प्राकृतिक वास्तविक। संख्याएँ: प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक

पूर्णांकों

गिनती में प्रयुक्त होने वाली संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, $1,2,3$ आदि। प्राकृत संख्याएँ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का निर्माण करती हैं, जिसे $N$ द्वारा निरूपित किया जाता है। यह संकेतन लैटिन शब्द से आया है नेचुरलिस-प्राकृतिक।

विपरीत संख्या

परिभाषा 1

यदि दो संख्याएँ केवल चिन्हों में भिन्न हों, तो उन्हें गणित में कहा जाता है विपरीत संख्याएँ।

उदाहरण के लिए, संख्या $5$ और $-5$ विपरीत संख्याएँ हैं, क्योंकि केवल चिन्हों में भिन्न है।

टिप्पणी 1

किसी भी संख्या के लिए एक विपरीत संख्या होती है, और इसके अलावा, केवल एक।

टिप्पणी 2

शून्य अपने आप में विपरीत है।

पूर्ण संख्याएं

परिभाषा 2

पूरा का पूराप्राकृत संख्याएँ, उनकी विपरीत संख्याएँ और शून्य संख्याएँ कहलाती हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय में प्राकृत संख्याओं का समुच्चय और उनके विपरीत शामिल होते हैं।

पूर्णांक $Z.$ . को निरूपित करें

भिन्नात्मक संख्या

$\frac(m)(n)$ के रूप की संख्याओं को भिन्न या भिन्नात्मक संख्याएँ कहा जाता है। साथ ही, भिन्नात्मक संख्याओं को दशमलव अंकन में लिखा जा सकता है, अर्थात्। दशमलव के रूप में।

उदाहरण के लिए: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ आदि।

पूर्णांकों की तरह, भिन्नात्मक संख्याएँ या तो धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं।

परिमेय संख्या

परिभाषा 3

परिमेय संख्यासंख्याओं का एक समूह है जिसमें पूर्णांकों और भिन्नात्मक संख्याओं का एक समूह होता है।

कोई भी परिमेय संख्या, चाहे पूर्णांक हो या भिन्न, को भिन्न $\frac(a)(b)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $a$ एक पूर्णांक है और $b$ एक प्राकृतिक संख्या है।

इस प्रकार, एक ही परिमेय संख्या को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए,

इससे पता चलता है कि किसी भी परिमेय संख्या को एक परिमित दशमलव भिन्न या एक अनंत दशमलव आवर्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को $Q$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

परिमेय संख्याओं पर कोई अंकगणितीय संक्रिया करने के परिणामस्वरूप, परिणामी उत्तर एक परिमेय संख्या होगी। यह आसानी से सिद्ध हो जाता है, इस तथ्य के कारण कि साधारण भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने पर आपको एक साधारण भिन्न प्राप्त होती है।

तर्कहीन संख्या

गणित के पाठ्यक्रम के अध्ययन के दौरान अक्सर ऐसी संख्याओं को हल करने में सामना होता है जो परिमेय नहीं होती हैं।

उदाहरण के लिए, गैर-परिमेय संख्याओं के एक सेट के अस्तित्व को सत्यापित करने के लिए, हम समीकरण $x^2=6$ को हल करते हैं। इस समीकरण की जड़ें संख्याएं $\surd 6$ और -$\surd 6$ हैं। ये संख्याएँ परिमेय नहीं होंगी।

साथ ही, $3$ भुजा वाले वर्ग का विकर्ण ज्ञात करने पर, पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं कि विकर्ण $\surd 18$ के बराबर होगा। यह संख्या भी तर्कसंगत नहीं है।

ऐसी संख्याओं को कहा जाता है तर्कहीन।

तो, एक अपरिमेय संख्या को अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न कहा जाता है।

सबसे आम अपरिमेय संख्याओं में से एक संख्या $\pi $ . है

अपरिमेय संख्याओं के साथ अंकगणितीय संचालन करते समय, प्राप्त परिणाम एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या दोनों हो सकता है।

इसे हम अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करने के उदाहरण से सिद्ध करेंगे। हमे पता करने दें:

    $\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

    $\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

फेसला

    $\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

    $\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

इस उदाहरण से पता चलता है कि परिणाम एक परिमेय या एक अपरिमेय संख्या हो सकता है।

यदि परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ एक ही समय में अंकगणितीय संक्रियाओं में शामिल हैं, तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या होगी (बेशक, $0$ से गुणा को छोड़कर)।

वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय होता है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को $R$ द्वारा निरूपित किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को $(-?;+?) द्वारा निरूपित किया जा सकता है।$

हमने पहले कहा था कि एक अनंत दशमलव गैर-आवधिक अंश को एक अपरिमेय संख्या कहा जाता है, और किसी भी परिमेय संख्या को एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत दशमलव आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए कोई भी परिमित और अनंत दशमलव अंश एक वास्तविक संख्या होगी।

बीजीय संक्रिया करते समय निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाएगा

  1. धनात्मक संख्याओं को गुणा और भाग देने पर परिणामी संख्या धनात्मक होगी
  2. ऋणात्मक संख्याओं को गुणा और भाग देने पर परिणामी संख्या धनात्मक होगी
  3. ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को गुणा और भाग देने पर परिणामी संख्या ऋणात्मक होगी

वास्तविक संख्याओं की एक दूसरे से तुलना भी की जा सकती है।


एक संख्या क्या है? NUMBER - गणित की मूल अवधारणाओं में से एक, प्राचीन काल में उत्पन्न हुई और धीरे-धीरे विस्तारित और सामान्यीकृत हुई। व्यक्तिगत वस्तुओं की गिनती के संबंध में, सकारात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक) संख्याओं की अवधारणा उत्पन्न हुई, और फिर संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला की अनंतता का विचार: 1, 2, 3। प्राकृतिक संख्याएँ उपयोग की जाने वाली संख्याएँ हैं वस्तुओं की गिनती में। एक


कहानी। प्राचीन लोगों के शिविर की खुदाई में, उन्हें एक भेड़िये की हड्डी मिली, जिस पर 30 हजार साल पहले, किसी प्राचीन शिकारी ने पचपन पायदान की चोट की थी। यह देखा जा सकता है कि उसने इन पायदानों को बनाते हुए अपनी उंगलियों पर गिना। हड्डी पर पैटर्न में ग्यारह समूह होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में पाँच पायदान होते हैं। साथ ही उन्होंने पहले पांच समूहों को एक लंबी लाइन से बाकियों से अलग कर दिया। साइबेरिया और अन्य स्थानों में भी उसी दूर के युग में बने पत्थर के औजार और गहने मिले थे, जिन पर 3, 5 या 7 में समूहित डैश और डॉट्स भी थे। सेल्ट्स एक प्राचीन लोग हैं जो 2500 साल पहले यूरोप में रहते थे। , जो फ्रांसीसी और अंग्रेजों के पूर्वज हैं, उन्हें बाईस माना जाता था (दो हाथ और दो पैरों ने बीस उंगलियां दीं)। इसके निशान संरक्षित हैं फ्रेंच, जहां "अस्सी" शब्द "चार गुना बीस" जैसा लगता है। अन्य लोगों को भी बीस माना जाता था - डेन और डच, ओस्सेटियन और जॉर्जियाई के पूर्वज। 2




सम और विषम संख्याएँ। सम संख्या एक पूर्णांक है जो बिना शेष के 2 से विभाज्य है: ..., 2, 4, 6, 8, ... विषम एक पूर्णांक है जो शेष के बिना 2 से विभाज्य नहीं है: ..., 1, 3, 5, 7, 9 पाइथागोरस ने संख्या को ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया और माना कि संख्याओं के विज्ञान के माध्यम से ब्रह्मांड के रहस्य का पता चलता है, क्योंकि संख्या में चीजों का रहस्य होता है। पाइथागोरस ने सम संख्याओं को स्त्रीलिंग माना, और विषम संख्याओं को पुल्लिंग माना: 2 + 3 \u003d 5 5 परिवार, विवाह का प्रतीक है। सम और विषम संख्याएँ = महिला और पुरुष संख्याएँ। 4


सरल और यौगिक। एक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जिसमें दो अलग-अलग प्राकृतिक भाजक होते हैं: एक और स्वयं। अभाज्य संख्याओं का क्रम इस प्रकार शुरू होता है: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, ... समग्र संख्याएँ 3 या अधिक भाजक वाली संख्याएँ हैं। संख्या सिद्धांत अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन है। इस प्रकार, एक से बड़ी सभी प्राकृत संख्याओं को अभाज्य और भाज्य में विभाजित किया जाता है। 5


पूर्ण और अपूर्ण संख्याएँ। पूर्ण संख्याएँ, धनात्मक पूर्णांक उनके सभी सही (अर्थात, इस संख्या से कम) भाजक के योग के बराबर। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 = और 28 = पूर्ण हैं। अब तक (1976) एक भी विषम सोवियत नहीं। घंटे और उनके अस्तित्व का प्रश्न खुला रहता है। उल्लू पर शोध। पाइथागोरस द्वारा घंटे शुरू किए गए, जिन्होंने संख्याओं और उनके संयोजनों के लिए एक विशेष रहस्यमय अर्थ को जिम्मेदार ठहराया। पाइथागोरस ने अपूर्ण संख्याओं को सही भाजक का योग कहा, जो स्वयं से कम हैं। 6




जादू की संख्या। संख्याओं के रहस्य लोगों को आकर्षित करते हैं, उन्हें तल्लीन करते हैं, समझते हैं, उनके निष्कर्षों की तुलना मामलों के वास्तविक सहसंबंध से करते हैं। प्राचीन दुनिया में संख्याओं का बहुत सम्मान किया जाता था। जो लोग उन्हें जानते थे वे महान माने जाते थे, उनकी तुलना देवताओं से की जाती थी। सबसे सरल उदाहरण विमान के कई देशों में टेल नंबर 13, फर्श और होटलों में कमरों की संख्या "13" के साथ अनुपस्थिति है। आठ
जादू पंक्ति 2 - संतुलन और इसके विपरीत की संख्या, और सकारात्मक और नकारात्मक गुणों को मिलाकर स्थिरता का समर्थन करना। 6 - विश्वसनीयता का प्रतीक। यह एक आदर्श संख्या है जो एक सम संख्या (2) और एक विषम संख्या (3) दोनों से विभाज्य है, इस प्रकार प्रत्येक के तत्वों को जोड़ती है। 8 - भौतिक सफलता की संख्या। यह पूर्ण विश्वसनीयता का प्रतीक है क्योंकि इसे दोहरे वर्ग द्वारा दर्शाया जाता है। आधे में विभाजित, इसके बराबर भाग (4 और 4) हैं। यदि इसे और विभाजित किया जाता है, तो भाग भी बराबर (2, 2, 2, 2) होंगे, जो चौगुना संतुलन दर्शाता है। 9 - सार्वभौमिक सफलता की संख्या, सभी संख्याओं में सबसे बड़ी। 3, नौ की तीन गुना संख्या के रूप में अस्थिरता को अभीप्सा में बदल देती है। दस





* मिस डेविस की सटीकता के आदी, छात्र ब्रेक की समाप्ति से कुछ मिनट पहले कक्षा में दिखाई दिए। चर्मपत्र और कलम लेने की किसी को जल्दी नहीं थी, यह जानते हुए कि व्याख्यान की शुरुआत के साथ वे स्वयं डेस्क पर दिखाई देंगे। इसके बजाय, छात्रों ने जादू का उपयोग करते हुए मिस डेविस के रूप में देखना शुरू कर दिया, बोर्ड पर कई रेखांकन, टेबल और आरेख लगाए, जिन्हें देखने मात्र से निराशा और उदासी पकड़ सकती थी *
- मैं देख रहा हूं कि आप में से कई पहले से ही व्याख्यान की सामग्री से परिचित होने में कामयाब रहे हैं - *जल्द ही दर्शकों का अभिवादन, जादूगरनी जारी रही * - आज के लिए हमारा काम यह सुनिश्चित करना है कि यह सामग्री न केवल आप देख रहे हैं, बल्कि यह भी समझ में आया - *विद्यालय की घंटी बजने से ऐन बाधित हुई और वह झुंझलाहट में मुस्कुराई*
// हमेशा की तरह बहुत सारी सामग्री है, लेकिन समय, हमेशा की तरह, पर्याप्त नहीं है। और इसलिए स्कूली पाठ्यक्रम में अंक ज्योतिष के लिए कुछ घंटे आवंटित किए जाते हैं //
आइए समय बर्बाद न करें और अभी शुरू करें।
* कुछ छात्रों के चेहरों पर जमी दहशत इस बात का स्पष्ट संकेत देती है कि अब वे बोझिल और जटिल गणनाओं के अलावा कुछ और करने में प्रसन्न होंगे। लेकिन प्रोफेसर अथक थे*
- पिछले पाठ में, हम विभिन्न वर्णानुक्रमिक संख्याओं से परिचित हुए। और आज से हम संख्यात्मक गणनाओं में उनके उपयोग से परिचित होना शुरू करेंगे। और आइए उन लोगों से शुरू करें जो प्राचीन ग्रीस के अंकशास्त्रियों द्वारा विकसित किए गए थे।
- उदाहरण के लिए, पाइथागोरस के साइकोमेट्रिक्स से? - *पहले डेस्क पर लाल बालों वाले वरिष्ठ छात्र को निर्दिष्ट करें*
- भ्रमित न हों, मिस गैरेट - *प्रोफेसर ने उसे चेतावनी दी* - साइकोमेट्रिक्स और पाइथागोरस वर्ग पूरी तरह से अलग चीजें हैं। साइकोमेट्रिक्स पाइथागोरस के वर्ग पर आधारित है, न कि इसके विपरीत। यह बहुत बाद में दिखाई दिया और आधुनिक ग्रीस के क्षेत्र से दूर रूसी अंकशास्त्रियों द्वारा विकसित किया गया था। दोनों मामलों में परिणामों की गणना और विश्लेषण के तरीके इतने भिन्न हैं कि साइकोमेट्रिक्स और पाइथागोरस वर्ग के संलयन के बारे में बात करना आवश्यक नहीं है। और, चूंकि हम पाइथागोरस के बारे में बात कर रहे हैं, तो, शायद, हम उसके साथ शुरू करेंगे। जिन लोगों को यह याद नहीं है कि यह प्राचीन पंडित कैसा दिखता है, मैं आपको याद दिला दूं - ठीक उसी तरह - *जादूगर की छड़ी की एक हल्की लहर का पालन करते हुए, एक बड़ा चित्र बोर्ड पर चला गया*

उनका जन्म 570 ईसा पूर्व में समोस द्वीप पर, मेनेसार्चस और पार्टेनिडा के परिवार में हुआ था। पाइथागोरस के माता-पिता ने वास्तव में क्या किया, इसके बारे में कोई सटीक जानकारी नहीं है। कुछ लोग मेन्सार्चस को एक सैमियन पत्थर-कटर कहते हैं, अन्य उसे टायर से एक फोनीशियन व्यापारी कहते हैं, जो समोस चले गए और एक महान यूनानी महिला से शादी कर ली। पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी डेल्फ़िक भविष्यवक्ता पाइथिया ने की थी। जादूगरनी ने कहा कि मनसेर्कस का पुत्र "लोगों को उतना लाभ और भलाई लाएगा जितना कोई और नहीं लाया और भविष्य में नहीं लाएगा।" खुश पिता ने नवजात का नाम पाइथागोरस रखने का फैसला किया, और यहां तक ​​कि अपनी पत्नी को पाइथाडा नाम भी दिया। लड़का वास्तव में बहुत प्रतिभाशाली निकला - 18 साल की उम्र में वह मिस्र चला गया, उसके साथ खुद पॉलीक्रेट्स की सिफारिश का एक पत्र था। वहाँ पाइथागोरस ने सामान्य अजनबियों के लिए दुर्गम ज्ञान को समझा, और उस पर 22 साल बिताए। बाबुल में अध्ययन के एक और 12 साल बिताए गए, जहां राजा कैंबिस द्वारा मिस्र की विजय के बाद वैज्ञानिक समाप्त हो गया। यह मिस्र और बेबीलोन के ग्रंथों के अध्ययन के दौरान था कि पाइथागोरस अंकशास्त्र में रुचि रखते थे। 56 वर्ष की आयु में अपने मूल समोस में लौटकर, उन्होंने सोचा कि उनके शिक्षकों ने लोगों के भाग्य पर संख्याओं के प्रभाव का अध्ययन करते हुए नामों के प्रभाव की उपेक्षा क्यों की। आखिरकार, किसी भी नाम को संख्याओं के एक निश्चित क्रम के रूप में लिखा जा सकता है। और आयनियन नंबरिंग, जो हम सभी से परिचित है, वैज्ञानिकों के लिए उसकी परिकल्पना का परीक्षण करने में एक अच्छी मदद थी। पाइथागोरस ने उस समय मौजूद संख्याओं के वर्गीकरण की अपूर्णता के बारे में भी सोचा। या यों कहें, इसकी लगभग पूर्ण अनुपस्थिति के बारे में। पाइथागोरस के विचार उस समय के लोगों को बोल्ड और असामान्य लगते थे, लेकिन फिर भी वह समान विचारधारा वाले लोगों को खोजने में कामयाब रहे। पाइथागोरस के शिष्य और अनुयायी बाद में एक तरह के क्रम में एकजुट हुए और पाइथागोरस कहलाने लगे। यह पाइथागोरस थे जिन्होंने संख्याओं का एक मौलिक रूप से नया वर्गीकरण बनाया, जिसका उपयोग आज कई अंकशास्त्री करते हैं - * लड़की ने एक पोस्टर पर छड़ी से इशारा किया, और छवि थोड़ी उज्जवल हो गई, जिससे छात्रों के लिए भी यह संभव हो गया। जो लिखा गया था उसे आसानी से पढ़ने के लिए गैलरी *

और भी

अजीब

सम-सम

कम्पोजिट

और भी अजीब

गैर-समग्र

सम-विषम (विषम-विषम)

गैर-समग्र-समग्र

पूरी तरह से ठीक

अति उत्तम

अपूर्ण

- विषम संख्यावे संख्याएँ हैं जिनके दो भाग होते हैं, जिनमें से एक सम है और दूसरी विषम है। उदाहरण के लिए: 4 (सम भाग) + 3 (विषम भाग) = 7. एक विषम संख्या को m=2k+1 के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ k € Z है। यानी k पूर्णांकों के समूह से संबंधित है, और इसमें मामले पर हम विचार नहीं करते हैं।
सम संख्यावे संख्याएँ हैं जिनके दो भाग होते हैं, दोनों या तो सम या विषम होते हैं। उदाहरण के लिए: 4 (सम भाग) + 4 (सम भाग) = 8 = 5 (विषम भाग) + 3 (विषम भाग)। एक सम संख्या को m=2k के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ k € Z. और यहाँ k भी पूर्णांकों के समुच्चय का भाग है।
मुगल्स पाइथागोरस से थोड़ा अलग, संख्याओं की समता की परिभाषा देंगे। उनके दृष्टिकोण से समानताएक पूर्णांक की विशेषता है। लेकिन सम संख्यावे पूर्णांक हैं जिन्हें बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित किया जा सकता है। विषम संख्याएँ, क्रमशः, 2 से विभाज्य नहीं हैं।
*ईन ने पोस्टर के नीचे अपनी छड़ी की ओर इशारा किया*
(6 + 6) \u003d 12 \u003d (7 + 5) - पाइथागोरस के अनुसार भी
12:2 = 6 - सम
12 = 2*6, जहाँ m=12, k=6
(10 + 5) \u003d 15 - पाइथागोरस के अनुसार विषम
15:2 = 7.5 - विषम
15 = (2*7) + 1, जहां एम=15, के=7
- अंकशास्त्र में पाइथागोरस द्वारा दी गई सम और विषम संख्याओं की परिभाषा का अधिक बार प्रयोग किया जाता है।
समग्र संख्या- ये वे संख्याएँ हैं जो अपने आप में एक और कुछ अन्य भाजक के बिना विभाज्य हैं। उदाहरण के लिए: 9 (1; 3; 9), 15 (1; 3; 5; 15) 27 (1; 3; 9; 27), 33 (1; 3; 11; 33) और इसी तरह।
गैर-संयुक्त संख्यावे संख्याएँ हैं जो स्वयं और एक से शेष के बिना विभाज्य हैं। उदाहरण के लिए: 3 (1 और 3), 5 (1 और 5), 7 (1 और 7), 11 (1 और 11), 13 (1 और 13) और इसी तरह। कुछ अंकशास्त्री ऐसी संख्याओं को रैखिक भी कहते हैं। पाइथागोरस के दृष्टिकोण से, उन्हें एक रेखा के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसमें लगातार बिंदु होते हैं।
गैर-समग्र-मिश्रित संख्यावे संख्याएँ हैं जिनका एक सामान्य भाजक नहीं है, लेकिन उनमें से प्रत्येक स्वयं विभाज्य है। उदाहरण के लिए: 9 (1; 3; 9) और 25 (1; 5; 25)। जैसा कि आप देख सकते हैं, वास्तव में ऐसी कोई सामान्य संख्या नहीं है जिससे 9 और 25 दोनों बिना शेषफल के विभाज्य हों। इन नंबरों को हमेशा जोड़े में माना जाता है।
सम संख्याओं के साथ, चीजें थोड़ी अधिक जटिल होती हैं।
सम-सम संख्या- ये वे संख्याएँ हैं जो एक से शुरू करके, दोगुने करके प्राप्त की जाती हैं। उदाहरण के लिए: 1, 2, 4, 8 और इसी तरह। पाइथागोरस ने इन संख्याओं को पूर्ण माना, क्योंकि उनमें से प्रत्येक को 2 से एक या अधिक बार विभाजित किया जा सकता था, और इसी तरह 1 प्राप्त होने तक। सम-सम संख्याओं में कई अद्वितीय गुण होते हैं। इसलिए, अंतिम एक को छोड़कर, किसी भी पद 1 का योग हमेशा अंतिम ऋण एक के बराबर होता है। डरावना? - *छात्रों से पूछा ऐन* - बिलकुल नहीं। एक उदाहरण पर विचार करें: (1+2+4+8)=(16-1)। पहले हम बात कर चुके हैं कि सम-सम संख्याएँ क्या होती हैं। और अगर हम इन नंबरों का एक क्रम लिखना चाहते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम मिलेंगे: 1, 2, 4, 8, 16, 32 ... तो, 8 के बाद, 16 नंबर जाना चाहिए। लेकिन, के अनुसार सम-सम संख्याओं के गुणधर्म, पहली चार संख्याओं को जोड़ने पर, हमें 16 नहीं, बल्कि 15 प्राप्त होते हैं। सम-सम संख्याओं के अनुक्रम को देखते हुए, वह संख्या, जो हम अपेक्षा कर सकते हैं उससे एक कम है। ऐसी संख्याओं वाली एक संख्या श्रृंखला में एक दिलचस्प गुण भी होता है: पहला पद, जिसे अंतिम से गुणा किया जाता है, अंतिम को तब तक देता है जब तक कि विषम संख्या वाले पदों के साथ श्रृंखला में एक संख्या शेष न हो। और यदि इस संख्या को अपने आप से गुणा कर दिया जाए, तो आपको श्रंखला की अंतिम संख्या प्राप्त होती है।
सम विषम संख्यावे संख्याएँ हैं जिन्हें केवल एक बार शेषफल के बिना 2 से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: 2, 6, 10, 14 और इसी तरह। यदि हम 2 से भाग करने का प्रयास करते हैं, उदाहरण के लिए, 10, तो हमें 5 मिलेगा। लेकिन यदि हम दो 5 से विभाजित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें एक पूर्णांक नहीं मिलेगा। इसी प्रकार, श्रृंखला में अन्य सभी सम-विषम संख्याओं को केवल एक बार 2 से पूर्णतः विभाजित किया जा सकता है। विषम संख्याओं को 2 से गुणा करने पर सम-विषम संख्याएँ प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए: 2 (1*2), 6 (3*2), 10 (5*2), 14 (7*2)। सम-विषम संख्याओं के भी अपने विशिष्ट गुण होते हैं। इसलिए, यदि ऐसी संख्या को एक विषम भाजक से विभाजित किया जाता है, तो भागफल किसी भी स्थिति में सम होगा। और यदि ऐसी संख्या का भाजक सम है, तो भागफल विषम होगा। उदाहरण के लिए:
14:7 (विषम भाजक)=2 (सम भागफल)
14:2 (यहां तक ​​कि भाजक) = 7 (विषम भागफल)
ऐसी संख्याओं की संख्या श्रृंखला के भी अपने गुण होते हैं। इस प्रकार, एक पंक्ति में कोई भी संख्या पंक्ति के दोनों ओर के पदों के योग का आधा होता है। आइए इस ज्ञान को समझते हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 10, 14 और 18 लें। सम-विषम संख्याओं की हमारी संख्या श्रृंखला में, 10 और 18 संख्या 14: 2, 6 के दोनों ओर खड़े होंगे, 10 , 14, 18 , 22. इसके अलावा, 10+18=28। और 28:2=14. यानी 14 वास्तव में श्रृंखला में अपने पड़ोसियों का आधा योग है।
पाइथागोरस वर्गीकरण के तीसरे बिंदु के साथ, चीजें कुछ हद तक बदतर हैं। वैज्ञानिक अभी भी इस बात पर बहस कर रहे हैं कि संख्याओं के इस समूह को कैसे कहा जाए: विषम-सम या विषम-विषम। विभिन्न साहित्य में आप दोनों नामों से मिल सकते हैं। इसलिए दोनों को याद रखना बेहतर है, लेकिन यह जान लें कि सार रूप में वे एक ही हैं। विषम समसंख्याएँ सम-सम और सम-विषम संख्याओं के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति रखती हैं। उन्हें 2 से एक-एक करके विभाजित करने पर, आपको 1 नहीं मिल सकता है, लेकिन आप उन्हें एक से अधिक बार 2 से विभाजित भी कर सकते हैं। सम-विषम संख्याओं को 2 से बड़ी सम-सम संख्याओं को विषम संख्याओं से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। कुछ विषम-सम संख्याएँ विषम संख्याओं की एक श्रृंखला को 4 से गुणा करके और फिर सम-सम संख्याओं की पूरी श्रृंखला से बनती हैं।
यह समझने के लिए कि यह या वह सम संख्या किस प्रकार की है, इसे घटकों में विघटित किया जाना चाहिए। इस मामले में, संख्या को विघटित करने वाले भागों की संख्या इसके भाजक की संख्या के अनुरूप होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, संख्या 6. यह 2, 3, 1 और स्वयं से विभाज्य है। इसलिए, 2+3+1=6; 6/6=1. इससे हम एक इनपुट बना सकते हैं कि:
परफेक्ट नंबरवे संख्याएँ हैं जिनके भागों का योग पूर्ण के बराबर होता है।
लेकिन अन्य संख्याएँ भी हैं। जैसे, उदाहरण के लिए, 18. यह 2, 9, 6, 3, 1 और स्वयं से विभाज्य है। इसलिए, 2+9+3+6+1= 21; 18/18 = 1. भागों का योग स्पष्ट रूप से संपूर्ण से अधिक है। इस मामले में, संख्या को सुपरपरफेक्ट माना जाता है।
सुपरपरफेक्ट नंबरवे संख्याएँ हैं जिनके भागों का योग पूर्ण से अधिक है।
आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। संख्या 8. यह 2, 4, 1 और स्वयं से विभाज्य है। इसलिए, 2+4+1=7; 8/8=1. भागों का योग पूरे से कम है। और इसका मतलब है कि हम अपूर्ण संख्याओं की अवधारणा पर आ गए हैं।
अपूर्ण संख्यावे संख्याएँ हैं जिनके भागों का योग पूर्ण से कम है।
- प्रोफेसर, क्या विषम संख्याएँ पूर्ण हो सकती हैं? - *एक गंभीर लड़की को उसके वस्त्रों पर हफलपफ कोट के साथ निर्दिष्ट किया गया*
*कक्षा में हँसी-मज़ाक करते हैं*
- व्यर्थ में तुम हँसते हो - *जादूगर ने मीरा साथियों को सीधा किया* - मिस टायलर ने बहुत सही सवाल पूछा। वास्तव में, एक विषम संख्या पूर्ण हो सकती है। सच है, अब तक केवल सिद्धांत में - *लड़की ने आह भरी* - अंकशास्त्री निश्चित रूप से जानते हैं कि इस तरह की संख्या में 9 अभाज्य भाजक और 75 अभाज्य भाजक होने चाहिए, बहुलता को ध्यान में रखते हुए। संख्या की खोज अभी तक नहीं हुई है, लेकिन किसी ने भी यह साबित नहीं किया है कि यह मौजूद नहीं है। अब कुछ अंकशास्त्री ऐसी संख्या की तलाश में हैं। शायद आप में से कोई एक भविष्य में इसका खोजकर्ता बनने के लिए भाग्यशाली होगा।
- यह या वह संख्या किस समूह से संबंधित है, इसके कुछ गुण हैं - *जादूगर ने व्याख्यान जारी रखा* - और ये गुण हैं जो किसी व्यक्ति के भाग्य को प्रभावित करते हैं। पाइथागोरस ने सम संख्याओं को निष्क्रिय स्त्री सिद्धांत के साथ जोड़ा। ये संख्याएं प्रकृति में बंद प्रक्रियाओं का प्रदर्शन हैं और स्वयं मनुष्य में, एक पूरे के ढांचे के भीतर चक्रीय परिवर्तन हैं। सम संख्याएँ किसी चीज़ को मात्रात्मक रूप से प्रभावित कर सकती हैं, लेकिन गुणात्मक रूप से नहीं। विषम संख्याएं, इसके विपरीत, आमतौर पर एक सक्रिय मर्दाना सिद्धांत से जुड़ी होती हैं। वे खुले सिस्टम और ट्रांजिस्टर का प्रदर्शन हैं। विषम संख्याएँ गुणात्मक रूप से कुछ बदलती हैं, मात्रात्मक रूप से नहीं।
"परफेक्ट नंबर सबसे अच्छे हैं!"
*प्रोफेसर डेविस ने मुंह फेर लिया: उसे यह छात्र याद नहीं था, वह पहली बार व्याख्यान में था*
- यह सही है, मिस्टर ... वाल्टन - *पत्रिका का हवाला देते हुए, उसने उत्तर दिया* - लेकिन अब से इसे काम के लिए मत लो, हाथ उठाओ। वास्तव में, पाइथागोरस ने पूर्ण संख्याओं को पुण्य के प्रतीक के रूप में देखा, कमी और अधिकता के बीच का सुनहरा मतलब। किसी व्यक्ति को जितनी अधिक पूर्ण संख्याएँ घेरती हैं, उसमें उतने ही अधिक गुण होते हैं। पाइथागोरस ने अपूर्ण संख्याओं को वाइस का प्रतीक कहा। तदनुसार, एक व्यक्ति जितना बुरा होता है, उतनी ही अपूर्ण संख्याएँ उसे घेर लेती हैं। लेकिन हम पहले ही अपने पहले पाठ में भाग्य पर संख्याओं के प्रभाव के बारे में बात कर चुके हैं। भाग्य बहुभिन्नरूपी है और चुनाव अक्सर केवल हम पर ही निर्भर करता है। अंक हमारे मार्गदर्शक सितारे हैं, लेकिन हम रास्ता खुद चुनते हैं। इसलिए, यह कहना असंभव है कि कोई व्यक्ति केवल एक खुश जन्म तिथि के कारण सफल हुआ, और कोई एक अशुभ सितारे के तहत पैदा हुआ और इसलिए एक बदमाश बड़ा हुआ। लेकिन वापस हमारे वर्गीकरण के लिए। इसके बाद, पाइथागोरस ने इसे महत्वपूर्ण रूप से पूरक और विस्तारित किया। मेटापोंटस के हिप्पासस, पाइथागोरस और थीनो की काल्पनिक बेटी, कैडिज़ के मॉडरेटस, लोक्रिस के टिमियस, पाइथागोरस की पत्नी थीनो, सिरैक्यूज़ के फिलोलॉस और एकफैंटस ने विशेष रूप से इस मामले में खुद को प्रतिष्ठित किया। इन पाइथागोरस के कार्यों के अनुसार, संख्याएँ इस प्रकार हैं - *प्रोफेसर ने दूसरे पोस्टर पर छड़ी से इशारा किया, और यह तुरंत बहुत उज्जवल और अधिक ध्यान देने योग्य हो गया*

महान वैज्ञानिक के काम के उत्तराधिकारियों ने लंबे समय तक तर्क दिया कि क्या शून्य को एक संख्या माना जा सकता है, और यह भी कि इसे कैसे वर्गीकृत किया जाए और इसे किस समूह में परिभाषित किया जाए। यूनिट ने काफी विवाद भी किया। नतीजतन, इसे प्राथमिक सम-विषम संख्या की महत्वपूर्ण भूमिका सौंपी गई। यह वह थी जिसने पुरातनता के प्रतिभाशाली अंकशास्त्रियों द्वारा बनाए गए पूरक वर्गीकरण का आधार बनाया। इस वर्गीकरण के अनुसार:
वर्ग संख्याविषम संख्याओं को जोड़ने पर प्राप्त संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए: 1+3=4; 1+3+5+7=16; 1+3+5=9; 3+13=16. इन संख्याओं को कभी-कभी पाइथागोरस द्वारा वर्गों के रूप में दर्शाया जाता था।
आयताकार संख्यासम संख्याओं को जोड़ने पर प्राप्त संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए: 2+4=6; 2+4+6=12.
त्रिकोणीय संख्या- ये सम और विषम संख्याओं को क्रम से जोड़ने पर प्राप्त संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए: 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10. पाइथागोरस के दृष्टिकोण से इन संख्याओं को त्रिभुजों द्वारा दर्शाया जा सकता है।
पंचकोणीय संख्या- पाइथागोरस के अनुसार इन संख्याओं को पेंटागन द्वारा दर्शाया जा सकता है। पंचकोणीय संख्याओं में 5, 12 और 22 शामिल हैं।
लगभग कोई भी संख्या तीनों श्रेणियों में फिट हो सकती है। कुछ गणनाओं के आधार पर, यह वर्गाकार और त्रिकोणीय, साथ ही आयताकार और पंचकोणीय दोनों हो सकता है।
- अब बात करते हैं कि पहले शोधकर्ताओं ने किन गुणों के साथ संख्याओं को संपन्न किया - *जादूगर ने अपनी छड़ी से संख्याओं और उनकी व्याख्याओं से ढके एक बड़े पोस्टर पर इशारा किया*

संख्या

नाम

छवि

गुण

प्राथमिक सम-विषम संख्या, सभी चीजों का आधार। शुरुआत की संख्या, सकारात्मक गतिशीलता और ताकत। डायोजनीज लार्टेस ने नोट किया कि पूरी संख्या श्रृंखला सन्यासी से निकलती है। मोनाड से द्याद आता है, द्याद से - अन्य सभी संख्याएँ, और उनसे - बिंदु, रेखाएँ, "द्वि-आयामी" और "त्रि-आयामी संस्थाएँ" और निकाय। यह सीधेपन, स्वतंत्रता, नेतृत्व और साहस का प्रतीक है, अपूर्ण रूप में यह आक्रामकता और स्वार्थ का प्रतीक हो सकता है।

सभी चीजों के द्वैत के सिद्धांत को व्यक्त करने वाली एक द्वितीयक संख्या। सबसे "नरम" संख्या, सहयोग और कूटनीति का प्रतीक। आमतौर पर रंग जन्म तिथि या भविष्य के संरक्षक और सलाहकार के नाम पर पाया जाता है। अतिरिक्त जीवन शक्ति देता है, कई शताब्दी और स्वस्थ लोगों को यह भी संदेह नहीं है कि वे न केवल इसके लिए ऋणी हैं स्वस्थ जीवनशैलीजीवन और नियमित व्यायाम।

पाइथागोरस के दृष्टिकोण से सबसे सुंदर, संख्या। एकमात्र प्राकृतिक संख्या अपने पूर्ववर्तियों का योग है। एकमात्र संख्या जिसका पूर्ववर्तियों का योग उनके उत्पाद के बराबर है। त्रय जादू की संख्या में से एक है। परंपरागत रूप से, जादुई शक्ति की संख्या 3, 7 और 11 है। एक बहुत ही शक्तिशाली रचनात्मक और प्रेरक संख्या। आशावाद, आत्म-अभिव्यक्ति और सौभाग्य का प्रतीक है।

पाइथागोरस की एक और पसंदीदा संख्या। पहली संख्या जो समान संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने पर प्राप्त होती है। न्याय, व्यवस्था, सटीकता और विश्वसनीयता का प्रतीक। एक व्यक्ति आदेश और नियमों, विश्लेषण और व्यवस्थितकरण के लिए प्यार पैदा करता है, लक्ष्य, समानता और ईमानदारी को प्राप्त करने में दृढ़ता को मजबूत करता है।

यह प्रतीक सभी पाइथागोरस द्वारा किया गया था। उनके लिए धन्यवाद, उन्होंने समान विचारधारा वाले लोगों को पहचाना। जीवन, शक्ति और अजेयता की संख्या। अपने लेखन में निकोमाचस ने लिखा: "न्याय एक पंचक है।" पाइथागोरस ने पेंटाड को एक पवित्र संख्या माना, जो पुरुष और महिला सिद्धांतों, प्रेम और विवाह के एकीकरण का प्रतीक है।

ब्रह्मांड की संतुलन संख्या। स्वास्थ्य और अटूट जीवन शक्ति का प्रतीक।

पाइथागोरस ने एनीड को "संख्या-क्षितिज" कहा, जो पहले और बाद के सभी दसियों की संख्या का परिसीमन करता है। पूर्णता, प्रतिभा, कलात्मकता, आदर्शवाद और परोपकारिता का प्रतीक।

अभिसरण की संख्या, पाइथागोरस ने इसे पृथ्वी और आकाश के संबंध का प्रतीक देखा। दशक को टेट्राक्सिस के पवित्र प्रतीक के रूप में चित्रित करने की प्रथा थी।

*जादूगर ने अपनी छड़ी को मेज से एक चित्र में स्थानांतरित कर दिया*

बहुत बार, दशक की छवि के बजाय, जो तालिका में दी गई है, पाइथागोरस ने टेट्राक्सिस का ऐसा पवित्र चिन्ह, सद्भाव और ब्रह्मांड का प्रतीक लिखा। बेशक, उनकी व्याख्या को एकमात्र सही और सही नहीं माना जा सकता है। अन्य देशों के अंकशास्त्री इन संख्याओं को पूरी तरह से अलग विशेषताएँ दे सकते हैं। फिर भी अंकशास्त्रियों के बीच पाइथागोरस की विशेषताओं का अत्यधिक सम्मान किया जाता है। कुछ मामलों में, वे पूरी तरह से और सटीक रूप से अधिकांश संख्याओं के वास्तविक सार को दर्शाते हैं। और…
*लेकिन स्कूल की घंटी ने फिर सबसे अहंकारी और बेशर्म तरीके से प्रोफेसर को बीच में ही रोक दिया*
//पहले से ही?//
*लड़की ने अपनी जेब से एक पतली चेन पर चांदी की घड़ी निकाली और सुनिश्चित किया कि समय समाप्त हो गया है और वास्तव में व्याख्यान समाप्त करने का समय आ गया है*
- आज के लिए इतना ही। हम अगले व्याख्यान में पाइथागोरस वर्ग और अन्य समान रूप से दिलचस्प बातों के बारे में बात करेंगे। ब्लैकबोर्ड होमवर्क - *ऐन ने कुछ पोस्टर फैलाए और कुछ जगह बनाई। अपनी छड़ी से ब्लैकबोर्ड को छूकर, उन्होंने छात्रों को उस सत्रीय कार्य को फिर से लिखने का अवसर दिया जो वहां दिखाई दिया*

कार्य

  1. व्याख्यान में छात्रों में से एक ने आलस्य के आगे घुटने टेक दिए और मिस डेविस द्वारा जारी की गई जानकारी को विस्तार से लिखना शुरू नहीं किया। और अब वह अपने ही नोटों में उलझा हुआ है। पाइथागोरस संख्याएँ यहाँ क्या हैं, इसके बारे में आप क्या सोचते हैं? प्रश्न में? बहस।
    - प्राथमिक सभी को देखने वाली आंखें
    - स्वास्थ्य के दो अंगूठियां
    - नोटबुक आदेश
    - न्याय के दानव को बुलाओ
    - बैलेंस स्टार
    - एक ऋषि के सिर में मोगौग्लॉफ
    - पहली घन वस्तु
    - आदर्शवादी का कमल
    - एक वृत्त में तीन खगोलीय-सांसारिक प्लंबोब
  2. मानव शरीर में बंद मात्रात्मक प्रक्रियाओं और मानव पर्यावरण में खुली गुणात्मक प्रक्रियाओं का कम से कम एक उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति की 1 वर्ष की वार्षिक परिपक्वता/उम्र एक चक्रीय बंद मात्रात्मक प्रक्रिया है।

अतिरिक्त काम

    1. लेखन। आपके आगे एक कठिन परीक्षा है, जिसके लिए आप बहुत अच्छी तरह से तैयार नहीं हैं। सहपाठियों से सुनकर कि चर्मपत्र पर पायथागॉरियन संख्याओं में से एक की छवि परीक्षण के दौरान अच्छी किस्मत लाती है। आप कोशिश करने का फैसला करते हैं। आप अपने परीक्षा चर्मपत्र पर कौन सा चिह्न लगाएंगे और क्यों?
    1. रिपोर्ट करें "चिह्न इतना भयानक नहीं है जितना कि इसे चित्रित किया गया है।" पेंटाग्राम हमेशा एक नकारात्मक प्रतीक नहीं था - सिकंदर महान ने इसे अपनी मुहरों पर चित्रित किया था, और महान सर गवेन ने इसे अपनी ढाल पर पहना था। हमें उस कठिन ऐतिहासिक और सांस्कृतिक मार्ग के बारे में बताएं जिससे यह उभयलिंगी प्रतीक गुजरा है। (1000 वर्ण)
    1. भूमिका निभाना "पारिवारिक मेलोड्रामा"। आप बहुत बदकिस्मत हैं - आपका छोटी बहनएक स्क्वीब पैदा हुआ। इससे पहले कि आपके माता-पिता समझ सकें कि क्या हो रहा है, आपने मामलों को अपने हाथों में लेने और इसे ठीक करने का फैसला किया। आप जानते हैं कि पाइथागोरस के अनुसार 3 जादू की संख्या है। इसलिए, यदि आप दुर्भाग्यपूर्ण ट्रिपल को घेरते हैं, तो सैद्धांतिक रूप से, पूर्ण जादू उसमें जागना चाहिए। मदद करने के अपने प्रयासों को पूरा करें और अपने माता-पिता की नज़र में न आने का प्रयास करें ताकि सब कुछ रहस्य स्पष्ट न हो जाए।
    1. काल्पनिक चुनौती। आप बहुत भाग्यशाली हैं - आप वोल्डेमॉर्ट / हैरी पॉटर के व्यक्तिगत अंकशास्त्री हैं (चरित्र का चुनाव आप पर निर्भर है)। आपने अपने संरक्षक को सलाह दी है कि टेट्राक्सिस का चिन्ह हमेशा अपने साथ रखें - इससे किसी भी व्यवसाय में सफलता सुनिश्चित होनी चाहिए। हालांकि, किसी कारण से, अपेक्षित सफलता नहीं मिल रही है, आपका संरक्षक असंतुष्ट है और आपको कागज पर या अवाडा के माध्यम से निकालने का इरादा रखता है। न केवल अपनी जगह बल्कि अपने जीवन को भी बचाने की कोशिश करें। कार्य को भूमिका निभाने के रूप में जारी किया जा सकता है।
  5. (यह व्याख्यान केवल 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 पाठ्यक्रमों के लिए है)

संख्या का सहज विचार स्पष्ट रूप से उतना ही पुराना है जितना कि स्वयं मानवता, हालांकि सिद्धांत रूप में इसके विकास के सभी प्रारंभिक चरणों का निश्चित रूप से पता लगाना असंभव है। इससे पहले कि कोई व्यक्ति संख्याओं के लिए शब्दों को गिनना या उनका आविष्कार करना सीखे, उसके पास निस्संदेह संख्या का एक दृश्य, सहज ज्ञान युक्त विचार था, जिसने उसे एक व्यक्ति और दो लोगों, या दो और कई लोगों के बीच अंतर करने की अनुमति दी। वह आदिम लोग पहले केवल "एक", "दो" और "कई" जानते थे, इस तथ्य से पुष्टि की जाती है कि कुछ भाषाओं में, उदाहरण के लिए, ग्रीक में, तीन व्याकरणिक रूप हैं: एकवचन, दोहरी और बहुवचन। बाद में, मनुष्य ने दो और तीन पेड़ों के बीच और तीन और चार लोगों के बीच अंतर करना सीखा। गिनती मूल रूप से वस्तुओं के एक बहुत विशिष्ट सेट से जुड़ी थी, और संख्याओं के पहले नाम विशेषण थे। उदाहरण के लिए, "तीन" शब्द का प्रयोग केवल "तीन पेड़" या "तीन लोग" के संयोजन में किया गया था; यह विचार कि इन सेटों में कुछ समान है - त्रिमूर्ति की अवधारणा - के लिए उच्च स्तर की अमूर्तता की आवश्यकता होती है। इस स्तर की अमूर्तता से पहले की गिनती इस तथ्य से प्रमाणित होती है कि "एक" और "पहला", साथ ही साथ "दो" और "दूसरा" शब्द कई भाषाओं में समान नहीं हैं, जबकि "एक", "दो" , "कई", शब्द "तीन" और "तीसरा", "चार" और "चौथा", आदिम गणना के बाहर स्थित, कार्डिनल और क्रमिक संख्याओं के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं।

संख्याओं के नाम, बहुत ही अमूर्त विचारों को व्यक्त करते हुए, निस्संदेह एक निश्चित आबादी में वस्तुओं की संख्या को दर्शाने के लिए पहले कच्चे प्रतीकों की तुलना में बाद में प्रकट हुए। प्राचीन काल में, आदिम संख्यात्मक रिकॉर्ड एक छड़ी पर पायदान के रूप में, एक रस्सी पर गांठ, कंकड़ की एक पंक्ति में बिछाए जाते थे, और यह समझा जाता था कि तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार था गिना जा रहा सेट और संख्यात्मक रिकॉर्ड के प्रतीक। लेकिन ऐसे संख्यात्मक अभिलेखों को पढ़ने के लिए संख्याओं के नामों का प्रत्यक्ष रूप से उपयोग नहीं किया जाता था। अब हम दो, तीन और चार तत्वों के एक नज़र सेट में पहचानते हैं; पांच, छह या सात तत्वों वाले सेटों को एक नज़र में पहचानना कुछ अधिक कठिन होता है। और इस सीमा से परे, उनकी संख्या को आंख से स्थापित करना लगभग असंभव है, और विश्लेषण की आवश्यकता या तो खाते के रूप में या तत्वों की एक निश्चित संरचना में होती है। ऐसा लगता है कि टैग काउंटिंग ऐसे मामलों में इस्तेमाल की जाने वाली पहली तकनीक रही है: टैग पर निशान कुछ समूहों में व्यवस्थित किए गए थे, जैसे मतपत्रों की गिनती करते समय उन्हें अक्सर पांच या दस के पैक में समूहीकृत किया जाता है। उंगलियों की गिनती बहुत व्यापक थी, और यह बहुत संभव है कि कुछ संख्याओं के नाम गिनती की इस पद्धति से ही उत्पन्न हुए हों।

खाते की एक महत्वपूर्ण विशेषता एक निश्चित गणना योजना के साथ संख्याओं के नाम का कनेक्शन है। उदाहरण के लिए, शब्द "तेईस" केवल एक शब्द नहीं है जिसका अर्थ वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित (तत्वों की संख्या से) समूह है; यह एक मिश्रित शब्द है जिसका अर्थ है "दो गुणा दस और तीन।" यहां सामूहिक इकाई या नींव के रूप में अंक दस की भूमिका स्पष्ट रूप से दिखाई देती है; और वास्तव में, बहुत से लोग दसियों से गिनते हैं, क्योंकि, जैसा कि अरस्तू ने कहा, हमारे हाथों और पैरों पर दस उंगलियां हैं। इसी कारण से पाँच या बीस आधारों का प्रयोग किया जाता था। बहुत के लिए प्रारंभिक चरणमानव जाति के इतिहास का विकास, संख्या 2, 3 या 4 को संख्या प्रणाली के आधार के रूप में लिया गया था; कभी-कभी कुछ माप या गणना के लिए आधार 12 और 60 का उपयोग किया जाता था।

एक व्यक्ति ने लिखना सीखने से बहुत पहले ही गिनना शुरू कर दिया था, इसलिए कोई भी लिखित दस्तावेज नहीं बचा है जो उन शब्दों की गवाही देता है जो प्राचीन काल में संख्याओं को दर्शाते थे। खानाबदोश जनजातियों को संख्याओं के मौखिक नामों की विशेषता है, लेकिन लिखित लोगों के लिए, उनकी आवश्यकता केवल एक निश्चित जीवन शैली, कृषि समुदायों के गठन के संक्रमण के साथ दिखाई दी। संख्याओं को दर्ज करने के लिए एक प्रणाली की भी आवश्यकता थी, और यह तब था जब गणित के विकास की नींव रखी गई थी।

मूल प्रकार की संख्या

सप्तक के विपरीत, सेडेनियन्स एसवैकल्पिकता की संपत्ति नहीं है, लेकिन शक्ति सहयोगीता की संपत्ति को बनाए रखें।

कंप्यूटर मेमोरी में एक सकारात्मक पूर्णांक x का प्रतिनिधित्व करने के लिए, इसे बाइनरी नंबर सिस्टम में बदल दिया जाता है। परिणामी बाइनरी संख्या x 2 संबंधित दशमलव संख्या x 10 का मशीनी संकेतन है। ऋणात्मक संख्याएँ लिखने के लिए, तथाकथित। किसी संख्या का एक अतिरिक्त कोड, जो द्विआधारी संख्या प्रणाली में किसी दिए गए ऋणात्मक संख्या के मापांक के उल्टे निरूपण में एक जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

कंप्यूटर मेमोरी में वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व (कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में, शब्द फ़्लोटिंग पॉइंट नंबर का उपयोग उन्हें निरूपित करने के लिए किया जाता है) में उपयोग की जाने वाली संख्या प्रणाली से जुड़ी कुछ सीमाएँ होती हैं, साथ ही संख्याओं के लिए आवंटित सीमित मात्रा में मेमोरी होती है। इस प्रकार, केवल कुछ वास्तविक संख्याओं को बिना हानि के कंप्यूटर मेमोरी में सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है। सबसे आम योजना में, एक फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर को बिट्स के ब्लॉक के रूप में लिखा जाता है, जिनमें से कुछ संख्या के मंटिसा होते हैं, कुछ डिग्री होते हैं, और संख्या के संकेत का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक बिट आवंटित किया जाता है (यदि आवश्यक हो, साइन बिट अनुपस्थित हो सकता है)।

संख्याएँ - प्रकार, अवधारणाएँ और संचालन, प्राकृतिक और अन्य प्रकार की संख्याएँ।

संख्या गणित की एक मौलिक अवधारणा है, जो मात्रात्मक विशेषताओं, संख्या, वस्तुओं की तुलना और उनके भागों को निर्धारित करने का कार्य करती है। विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाएँ संख्याओं पर लागू होती हैं: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और अन्य।

ऑपरेशन में शामिल नंबरों को ऑपरेंड कहा जाता है। किए गए कार्यों के आधार पर, उन्हें अलग-अलग नाम मिलते हैं। सामान्य तौर पर, संचालन की योजना को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

डिवीजन ऑपरेशन में, पहले ऑपरेंड को डिविडेंड कहा जाता है (यह उस संख्या का नाम है जिसे विभाजित किया जा रहा है)। दूसरा (जिससे इसे विभाजित किया जाता है) एक भाजक है, और परिणाम एक भागफल है (यह दर्शाता है कि विभाज्य भाजक से कितनी बार बड़ा है)।

संख्याओं के प्रकार

डिवीजन ऑपरेशन में अलग-अलग नंबर शामिल हो सकते हैं। विभाजन का परिणाम पूर्णांक या भिन्न हो सकता है। गणित में, निम्नलिखित प्रकार की संख्याएँ होती हैं:

  • प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग गिनती में किया जाता है। उनमें से, अभाज्य संख्याओं का एक उपसमुच्चय बाहर खड़ा है, जिसमें केवल दो भाजक हैं: एक और स्वयं। 1 को छोड़कर अन्य सभी को समग्र कहा जाता है और उनके दो से अधिक भाजक होते हैं (अभाज्य संख्याओं के उदाहरण: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, आदि);
  • पूर्णांक - एक सेट जिसमें उनकी ऋणात्मक, धनात्मक संख्याएँ और शून्य होते हैं। एक पूर्णांक को दूसरे से विभाजित करते समय, भागफल पूर्णांक या वास्तविक (आंशिक) हो सकता है। उनमें से, कोई भी पूर्ण संख्याओं के उपसमुच्चय को अलग कर सकता है - इसके सभी भाजक (1 सहित) के योग के बराबर, स्वयं को छोड़कर। प्राचीन यूनानी केवल चार पूर्ण संख्याएँ जानते थे। पूर्ण संख्याओं का क्रम: 6, 28, 496, 8128, 33550336… अब तक, एक भी विषम पूर्ण संख्या ज्ञात नहीं है;
  • परिमेय - एक अंश a / b के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य, जहाँ a अंश है और b हर है (ऐसी संख्याओं के भागफल की गणना आमतौर पर नहीं की जाती है);
  • वास्तविक (वास्तविक) - जिसमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। सेट में परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं (एक गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंश के रूप में प्रतिनिधित्व)। ऐसी संख्याओं का भागफल, एक नियम के रूप में, एक वास्तविक मान होता है।

अंकगणितीय संक्रिया - विभाजन के निष्पादन से जुड़ी कई विशेषताएं हैं। सही परिणाम प्राप्त करने के लिए उन्हें समझना महत्वपूर्ण है:

  • आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते (गणित में, इस ऑपरेशन का कोई मतलब नहीं है);
  • पूर्णांक विभाजन एक ऑपरेशन है, जिसके परिणामस्वरूप केवल पूर्णांक भाग की गणना की जाती है (आंशिक भाग को छोड़ दिया जाता है);
  • एक पूर्णांक विभाजन के शेष की गणना आपको परिणामस्वरूप ऑपरेशन पूरा होने के बाद शेष पूर्णांक प्राप्त करने की अनुमति देती है (उदाहरण के लिए, जब 17 को 2 से विभाजित करते हैं, तो पूर्णांक भाग 8 होता है, शेष 1 होता है)।
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