Zbroj aritmetičkog i geometrijskog. Aritmetička progresija
Što glavna točka formule?
Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .
Naravno, morate znati prvi pojam a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara, ne možete zapisati određenu progresiju.
Nije dovoljno zapamtiti (ili prevariti) ovu formulu. Potrebno je asimilirati njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. Da, i ne zaboravite u pravo vrijeme, da ...) Kako ne zaboraviti- Ne znam. Ali kako zapamtiti Ako treba, dat ću ti savjet. Za one koji savladaju lekciju do kraja.)
Dakle, pozabavimo se formulom n-tog člana aritmetička progresija.
Što je općenito formula - zamišljamo.) Što je aritmetička progresija, broj člana, razlika progresije - jasno je navedeno u prethodnoj lekciji. Pogledajte ako ga niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što n-ti član.
napredovanje u opći pogled može se napisati kao niz brojeva:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo a 5, ako je sto dvadeseti - od a 120.
Kako općenito definirati bilo kojičlan aritmetičke progresije, s bilo koji broj? Jako jednostavno! Kao ovo:
a n
To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Ispod slova n svi brojevi članova su skriveni odjednom: 1, 2, 3, 4 itd.
A što nam takav zapis daje? Zamislite samo, umjesto broja, napisali su slovo...
Ovaj zapis nam daje moćan alat za rad s aritmetičkim progresijama. Koristeći notaciju a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I hrpa zadataka za rješavanje u tijeku. Vidjet ćete dalje.
U formuli n-tog člana aritmetičke progresije:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- prvi član aritmetičke progresije;
n- članski broj.
Formula povezuje ključne parametre svake progresije: a n ; a 1; d i n. Oko ovih parametara sve se zagonetke vrte u progresiji.
Formula n-tog pojma također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, u zadatku se može reći da je progresija dana uvjetom:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takav problem može čak i zbuniti... Nema niza, nema razlike... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 \u003d 5 i d = 2.
A može biti još ljutije!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, da, otvori zagrade i daj slične? Dobijamo novu formulu:
an = 3 + 2n.
to Samo ne općenito, već za konkretnu progresiju. Tu leži zamka. Neki ljudi misle da je prvi mandat trojka. Iako je u stvarnosti prvi član petica ... Malo niže ćemo raditi s tako izmijenjenom formulom.
U zadacima za napredovanje postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, pogađate, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije, čiji je broj veći od broja n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo za a n peti mandat, dakle a n+1 bit će šesti član. itd.
Najčešće oznaka a n+1 javlja se u rekurzivnim formulama. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja pojma aritmetičke progresije kroz prethodni. Pretpostavimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. A kako odmah brojati, recimo dvadeseti pojam, a 20? Ali nikako!) Dok se 19. mandat ne zna, 20. se ne može računati. Ovo je temeljna razlika između rekurzivne formule i formule n-tog člana. Rekurzivno radi samo kroz prethodni pojam, a formula n-tog pojma - kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana po broju. Ne računajući cijeli niz brojeva po redu.
U aritmetičkoj progresiji, rekurzivna formula može se lako pretvoriti u regularnu. Izbroji par uzastopnih pojmova, izračunaj razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. U GIA-i se takvi zadaci često nalaze.
Primjena formule n-tog člana aritmetičke progresije.
Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:
S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.
Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenje aritmetičke progresije. Dodaj, da dodaj ... Sat ili dva.)
A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete ga tempirati.) Odlučujemo.
Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ostaje za vidjeti što n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Ovdje pišemo:
Molim obratite pozornost! Umjesto indeksa n pojavio se određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. To je ovo značenje n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradama. Zamijenite sve brojeve u formuli i izračunajte:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je sve o tome. Jednako se brzo mogao pronaći petsto deseti član, a tisuću i treći, bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradama, i smatramo.
Dopustite da vas podsjetim na bit: ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji pojam aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .
Hajdemo pametnije riješiti problem. Recimo da imamo sljedeći problem:
Pronađite prvi član aritmetičke progresije (a n) ako je a 17 =-2; d=-0,5.
Ako imate bilo kakvih poteškoća, predložit ću prvi korak. Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Napišite rukom, pravo u svoju bilježnicu:
| a n = a 1 + (n-1)d |
A sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? Dostupno d=-0,5, postoji sedamnaesti član ... Sve? Ako mislite da je to sve, onda ne možete riješiti problem, da...
Imamo i broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dvije opcije. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). Oni. n=17. Ova „sitnica“ često promakne uz glavu, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako ... i bez glave.)
Sada možemo samo glupo zamijeniti naše podatke u formulu:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
O da, a 17 znamo da je -2. U redu, stavimo to:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
To je, u biti, sve. Ostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati. Dobijate odgovor: a 1 = 6.
Takva tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - uvelike pomaže u jednostavnim zadacima. Pa, naravno da morate znati izraziti varijablu iz formule, pa što učiniti!? Bez ove vještine, matematika se uopće ne može proučavati...
Još jedan popularan problem:
Pronađite razliku aritmetičke progresije (a n) ako je a 1 =2; a 15 =12.
Što radimo? Iznenadit ćete se, pišemo formulu!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Razmotrimo što znamo: a 1 = 2; a 15 = 12; i (poseban naglasak!) n=15. Slobodno zamijenite u formuli:
12=2 + (15-1)d
Napravimo aritmetiku.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ovo je točan odgovor.
Dakle, zadaci a n, a 1 i d odlučio. Ostaje naučiti kako pronaći broj:
Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.
Zamjenjujemo poznate količine u formulu n-tog člana:
a n = 12 + (n-1) 3
Na prvi pogled, ovdje su dvije nepoznate veličine: a n i n. Ali a n je neki član progresije s brojem n... A ovaj član progresije poznajemo! 99 je. Ne znamo njegov broj. n, pa treba pronaći i ovaj broj. Zamijenite izraz progresije 99 u formulu:
99 = 12 + (n-1) 3
Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.
A sada problem na istu temu, ali kreativniji):
Odredite hoće li broj 117 biti član aritmetičke progresije (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Napišimo opet formulu. Što, nema opcija? Hm... Zašto su nam potrebne oči?) Vidimo li prvog člana progresije? Mi vidimo. Ovo je -3,6. Možete sa sigurnošću napisati: a 1 \u003d -3,6. Razlika d može se odrediti iz serije? Lako je ako znaš koja je razlika aritmetičke progresije:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Da, napravili smo najjednostavniju stvar. Ostaje pozabaviti se nepoznatim brojem n i nerazumljiv broj 117. U prethodnom problemu barem se znalo da je zadan termin progresije. Ali mi to ovdje ni ne znamo ... Kako biti!? Pa, kako biti, kako biti... Uključite svoje kreativne sposobnosti!)
Mi pretpostavimo da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. Oni. pišemo formulu (da-da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:
Ups! Broj se pokazao razlomak! Sto i jedan i pol. I razlomci u progresijama ne može biti. Kakav zaključak donosimo? Da! Broj 117 niječlan našeg napredovanja. To je negdje između 101. i 102. pripadnika. Ako bi se broj pokazao prirodnim, t.j. pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem bit će: Ne.
Zadatak temeljen na stvarnoj verziji GIA-e:
Aritmetička progresija dana je uvjetom:
a n \u003d -4 + 6,8n
Pronađite prvi i deseti član progresije.
Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Nekakva formula ... To se događa.) Međutim, ova formula (kao što sam napisao gore) - također formula n-tog člana aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po broju.
Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri, kobno je u zabludi!) Jer je formula u zadatku izmijenjena. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. Ništa, sada ćemo to pronaći.)
Kao i u prethodnim zadacima, zamjenjujemo n=1 u ovu formulu:
a 1 = -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!
Slično, tražimo deseti pojam:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
To je sve o tome.
A sada, za one koji su pročitali do ovih redaka, obećani bonus.)
Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji GIA-e ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu n-tog člana aritmetičke progresije. Nešto mi pada na pamet, ali nekako nesigurno ... Da li n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?
Smiriti! Ovu formulu je lako izvesti. Ne baš stroga, ali sigurno i prava odluka je svakako dovoljna!) Za zaključak, dovoljno je zapamtiti osnovno značenje aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.
Nacrtamo brojčanu os i na njoj označimo prvu. drugi, treći itd. članova. I primijetite razliku d između članova. Kao ovo:
Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:
a 2 =a 1 + 1 d
Što je treći pojam? Treći pojam je jednak prvom članu plus dva d.
a 3 =a 1 + 2 d
Shvaćate li? Ne stavljam neke riječi podebljano uzalud. U redu, još jedan korak.)
Što je četvrti mandat? Četvrta pojam je jednak prvom članu plus tri d.
a 4 =a 1 + 3 d
Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, t.j. d, stalno jedan manji od broja člana kojeg tražite n. Odnosno do broja n, broj praznina bit će n-1. Dakle, formula će biti (bez opcija!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih matematičkih problema. Nemojte zanemariti slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike na rješenje - jednadžbe, nejednakosti, sustave itd. Ne možete staviti sliku u jednadžbu...
Zadaci za samostalno odlučivanje.
Za zagrijavanje:
1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Pronađite 3.
Savjet: prema slici, problem je riješen za 20 sekundi ... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule - korisnije je.) Članak 555 Taj se problem rješava i slikom i formulom. Osjeti razliku!)
I ovo više nije zagrijavanje.)
2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Nađi 3 .
Što, nevoljkost crtanja slike?) Ipak! Bolje je u formuli, da...
3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite sto dvadeset i peti član ove progresije.
U ovom zadatku napredovanje se daje na ponavljajući način. Ali brojeći do sto dvadeset i petog mandata... Ne može svatko napraviti takav podvig.) Ali formula n-tog člana svima je u moći!
4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.
5. Prema uvjetu zadatka 4 pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.
6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana je nula. Pronađite 14.
Nije najlakši zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prstima" neće raditi. Morate napisati formule i riješiti jednadžbe.
Odgovori (u neredu):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
dogodilo? Lijepo je!)
Ne ide sve? Događa se. Usput, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Bit će potrebna pažnja prilikom čitanja problema. I logika.
Rješenja svih ovih problema detaljno su razmotrena u Članak 555. I element fantazije za četvrti, i suptilni trenutak za šesti, i opći pristupi rješavanju bilo kakvih problema za formulu n-og člana - sve je oslikano. Preporučam.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebni odjeljak 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.
Ova tema je često teška i nerazumljiva. Slovni indeksi, n-ti član progresije, razlika progresije - sve je to nekako zbunjujuće, da... Shvatimo značenje aritmetičke progresije i sve će se odmah riješiti.)
Koncept aritmetičke progresije.
Aritmetička progresija je vrlo jednostavan i jasan koncept. Sumnjati? Uzalud.) Uvjerite se sami.
Napisat ću nedovršeni niz brojeva:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Možete li produžiti ovu liniju? Koji će brojevi ići sljedeći, nakon petice? Svi ... uh ..., ukratko, svi će shvatiti da će brojevi 6, 7, 8, 9 itd. ići dalje.
Zakomplicirajmo zadatak. Dajem nedovršeni niz brojeva:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Možete uhvatiti uzorak, produžiti niz i imenovati sedmi broj reda?
Ako ste shvatili da je ovaj broj 20 - čestitam vam! Ne samo da ste osjećali ključne točke aritmetičke progresije, ali ih i uspješno koristio u poslovanju! Ako ne razumijete, čitajte dalje.
Prevedimo sada ključne točke iz osjeta u matematiku.)
Prva ključna točka.
Aritmetička progresija se bavi nizovima brojeva. Ovo je u početku zbunjujuće. Navikli smo rješavati jednadžbe, graditi grafove i sve to... I onda produžiti niz, pronaći broj niza...
U redu je. Samo što su progresije prvo upoznavanje s novom granom matematike. Odjeljak se zove "Serija" i radi s nizovima brojeva i izraza. Naviknuti se na nešto.)
Druga ključna točka.
U aritmetičkoj progresiji, bilo koji broj se razlikuje od prethodnog za isti iznos.
U prvom primjeru ova razlika je jedna. Koji god broj uzmete, jedan je više od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri puta veći od prethodnog. Zapravo, upravo nam ovaj trenutak daje priliku da uhvatimo uzorak i izračunamo sljedeće brojeve.
Treća ključna točka.
Ovaj trenutak nije upečatljiv, da... Ali vrlo, vrlo važan. Evo ga: svaki broj progresije je na svom mjestu. Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset peti i tako dalje. Ako ih slučajno zbunite, uzorak će nestati. Aritmetička progresija također će nestati. To je samo niz brojeva.
To je cijela poanta.
Naravno, u novoj temi pojavljuju se novi pojmovi i oznake. Moraju znati. Inače nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morate odlučiti nešto poput:
Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n) ako je a 2 = 5, d = -2,5.
Nadahnjuje li?) Slova, neki indeksi... A zadatak, inače, nije mogao biti lakši. Samo trebate razumjeti značenje pojmova i oznaka. Sada ćemo savladati ovu stvar i vratiti se zadatku.
Pojmovi i oznake.
Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima se svaki broj razlikuje od prethodnog za isti iznos.
Ova vrijednost se zove . Pozabavimo se ovim konceptom detaljnije.
Razlika aritmetičke progresije.
Razlika aritmetičke progresije je iznos za koji bilo koji broj progresije više prethodni.
Jedna važna točka. Molimo obratite pažnju na riječ "više". Matematički, to znači da se dobiva svaki broj progresije dodajući razlika aritmetičke progresije prema prethodnom broju.
Za izračunavanje, recimo drugi brojeva reda, potrebno je prvi broj dodati upravo ta razlika aritmetičke progresije. Za izračun peti- razlika je neophodna dodati do Četvrta pa, itd.
Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivan tada će se svaki broj serije pokazati pravim više od prethodnog. Ova progresija se zove povećavajući. Na primjer:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Ovdje je svaki broj dodajući pozitivan broj, +5 na prethodni.
Razlika može biti negativan tada će svaki broj u nizu biti manje od prethodnog. Ova progresija se zove (nećete vjerovati!) opadajući.
Na primjer:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ovdje se dobiva i svaki broj dodajući na prethodni, ali već negativan broj, -5.
Usput, kada radite s progresijom, vrlo je korisno odmah odrediti njezinu prirodu - povećava li se ili opada. Mnogo pomaže da se orijentirate u odluci, da otkrijete svoje pogreške i ispravite ih prije nego što bude prekasno.
Razlika aritmetičke progresije obično se označava slovom d.
Kako pronaći d? Jako jednostavno. Potrebno je oduzeti bilo koji broj serije prethodni broj. Oduzeti. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)
Definirajmo npr. d za rastuću aritmetičku progresiju:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Uzimamo bilo koji broj retka koji želimo, na primjer, 11. Oduzmite od njega prethodni broj oni. osam:
Ovo je točan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju razlika je tri.
Možete samo uzeti bilo koji broj progresija, jer za određenu progresiju d-uvijek isto. Bar negdje na početku reda, barem u sredini, barem bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Samo zbog prvog broja nema prethodnog.)
Usput, znajući to d=3, pronalaženje sedmog broja ove progresije je vrlo jednostavno. Petom broju dodajemo 3 - dobivamo šesti, bit će 17. Šestom broju dodajemo tri, dobivamo sedmi broj - dvadeset.
Hajdemo definirati d za opadajuću aritmetičku progresiju:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Podsjećam vas da, bez obzira na znakove, odrediti d potrebno s bilo kojeg broja oduzeti prethodni. Odabiremo bilo koji broj progresije, na primjer -7. Njegov prethodni broj je -2. Zatim:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli broj, razlomak, iracionalan, bilo koji.
Ostali pojmovi i oznake.
Svaki broj u nizu se zove član aritmetičke progresije.
Svaki član progresije ima svoj broj. Brojke su strogo po redu, bez ikakvih trikova. Prvi, drugi, treći, četvrti itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaest je četvrti, pa, razumiješ...) Molim vas jasno shvatite - sami brojevi može biti apsolutno bilo koji, cijeli, razlomak, negativan, bilo koji, ali numeriranje- strogo po redu!
Kako napisati progresiju u općem obliku? Nema problema! Svaki broj u nizu je napisan kao slovo. Za označavanje aritmetičke progresije u pravilu se koristi slovo a. Broj člana označen je indeksom u donjem desnom kutu. Članovi se pišu odvojeni zarezima (ili točkom i zarezom), ovako:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 je prvi broj a 3- treći, itd. Ništa lukavo. Ovu seriju možete ukratko napisati ovako: (a n).
Postoje progresije konačan i beskonačan.
ultimativno progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset osam, svejedno. Ali to je konačan broj.
Beskrajna progresija - ima beskonačan broj članova, kao što možete pretpostaviti.)
Možete napisati konačnu progresiju kroz niz poput ove, sa svim članovima i točkom na kraju:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Ili ovako, ako ima mnogo članova:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
U kratkom unosu morat ćete dodatno navesti broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:
(a n), n = 20
Beskonačna progresija može se prepoznati po elipsi na kraju reda, kao u primjerima u ovoj lekciji.
Sada već možete rješavati zadatke. Zadaci su jednostavni, isključivo za razumijevanje značenja aritmetičke progresije.
Primjeri zadataka za aritmetičku progresiju.
Pogledajmo pobliže gornji zadatak:
1. Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.
Zadatak prevodimo na razumljiv jezik. S obzirom na beskonačnu aritmetičku progresiju. Drugi broj ove progresije je poznat: a 2 = 5. Poznata razlika u napredovanju: d = -2,5. Moramo pronaći prvog, trećeg, četvrtog, petog i šestog člana ove progresije.
Radi jasnoće, zapisat ću niz prema stanju problema. Prvih šest članova, gdje je drugi član pet:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Zamjenjujemo u izrazu a 2 = 5 i d=-2,5. Ne zaboravite minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Treći rok je manji od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan vrijednost, pa će sam broj biti manji od prethodnog. Progresija se smanjuje. U redu, uzmimo to u obzir.) Smatramo četvrti član naše serije:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Dakle, termini od trećeg do šestog su izračunati. To je rezultiralo nizom:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Ostaje pronaći prvi pojam a 1 prema poznatom drugom. Ovo je korak u drugom smjeru, ulijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d ne treba dodati a 2, a oduzeti:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je sve o tome. Odgovor na zadatak:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Usput napominjem da smo ovaj zadatak riješili ponavljajuća put. Ova strašna riječ znači samo potragu za članom progresije prethodnim (susjednim) brojem. Drugi načini rada s progresijom bit će raspravljeni kasnije.
Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.
Zapamtiti:
Ako znamo barem jedan član i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo koji član te progresije.
Zapamtiti? Ovaj jednostavan zaključak omogućuje nam da riješimo većinu problema školskog tečaja na ovu temu. Svi se zadaci vrte oko tri glavna parametra: član aritmetičke progresije, razlika progresije, broj člana progresije. Sve.
Naravno, sva prethodna algebra se ne poništava.) Nejednadžbe, jednadžbe i druge stvari pridodaju se progresiji. Ali prema progresiji- sve se vrti oko tri parametra.
Na primjer, razmotrite neke popularne zadatke na ovu temu.
2. Zapišite konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n=5, d=0,4 i a 1=3,6.
Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dano. Morate zapamtiti kako se članovi aritmetičke progresije izračunavaju, broje i zapisuju. Preporučljivo je ne preskakati riječi u uvjetu zadatka: "konačno" i " n=5". Da ne bi brojao dok ne budeš potpuno plav u licu.) U ovoj progresiji ima samo 5 (pet) članova:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Ostaje zapisati odgovor:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Još jedan zadatak:
3. Odredite hoće li broj 7 biti član aritmetičke progresije (a n) ako a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Tko zna? Kako nešto definirati?
Kako-kako... Da, zapišite progresiju u obliku serije i vidite hoće li biti sedam ili ne! Vjerujemo:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sada se jasno vidi da nas je samo sedam provukao se između 6,5 i 7,7! Sedam nije ušlo u naš niz brojeva, pa stoga sedam neće biti član zadane progresije.
Odgovor: ne.
A evo zadatka koji se temelji na stvarnoj verziji GIA-e:
4. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:
...; petnaest; X; 9; 6; ...
Evo serije bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d. U redu je. Za rješavanje problema dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Da vidimo i vidimo što možemo znati iz ove linije? Koji su parametri tri glavna?
Brojevi članova? Ovdje nema niti jednog broja.
Ali postoje tri broja i - pažnja! - riječ "uzastopno" u stanju. To znači da su brojevi strogo po redu, bez praznina. Ima li dva u ovom redu? susjedni poznati brojevi? Da tamo je! To su 9 i 6. Dakle, možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Oduzimamo od šest prethodni broj, tj. devet:
Ostalo je praznih mjesta. Koji će broj biti prethodni za x? Petnaest. Dakle, x se lako može pronaći jednostavnim zbrajanjem. Na 15 dodajte razliku aritmetičke progresije:
To je sve. Odgovor: x=12
Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ove zagonetke nisu za formule. Čisto za razumijevanje značenja aritmetičke progresije.) Samo zapisujemo niz brojeva-slova, gledamo i razmišljamo.
5. Pronađite prvi pozitivni član aritmetičke progresije ako je a 5 = -3; d = 1,1.
6. Poznato je da je broj 5,5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 1,6; d = 1,3. Odredite broj n ovog pojma.
7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Pronađite 3.
8. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:
...; 15,6; X; 3.4; ...
Pronađite termin progresije, označen slovom x.
9. Vlak je krenuo sa stanice, postupno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina vlaka za pet minuta? Odgovor dajte u km/h.
10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Pronađite 1.
Odgovori (u neredu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; četiri.
Je li sve uspjelo? Divno! U sljedećim lekcijama možete svladati aritmetičku progresiju na višoj razini.
Nije li sve uspjelo? Nema problema. NA Posebni odjeljak 555 sve su te zagonetke raščlanjene dio po dio.) I, naravno, opisana je jednostavna praktična tehnika koja odmah ističe rješenje takvih zadataka jasno, jasno, kao na dlanu!
Inače, u zagonetki o vlaku postoje dva problema na koja se ljudi često spotiču. Jedan je isključivo u progresiji, a drugi je uobičajen za sve zadatke iz matematike, pa i fizike. Ovo je prijevod dimenzija s jedne na drugu. Pokazuje kako se ti problemi trebaju riješiti.
U ovoj lekciji ispitali smo osnovno značenje aritmetičke progresije i njezine glavne parametre. Ovo je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. Dodati d na brojke, napiši seriju, sve će se odlučiti.
Rješenje "na prstima" dobro funkcionira za vrlo kratke komade serije, kao u primjerima u ovoj lekciji. Ako je niz duži, izračuni postaju složeniji. Na primjer, ako je u problemu 9 u pitanju, zamijenite "pet minuta" na "trideset pet minuta" problem će postati mnogo gori.)
A postoje i zadaci koji su u suštini jednostavni, ali potpuno apsurdni u smislu izračuna, na primjer:
S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.
I što, 1/6 ćemo dodati mnogo, mnogo puta?! Može li se ubiti!?
Možete.) Ako ne znate jednostavnu formulu po kojoj možete riješiti takve zadatke u minuti. Ova formula će biti u sljedećoj lekciji. I taj problem je tu riješen. U minuti.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.