Dom » Bolesti » Formula za zbroj opadajuće aritmetičke progresije. Aritmetička progresija

Formula za zbroj opadajuće aritmetičke progresije. Aritmetička progresija

Matematika ima svoju ljepotu, kao i slikarstvo i poezija.

Ruski znanstvenik, mehaničar N.E. Žukovski

Vrlo česti zadaci na prijemnim ispitima iz matematike su zadaci vezani uz pojam aritmetičke progresije. Za uspješno rješavanje ovakvih problema potrebno je dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.

Prisjetimo se najprije glavnih svojstava aritmetičke progresije i predstavimo najvažnije formule, povezana s ovim konceptom.

Definicija. Numerički niz, u kojem se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog za isti broj, zove se aritmetička progresija. U isto vrijeme, brojnaziva se razlika progresije.

Za aritmetičku progresiju vrijede formule

, (1)

gdje . Formula (1) se naziva formulom zajedničkog člana aritmetičke progresije, a formula (2) je glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije podudara se s aritmetičkom sredinom njegovih susjednih članova i .

Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva progresija koja se razmatra naziva "aritmetička".

Formule (1) i (2) gore su sažete kako slijedi:

(3)

Za izračunavanje sume prvi članovi aritmetičke progresijeobično se koristi formula

(5) gdje i .

Ako uzmemo u obzir formulu (1), onda formula (5) implicira

Ako odredimo

gdje . Budući da su , tada su formule (7) i (8) generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).

Konkretno, iz formule (5) slijedi, što

Među malo poznatim većini studenata je svojstvo aritmetičke progresije, formulirano pomoću sljedećeg teorema.

Teorema. Ako tada

Dokaz. Ako tada

Teorem je dokazan.

Na primjer , koristeći teorem, može se pokazati da

Prijeđimo na razmatranje tipičnih primjera rješavanja zadataka na temu "Aritmetička progresija".

Primjer 1 Neka i . Pronaći .

Riješenje. Primjenom formule (6) dobivamo . Budući da i , onda ili .

Primjer 2 Neka tri puta više, a pri dijeljenju s u kvocijentu, ispada 2, a ostatak je 8. Odrediti i.

Riješenje. Sustav jednadžbi slijedi iz uvjeta primjera

Budući da , , i , onda iz sustava jednadžbi (10) dobivamo

Rješenje ovog sustava jednadžbi su i .

Primjer 3 Pronađite ako i .

Riješenje. Prema formuli (5) imamo ili . Međutim, koristeći svojstvo (9), dobivamo .

Budući da i , Zatim iz jednakosti slijedi jednadžba ili .

Primjer 4 Pronađite ako .

Riješenje.Formulom (5) imamo

Međutim, koristeći teorem, može se pisati

Odavde i iz formule (11) dobivamo .

Primjer 5. S obzirom na: . Pronaći .

Riješenje. Od tad . Međutim , dakle .

Primjer 6 Neka , i . Pronaći .

Riješenje. Koristeći formulu (9), dobivamo . Stoga, ako , onda ili .

Budući da i onda ovdje imamo sustav jednadžbi

Rješavajući koje, dobivamo i .

Prirodni korijen jednadžbe je .

Primjer 7 Pronađite ako i .

Riješenje. Budući da prema formuli (3) imamo da , onda sustav jednadžbi slijedi iz uvjeta problema

Zamijenimo li izrazu drugu jednadžbu sustava, tada dobivamo ili .

Korijeni kvadratne jednadžbe su i .

Razmotrimo dva slučaja.

1. Neka , Onda . Budući da i , onda .

U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo

2. Ako , Tada , I

Odgovor: i.

Primjer 8 Poznato je da i Pronaći .

Riješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, zapisujemo i .

To podrazumijeva sustav jednadžbi

Ako prvu jednadžbu sustava pomnožimo s 2, a zatim je dodamo drugoj jednadžbi, dobit ćemo

Prema formuli (9) imamo. S tim u vezi, iz (12) slijedi ili .

Budući da i , onda .

Odgovor: .

Primjer 9 Pronađite ako i .

Riješenje. Budući da , i po uvjetu , onda ili .

Iz formule (5) je poznato, što . Od tad .

posljedično, ovdje imamo sustav linearnih jednadžbi

Odavde dobivamo i . Uzimajući u obzir formulu (8), zapisujemo .

Primjer 10 Riješite jednadžbu.

Riješenje. Iz zadana jednadžba slijedi da . Pretpostavimo da , , i . U ovom slučaju .

Prema formuli (1) možemo napisati ili .

Budući da , jednadžba (13) ima jedinstven prikladan korijen .

Primjer 11. Pronađite maksimalnu vrijednost pod uvjetom da i .

Riješenje. Budući da se smatra aritmetička progresija se smanjuje. U tom smislu izraz poprima maksimalnu vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.

Koristimo formulu (1) i činjenicu, koji i . Tada dobivamo to ili .

Jer , tada ili . Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, zato .

Ako se vrijednosti, i zamijene u formulu (6), dobivamo .

Odgovor: .

Primjer 12. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih prirodni brojevi, što kada se podijeli sa 6 daje ostatak od 5.

Riješenje. Označimo skupom svih dvovrijednih prirodnih brojeva, t.j. . Zatim konstruiramo podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se podijele s brojem 6, daju ostatak od 5.

Jednostavan za instalaciju, što . očito , da elementi skupaformiraju aritmetičku progresiju, u kojem i .

Da bismo odredili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da je . Budući da i , Tada formula (1) implicira ili . Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo .

Navedeni primjeri rješavanja problema nikako ne mogu tvrditi da su iscrpni. Ovaj se članak temelji na analizi moderne metode rješavanje tipičnih problema na zadanu temu. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema vezanih uz aritmetičku progresiju, preporučljivo je pogledati popis preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike tehničkih sveučilišta / Ed. MI. Scanavi. - M .: Svijet i obrazovanje, 2013. - 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog kurikuluma. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.

3. Medynsky M.M. Cjeloviti tečaj elementarne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojčani nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. - 208 str.

Imate li kakvih pitanja?

Za pomoć učitelja - registrirajte se.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Ili aritmetika - ovo je vrsta uređenog numeričkog niza čija se svojstva proučavaju u školskom tečaju algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije.

Kakva je to progresija?

Prije nego što prijeđemo na razmatranje pitanja (kako pronaći zbroj aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će se raspravljati.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa niza a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, možete jednostavno vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da sljedeća jednakost vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Koliki je zbroj aritmetičke progresije: formula

Prije davanja formule za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, trebate pronaći njihov zbroj. Budući da je u progresiji (10) malo članova, moguće je problem riješiti direktno, odnosno zbrojiti sve elemente po redu.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vrijedno je razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki pojam razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d \u003d 1, tada će zbrajanje u paru prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat . Stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, tih je zbroja samo 5, odnosno točno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim pomnožite broj zbroja (5) s rezultatom svakog zbroja (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generaliziramo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i zadnjeg a n , kao i ukupan broj pojmova n.

Vjeruje se da je Gauss prvi pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji je postavio njegov školski učitelj: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbroj elemenata od m do n: formula

Formula data u prethodnom odlomku odgovara na pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije (prvih elemenata), no često je u zadacima potrebno zbrojiti niz brojeva u sredini progresije. Kako to učiniti?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbroj članova od m-tog do n-og. Da bi se riješio problem, zadani segment od m do n progresije treba prikazati kao novi brojevni niz. U takvim zastupljenost m-th izraz a m bit će prvi, a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbroj, dobit će se sljedeći izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbroj njegovih članova, počevši od 5. i završavajući s 12.:

Navedeni brojevi označavaju da je razlika d jednaka 3. Koristeći izraz za n-ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Poznavajući vrijednosti brojeva na krajevima razmatrane algebarske progresije, kao i znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom odlomku. Dobiti:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbroj prvih 12 elemenata koristeći standardnu formulu, zatim izračunajte zbroj prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja .

Da, da: aritmetička progresija nije igračka za tebe :)

Pa, prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap dokaz govori da još uvijek ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, ovako: SOOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i odmah ću prijeći na posao.

Za početak, par primjera. Razmotrimo nekoliko skupova brojeva:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Što je zajedničko svim ovim skupovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog za isti broj.

Prosudite sami. Prvi set su samo uzastopni brojevi, svaki više od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva već je jednaka pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju, općenito postoje korijeni. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dok je $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. u tom se slučaju svaki sljedeći element jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je ovaj broj iracionalan).

Dakle: svi takvi nizovi se nazivaju samo aritmetičke progresije. Dajemo strogu definiciju:

Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za potpuno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.

Napomena: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.

I samo nekoliko važnih napomena. Prvo, razmatra se samo napredovanje uredno redoslijed brojeva: dopušteno ih je čitati strogo onim redoslijedom kojim su napisani – i ništa drugo. Ne možete preurediti ili zamijeniti brojeve.

Drugo, sam niz može biti ili konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako napišete nešto poput (1; 2; 3; 4; ...) - ovo je već beskonačna progresija. Mnogotočka iza četvorke, takoreći, nagovještava da dosta brojeva ide dalje. Beskonačno mnogo, na primjer. :)

Također bih želio napomenuti da se progresije povećavaju i smanjuju. Već smo vidjeli sve veće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

U redu, u redu: posljednji primjer može se činiti previše kompliciranim. Ali ostalo, mislim, razumiješ. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija naziva se:

povećava se ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;

smanjuje, ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - sastoje se od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastući napredak od opadajućeg? Na sreću, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, t.j. razlike u napredovanju:

Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
Ako je $d \lt 0$, tada se progresija očito smanjuje;
Konačno, postoji slučaj $d=0$ — u ovom slučaju cijela progresija se svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.

Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri gornja opadajuća progresija. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s desne strane, broj s lijeve strane. To će izgledati ovako:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kao što vidite, u sva tri slučaja razlika se doista pokazala negativnom. A sada kada smo manje-više shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.

Članovi progresije i ponavljajuće formule

Budući da se elementi naših sekvenci ne mogu zamijeniti, mogu se numerirati:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno$\]

Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovima progresije. Naznačuju se na ovaj način uz pomoć broja: prvi član, drugi član i tako dalje.

Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strelica desno ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Takva se formula naziva rekurentna, jer uz njenu pomoć možete pronaći bilo koji broj, samo poznavajući prethodni (i zapravo sve prethodne). To je vrlo nezgodno, pa postoji lukavija formula koja sve izračune svodi na prvi član i razliku:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]

Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Oni to vole davati u svim vrstama priručnika i reshebnika. I u svakom razumnom udžbeniku iz matematike, jedan je od prvih.

Ipak, predlažem da malo vježbate.

Zadatak broj 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riješenje. Dakle, znamo prvi član $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\lijevo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(poravnati)\]

Odgovor: (8; 3; -2)

To je sve! Imajte na umu da se naš napredak smanjuje.

Naravno, $n=1$ se nije moglo zamijeniti - već znamo prvi član. Međutim, zamjenom jedinice osigurali smo da i za prvi mandat naša formula funkcionira. U drugim slučajevima sve se svelo na banalnu aritmetiku.

Zadatak broj 2. Napišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njen sedmi član −40, a sedamnaesti član −50.

Riješenje. Uvjet problema zapisujemo uobičajenim terminima:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(poravnaj) \desno.\]

\[\left\( \begin(poravnati) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(poravnati) \pravo.\]

Stavio sam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. A sada napominjemo da ako oduzmemo prvu jednadžbu od druge jednadžbe (imamo pravo na to, jer imamo sustav), dobivamo ovo:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(poravnati)\]

Upravo tako, pronašli smo razliku u progresiji! Ostaje zamijeniti pronađeni broj u bilo kojoj od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Strelica prema dolje \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrica)\]

Sada, znajući prvi pojam i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(poravnati)\]

Spreman! Problem riješen.

Odgovor: (-34; -35; -36)

Obratite pažnju na zanimljivo svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$th i $m$th članove i oduzmemo ih jedan od drugog, tada ćemo dobiti razliku progresije pomnoženu brojem $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]

Jednostavno ali vrlo korisno svojstvo, što svakako trebate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema u progresijama. Evo primjera ovoga:

Zadatak broj 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.

Riješenje. Budući da $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, i da moramo pronaći $((a)_(15))$, napominjemo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(poravnati)\]

Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, dakle $5d=6$, odakle imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(poravnati)\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo trebali praviti nikakve sustave jednadžbi i izračunavati prvi član i razliku – sve je odlučeno u samo par redaka.

Sada razmotrimo drugu vrstu problema - potragu za negativnim i pozitivnim članovima progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, dok je njezin prvi termin negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni pojmovi. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije prije ili kasnije će postati negativni.

Istodobno, daleko je od uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "na čelu", uzastopno razvrstavajući elemente. Često su zadaci osmišljeni na način da bi bez poznavanja formula za izračune bilo potrebno nekoliko listova – jednostavno bismo zaspali dok ne bismo pronašli odgovor. Stoga ćemo ove probleme pokušati riješiti na brži način.

Zadatak broj 4. Koliko negativnih članova u aritmetičkoj progresiji -38,5; -35,8; …?

Riješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, iz čega odmah nalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi član je negativan, pa ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.

Pokušajmo saznati: koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) se čuva negativnost pojmova:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Strelica desno ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strelica desno ((n)_(\max ))=15. \\ \end(poravnati)\]

Posljednji redak treba pojasniti. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, odgovarat će nam samo cjelobrojne vrijednosti broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), tako da je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a ni u kojem slučaju 16.

Zadatak broj 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.

Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali susjedni pojmovi su poznati: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da možemo lako pronaći razliku u progresiji:

Uz to, pokušajmo izraziti peti pojam u terminima prvog i razlike koristeći standardnu formulu:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(poravnati)\]

Sada nastavljamo analogno s prethodnim problemom. Saznajemo u kojoj će se točki u našem nizu pojaviti pozitivni brojevi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strelica desno ((n)_(\min ))=56. \\ \end(poravnati)\]

Minimalno cjelobrojno rješenje ove nejednadžbe je broj 56.

Napominjemo da je u zadnjem zadatku sve svedeno na strogu nejednakost, pa nam opcija $n=55$ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, naučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam u budućnosti uštedjeti puno vremena i nejednakih ćelija. :)

Aritmetička sredina i jednake uvlake

Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti brojevnom linijom:

Članovi aritmetičke progresije na brojevnoj liniji

Posebno sam spomenuo proizvoljne članove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne bilo koje $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Jer pravilo, koje ću vam sada reći, radi isto za sve "segmente".

A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se rekurzivne formule i zapišemo je za sve označene članove:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(poravnati)\]

Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(poravnati)\]

Pa, što onda? Ali činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . A ta je udaljenost jednaka $d$. Isto se može reći i za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ za istu udaljenost jednaku $2d$. Možete nastaviti u nedogled, ali slika dobro ilustrira značenje

Članovi progresije leže na istoj udaljenosti od središta

Što to znači za nas? To znači da možete pronaći $((a)_(n))$ ako su poznati susjedni brojevi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izvukli smo veličanstvenu tvrdnju: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini susjednih članova! Štoviše, možemo odstupiti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka - i dalje će formula biti točna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Oni. lako možemo pronaći nešto $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi zadaci posebno "naoštreni" za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:

Zadatak broj 6. Pronađite sve vrijednosti $x$ tako da su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetičku progresiju (određenim redoslijedom).

Riješenje. Budući da su ovi brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element $x+1$ može se izraziti u terminima susjednih elemenata:

\[\begin(poravnati) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(poravnati)\]

Rezultat je klasična kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.

Odgovor: -3; 2.

Zadatak broj 7. Pronađite vrijednosti $$ tako da brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ formiraju aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Riješenje. Opet, srednji pojam izražavamo u terminima aritmetičke sredine susjednih pojmova:

\[\begin(poravnati) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(poravnati)\]

Još jedna kvadratna jednadžba. I opet dva korijena: $x=6$ i $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Ako u procesu rješavanja problema dobijete neke brutalne brojke, ili niste potpuno sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasan trik koji vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?

Recimo da smo u zadatku 6 dobili odgovore -3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Hajdemo ih samo priključiti u izvorno stanje i vidjeti što će se dogoditi. Dopustite mi da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), koji bi trebali činiti aritmetičku progresiju. Zamjena $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(poravnati)\]

Dobili smo brojeve -54; −2; 50 koje se razlikuju za 52 je nesumnjivo aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(poravnati)\]

Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, problem je točno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi zadatak, ali odmah ću reći: i tu je sve točno.

Općenito, rješavajući posljednje zadatke, naišli smo na još jedan zanimljiva činjenica, što također treba imati na umu:

Ako su tri broja takva da je drugi prosjek prvog i posljednjeg, tada ti brojevi čine aritmetičku progresiju.

U budućnosti, razumijevanje ove izjave omogućit će nam doslovno "konstruirati" potrebne progresije na temelju stanja problema. No prije nego što se upustimo u takvu "konstrukciju", trebamo obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz već razmotrenog.

Grupiranje i zbroj elemenata

Vratimo se opet na brojevnu liniju. Tu bilježimo nekoliko članova progresije, između kojih, možda. vrijedi puno drugih članova:

6 elemenata označenih na brojevnoj liniji

Pokušajmo izraziti "lijevi rep" u terminima $((a)_(n))$ i $d$, a "desni rep" u terminima $((a)_(k))$ i $ d$. Vrlo je jednostavno:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(poravnati)\]

Sada imajte na umu da su sljedeći zbroji jednaki:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+(a)_(k))-2d= S. \end(poravnati)\]

Jednostavno, ako za početak uzmemo dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim krenemo od tih elemenata koračati u suprotnim smjerovima (jedan prema drugom ili obrnuto da bismo se udaljili), zatim jednaki će biti i zbroji elemenata na koje ćemo naletjeti$S$. To se najbolje može prikazati grafički:

Iste alineje daju jednake iznose

Razumijevanje ove činjenice omogućit će nam rješavanje problema fundamentalno veće razine složenosti od onih koje smo razmatrali gore. Na primjer, ove:

Zadatak broj 8. Odredi razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.

Riješenje. Zapišimo sve što znamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(poravnati)\]

Dakle, ne znamo razliku u progresiji $d$. Zapravo, cjelokupno rješenje bit će izgrađeno oko razlike, budući da se proizvod $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \desno)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(poravnati)\]

Za one u spremniku: uzeo sam zajednički faktor 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni proizvod je kvadratna funkcija s obzirom na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - njen će graf biti parabola s granama prema gore, jer ako otvorimo zagrade, dobivamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kao što vidite, koeficijent s najvećim članom je 11 - ovo je pozitivan broj, tako da zapravo imamo posla s parabolom s granama prema gore:

graf kvadratne funkcije - parabola
Imajte na umu: ova parabola uzima svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati prema standardnoj shemi (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bi bilo puno razumnije imajte na umu da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, pa je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(poravnati)\]

Zato mi se nije žurilo otvarati zagrade: u izvornom obliku, korijenje je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Što nam daje otkriveni broj? Kod njega traženi proizvod uzima najmanju vrijednost (usput rečeno, nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Istovremeno, ovaj broj je razlika početne progresije, t.j. našli smo odgovor. :)

Odgovor: -36

Zadatak broj 9. Ubacite tri broja između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ tako da zajedno sa zadanim brojevima tvore aritmetičku progresiju.

Riješenje. Zapravo, trebamo napraviti niz od pet brojeva, pri čemu su prvi i zadnji broj već poznati. Označite brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]

Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)(6)$. A ako u ovom trenutku ne možemo dobiti $y$ iz brojeva $x$ i $z$, onda je situacija drugačija s krajevima progresije. Zapamtite aritmetičku sredinu:

Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da $x$ leži između upravo pronađenih $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$. Zato

Slično argumentirajući, nalazimo preostali broj:

Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Zapisujemo ih u odgovoru redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadatak broj 10. Između brojeva 2 i 42 ubacite nekoliko brojeva koji zajedno sa zadanim brojevima tvore aritmetičku progresiju, ako je poznato da je zbroj prvog, drugog i posljednjeg umetnutih brojeva 56.

Riješenje. Još teži zadatak, koji se, međutim, rješava na isti način kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva umetnuti. Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da će nakon umetanja biti točno $n$ brojeva, a prvi od njih je 2, a zadnji je 42. U ovom slučaju, željena aritmetička progresija može se predstaviti kao:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Međutim, imajte na umu da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 koji stoje na rubovima za jedan korak jedan prema drugom , tj. u središte niza. A ovo znači da

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ali tada se gornji izraz može prepisati ovako:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(poravnati)\]

Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku u progresiji:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strelica desno d=5. \\ \end(poravnati)\]

Ostaje samo pronaći preostale članove:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(poravnati)\]

Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstualni zadaci s progresijama

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa, kao jednostavni: većini učenika koji studiraju matematiku u školi, a nisu pročitali gore napisano, ovi zadaci mogu izgledati kao gesta. Ipak, upravo se takvi zadaci susreću u OGE-u i USE-u iz matematike, pa preporučam da se s njima upoznate.

Zadatak broj 11. Tim je u siječnju proizveo 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveo je 14 dijelova više nego u prethodnom. Koliko je dijelova brigada proizvela u studenom?

Riješenje. Očito, broj dijelova, oslikanih po mjesecima, bit će sve veća aritmetička progresija. I:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Stoga će u studenom biti proizvedeno 202 dijela.

Zadatak broj 12. Knjigovezačka radionica u siječnju je uvezala 216 knjiga, a svaki mjesec je uvezala 4 knjige više nego prethodni mjesec. Koliko je knjiga uvezala radionica u prosincu?

Riješenje. Sve isto:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.

Pa, ako ste čitali do sada, žurim vam čestitati: uspješno ste završili „tečaj mladog borca“ u aritmetičkim progresijama. Možemo sa sigurnošću prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučavati formulu zbroja progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.

Pa sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju, njih). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz
Na primjer, za naš slijed:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri sekundarna broja. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek isti.
Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (npr.), a svaki član tog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka.
Na primjer:

itd.
Takav brojčani niz naziva se aritmetička progresija.
Pojam "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. stoljeću i shvaćao ga se u širem smislu kao beskrajni brojčani niz. Naziv "aritmetika" prenio je iz teorije kontinuiranih proporcija, kojom su se bavili stari Grci.

Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, zbrojen istim brojem. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Shvaćam? Usporedite naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na zadanu progresiju () i pokušajmo pronaći vrijednost njezinog th člana. Postoji dva način da ga pronađete.

1. Metoda

Možemo dodati prethodnoj vrijednosti broja progresije sve dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo puno za rezimirati - samo tri vrijednosti:

Dakle, -ti član opisane aritmetičke progresije jednak je.

2. Metoda

Što ako bismo trebali pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri zbrajanju brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji ne morate dodati razliku aritmetičke progresije prethodnoj vrijednosti. Pažljivo pogledajte nacrtanu sliku ... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, pogledajmo što čini vrijednost --og člana ove aritmetičke progresije:

Drugim riječima:

Pokušajte na ovaj način samostalno pronaći vrijednost člana ove aritmetičke progresije.

Izračunati? Usporedite svoje unose s odgovorom:

Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - uvedimo je opći oblik i dobiti:

Jednadžba aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije se ili povećavaju ili smanjuju.

Povećanje- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazni- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula koristi se u izračunu članova u rastućim i opadajućim izrazima aritmetičke progresije.
Provjerimo to u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva:

Od tad:

Tako smo se uvjerili da formula radi i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći -ti i -ti član ove aritmetičke progresije.

Usporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Zakomplicirajmo zadatak – izvodimo svojstvo aritmetičke progresije.
Pretpostavimo da nam je zadan sljedeći uvjet:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako je, kažete, i počnite računati prema formuli koju već znate:

Neka, a, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, a zatim ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplicirano, ali što ako su nam dati brojevi u uvjetu? Slažem se, postoji mogućnost pogreške u izračunima.
Sada razmislite, je li moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku pomoću bilo koje formule? Naravno, da, i pokušat ćemo to sada iznijeti.

Željeni pojam aritmetičke progresije označavamo kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

prethodni član progresije je:
sljedeći termin progresije je:

Zbrojimo prethodne i sljedeće članove progresije:

Ispada da je zbroj prethodnog i sljedećih članova progresije dvostruko veći od vrijednosti člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da bismo pronašli vrijednost progresijskog člana s poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, potrebno ih je zbrojiti i podijeliti s.

Tako je, imamo isti broj. Popravimo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, jer to uopće nije teško.

Dobro napravljeno! Znate gotovo sve o napredovanju! Ostaje saznati samo jednu formulu, koju je, prema legendi, jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss, lako zaključio za sebe...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica je, zauzeta provjeravanjem rada učenika drugih razreda, na satu postavila sljedeći zadatak: „Izračunaj zbroj svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo. " Kakvo je bilo iznenađenje učitelja kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) nakon minute dao točan odgovor na zadatak, dok je većina kolega iz razreda drznika nakon dugih proračuna dobila pogrešan rezultat ...

Mladi Carl Gauss primijetio je uzorak koji možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -ti članova: Trebamo pronaći zbroj zadanih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno zbrojiti sve vrijednosti, ali što ako trebamo pronaći zbroj njegovih članova u zadatku, kao što je Gauss tražio?

Opišimo napredovanje koje nam je dano. Promotrite pomno istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.

Pokušao? Što ste primijetili? Ispravno! Njihovi su iznosi jednaki

Sada odgovori, koliko će takvih parova biti u progresiji koja nam je dana? Naravno, točno polovica svih brojeva, tj.
Na temelju činjenice da je zbroj dva člana aritmetičke progresije jednak, i sličnih jednakih parova, dobivamo da je ukupan zbroj jednak:
.
Dakle, formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku u progresiji. Pokušajte zamijeniti formulu zbroja, formulu th člana.
Što si dobio?

Dobro napravljeno! Vratimo se sada na problem koji je zadan Carlu Gausu: izračunajte sami koliki je zbroj brojeva koji počinju od -tog, a zbroj brojeva koji počinju od -tog.

Koliko ste dobili?
Gauss se pokazao da je zbroj članova jednak i zbroj članova. Jeste li tako odlučili?

Zapravo, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki znanstvenik Diofant još u 3. stoljeću, a kroz to su vrijeme duhoviti ljudi silovito koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Drevni Egipt a najveće gradilište tog vremena - izgradnja piramide... Slika prikazuje jednu njegovu stranu.

Kažete gdje je tu napredak? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.

Zašto ne aritmetička progresija? Izbrojite koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok opeke postavljene u podnožje. Nadam se da nećete brojati pomicanjem prsta po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, napredovanje izgleda ovako:
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (brojimo blokove na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati i na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se složilo? Bravo, savladali ste zbroj th članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih opeka potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Točan odgovor su blokovi:

Vježbati

Zadaci:

Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko će puta Maša čučnuti u tjednima ako je napravila čučnjeve na prvom treningu.
Koliki je zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u.
Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je baza zidanja trupci.

Odgovori:

Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
(tjedni = dani).
Odgovor: Za dva tjedna Maša bi trebala čučnuti jednom dnevno.
Prvi neparni broj, zadnji broj.
Razlika aritmetičke progresije.
Broj neparnih brojeva na pola, međutim, provjerite ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:
Brojevi sadrže neparne brojeve.
Dostupne podatke zamjenjujemo u formulu:
Odgovor: Zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u jednak je.
Prisjetite se problema s piramidama. U našem slučaju, a, budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, postoji samo hrpa slojeva, tj.
Zamijenite podatke u formuli:
Odgovor: U zidanju su trupci.

Sumirati

- numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Povećava se i smanjuje.
Pronalaženje formule. član aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje - broj brojeva u progresiji.
Zbroj članova aritmetičke progresije može se pronaći na dva načina:

, gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKI NAPREDAK. PROSJEČNA RAZINA

Numerički niz

Sjednimo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koji broj, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možete reći tko je od njih prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih pobrojati. Ovo je primjer niza brojeva.

Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki se broj može povezati s određenim prirodnim brojem, i to samo s jednim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (npr.), a svaki član tog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se --ti član niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja slijed:

A formula je sljedeći slijed:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika). Ili (, razlika).

formula n-tog pojma

Rekurentnom formulom nazivamo takvu formulu u kojoj, da biste saznali th pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći takvu formulu, moramo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. Zatim:

E, sad je jasno koja je formula?

U svakom retku zbrajamo do, pomnoženo s nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo udobnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Riješenje:

Prvi član je jednak. A koja je razlika? A evo što:

(uostalom, naziva se razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula je:

Tada je stoti član:

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovaj iznos za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbroj prvog i posljednjeg broja jednak, zbroj drugog i pretposljednjeg jednak, zbroj trećeg i trećeg s kraja isti, i tako dalje. Koliko ima takvih parova? Tako je, točno pola broja svih brojeva, tj. Tako,

Opća formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

Primjer:
Pronađite zbroj svih dvoznamenkastih višekratnika.

Riješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći dobiva se dodavanjem broja prethodnom. Dakle, brojevi koji nas zanimaju čine aritmetičku progresiju s prvim članom i razlikom.

Formula za th član za ovu progresiju je:

Koliko je članova u progresiji ako svi moraju biti dvoznamenkasti?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije bit će jednak. Zatim zbroj:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

Svaki dan sportaš trči 1m više nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u tjednima ako je prvi dan pretrčao km m?
Biciklist svaki dan prijeđe više kilometara od prethodnog. Prvog dana putovao je km. Koliko dana mora voziti da prijeđe kilometar? Koliko će kilometara prijeći posljednjeg dana putovanja?
Cijena hladnjaka u trgovini svake se godine smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se cijena hladnjaka smanjivala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

Odgovori:

Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njezine parametre. U ovom slučaju, (tjedni = dani). Morate odrediti zbroj prvih članova ove progresije:
.
Odgovor:
Ovdje je dano:, potrebno je pronaći.
Očito, morate koristiti istu formulu zbroja kao u prethodnom problemu:
.
Zamijenite vrijednosti:
Korijen očito ne odgovara, pa odgovor.
Izračunajmo prijeđenu udaljenost tijekom posljednjeg dana koristeći formulu --og člana:
(km).
Odgovor:
S obzirom na: . Pronaći: .
Ne postaje lakše:
(trljati).
Odgovor:

ARITHMETIČKI NAPREDAK. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija se povećava () i smanjuje ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

zapisuje se kao formula, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Olakšava pronalaženje člana progresije ako su poznati njegovi susjedni članovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina za pronalaženje zbroja:

Gdje je broj vrijednosti.

PREOSTALIH 2/3 ČLANKA DOSTUPNI SU SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!

Postanite učenik YouClevera,

Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šalica kave mjesečno",

I također dobiti neograničen pristup udžbeniku "YouClever", pripremnom programu "100gia" (rechebnik), neograničeno probni ispit i OGE, 6000 zadataka s analizom rješenja i drugim uslugama YouClever i 100gia.

Netko se s oprezom odnosi prema riječi "progresija", kao prema vrlo složenom pojmu iz odjeljaka više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksi brojača (gdje još uvijek ostaju). A razumjeti bit (a u matematici nema ništa važnije od "razumjeti bit") aritmetičkog niza nije tako teško, analizirajući nekoliko elementarnih pojmova.

Matematički niz brojeva

Uobičajeno je numerički niz nazivati nizom brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.

i 1 je prvi član niza;

i 2 je drugi član niza;

i 7 je sedmi član niza;

i n je n-ti član niza;

Međutim, ne zanima nas bilo koji proizvoljan skup brojki i brojeva. Pozornost ćemo usmjeriti na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem ovisnošću koja se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.

a - vrijednost člana brojčanog niza;

n je njegov serijski broj;

f(n) je funkcija gdje je ordinal u numeričkom nizu n argument.

Definicija

Aritmetičkom progresijom obično se naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:

a n - vrijednost trenutnog člana aritmetičke progresije;

a n+1 - formula sljedećeg broja;

d - razlika (određeni broj).

Lako je odrediti da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član razmatranog niza biti veći od prethodnog, a takva će se aritmetička progresija povećavati.

Na donjem grafikonu lako je vidjeti zašto se brojčani niz naziva "rastući".

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vrijednost navedenog člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost nekog proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To možete učiniti uzastopnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, od prvog do željenog. Međutim, ovaj način nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pettisućitog ili osmomilijuntnog člana. Tradicionalni izračun će potrajati dugo. Međutim, određena aritmetička progresija može se istražiti korištenjem određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnoženom s brojem željenog člana, minus jedan .

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.

Primjer izračunavanja vrijednosti zadanog člana

Riješimo sljedeći problem nalaženja vrijednosti n-tog člana aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 pojmova

Rješenje: za određivanje vrijednosti danog člana koristimo formulu:

a(n) = a1 + d(n-1)

Zamjenom podataka iz iskaza problema u izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. član niza jednak je 258,6.

Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje ne traje više od 2 retka.

Zbroj zadanog broja pojmova

Vrlo često, u danom aritmetičkom nizu, potrebno je odrediti zbroj vrijednosti nekih njegovih segmenata. Također ne treba izračunavati vrijednosti svakog pojma i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je mali broj članova čiji se zbroj mora pronaći. U drugim slučajevima, prikladnije je koristiti sljedeću formulu.

Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnoženog s brojem člana n i podijeljenog s dva. Ako se u formuli vrijednost n-tog člana zamijeni izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:

Primjer izračuna

Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

U zadatku je potrebno odrediti zbroj članova niza od 56 do 101.

Riješenje. Koristimo formulu za određivanje zbroja progresije:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Prvo određujemo zbroj vrijednosti 101 člana progresije zamjenom zadanih uvjeta našeg problema u formulu:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Očito, da bismo saznali zbroj uvjeta progresije od 56. do 101., potrebno je od S 101 oduzeti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer je:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka vratimo se primjeru aritmetičkog niza danog u prvom odlomku – taksimetar (taxi autometar). Razmotrimo takav primjer.

Ulazak u taksi (koji uključuje 3 km) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rublja / km. Udaljenost putovanja 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.

1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 = 27 km.

2. Daljnji izračun nije ništa drugo nego raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.

Članski broj je broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je zbroj.

Prvi termin u ovom problemu bit će jednak 1 = 50 rubalja.

Razlika napredovanja d = 22 str.

broj koji nas zanima - vrijednost (27 + 1) člana aritmetičke progresije - očitanje brojila na kraju 27. kilometra - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje temelje se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji, duljina orbite geometrijski ovisi o udaljenosti nebeskog tijela do svjetiljke. Osim toga, različiti brojčani nizovi uspješno se koriste u statistici i drugim primijenjenim granama matematike.

Druga vrsta niza brojeva je geometrijska

Geometrijsku progresiju karakterizira velika, u usporedbi s aritmetičkom, stopa promjene. Nije slučajno da se u politici, sociologiji, medicini često, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tijekom epidemije, kaže da se proces razvija eksponencijalno.

N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je 2, odnosno:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;

b n+1 - formula sljedećeg člana geometrijske progresije;

q je nazivnik geometrijske progresije (konstantni broj).

Ako je graf aritmetičke progresije ravna linija, onda geometrijski crta malo drugačiju sliku:

Kao iu slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na stepen n smanjen za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Pronađite 5. član progresije

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Zbroj zadanog broja članova također se izračunava pomoću posebne formule. Zbroj prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen s nazivnikom smanjenim za jedan: