Dom » Pedijatrija » Površina trokuta. Teorem o površini trokuta, sinusni i kosinusni teorem Kako pronaći površinu trokuta ako je poznat sinus

Površina trokuta. Teorem o površini trokuta, sinusni i kosinusni teorem Kako pronaći površinu trokuta ako je poznat sinus

Ako su problemu zadane duljine dviju strana trokuta i kut između njih, tada možete primijeniti formulu za površinu trokuta kroz sinus.

Primjer izračuna površine trokuta pomoću sinusa. Zadane su stranice a = 3, b = 4 i kut γ= 30°. Sinus kuta od 30° je 0,5

Površina trokuta bit će 3 kvadratna metra. cm.

Mogu postojati i drugi uvjeti. Ako su zadane duljina jedne stranice i kutovi, prvo morate izračunati kut koji nedostaje. Jer zbroj svih kutova trokuta je 180°, tada je:

Površina će biti jednaka polovici kvadrata stranice pomnoženoj s razlomkom. U brojniku je umnožak sinusa susjednih kutova, a u nazivniku je sinus suprotnog kuta. Sada izračunavamo površinu pomoću sljedećih formula:

Na primjer, dan je trokut sa stranicom a=3 i kutovima γ=60°, β=60°. Izračunajte treći kut:
Zamjena podataka u formulu
Dobivamo da je površina trokuta 3,87 četvornih metara. cm.

II. Površina trokuta u smislu kosinusa

Da biste pronašli površinu trokuta, morate znati duljine svih stranica. Prema kosinusnom teoremu, možete pronaći nepoznate strane, a tek onda koristiti .
Prema zakonu kosinusa, kvadrat nepoznate stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata preostalih stranica umanjenom za dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih.

Iz teorema izvodimo formule za određivanje duljine nepoznate stranice:

Znajući kako pronaći stranu koja nedostaje, imajući dvije strane i kut između njih, možete lako izračunati područje. Formula za površinu trokuta u smislu kosinusa pomaže vam da brzo i lako pronađete rješenje za različite probleme.

Primjer izračuna formule za površinu trokuta kroz kosinus
Zadan je trokut s poznatim stranicama a = 3, b = 4 i kutom γ= 45°. Prvo pronađimo dio koji nedostaje. S. Kosinusom 45°=0,7. Da bismo to učinili, zamijenimo podatke u jednadžbu izvedenu iz kosinusnog teorema.
Sada koristeći formulu, nalazimo

Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili dimenzije. Formule su prikazane u obliku slike, a ovdje su objašnjenja za primjenu ili obrazloženje njihove ispravnosti. Također, posebna slika prikazuje korespondenciju slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti donje formule, kao i dodatne posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

"Formule za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer opisane kružnice oko trokuta
h- visina trokuta, spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta, spuštena na stranicu a, b, c

Imajte na umu da navedena oznaka odgovara gornjoj slici, tako da bi vam prilikom rješavanja stvarnog problema u geometriji bilo vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice na koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika s dimenzijama b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog s nas, što će nam dati prethodnu formulu
Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta kroz raditi pola polumjera kruga upisanog u njega zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (lakše je zapamtiti na ovaj način)
Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 radijusa kruga opisanog oko njega (Formula 4)
Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu duljina njegovih stranica i njegovog poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
Površina proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga opisanog oko njega i sinusa svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
Ako su poznati duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice, podijeljen s dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutovi (Formula 9)
Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao po Heronovoj formuli
Formula 11 vam omogućuje izračunavanje površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su dane kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličan onom koji nije ovdje - pišite o tome na forumu. U rješenjima se funkcija sqrt() može koristiti umjesto simbola "kvadratnog korijena", u kojem je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz naveden je u zagradama.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 i 6 cm, a kut između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz tvrdnje problema:
S=1/2*5*6*sin60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija nalazimo i zamjenjujemo u izrazu vrijednost sinusa od 60 stupnjeva. Bit će jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima nastavnika, vjerojatno se može ostaviti i 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 3 cm.

Riješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta će imati oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetverostruče?

Riješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica redom jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje prikazano je u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta dane su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvući iz zagrada iz sva četiri izraza prema Opća pravila matematika.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti redak

Iz broja 256 savršeno je izvučen kvadratni korijen pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte petu liniju donje slike)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u problemu, dovoljno nam je podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Omjere površina određujemo tako da izraze podijelimo jedan u drugi i smanjimo dobiveni razlomak.

Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegovih stranica i sinusa kuta između njih.

Dokaz:

Promotrimo proizvoljni trokut ABC. Neka je stranica BC = a u njemu, stranica CA = b i S je površina ovog trokuta. To je potrebno dokazati S = (1/2)*a*b*sin(C).

Za početak uvodimo pravokutni koordinatni sustav i postavljamo ishodište u točku C. Postavimo naš koordinatni sustav tako da točka B leži na pozitivnom smjeru Cx osi, a da točka A ima pozitivnu ordinatu.

Ako je sve učinjeno ispravno, trebali biste dobiti sljedeću sliku.

Površina zadanog trokuta može se izračunati pomoću sljedeće formule: S = (1/2)*a*h, gdje je h visina trokuta. U našem slučaju, visina trokuta h jednaka je ordinati točke A, odnosno h \u003d b * sin (C).

S obzirom na dobivene rezultate, formula za površinu trokuta može se prepisati na sljedeći način: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Rješavanje problema

Zadatak 1. Odredite površinu trokuta ABC ako je a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, kut A = 60 stupnjeva b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, kut B= 45 stupnjeva c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, kut C = 48 stupnjeva.

Prema gore dokazanom teoremu, površina S trokuta ABC jednaka je:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Napravimo izračune:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Vrijednost sinusa kuta izračunavamo na kalkulatoru ili koristimo vrijednosti iz tablice vrijednosti trigonometrijski kutovi. Odgovor:

a) 12*√6 cm^2.

c) približno 36,41 cm^2.

Zadatak 2. Površina trokuta ABC je 60 cm^2. Nađi stranicu AB ako je AC = 15 cm, kut A = 30˚.

Neka je S površina trokuta ABC. Prema teoremu o površini trokuta, imamo:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Zamijenite vrijednosti koje imamo u to:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Odavde izražavamo duljinu stranice AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Može se pronaći poznavanjem baze i visine. Cjelokupna jednostavnost sheme leži u činjenici da visina dijeli bazu a na dva dijela a 1 i a 2, a sam trokut na dva pravokutna trokuta, čija se površina dobiva i. Tada će površina cijelog trokuta biti zbroj dviju navedenih površina, a ako uzmemo polovicu visine iz zagrade, tada ukupno dobivamo natrag bazu:

Teža metoda za izračun je Heronova formula za koju morate poznavati sve tri strane. Za ovu formulu prvo morate izračunati poluperimetar trokuta: Sama Heronova formula podrazumijeva kvadratni korijen poluobuha, pomnožen njegovom razlikom na svakoj strani.

Sljedeća metoda, također relevantna za bilo koji trokut, omogućuje vam da pronađete područje trokuta kroz dvije strane i kut između njih. Dokaz za to slijedi iz formule s visinom - povučemo visinu na bilo koju od poznatih strana i kroz sinus kuta α dobijemo da je h=a⋅sinα . Da biste izračunali površinu, pomnožite polovicu visine s drugom stranom.

Drugi način je pronaći površinu trokuta s dva kuta i stranicom između njih. Dokaz ove formule je vrlo jednostavan i jasno se može vidjeti iz dijagrama.

Visinu od vrha trećeg kuta spuštamo na poznatu stranu i dobivene segmente nazivamo x. Iz pravokutnih trokuta vidljivo je da je prvi segment x jednak umnošku

Teorem o površini trokuta

Teorem 1

Površina trokuta je pola umnoška dviju stranica i sinusa kuta između tih stranica.

Dokaz.

Neka nam je dan proizvoljan trokut $ABC$. Označimo duljine stranica ovog trokuta kao $BC=a$, $AC=b$. Uvedimo kartezijev koordinatni sustav, tako da točka $C=(0,0)$, točka $B$ leži na desnoj poluosi $Ox$, a točka $A$ leži u prvom koordinatnom kvadrantu. Nacrtajte visinu $h$ iz točke $A$ (slika 1).

Slika 1. Ilustracija teorema 1

Visina $h$ jednaka je ordinati točke $A$, dakle

Sinusni teorem

Teorem 2

Stranice trokuta proporcionalne su sinusima nasuprotnih kutova.

Dokaz.

Neka nam je dan proizvoljan trokut $ABC$. Označimo duljine stranica tog trokuta kao $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (slika 2).

Slika 2.

Dokažimo to

Prema teoremu 1, imamo

Izjednačujući ih u parovima, dobivamo to

Kosinusni teorem

Teorem 3

Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice trokuta bez udvostručenja umnoška tih stranica puta kosinusa kuta između tih stranica.

Dokaz.

Neka nam je dan proizvoljan trokut $ABC$. Označimo duljine njegovih stranica kao $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Uvedimo kartezijev koordinatni sustav tako da točka $A=(0,0)$, točka $B$ leži na pozitivnoj poluosi $Ox$, a točka $C$ leži u prvom koordinatnom kvadrantu (sl. 3).