Pravila za izračun izvedenica. Derivat funkcije

Derivat

Izračunavanje derivacije matematičke funkcije (diferencijacije) vrlo je čest zadatak u rješavanju više matematike. Za jednostavne (elementarne) matematičke funkcije ovo je prilično jednostavna stvar, budući da su tablice izvedenica za elementarne funkcije odavno sastavljene i lako dostupne. Međutim, pronalaženje derivacije složene matematičke funkcije nije trivijalan zadatak i često zahtijeva značajan trud i vrijeme.

Pronađite izvedenicu na internetu

Naša online usluga omogućuje vam da se riješite besmislenih dugih izračuna i pronađite izvedenicu na internetu u jednom trenutku. Štoviše, korištenjem naše usluge koja se nalazi na web stranici www.site, možete izračunati izvedenica online kako od elementarne funkcije tako i od vrlo složene koja nema analitičko rješenje. Glavne prednosti naše stranice u odnosu na druge su: 1) nema strogih zahtjeva za način unosa matematičke funkcije za izračunavanje derivacije (na primjer, kada unosite funkciju sinus x, možete je unijeti kao sin x ili sin (x) ili sin [x], itd.). d.); 2) izračun izvedenice online događa se trenutno u načinu rada na liniji i apsolutno besplatno; 3) dopuštamo pronalaženje derivacije funkcije bilo kakvu narudžbu, promjena redoslijeda izvedenice je vrlo laka i razumljiva; 4) omogućujemo vam da pronađete derivaciju gotovo bilo koje matematičke funkcije na mreži, čak i vrlo složene, nedostupne drugim uslugama. Navedeni odgovor je uvijek točan i ne može sadržavati pogreške.

Korištenje našeg poslužitelja omogućit će vam da 1) izračunate izvedenicu online umjesto vas, čime ćete se spasiti od dugih i zamornih izračuna tijekom kojih biste mogli pogriješiti ili pogriješiti; 2) ako sami izračunate derivaciju matematičke funkcije, tada vam dajemo priliku da usporedite rezultat s izračunima naše usluge i provjerite je li rješenje ispravno ili pronađete skrivenu grešku; 3) koristite našu uslugu umjesto da koristite tablice izvedenica jednostavnih funkcija, gdje je često potrebno vrijeme da se pronađe željena funkcija.

Sve što se od vas traži pronađite izvedenicu na internetu je korištenje naše usluge na

Lekcija na temu: "Što je izvedenica? Definicija izvedenice"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 10. razred
Algebarski zadaci s parametrima, 9.–11. razredi
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Što ćemo proučavati:
1. Uvod u pojam izvedenice.
2. Malo povijesti.

4. Derivat na grafu funkcije. Geometrijsko značenje izvedenice.

6. Diferencijacija funkcija.
7. Primjeri.

Upoznavanje s pojmom izvedenice

Postoji mnogo problema koji su potpuno različiti po značenju, ali u isto vrijeme postoje matematički modeli koji nam omogućuju da izračunamo rješenja naših problema na potpuno isti način. Na primjer, ako uzmemo u obzir zadatke kao što su:

A) Postoji neki bankovni račun koji se stalno mijenja jednom svakih nekoliko dana, iznos stalno raste, trebate pronaći koliko brzo raste račun.
b) Postrojenje proizvodi slatkiše, postoji stalni porast proizvodnje slatkiša, saznajte koliko brzo raste povećanje bombona.
c) Brzina automobila u nekom trenutku vremena t, ako je poznat položaj automobila, a kreće se pravocrtno.
d) Zadan nam je graf funkcije i u nekom trenutku se na njega povuče tangenta, trebamo pronaći tangentu nagiba na tangentu.
Formulacija naših zadataka je potpuno drugačija, a čini se da su u potpunosti riješeni različiti putevi, ali matematičari su shvatili kako sve te probleme riješiti na potpuno isti način. Uveden je pojam izvedenice.

Malo povijesti

Pojam izvedenice uveo je veliki matematičar - Lagrange, prijevod na ruski je dobiven od francuske riječi derivee, uveo je i modernu oznaku za izvedenicu, koju ćemo kasnije razmotriti.
Leibniz i Newton su u svojim djelima razmatrali koncept derivacije, našli su primjenu našeg pojma u geometriji, odnosno mehanici.
Nešto kasnije saznat ćemo da se derivacija određuje kroz granicu, ali postoji mali paradoks u povijesti matematike. Matematičari su naučili izračunati derivaciju prije nego što su uveli pojam granice i zapravo shvatili što je derivacija.

Neka je funkcija y=f(x) definirana na nekom intervalu koji sadrži neku točku x0 unutra. Prirast argumenta Δx - ne izlazi iz našeg intervala. Nađimo prirast Δy i sastavimo omjer Δy/Δx, ako postoji granica tog omjera kada Δx teži nuli, tada se navedena granica naziva derivacijom funkcije y=f(x) u točki x0 i označava prema f'(x0).

Pokušajmo objasniti što je derivat u nematematičkom jeziku:
Matematičkim jezikom: derivacija je granica omjera prirasta funkcije i prirasta njezina argumenta kada prirast argumenta teži nuli.
Uobičajenim jezikom: derivacija je brzina promjene funkcije u točki x0.
Pogledajmo grafikone triju funkcija:

Dečki, što mislite, koja od oblina brže raste?
Čini se da je odgovor svima očigledan: 1 krivulja raste brže od ostalih. Gledamo kako strmo graf funkcije ide gore. Drugim riječima, koliko se brzo mijenja ordinata kako se mijenja x. Ista funkcija u različitim točkama može imati drugačije značenje izvedenica – odnosno može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat na grafu funkcije. Geometrijsko značenje izvedenice

Pogledajmo sada kako pronaći derivaciju pomoću grafova funkcija:


Pogledajmo naš graf funkcije: Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u točki c s apscisom x0. Tangenta i graf naše funkcije su u kontaktu u točki A. Moramo procijeniti koliko strmo graf funkcije ide gore. Prikladna vrijednost za to je tangenta nagiba tangente.

Definicija. Derivat funkcije u točki x0 jednak je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u ovoj točki.

Kut nagiba tangente bira se kao kut između tangente i pozitivnog smjera osi x.
I tako je derivacija naše funkcije jednaka:

I tako je derivacija u točki x0 jednaka tangenti nagiba tangente, ovo je geometrijsko značenje derivacije.

Algoritam za pronalaženje derivacije funkcije y=f(x).
a) Popravite vrijednost x, pronađite f(x).
b) Nađite prirast argumenta x+ Δx i vrijednost prirasta funkcije f(x+ Δx).
c) Nađite prirast funkcije Δy= f(x+ Δx)-f(x).
d) Sastavite omjer: Δy / Δx
e) Izračunaj

Ovo je derivacija naše funkcije.

Diferencijacija funkcija

Ako funkcija y=f(x) ima derivaciju u točki x, tada se zove diferencijabilna u točki x. Proces nalaženja derivacije naziva se diferencijacija funkcije y=f(x).
Vratimo se pitanju kontinuiteta funkcije. Ako je funkcija u nekoj točki diferencibilna, tada se na graf funkcije u ovoj točki može povući tangenta, funkcija ne može imati diskontinuitet u ovoj točki, tada je jednostavno nemoguće nacrtati tangentu.
I tako zapisujemo gore navedeno kao definiciju:
Definicija. Ako je funkcija diferencibilna u točki x, tada je u toj točki kontinuirana.
Međutim, ako je funkcija kontinuirana u točki, to ne znači da je u toj točki diferencibilna. Na primjer, funkcija y=|x| u točki x=0 je kontinuirana, ali tangenta se ne može povući, pa stoga derivacija ne postoji.

Primjeri izvedenica

Nađi derivaciju funkcije: y=3x
Odluka:
Koristit ćemo algoritam pretraživanja izvedenica.
1) Za fiksnu vrijednost x, vrijednost funkcije y=3x
2) U točki x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx

3) Pronađite prirast funkcije: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δ

Ako slijedimo definiciju, tada je derivacija funkcije u točki granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte izračunati po ovoj formuli, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica izračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i učinkovitiji načini.

Za početak, napominjemo da se takozvane elementarne funkcije mogu razlikovati od čitave raznolikosti funkcija. Riječ je o relativno jednostavnim izrazima čije su izvedenice odavno izračunate i unesene u tablicu. Takve je funkcije dovoljno lako zapamtiti, zajedno s njihovim derivatima.

Derivati ​​elementarnih funkcija

Osnovne funkcije su sve dolje navedene. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štoviše, nije ih teško naučiti napamet – zato su elementarni.

Dakle, derivacije elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Derivat
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, da, nula!)
Stupanj s racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− grijeh x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži s proizvoljnom konstantom, tada se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Općenito, konstante se mogu izvaditi iz predznaka derivacije. Na primjer:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očito se elementarne funkcije mogu međusobno zbrajati, množiti, dijeliti i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne baš elementarne, ali i diferencirane prema određenim pravilima. O ovim pravilima raspravlja se u nastavku.

Derivat zbroja i razlike

Neka funkcije f(x) i g(x), čije su nam izvedenice poznate. Na primjer, možete uzeti gore navedene elementarne funkcije. Tada možete pronaći derivaciju zbroja i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbroja (razlike) dviju funkcija jednaka je zbroju (razlici) derivacija. Možda ima više pojmova. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Dakle, razlika f − g može se prepisati kao zbroj f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija zbroja.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbroj dviju elementarnih funkcija, dakle:

f ’(x) = (x 2+ grijeh x)’ = (x 2)' + (grijeh x)’ = 2x+ cosx;

Slično tvrdimo i za funkciju g(x). Samo postoje već tri pojma (sa stajališta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odgovor:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička znanost, pa mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija zbroja jednaka zbroju derivacija, onda derivacija proizvoda štrajk"\u003e jednak umnošku izvedenica. Ali fige vama! Derivat proizvoda se izračunava pomoću potpuno druge formule. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivacije funkcija: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dviju elementarnih funkcija, pa je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 koz x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (koz x)’ = 3x 2 koz x + x 3 (−grijeh x) = x 2 (3 koz x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo kompliciraniji, ali opća shema se ne mijenja od ovoga. Očito, prvi množitelj funkcije g(x) je polinom, a njegova derivacija je derivacija zbroja. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Odgovor:
f ’(x) = x 2 (3 koz x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku derivacija faktorizirana. Formalno, to nije potrebno, ali većina izvedenica se ne izračunava sama od sebe, već radi istraživanja funkcije. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti s nulom, saznati će se njezini predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz razložen na faktore.

Ako postoje dvije funkcije f(x) i g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i derivaciju:

Nije slabo, zar ne? Otkud minus? Zašto g 2? Ali ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučiti na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivacije funkcija:

U brojniku i nazivniku svakog razlomka postoje elementarne funkcije, tako da sve što trebamo je formula za derivaciju kvocijenta:

Po tradiciji, brojnik činimo u faktore - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je preuzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijeni varijablu x, recimo, na x 2+ln x. Ispada f(x) = grijeh ( x 2+ln x) je složena funkcija. Ona također ima izvedenicu, ali neće uspjeti pronaći je prema gore navedenim pravilima.

Kako biti? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formula za derivaciju složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', ako x je zamijenjen sa t(x).

U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s derivacijom kvocijenta. Stoga ga je također bolje objasniti konkretnim primjerima, s Detaljan opis svaki korak.

Zadatak. Pronađite derivacije funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2+ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, tada dobivamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga vršimo zamjenu: neka je 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo derivaciju složene funkcije po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Izvođenje obrnute zamjene: t = 2x+ 3. Dobivamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očito treba zamijeniti. x 2+ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grijeh t)’ · t' = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2+ln x. Zatim:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli se problem sveo na izračunavanje derivacije zbroja.

Odgovor:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama umjesto izraza “derivat” koristim riječ “moždani udar”. Na primjer, hod zbroja jednak je zbroju udaraca. Je li to jasnije? Pa to je dobro.

Dakle, izračun izvedenice svodi se na uklanjanje tih poteza prema gore navedenim pravilima. Kao posljednji primjer, vratimo se na derivacijski stepen s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo tko to zna u ulozi n može biti razlomak broj. Na primjer, korijen je x 0,5 . Ali što ako postoji nešto lukavo ispod korijena? Opet će se pokazati složena funkcija - vole davati takve konstrukcije na testovima i ispitima.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod nalazimo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Izvodimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzno od eksponencijalne funkcije? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim" i za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite derivaciju funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, što ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces nalaženja derivacije.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije at. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia – razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivacije funkcija:

1. u točki;
2. u točki;
3. u točki;
4. u točki.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim točkama, budući da je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći derivacije funkcija i;
2. Pronađite derivaciju funkcije u točki.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili što je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo našu funkciju dovesti na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristimo jednostavno pravilo: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći derivaciju i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

dogodilo?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakav kakav je bio, ostao je, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivacije funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne postoji način da se zapiše u više jednostavna forma. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, pronaći proizvoljan iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Ovaj logaritam trebamo dovesti u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada umjesto pisat ćemo:

Pokazalo se da je nazivnik samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati ​​eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat složene funkcije.

Što je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne tangenta luka. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (iako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "složeno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvije osobe sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo rezultirajući broj kvadrirati. Dakle, daju nam broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omot), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu akciju izravno s varijablom, a zatim drugu drugu akciju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.

Drugim riječima, Složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer,.

Iste korake možemo napraviti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (isto). .

Posljednja akcija koju napravimo bit će pozvana "vanjska" funkcija, a radnja izvedena prva - odn "unutarnje" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Razdvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično promjeni varijabli: na primjer, u funkciji

1. Što ćemo prvo poduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kocku. Dakle, to je unutarnja funkcija, a ne vanjska.
   A izvorna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izvući našu čokoladu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. Za originalni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, idemo konačno formulirati službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Čini se da je jednostavno, zar ne?

Provjerimo primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(samo ne pokušavajte smanjiti do sada! Ništa se ne vadi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da ovdje postoji složena funkcija na tri razine: uostalom, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje još izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot a s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: u svakom slučaju, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo što znamo. Kojim ćemo redoslijedom izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek radnje.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Derivat funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim povećanjem argumenta:

Osnovne izvedenice:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Izvedeni proizvod:

Derivat kvocijenta:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

1. Definiramo "unutarnju" funkciju, pronalazimo njenu derivaciju.
2. Definiramo "vanjsku" funkciju, pronalazimo njenu derivaciju.
3. Množimo rezultate prve i druge točke.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno definirana pravila diferencijacije. . Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na području pronalaženja izvedenica.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli derivaciju bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je prikladan za pronalaženje derivacije.

Za pronalaženje izvedenice, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odrediti koje radnje (produkt, zbroj, količnik) ove funkcije su povezane. Nadalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije proizvoda, zbroja i kvocijenta - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije dani su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Iz pravila diferencijacije doznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, t.j.

Iz tablice derivacija doznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a derivacija sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroj derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član s konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka derivacije:

Ako još uvijek postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona u pravilu postaju jasni nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo odmah k njima.

Tablica derivacija jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvijek jednak jedan. Ovo je također važno zapamtiti
3. Derivat stupnja. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentna derivacija
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat tangente luka
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbroja ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat kvocijenta
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj točki , zatim u istoj točki funkcije

i

oni. derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj točki , tada je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

oni. derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju proizvoda svake od tih funkcija i derivacije druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat umnoška nekoliko diferencibilnih funkcija jednak je zbroju umnožaka izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

mogu se razlikovati u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku i njihov kvocijent diferencibilan.u/v , i

oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prijašnjeg brojnika .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i kvocijenta u stvarnim zadacima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o tim derivacijama ima u članku."Derivat proizvoda i kvocijenta".

Komentar. Ne biste trebali brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana njegova derivacija je jednaka nuli, a kod konstantnog faktora uzeta je iz predznaka derivacija. To je tipična pogreška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, ta pogreška više ne čini.

A ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav je slučaj analiziran u primjeru 10) .

Druga česta pogreška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Tako derivacija složene funkcije posvećen zasebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacija izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Djelovanja s moćima i korijenima i Radnje s razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivacije s moćima i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija " Derivat zbroja razlomaka s potencijama i korijenima".

Ako imate zadatak poput , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu

Primjer 3 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao derivacija "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbroj proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

A rješenje problema možete provjeriti na izvedenici na .

Primjer 4 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Od nas se traži da pronađemo derivaciju kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prijašnjeg brojnika. dobivamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojniku u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobro došli u razred "Izvod zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o derivacijama sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od čimbenika kvadratni korijen nezavisne varijable, s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Rješenje derivacijskog problema možete provjeriti na kalkulator izvedenica online .

Primjer 6 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije kvocijenta, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .