Keplerovi zakoni. Kozmičke brzine
Može se pokazati da , gdje s- sektorska brzina, tj. površina opisana radijus vektorom tijela koje se kreće u jedinici vremena.
Tako, sektorska brzina za tijelo koje se kreće je konstantna vrijednost- ovo je formulacija Keplerov drugi generalizirani zakon , a relacija (3.11) je matematički izraz ovog zakona.
Neka neko tijelo mase m kreće se oko središnjeg tijela mase M duž elipse. Tada je sektorska brzina 
, gdje je površina elipse, T je period revolucije tijela, a I b su velika i mala poluosa elipse. Poluosi elipse su međusobno povezane relacijom: , gdje je e- ekscentričnost elipse. Uzimajući to u obzir, kao i formulu (3.8), dobivamo: 
, Gdje 
. Dakle, nakon transformacija imamo:
Tamo je drugi oblik snimanja Treći generalizirani Keplerov zakon.
Ako uzmemo u obzir kretanje dvaju planeta oko Sunca, tj. oko istog tijela ( M 1 ==M 2), a zanemariti mase planeta ( T 1 =m 2 = 0) u usporedbi s masom Sunca, dobivamo formulu (2.7), koju je Kepler izveo iz promatranja. Budući da su mase planeta beznačajne u usporedbi s masom Sunca, Keplerova se formula prilično dobro slaže s opažanjima.
Formule (3.12) i (3.13) igraju veliku ulogu u astronomiji: one omogućuju određivanje masa nebeskih tijela (vidi § 3.6).
Diferencijalna jednadžba (2) ima sljedeće prve integrale:
Integral površine
Gdje - vektor konstantnog kutnog momenta. Zbog konstantnosti, orbita tijela će biti ravna krivulja. Ako u ovu ravninu unesemo polarne koordinate r I υ, tada se integral površine može napisati kao:
………………….. (4)
iz čega slijedi drugi Keplerov zakon (zakon površina). Ako je područje opisano radijus vektorom u vremenskom intervalu, tada je sektorska brzina:
.
(5)
(6)
Drugim riječima, površina koju opisuje radijus vektor proporcionalna je vremenskim intervalima kretanja.
Sila uključena u jednadžbu relativnog gibanja je potencijalna. Potencijal te sile određen je izrazom
Integral energije. Iz jednadžbe gibanja (2) slijedi zakon održanja energije
(7)
Ovdje je konstanta jednaka ukupnoj mehaničkoj energiji podijeljenoj s masom tijela koje se kreće.
Od tada kada će jednadžba (7) biti zadovoljena za bilo koji r , a kretanje nije ograničeno u prostoru. Na ˂ 0 kretanje je ograničeno u prostoru.
Općenito, jednadžba orbite (rješenje jednadžbe (2)) ima oblik:
, (8)
gdje je prava anomalija i gdje je ekscentricitet.
Veličina ekscentriciteta određena je vrijednošću ukupne energije i jednaka je:
.
(9)
žarišni parametar je:
(10)
Kao što se može vidjeti iz (9), moguće su tri vrste trajektorija:
0 ≤ e ˂ 1 (һ˂0)- elipsa ( e = 0- krug);
e = 1 (һ=0) - parabola;
e > 1 (һ>0) - hiperbola.
Formula (8) definira analitički izraz Keplerov prvi generalizirani zakon.(dijagram 8)
Pod utjecajem gravitacije jedno se nebesko tijelo giba u gravitacijskom polju drugog nebeskog tijela duž jednog od konusnih presjeka - kružnice, elipse, parabole ili hiperbole.
Općenito, tijekom eliptičnog gibanja naziva se točka orbite najbliža središnjem tijelu periapsis, a najudaljeniji – apocentar. Pri kretanju oko Sunca te se točke nazivaju perihelion I afel.
Treći generalizirani Keplerov zakon. Za eliptično gibanje lako je dobiti vezu između sideričkog perioda revolucije T i polu-velike osi A orbite. S obzirom da je područje elipse i radijus - vektor opisuje kroz period T, imamo iz (5): . S druge strane, iz (10) slijedi da
……
(11)
Izjednačavanjem ova dva izraza dobivamo:
(12)
Ovaj odnos predstavlja Keplerov treći generalizirani zakon. To vrijedi za bilo koja dva materijalna tijela koja se privlače, bilo da se radi o planetima, dvostrukim zvijezdama ili umjetnim nebeskim tijelima, jer desna strana relacije (12) uključuje univerzalne konstante.
Neka M 1 – masa Sunca, m 1 – masa planeta, a 1 I T 1 – velika poluos i siderički period revolucije planeta oko Sunca. Ako postoji drugi sustav, kao što je planet M 2 a satelit planeta s masom m 2 , koji kruži oko planeta s periodom T 2 na srednjoj udaljenosti a 2 , tada za ova dva sustava vrijedi treći generalizirani Keplerov zakon (12) koji ima oblik:
=
(13)
Kada se dva tijela male mase gibaju oko jednog centralnog tijela, npr. kada se planeti gibaju oko Sunca, u formuli (13) treba staviti M 1 = M 2 , m 1 « M 1 , m 2 « M 2 , i onda
odnosno dobivamo treći Keplerov empirijski zakon.
Iz izraza za ekscentricitet (9) i (11) lako je to naći 
Tada jednadžba integrala energije (7) ima oblik:
(14)
Ova formula vrijedi za bilo koju vrstu kretanja. Za eliptičnu orbitu a > 0, za paraboličnu orbitu a = , a za hiperboličko a ˂ 0.
Karakteristične brzine Keplerova gibanja. Za svaku udaljenost r od središnjeg tijela postoje dvije karakteristične brzine: jedna pri r = a – kružna brzina
(15)
imajući koji, tijelo koje se okreće kreće se po kružnoj putanji; druga je parabolična brzina
u kojoj tijelo koje se kreće napušta središnje tijelo u paraboli a = . Očito, uvijek.
Kada tijelo rotira po eliptičnoj orbiti, prosječna orbitalna brzina poklapa se s kružnom brzinom
(16)
Gdje a - velika poluos orbite i - siderički period revolucije. Iz jednakosti (14) i (16) nalazimo da u bilo kojoj točki eliptične orbite na udaljenosti r od središnjeg tijela tijelo koje kruži ima brzinu
(17)
Brzina u pericentru određena je na r = q = a (1 - e), a brzina u apocentru je na r = Q = a (1 + e).
U ograničenom problemu dva tijela, a određena je samo masom središnjeg tijela. Zanemarujući uzajamno privlačenje planeta u prvoj aproksimaciji, možemo razmatrati kretanje svakog od njih oko Sunca u uvjetima ograničenog problema dvaju tijela. Tada svaki planet ima prosječnu brzinu
Problem s dva tijela
Jednadžba gibanja
= - (M + m)
Sastavni
Planeti se kreću oko Sunca u izduženim eliptičnim orbitama, pri čemu se Sunce nalazi u jednoj od dvije žarišne točke elipse.
Ravna crta koja spaja Sunce i planet odsijeca jednake površine u jednakim vremenskim razdobljima.
Kvadrati perioda revolucije planeta oko Sunca povezani su s kubovima velikih poluosi njihovih orbita.
Johannes Kepler imao je smisao za lijepo. Cijeli svoj odrasli život pokušavao je dokazati da je Sunčev sustav neka vrsta mističnog umjetničkog djela. Prvo je pokušao povezati njezin uređaj s pet pravilni poliedri klasična starogrčka geometrija. (Pravi poliedar je trodimenzionalna figura, čija su sva lica jednaki pravilni poligoni.) U vrijeme Keplera bilo je poznato šest planeta za koje se vjerovalo da se nalaze na rotirajućim "kristalnim sferama". Kepler je tvrdio da su te sfere raspoređene na takav način da se pravilni poliedri točno uklapaju između susjednih sfera. Između dviju vanjskih sfera - Saturna i Jupitera - postavio je kocku upisanu u vanjsku sferu, u koju je pak upisana unutarnja sfera; između sfera Jupitera i Marsa - tetraedar (pravilni tetraedar), itd. Šest sfera planeta, pet pravilnih poliedara upisanih između njih - čini se da je to samo savršenstvo?
Nažalost, usporedivši svoj model s promatranim orbitama planeta, Kepler je bio prisiljen priznati da se stvarno ponašanje nebeskih tijela ne uklapa u skladan okvir koji je on zacrtao. Kao što je prikladno primijetio suvremeni britanski biolog J. B. S. Haldane, “ideja o Svemiru kao geometrijski savršenom umjetničkom djelu pokazala se još jednom lijepom hipotezom koju su uništile ružne činjenice.” Jedini rezultat Keplerovog mladenačkog poriva koji je preživio stoljeća bio je model Sunčevog sustava koji je izradio sam znanstvenik i poklonio svom pokrovitelju, vojvodi Fredericku von Württemburgu. U ovom lijepo izvedenom metalnom artefaktu, sve orbitalne sfere planeta i pravilni poliedri upisani u njih su šuplji spremnici koji međusobno ne komuniciraju, a koji su na blagdane trebali biti napunjeni raznim pićima za počastiti kneževe goste.
Tek nakon što se preselio u Prag i postao asistent slavnog danskog astronoma Tycha Brahea (1546.-1601.), Kepler je došao do ideja koje su njegovo ime doista ovjekovječile u analima znanosti. Tycho Brahe prikupljao je podatke o astronomskim promatranjima tijekom svog života i prikupio ogromne količine informacija o kretanju planeta. Nakon njegove smrti došli su u posjed Keplera. Ti su zapisi, inače, u to vrijeme imali veliku komercijalnu vrijednost, jer su se iz njih mogli sastavljati dotjerani astrološki horoskopi (o ovom dijelu rane astronomije danas znanstvenici radije šute).
Obrađujući rezultate opažanja Tycha Brahea, Kepler se suočio s problemom koji bi se nekome čak i uz moderna računala mogao činiti nerješiv, pa Kepler nije imao izbora nego sve proračune obaviti ručno. Naravno, poput većine astronoma njegova vremena, Kepler je već bio upoznat s Kopernikovim heliocentričnim sustavom ( cm. Kopernikovo načelo) i znao da se Zemlja okreće oko Sunca, o čemu svjedoči gore opisani model Sunčevog sustava. Ali kako se točno Zemlja i drugi planeti okreću? Zamislimo problem na sljedeći način: nalazite se na planetu koji se, prvo, okreće oko svoje osi, a drugo, kruži oko Sunca u vama nepoznatoj orbiti. Gledajući u nebo, vidimo druge planete koji se također kreću nama nepoznatim orbitama. Naš zadatak je odrediti, na temelju podataka promatranja naše kugle koja rotira oko svoje osi oko Sunca, geometriju orbita i brzine kretanja drugih planeta. Upravo to je u konačnici uspjelo Kepleru, nakon čega je na temelju dobivenih rezultata izveo svoja tri zakona!
Prvi zakon opisuje geometriju putanja planetarnih putanja. Možda se sjećate iz školskog tečaja geometrije da je elipsa skup točaka na ravnini, a zbroj udaljenosti od kojih do dvije fiksne točke je trikovi— jednako konstanti. Ako vam je ovo prekomplicirano, postoji još jedna definicija: zamislite presjek bočne površine stošca ravninom pod kutom u odnosu na njegovu bazu, koja ne prolazi kroz bazu - to je također elipsa. Prvi Keplerov zakon kaže da su putanje planeta elipse, sa Suncem u jednom od žarišta. Ekscentričnosti(stupanj elongacije) putanja i njihova udaljenost od Sunca u perihelion(točka najbliža Suncu) i apohelija(najudaljenija točka) svi planeti su različiti, ali sve eliptične orbite imaju jedno zajedničko - Sunce se nalazi u jednom od dva žarišta elipse. Nakon analize promatračkih podataka Tycha Brahea, Kepler je zaključio da su planetarne orbite skup ugniježđenih elipsa. Prije njega to jednostavno nije palo na pamet niti jednom astronomu.
Povijesni značaj Keplerovog prvog zakona ne može se precijeniti. Prije njega astronomi su smatrali da se planeti kreću isključivo po kružnim orbitama, a ako se to nije uklapalo u okvire promatranja, glavno kružno gibanje nadopunjavalo se malim kružnicama koje su planeti opisivali oko točaka glavne kružne orbite. To je bio, rekao bih, prije svega filozofski stav, neka vrsta nepromjenjive činjenice, nepodložne sumnji i provjeri. Filozofi su tvrdili da je nebeska struktura, za razliku od zemaljske, savršena u svom skladu, a budući da su najsavršeniji geometrijski likovi krug i sfera, to znači da se planeti kreću po krugu (i danas moram odbaciti ovo pogrešno shvaćanje uvijek iznova među mojim studentima). Najvažnije je to što je Johannes Kepler, dobivši pristup opsežnim promatračkim podacima Tychoa Brahea, uspio prekoračiti ovu filozofsku predrasudu, uvidjevši da ne odgovara činjenicama - baš kao što se Kopernik usudio maknuti Zemlju iz središta svemira, suočen s argumentima koji su proturječili upornim geocentričnim idejama, koje su se također sastojale od "nepravilnog ponašanja" planeta u orbitama.
Drugi zakon opisuje promjenu brzine kretanja planeta oko Sunca. Već sam dao njegovu formulaciju u formalnom obliku, ali da biste bolje razumjeli njegovo fizičko značenje, prisjetite se svog djetinjstva. Sigurno ste imali priliku vrtjeti se oko stupa na igralištu, hvatajući ga rukama. Zapravo, planeti kruže oko Sunca na sličan način. Što je eliptična putanja planeta dalje od Sunca, njegovo kretanje je sporije; što je bliže Suncu, planet se brže kreće. Sada zamislite par odsječaka koji spajaju dva položaja planeta u njegovoj orbiti s fokusom elipse u kojoj se nalazi Sunce. Zajedno sa segmentom elipse koji leži između njih, oni tvore sektor, čija je površina upravo "područje koje je odsječeno ravnim segmentom". Upravo o tome govori drugi zakon. Što je planet bliže Suncu, segmenti su kraći. Ali u ovom slučaju, da bi sektor pokrio jednaku površinu u jednakom vremenu, planet mora prijeći veću udaljenost u svojoj orbiti, što znači da se njegova brzina kretanja povećava.
Prva dva zakona bave se specifičnostima orbitalnih putanja jednog planeta. Treći zakon Kepler vam omogućuje da međusobno usporedite orbite planeta. Kaže da što je planet dalje od Sunca, to mu je dulje potrebno da dovrši punu revoluciju kada se kreće u orbiti i, shodno tome, duže traje "godina" na ovom planetu. Danas znamo da je to zbog dva faktora. Prvo, što je planet dalje od Sunca, to je širi opseg njegove orbite. Drugo, kako se udaljenost od Sunca povećava, linearna brzina kretanja planeta također se smanjuje.
Kepler je u svojim zakonima jednostavno naveo činjenice, proučavajući i generalizirajući rezultate opažanja. Da ste ga pitali što je uzrok eliptičnosti putanja ili jednakosti površina sektora, ne bi vam odgovorio. To je jednostavno proizlazilo iz njegove analize. Da ga pitate o orbitalnom kretanju planeta u drugim zvjezdanim sustavima, također vam ne bi imao što odgovoriti. Morao bi početi ispočetka - akumulirati podatke promatranja, zatim ih analizirati i pokušati identificirati obrasce. To jest, on jednostavno ne bi imao razloga vjerovati da neki drugi planetarni sustav poštuje iste zakone kao i Sunčev sustav.
Jedan od najvećih trijumfa Newtonove klasične mehanike leži upravo u činjenici da daje temeljno opravdanje za Keplerove zakone i potvrđuje njihovu univerzalnost. Ispostavilo se da se Keplerovi zakoni mogu izvesti iz Newtonovih zakona mehanike, Newtonovog zakona univerzalne gravitacije i zakona održanja kutne količine gibanja kroz rigorozne matematičke proračune. A ako je tako, možemo biti sigurni da se Keplerovi zakoni jednako primjenjuju na bilo koji planetarni sustav bilo gdje u Svemiru. Astronomi u potrazi za novim planetarnim sustavima u svemiru (a već ih je dosta otkriveno) s vremena na vrijeme, kao nešto što se podrazumijeva, koriste Keplerove jednadžbe za izračunavanje parametara orbita dalekih planeta, iako ih ne mogu izravno promatrati .
Keplerov treći zakon igrao je i nastavlja igrati važnu ulogu u modernoj kozmologiji. Promatrajući udaljene galaksije, astrofizičari detektiraju slabe signale koje emitiraju atomi vodika koji kruže u vrlo udaljenim orbitama od galaktičkog središta - mnogo dalje nego što su zvijezde obično. Koristeći Dopplerov učinak u spektru ovog zračenja, znanstvenici određuju stope rotacije vodikove periferije galaktičkog diska, a iz njih - kutne brzine galaksija u cjelini ( cm. također i tamna tvar). Drago mi je što radovi znanstvenika koji su nas čvrsto postavili na put ispravnog razumijevanja strukture našeg Sunčevog sustava, i danas, stoljećima nakon njegove smrti, igraju tako važnu ulogu u proučavanju strukture prostranstva Svemir.
Između sfera Marsa i Zemlje nalazi se dodekaedar (dodekaedar); između sfera Zemlje i Venere - ikosaedar (dvadeset-edar); između sfera Venere i Merkura nalazi se oktaedar (oktaedar). Dobiveni dizajn Kepler je prikazao u presjeku u detaljnom trodimenzionalnom crtežu (vidi sliku) u svojoj prvoj monografiji, “Kozmografski misterij” (Mysteria Cosmographica, 1596.).— Bilješka prevoditelja.
Imao je izvanredne matematičke sposobnosti. Početkom 17. stoljeća, kao rezultat dugogodišnjeg promatranja kretanja planeta, kao i na temelju analize astronomskih opažanja Tycha Brahea, Kepler je otkrio tri zakona koji su kasnije po njemu nazvani.
Keplerov prvi zakon(zakon elipse). Svaki se planet kreće po elipsi, sa Suncem u jednom žarištu.
Keplerov drugi zakon(zakon jednakih površina). Svaki se planet kreće u ravnini koja prolazi kroz središte Sunca, a u jednakim vremenskim razdobljima radijus vektor koji povezuje Sunce i planet pokriva jednaka područja.
Keplerov treći zakon(harmonijski zakon). Kvadrati orbitalnih perioda planeta oko Sunca proporcionalni su kubovima velikih poluosi njihovih eliptičnih putanja.
Pogledajmo pobliže svaki od zakona.
Keplerov prvi zakon (zakon elipse)
Svaki planet u Sunčevom sustavu kruži u elipsi, sa Suncem u jednom od žarišta.
Prvi zakon opisuje geometriju putanja planetarnih orbita. Zamislimo presjek bočne plohe stošca ravninom pod kutom u odnosu na njegovu bazu, koja ne prolazi kroz bazu. Dobivena figura bit će elipsa. Oblik elipse i stupanj njegove sličnosti s krugom karakterizira omjer e = c / a, gdje je c udaljenost od središta elipse do njezinog fokusa (žarišna udaljenost), a je poluglavna os. Veličina e naziva se ekscentricitet elipse. Pri c = 0, a time i e = 0, elipsa se pretvara u krug.
Točka P putanje najbliža Suncu naziva se perihel. Točka A, najudaljenija od Sunca, je afel. Udaljenost između afela i perihela je glavna os eliptične orbite. Udaljenost između afela A i perihela P čini glavnu os eliptične orbite. Polovica duljine velike osi, a-osi, prosječna je udaljenost od planeta do Sunca. Prosječna udaljenost od Zemlje do Sunca naziva se astronomska jedinica (AJ) i jednaka je 150 milijuna km.
Keplerov drugi zakon (zakon površina)
Svaki se planet giba u ravnini koja prolazi kroz središte Sunca, a u jednakim vremenskim razdobljima radijus vektor koji povezuje Sunce i planet zauzima jednake površine.
Drugi zakon opisuje promjenu brzine kretanja planeta oko Sunca. Uz ovaj zakon povezana su dva pojma: perihel - točka orbite najbliža Suncu i afel - najudaljenija točka orbite. Planet se neravnomjerno kreće oko Sunca, ima veću linearnu brzinu u perihelu nego u afelu. Na slici su površine sektora označenih plavom bojom jednake i, sukladno tome, jednako je i vrijeme potrebno planetu da prođe kroz svaki sektor. Zemlja prolazi perihel početkom siječnja i afel početkom srpnja. Drugi Keplerov zakon, zakon površina, pokazuje da je sila koja upravlja orbitalnim gibanjem planeta usmjerena prema Suncu.
Treći Keplerov zakon (harmonijski zakon)
Kvadrati orbitalnih perioda planeta oko Sunca proporcionalni su kubovima velikih poluosi njihovih eliptičnih putanja. Ovo ne vrijedi samo za planete, već i za njihove satelite.
Treći Keplerov zakon omogućuje nam usporedbu putanja planeta jedne s drugima. Što je planet dalje od Sunca, to je dulji opseg njegove orbite, a kada se kreće duž njegove orbite, njegova puna revolucija traje duže. Također, s povećanjem udaljenosti od Sunca, smanjuje se linearna brzina kretanja planeta.
gdje su T 1, T 2 periodi revolucije planeta 1 i 2 oko Sunca; a 1 > a 2 su duljine velikih poluosi putanja planeta 1 i 2. Poluos je prosječna udaljenost od planeta do Sunca.
Newton je kasnije otkrio da Keplerov treći zakon nije u potpunosti točan; zapravo je uključivao masu planeta:
gdje je M masa Sunca, a m 1 i m 2 su mase planeta 1 i 2.
Budući da je utvrđeno da su gibanje i masa povezani, ova kombinacija Keplerovog harmonijskog zakona i Newtonovog zakona gravitacije koristi se za određivanje mase planeta i satelita ako su poznate njihove orbite i orbitalni periodi. Također znajući udaljenost planeta od Sunca, možete izračunati duljinu godine (vrijeme potpune revolucije oko Sunca). Suprotno tome, znajući duljinu godine, možete izračunati udaljenost planeta od Sunca.
Tri zakona planetarnog gibanja otkrio Kepler dao je točno objašnjenje za neravnomjerno kretanje planeta. Prvi zakon opisuje geometriju putanja planetarnih orbita. Drugi zakon opisuje promjenu brzine kretanja planeta oko Sunca. Treći Keplerov zakon omogućuje nam usporedbu putanja planeta jedne s drugima. Zakoni koje je otkrio Kepler kasnije su Newtonu poslužili kao osnova za stvaranje teorije gravitacije. Newton je matematički dokazao da su svi Keplerovi zakoni posljedice zakona gravitacije.
Početkom 16. stoljeća poljski astronom N. Kopernik (1473.–1543.) utemeljio je heliocentrični sustav, prema kojemu se kretanja nebeskih tijela objašnjavaju kretanjem Zemlje (kao i drugih planeta) oko Sunca. i dnevna rotacija Zemlje. Kopernikova teorija promatranja doživljavana je kao zabavna fantazija. U 16. stoljeću ovu izjavu crkva je smatrala herezom. Poznato je da je G. Bruna, koji je otvoreno podržavao Kopernikov heliocentrični sustav, osudila inkvizicija i spalio na lomači.
Zakon univerzalne gravitacije otkrio je Newton na temelju tri Keplerova zakona.Keplerov prvi zakon. Svi se planeti gibaju po elipsama, sa Suncem u jednom od žarišta (sl. 7.6).
Riža. 7.6
Keplerov drugi zakon. Radijus vektor planeta opisuje jednake površine u jednakim vremenima (slika 7.7).
Gotovo svi planeti (osim Plutona) kreću se orbitama koje su bliske kružnim. Za kružne orbite, prvi i drugi Keplerov zakon su automatski zadovoljeni, a treći zakon kaže da T 2 ~ R 3 (T– razdoblje optjecaja; R– polumjer orbite).
Newton je riješio inverzni problem mehanike i iz zakona planetarnog gibanja dobio izraz za gravitacijsku silu:
| (7.5.2) |
Kao što već znamo, gravitacijske sile su konzervativne sile. Kada se tijelo giba u gravitacijskom polju konzervativnih sila po zatvorenoj putanji, rad je jednak nuli.
Svojstvo konzervativnosti gravitacijskih sila omogućilo nam je uvođenje pojma potencijalne energije.
Potencijalna energija tjelesna masa m, koji se nalazi na udaljenosti r od tijela velike mase M, Tamo je
Dakle, u skladu sa zakonom o očuvanju energije ukupna energija tijela u gravitacijskom polju ostaje nepromijenjena.
Ukupna energija može biti pozitivna ili negativna ili jednaka nuli. Predznak ukupne energije određuje prirodu kretanja nebeskog tijela.
Na E < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r 0 < r max. U ovom slučaju, nebesko tijelo se kreće duž eliptična orbita(planeti Sunčevog sustava, kometi) (Sl. 7.8)
Riža. 7.8
Period ophoda nebeskog tijela po eliptičnoj orbiti jednak je periodu ophoda po kružnoj orbiti polumjera R, Gdje R– velika poluos orbite.
Na E= 0 tijelo se giba paraboličnom putanjom. Brzina tijela u beskonačnosti je nula.
Na E< 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.
Prva kozmička brzina je brzina gibanja tijela po kružnoj orbiti blizu površine Zemlje. Da bi se to postiglo, kao što slijedi iz Newtonovog drugog zakona, centrifugalna sila mora biti uravnotežena gravitacijskom silom:
Odavde
Druga brzina bijega naziva se brzina gibanja tijela po paraboličnoj putanji. Ona je jednaka minimalnoj brzini koju treba dati tijelu na površini Zemlje da ono, svladavši gravitaciju, postane umjetni satelit Sunca (umjetni planet). Da bi se to postiglo, potrebno je da kinetička energija ne bude manja od rada učinjenog da se prevlada Zemljina gravitacija:
Odavde
Treća izlazna brzina– brzina kretanja kojom tijelo može napustiti Sunčev sustav, svladavajući gravitaciju Sunca:
υ 3 = 16,7·10 3 m/s.
Na slici 7.8 prikazane su putanje tijela s različitim kozmičkim brzinama.