četverokutan, i tako dalje, kada je baza piramide trokut, četverokut i tako dalje. Trokutasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokut - pentaedar i tako dalje.

Definicija 1. Piramida se naziva pravilnom ako joj je baza pravilan mnogokut, a vrh takve piramide projiciran je u središte njezine baze.

Definicija 2. Piramida se naziva pravilnom ako joj je baza pravilan mnogokut i ako joj visina prolazi središtem baze.

Elementi pravilne piramide

Visina bočne strane povučena iz njenog vrha naziva se apotema. Na slici je označen kao segment ON
Točka koja spaja bočne bridove i ne leži u ravnini baze naziva se vrh piramide(O)
Trokuti koji imaju zajedničku stranicu s osnovicom i jedan od vrhova koji se podudara s vrhom nazivaju se bočna lica(AOD, DOC, COB, AOB)
Isječak okomice povučen vrhom piramide na ravninu njezine baze naziva se visina piramide(U REDU)
Dijagonalni presjek piramide- ovo je presjek koji prolazi kroz vrh i dijagonalu baze (AOC, BOD)
Poligon koji nema vrh piramide naziva se baza piramide(ABCD)

Ako u bazi pravilna piramida leži trokut, četverokut itd. onda se zove pravilan trokutast , četverokutan itd.

Trokutasta piramida je tetraedar - tetraedar.

Svojstva pravilne piramide

Za rješavanje zadataka potrebno je poznavati svojstva pojedinih elemenata, koja se obično izostavljaju u uvjetu, jer se smatra da to učenik treba znati od samog početka.

bočna rebra su jednaka između sebe
apoteme su jednake
bočne strane su jednake među sobom (istodobno su im površine, stranice i baze jednake), odnosno jednaki su trokuti
sve bočne strane su jednake jednakokračni trokuti
u bilo koju pravilnu piramidu možete i upisati i opisati sferu oko nje
ako se središta upisane i opisane sfere poklapaju, tada je zbroj ravninskih kutova na vrhu piramide π, a svaki od njih π/n, pri čemu je n broj stranica osnovnog poligona
površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovici umnoška opsega baze i apoteme
krug se može opisati u blizini baze pravilne piramide (vidi također polumjer opisane kružnice trokuta)
sve bočne plohe tvore jednake kutove s ravninom osnovice pravilne piramide
sve visine bočnih stranica su međusobno jednake

Upute za rješavanje problema. Gore navedena svojstva trebala bi pomoći u praktičnom rješenju. Ako želite pronaći kutove nagiba lica, njihovu površinu itd., Onda opća tehnika svodi se na cijepanje cijele trodimenzionalne figure u zasebne ravne figure i primjenu njihovih svojstava za pronalaženje pojedinačnih elemenata piramide, budući da su mnogi elementi zajednički za nekoliko figura.

Potrebno je razbiti cijelu trodimenzionalnu figuru u zasebne elemente - trokute, kvadrate, segmente. Nadalje, primijeniti znanje iz kolegija planimetrije na pojedine elemente, što uvelike olakšava pronalaženje odgovora.

Formule za pravilnu piramidu

Formule za pronalaženje volumena i bočne površine:

Notacija:
V - volumen piramide
S - osnovna površina
h - visina piramide
Sb - bočna površina
a - apotem (ne brkati s α)
P - osnovni opseg
n - broj stranica baze
b - duljina bočnog rebra
α - ravni kut na vrhu piramide

Može se koristiti ova formula za određivanje volumena samo za ispravna piramida:

, gdje

V - volumen pravilne piramide
h - visina pravilne piramide
n je broj stranica pravilnog mnogokuta koji je osnova pravilne piramide
a - duljina stranice pravilnog mnogokuta

Ispravna krnja piramida

Ako nacrtamo presjek paralelan s bazom piramide, tada se tijelo zatvoreno između tih ravnina i bočne površine naziva krnja piramida. Ovaj odjeljak za krnju piramidu je jedna od njenih baza.

Visina bočne strane (koja je jednakokračni trapez), Zove se - apotem pravilne krnje piramide.

Krnju piramidu nazivamo ispravnom ako je piramida iz koje je dobivena pravilna.