केप्लर के नियम. ब्रह्मांडीय गति

यह दिखाया जा सकता है कि, कहाँ एस- क्षेत्रीय गति, अर्थात। प्रति इकाई समय में किसी गतिमान पिंड के त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित क्षेत्र।

इस प्रकार, किसी गतिमान पिंड के लिए क्षेत्रीय गति एक स्थिर मान है- यह शब्द है केप्लर का दूसरा सामान्यीकृत नियम , और संबंध (3.11) इस नियम की गणितीय अभिव्यक्ति है।

चलो कुछ पिंड द्रव्यमान एमद्रव्यमान के एक केंद्रीय पिंड के चारों ओर घूमता है एमदीर्घवृत्त के साथ. फिर सेक्टोरियल गति है , दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल कहां है, टी शरीर की क्रांति की अवधि है, एऔर बीक्रमशः दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष हैं। दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष एक दूसरे से संबंध द्वारा संबंधित हैं: , कहां इ- दीर्घवृत्त की विलक्षणता. इसे ध्यान में रखते हुए, साथ ही सूत्र (3.8) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं: , कहाँ . इसलिए, परिवर्तनों के बाद हमारे पास:

यह वहां है दूसरा रिकॉर्डिंग फॉर्मकेप्लर का तीसरा सामान्यीकृत नियम.

यदि हम सूर्य के चारों ओर दो ग्रहों की गति पर विचार करें, अर्थात्। एक ही शरीर के आसपास ( एम 1 ==एम 2), और ग्रहों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें ( टी 1 =एम 2 = 0) सूर्य के द्रव्यमान की तुलना में, हमें केप्लर द्वारा अवलोकनों से प्राप्त सूत्र (2.7) प्राप्त होता है। चूँकि ग्रहों का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान की तुलना में नगण्य है, केप्लर का सूत्र टिप्पणियों से काफी मेल खाता है।

सूत्र (3.12) और (3.13) खगोल विज्ञान में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं: वे खगोलीय पिंडों के द्रव्यमान को निर्धारित करना संभव बनाते हैं (देखें § 3.6)।

अवकल समीकरण (2) में निम्नलिखित प्रथम समाकलन हैं:

क्षेत्र अभिन्न

कहाँ - निरंतर कोणीय गति वेक्टर. स्थिरता के कारण पिंड की कक्षा एक समतल वक्र होगी। यदि हम इस तल में ध्रुवीय निर्देशांक दर्ज करते हैं आर और υ, तो क्षेत्र अभिन्न को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

………………….. (4)

जिससे केप्लर का दूसरा नियम (क्षेत्रफल का नियम) का पालन होता है। यदि समय अंतराल पर त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित क्षेत्र है, तो क्षेत्रीय गति:

. (5)

(6)

दूसरे शब्दों में, त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित क्षेत्र गति के समय अंतराल के समानुपाती होता है।

सापेक्ष गति के समीकरण में शामिल बल विभव है। इस बल की क्षमता अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित होती है

ऊर्जा अभिन्न.गति के समीकरण (2) से ऊर्जा संरक्षण के नियम का पालन होता है

(7)

यहां गतिमान पिंड के द्रव्यमान से विभाजित कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर एक स्थिरांक है।

तब से जब समीकरण (7) किसी के लिए संतुष्ट होगा आर , और गति अंतरिक्ष में सीमित नहीं है। ˂ 0 पर, गति अंतरिक्ष में सीमित है।

सामान्य तौर पर, कक्षीय समीकरण (समीकरण (2) का समाधान) का रूप होता है:

, (8)

कहां है सच्ची विसंगति और कहां है विलक्षणता.

विलक्षणता का परिमाण कुल ऊर्जा के मान से निर्धारित होता है और इसके बराबर होता है:

. (9)

फोकल पैरामीटर है:

(10)

जैसा कि (9) से देखा जा सकता है, तीन प्रकार के प्रक्षेप पथ संभव हैं:

0 ≤ ई ˂ 1 (һ˂0)- दीर्घवृत्त ( ई = 0- घेरा);

ई = 1 (һ=0) - परवलय;

ई > 1 (һ>0) - अतिशयोक्ति।

सूत्र (8) विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति को परिभाषित करता है केप्लर का पहला सामान्यीकृत नियम.(चित्र 8)

गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत, एक खगोलीय पिंड दूसरे खगोलीय पिंड के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक शंकु खंड - एक वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या हाइपरबोला के साथ चलता है।

सामान्यतः अण्डाकार गति के दौरान केन्द्रीय पिंड के निकटतम कक्षा के बिंदु को कहा जाता है पेरीएप्सिस, और सबसे दूर - एपोसेंटरसूर्य के चारों ओर घूमते समय ये बिंदु कहलाते हैं सूर्य समीपकऔर अपसौर.

केप्लर का तीसरा सामान्यीकृत नियम.अण्डाकार गति के लिए क्रांति की नाक्षत्र अवधि के बीच संबंध प्राप्त करना आसान है टी और अर्ध-प्रमुख अक्ष ए कक्षाएँ यह ध्यान में रखते हुए कि दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल और त्रिज्या - वेक्टर अवधि के दौरान इसका वर्णन करता है टी, हमारे पास (5) से है: . दूसरी ओर, (10) से यह इस प्रकार है

…… (11)

इन दोनों अभिव्यक्तियों को समान करने पर, हम पाते हैं:

(12)

यह संबंध केप्लर के तीसरे सामान्यीकृत नियम का प्रतिनिधित्व करता है। यह किन्हीं दो आकर्षक भौतिक पिंडों के लिए मान्य है, चाहे वे ग्रह हों, दोहरे तारे हों या कृत्रिम खगोलीय पिंड हों, क्योंकि संबंध के दाहिने पक्ष (12) में सार्वभौमिक स्थिरांक शामिल हैं।

होने देना एम 1 - सूर्य का द्रव्यमान, एम 1 – ग्रह का द्रव्यमान, ए 1 और टी 1 - क्रमशः, सूर्य के चारों ओर ग्रह की परिक्रमा की अर्ध-प्रमुख धुरी और नाक्षत्र अवधि। यदि कोई अन्य प्रणाली है, जैसे कोई ग्रह एम 2 और द्रव्यमान वाले ग्रह का एक उपग्रह एम 2 , जो एक अवधि के साथ ग्रह की परिक्रमा करता है टी 2 मध्यम दूरी पर ए 2 , तो इन दो प्रणालियों के लिए तीसरा सामान्यीकृत केपलर का नियम (12) मान्य है, जो इस प्रकार है:

= (13)

जब कम द्रव्यमान के दो पिंड एक केंद्रीय पिंड के चारों ओर घूमते हैं, उदाहरण के लिए, जब ग्रह सूर्य के चारों ओर घूमते हैं, तो सूत्र (13) में हमें डालना चाहिए एम 1 = एम 2 , एम 1 « एम 1 , एम 2 « एम 2 , और तब

अर्थात्, हम केप्लर का तीसरा अनुभवजन्य नियम प्राप्त करते हैं।

विलक्षणता (9) और (11) के लिए अभिव्यक्ति से यह पता लगाना आसान है

तब ऊर्जा अभिन्न समीकरण (7) रूप लेता है:

(14)

यह फार्मूला किसी भी प्रकार के आंदोलन के लिए मान्य है। अण्डाकार कक्षा के लिए ए > 0, परवलयिक कक्षा के लिए ए = , और अतिशयोक्तिपूर्ण के लिए ए ˂ 0.

केप्लरियन गति की विशेषता वेग. हर दूरी के लिए आर केंद्रीय शरीर से दो विशिष्ट वेग होते हैं: एक पर आर = ए – गोलाकार गति

(15)

जिसके होने पर घूमता हुआ पिंड गोलाकार कक्षा में घूमता है; दूसरी परवलयिक गति है

जिसमें एक गतिशील पिंड केंद्रीय पिंड को परवलय में छोड़ता है ए = . जाहिर है, हमेशा.

जब कोई पिंड अण्डाकार कक्षा में घूमता है, तो औसत कक्षीय गति वृत्ताकार गति के साथ मेल खाती है

(16)

कहाँ ए - कक्षा की अर्धप्रमुख धुरी और - क्रांति की नाक्षत्र अवधि। समानता (14) और (16) से हम पाते हैं कि दूरी पर अण्डाकार कक्षा के किसी भी बिंदु पर आर केंद्रीय पिंड से परिक्रमा करने वाले पिंड की गति होती है

(17)

पेरीसेंटर पर गति निर्धारित की जाती है आर = क्यू = ए (1 - इ), और एपोसेंटर पर गति है आर = क्यू = ए (1 + इ).

एक सीमित दो-शरीर की समस्या में, और केवल केंद्रीय शरीर के द्रव्यमान द्वारा निर्धारित किया जाता है। पहले सन्निकटन में ग्रहों के पारस्परिक आकर्षण की उपेक्षा करते हुए, हम सीमित दो-पिंड समस्या की स्थितियों के तहत सूर्य के चारों ओर उनमें से प्रत्येक की गति पर विचार कर सकते हैं। फिर किसी भी ग्रह की औसत गति होती है

दो शरीर की समस्या

गति का समीकरण

= - (एम + एम)

अभिन्न

ग्रह सूर्य के चारों ओर लम्बी अण्डाकार कक्षाओं में घूमते हैं, सूर्य दीर्घवृत्त के दो केंद्र बिंदुओं में से एक पर स्थित होता है।

सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा समान समयावधि में समान क्षेत्रों को काटती है।

सूर्य के चारों ओर ग्रहों की परिक्रमण अवधि के वर्ग उनकी कक्षाओं के अर्धप्रमुख अक्षों के घनों से संबंधित हैं।

जोहान्स केप्लर को सुंदरता की समझ थी। अपने पूरे वयस्क जीवन में उन्होंने यह साबित करने की कोशिश की कि सौर मंडल किसी प्रकार की रहस्यमय कला का काम है। सबसे पहले उसने उसके डिवाइस को पांच से लिंक करने का प्रयास किया नियमित पॉलीहेड्राशास्त्रीय प्राचीन यूनानी ज्यामिति। (एक नियमित बहुफलक एक त्रि-आयामी आकृति है, जिसके सभी फलक समान नियमित बहुभुज होते हैं।) केप्लर के समय, छह ग्रह ज्ञात थे, जिनके बारे में माना जाता था कि वे घूमते हुए "क्रिस्टल गोले" पर स्थित हैं। केप्लर ने तर्क दिया कि इन क्षेत्रों को इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि नियमित पॉलीहेड्रा आसन्न क्षेत्रों के बीच बिल्कुल फिट बैठता है। दो बाहरी गोले - शनि और बृहस्पति - के बीच उसने बाहरी गोले में खुदा हुआ एक घन रखा, जिसमें, बदले में, आंतरिक गोला खुदा हुआ है; बृहस्पति और मंगल के गोले के बीच - एक टेट्राहेड्रोन (नियमित टेट्राहेड्रोन), आदि। ग्रहों के छह गोले, उनके बीच अंकित पांच नियमित पॉलीहेड्रा - ऐसा प्रतीत होता है कि पूर्णता ही?

अफसोस, ग्रहों की देखी गई कक्षाओं के साथ अपने मॉडल की तुलना करने पर, केपलर को यह स्वीकार करने के लिए मजबूर होना पड़ा कि आकाशीय पिंडों का वास्तविक व्यवहार उनके द्वारा उल्लिखित सामंजस्यपूर्ण ढांचे में फिट नहीं बैठता है। जैसा कि समकालीन ब्रिटिश जीवविज्ञानी जे.बी.एस. हाल्डेन ने ठीक ही कहा है, "ज्यामितीय रूप से परिपूर्ण कला के रूप में ब्रह्मांड का विचार बदसूरत तथ्यों द्वारा नष्ट की गई एक और सुंदर परिकल्पना साबित हुआ।" केप्लर के युवा आवेग का एकमात्र परिणाम जो सदियों तक जीवित रहा, वह सौर मंडल का एक मॉडल था, जिसे वैज्ञानिक ने स्वयं बनाया था और अपने संरक्षक, ड्यूक फ्रेडरिक वॉन वुर्टेमबर्ग को उपहार के रूप में प्रस्तुत किया था। खूबसूरती से निष्पादित इस धातु कलाकृति में, ग्रहों के सभी कक्षीय गोले और उनमें अंकित नियमित पॉलीहेड्रा खोखले कंटेनर हैं जो एक दूसरे के साथ संचार नहीं करते हैं, जो छुट्टियों पर ड्यूक के मेहमानों के इलाज के लिए विभिन्न पेय से भरे जाने चाहिए थे।

प्राग जाने और प्रसिद्ध डेनिश खगोलशास्त्री टाइको ब्राहे (1546-1601) के सहायक बनने के बाद ही केप्लर के सामने ऐसे विचार आए जिन्होंने वास्तव में विज्ञान के इतिहास में उनका नाम अमर कर दिया। टाइको ब्राहे ने अपने पूरे जीवन में खगोलीय अवलोकन डेटा एकत्र किया और ग्रहों की गतिविधियों के बारे में भारी मात्रा में जानकारी जमा की। उनकी मृत्यु के बाद वे केप्लर के अधिकार में आ गये। वैसे, उस समय इन अभिलेखों का बड़ा व्यावसायिक मूल्य था, क्योंकि इनका उपयोग परिष्कृत ज्योतिषीय कुंडलियों को संकलित करने के लिए किया जा सकता था (आज वैज्ञानिक प्रारंभिक खगोल विज्ञान के इस खंड के बारे में चुप रहना पसंद करते हैं)।

टाइको ब्राहे के अवलोकनों के परिणामों को संसाधित करते समय, केप्लर को एक ऐसी समस्या का सामना करना पड़ा, जो आधुनिक कंप्यूटरों के साथ भी किसी के लिए कठिन लग सकती थी, और केप्लर के पास सभी गणनाएँ हाथ से करने के अलावा कोई विकल्प नहीं था। निःसंदेह, अपने समय के अधिकांश खगोलविदों की तरह, केप्लर कोपरनिकस की सूर्यकेन्द्रित प्रणाली से पहले से ही परिचित थे ( सेमी।कोपर्निकन सिद्धांत) और जानते थे कि पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती है, जैसा कि सौर मंडल के ऊपर वर्णित मॉडल से प्रमाणित होता है। लेकिन पृथ्वी और अन्य ग्रह वास्तव में कैसे घूमते हैं? आइए समस्या की कल्पना इस प्रकार करें: आप एक ऐसे ग्रह पर हैं जो, सबसे पहले, अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है, और दूसरा, आपके लिए अज्ञात कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमता है। आकाश में देखने पर, हम अन्य ग्रहों को भी देखते हैं जो हमारे लिए अज्ञात कक्षाओं में घूम रहे हैं। हमारा कार्य सूर्य के चारों ओर अपनी धुरी पर घूमते हुए हमारे ग्लोब पर किए गए अवलोकन डेटा के आधार पर, कक्षाओं की ज्यामिति और अन्य ग्रहों की गति की गति को निर्धारित करना है। यह वही है जो केपलर अंततः करने में कामयाब रहा, जिसके बाद, प्राप्त परिणामों के आधार पर, उसने अपने तीन कानून निकाले!

पहला कानूनग्रहों की कक्षाओं के प्रक्षेप पथ की ज्यामिति का वर्णन करता है। आपको अपने स्कूल के ज्यामिति पाठ्यक्रम से याद होगा कि दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिससे दो निश्चित बिंदुओं की दूरी का योग होता है चाल- एक स्थिरांक के बराबर. यदि यह आपके लिए बहुत जटिल है, तो एक और परिभाषा है: एक शंकु की पार्श्व सतह के एक खंड की कल्पना करें जो एक विमान द्वारा उसके आधार से एक कोण पर है, जो आधार से नहीं गुजर रहा है - यह भी एक दीर्घवृत्त है। केप्लर का पहला नियम कहता है कि ग्रहों की कक्षाएँ दीर्घवृत्ताकार हैं, जिनमें से एक केंद्र पर सूर्य है। सनकीपन(बढ़ाव की डिग्री) कक्षाओं की और सूर्य से उनकी दूरी सूर्य समीपक(सूर्य के निकटतम बिंदु) और एपोहेलिया(सबसे दूर का बिंदु) सभी ग्रह अलग-अलग हैं, लेकिन सभी अण्डाकार कक्षाओं में एक चीज समान है - सूर्य दीर्घवृत्त के दो केंद्रों में से एक में स्थित है। टाइको ब्राहे के अवलोकन डेटा का विश्लेषण करने के बाद, केप्लर ने निष्कर्ष निकाला कि ग्रहों की कक्षाएँ नेस्टेड दीर्घवृत्त का एक सेट हैं। उनसे पहले, यह बात किसी भी खगोलशास्त्री के दिमाग में नहीं आई थी।

केप्लर के पहले नियम के ऐतिहासिक महत्व को कम करके नहीं आंका जा सकता। उनसे पहले, खगोलविदों का मानना ​​था कि ग्रह विशेष रूप से गोलाकार कक्षाओं में चलते हैं, और यदि यह अवलोकन के ढांचे में फिट नहीं होता है, तो मुख्य गोलाकार गति को छोटे सर्कल द्वारा पूरक किया जाता था जिसे ग्रहों ने मुख्य गोलाकार कक्षा के बिंदुओं के आसपास वर्णित किया था। मैं कहूंगा, सबसे पहले, यह एक दार्शनिक स्थिति थी, एक प्रकार का अपरिवर्तनीय तथ्य, जो संदेह और सत्यापन के अधीन नहीं था। दार्शनिकों ने तर्क दिया कि आकाशीय संरचना, सांसारिक संरचना के विपरीत, अपने सामंजस्य में परिपूर्ण है, और चूँकि ज्यामितीय आकृतियों में सबसे उत्तम वृत्त और गोला हैं, इसका मतलब है कि ग्रह एक वृत्त में घूमते हैं (और आज भी मुझे इसे दूर करना होगा) मेरे छात्रों के बीच यह ग़लतफ़हमी बार-बार होती है)। मुख्य बात यह है कि, टाइको ब्राहे के व्यापक अवलोकन डेटा तक पहुंच प्राप्त करने के बाद, जोहान्स केप्लर इस दार्शनिक पूर्वाग्रह पर कदम उठाने में सक्षम थे, यह देखते हुए कि यह तथ्यों के अनुरूप नहीं था - जैसे कोपरनिकस ने पृथ्वी को केंद्र से हटाने का साहस किया था ब्रह्मांड को उन तर्कों का सामना करना पड़ा जो लगातार भूकेंद्रित विचारों का खंडन करते थे, जिसमें कक्षाओं में ग्रहों का "अनुचित व्यवहार" भी शामिल था।

दूसरा कानूनसूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति में परिवर्तन का वर्णन करता है। इसका औपचारिक रूप तो मैं पहले ही दे चुका हूं, लेकिन इसके भौतिक अर्थ को बेहतर ढंग से समझने के लिए अपने बचपन को याद करें। आपको संभवतः खेल के मैदान पर किसी खंभे को अपने हाथों से पकड़कर उसके चारों ओर घूमने का अवसर मिला होगा। दरअसल, ग्रह सूर्य की परिक्रमा इसी प्रकार करते हैं। अण्डाकार कक्षा किसी ग्रह को सूर्य से जितनी दूर ले जाती है, उसकी गति उतनी ही धीमी होती है; वह सूर्य के जितना करीब होता है, ग्रह उतनी ही तेजी से आगे बढ़ता है। अब अपनी कक्षा में ग्रह की दो स्थितियों को उस दीर्घवृत्त के फोकस के साथ जोड़ने वाले रेखा खंडों की एक जोड़ी की कल्पना करें जिसमें सूर्य स्थित है। उनके बीच स्थित दीर्घवृत्त खंड के साथ मिलकर, वे एक सेक्टर बनाते हैं, जिसका क्षेत्र बिल्कुल "एक सीधी रेखा खंड द्वारा काटा गया क्षेत्र" है। दूसरा कानून बिल्कुल इसी बारे में बात करता है। ग्रह सूर्य के जितना करीब होगा, खंड उतने ही छोटे होंगे। लेकिन इस मामले में, सेक्टर को समान समय में समान क्षेत्र को कवर करने के लिए, ग्रह को अपनी कक्षा में अधिक दूरी तय करनी होगी, जिसका अर्थ है कि इसकी गति की गति बढ़ जाती है।

पहले दो नियम किसी एक ग्रह के कक्षीय प्रक्षेप पथ की विशिष्टताओं से संबंधित हैं। तीसरा नियमकेपलर आपको ग्रहों की कक्षाओं की एक दूसरे से तुलना करने की अनुमति देता है। इसमें कहा गया है कि कोई ग्रह सूर्य से जितना दूर होता है, उसे कक्षा में घूमते समय एक पूर्ण क्रांति पूरी करने में उतना ही अधिक समय लगता है और तदनुसार, इस ग्रह पर "वर्ष" भी उतना ही लंबा रहता है। आज हम जानते हैं कि यह दो कारकों के कारण है। सबसे पहले, कोई ग्रह सूर्य से जितना दूर होगा, उसकी कक्षा की परिधि उतनी ही लंबी होगी। दूसरे, जैसे-जैसे सूर्य से दूरी बढ़ती है, ग्रह की गति की रैखिक गति भी कम होती जाती है।

अपने कानूनों में, केप्लर ने केवल तथ्यों को बताया, अवलोकनों के परिणामों का अध्ययन और सामान्यीकरण किया। यदि आपने उससे पूछा होता कि कक्षाओं की अण्डाकारता या त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों की समानता का कारण क्या है, तो उसने आपको उत्तर नहीं दिया होता। यह बस उनके विश्लेषण से निकला। यदि आपने उनसे अन्य तारा प्रणालियों में ग्रहों की कक्षीय गति के बारे में पूछा, तो उनके पास भी आपको उत्तर देने के लिए कुछ नहीं होगा। उसे सब कुछ फिर से शुरू करना होगा - अवलोकन संबंधी डेटा जमा करना होगा, फिर उसका विश्लेषण करना होगा और पैटर्न की पहचान करने का प्रयास करना होगा। अर्थात्, उसके पास यह विश्वास करने का कोई कारण नहीं होगा कि कोई अन्य ग्रह प्रणाली सौर प्रणाली के समान नियमों का पालन करती है।

न्यूटन के शास्त्रीय यांत्रिकी की सबसे बड़ी विजयों में से एक इस तथ्य में निहित है कि यह केप्लर के नियमों के लिए एक मौलिक औचित्य प्रदान करता है और उनकी सार्वभौमिकता पर जोर देता है। यह पता चला है कि केप्लर के नियम न्यूटन के यांत्रिकी के नियमों, न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम और कठोर गणितीय गणनाओं के माध्यम से कोणीय गति के संरक्षण के नियम से प्राप्त किए जा सकते हैं। और यदि ऐसा है, तो हम निश्चिंत हो सकते हैं कि केप्लर के नियम ब्रह्मांड में कहीं भी किसी भी ग्रह प्रणाली पर समान रूप से लागू होते हैं। अंतरिक्ष में नए ग्रह प्रणालियों की खोज करने वाले खगोलविद (और उनमें से कुछ पहले ही खोजे जा चुके हैं) समय-समय पर, निश्चित रूप से, दूर के ग्रहों की कक्षाओं के मापदंडों की गणना करने के लिए केपलर के समीकरणों का उपयोग करते हैं, हालांकि वे उन्हें सीधे नहीं देख सकते हैं .

केपलर का तीसरा नियम आधुनिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में महत्वपूर्ण भूमिका निभा रहा है और निभा रहा है। दूर की आकाशगंगाओं का अवलोकन करके, खगोलशास्त्री आकाशगंगा केंद्र से बहुत दूर की कक्षाओं में परिक्रमा कर रहे हाइड्रोजन परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित धुंधले संकेतों का पता लगाते हैं - जो आमतौर पर सितारों की तुलना में बहुत आगे होते हैं। इस विकिरण के स्पेक्ट्रम में डॉपलर प्रभाव का उपयोग करते हुए, वैज्ञानिक गैलेक्टिक डिस्क की हाइड्रोजन परिधि की घूर्णन दर निर्धारित करते हैं, और उनसे - समग्र रूप से आकाशगंगाओं के कोणीय वेग ( सेमी।डार्क मैटर भी)। मुझे ख़ुशी है कि उस वैज्ञानिक के कार्य, जिन्होंने हमें हमारे सौर मंडल की संरचना की सही समझ के मार्ग पर दृढ़ता से स्थापित किया, और आज, उनकी मृत्यु के सदियों बाद, विशाल की संरचना के अध्ययन में इतनी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं ब्रह्मांड।

मंगल और पृथ्वी के गोले के बीच एक डोडेकाहेड्रोन (डोडेकाहेड्रोन) है; पृथ्वी और शुक्र के गोले के बीच - इकोसाहेड्रोन (बीस-हेड्रोन); शुक्र और बुध के गोले के बीच एक अष्टफलक (ऑक्टाहेड्रोन) है। परिणामी डिज़ाइन को केप्लर ने अपने पहले मोनोग्राफ, "द कॉस्मोग्राफ़िक मिस्ट्री" (मिस्टेरिया कॉस्मोग्राफ़िका, 1596) में एक विस्तृत त्रि-आयामी ड्राइंग (चित्र देखें) में क्रॉस-सेक्शन में प्रस्तुत किया था।- अनुवादक का नोट.

उनमें असाधारण गणितीय क्षमताएँ थीं। 17वीं शताब्दी की शुरुआत में, ग्रहों की चाल के कई वर्षों के अवलोकन के परिणामस्वरूप, साथ ही टाइको ब्राहे के खगोलीय अवलोकनों के विश्लेषण के आधार पर, केप्लर ने तीन कानूनों की खोज की जिन्हें बाद में उनके नाम पर रखा गया।

केप्लर का प्रथम नियम(दीर्घवृत्त का नियम). प्रत्येक ग्रह एक दीर्घवृत्त में घूमता है, जिसमें सूर्य एक फोकस पर होता है।

केप्लर का दूसरा नियम(समान क्षेत्रफल का नियम)। प्रत्येक ग्रह सूर्य के केंद्र से गुजरते हुए एक तल में घूमता है, और समान समयावधि में, सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाला त्रिज्या वेक्टर समान क्षेत्रों को फैलाता है।

केप्लर का तीसरा नियम(हार्मोनिक कानून)। सूर्य के चारों ओर ग्रहों की परिक्रमा अवधि का वर्ग उनकी अण्डाकार कक्षाओं के अर्धप्रमुख अक्षों के घनों के समानुपाती होता है।

आइए प्रत्येक कानून पर करीब से नज़र डालें।

केप्लर का प्रथम नियम (दीर्घवृत्त का नियम)

सौर मंडल में प्रत्येक ग्रह एक दीर्घवृत्त में घूमता है, जिसमें सूर्य एक फोकस पर होता है।

पहला नियम ग्रहों की कक्षाओं के प्रक्षेप पथ की ज्यामिति का वर्णन करता है। एक शंकु की पार्श्व सतह के एक खंड को उसके आधार से एक कोण पर एक विमान द्वारा कल्पना करें, जो आधार से नहीं गुजर रहा है। परिणामी आकृति एक दीर्घवृत्त होगी। दीर्घवृत्त का आकार और एक वृत्त के साथ इसकी समानता की डिग्री अनुपात ई = सी / ए द्वारा विशेषता है, जहां सी दीर्घवृत्त के केंद्र से इसके फोकस (फोकल दूरी) की दूरी है, ए अर्ध प्रमुख अक्ष है। मात्रा e को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है। c = 0 पर, और इसलिए e = 0 पर, दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है।

सूर्य के निकटतम प्रक्षेप पथ का बिंदु P पेरीहेलियन कहलाता है। बिंदु A, सूर्य से सबसे दूर, अपसौर है। अपसौर और उपसौर के बीच की दूरी अण्डाकार कक्षा की प्रमुख धुरी है। अपहेलियन ए और पेरीहेलियन पी के बीच की दूरी अण्डाकार कक्षा की प्रमुख धुरी का गठन करती है। प्रमुख अक्ष की आधी लंबाई, ए-अक्ष, ग्रह से सूर्य तक की औसत दूरी है। पृथ्वी से सूर्य की औसत दूरी को खगोलीय इकाई (एयू) कहा जाता है और यह 150 मिलियन किमी के बराबर है।

केप्लर का दूसरा नियम (क्षेत्रों का नियम)

प्रत्येक ग्रह सूर्य के केंद्र से गुजरते हुए एक तल में घूमता है, और समान समयावधि में, सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाला त्रिज्या वेक्टर समान क्षेत्रों पर कब्जा कर लेता है।

दूसरा नियम सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति की गति में परिवर्तन का वर्णन करता है। इस नियम के साथ दो अवधारणाएँ जुड़ी हुई हैं: पेरीहेलियन - सूर्य के निकटतम कक्षा का बिंदु, और एपेलियन - कक्षा का सबसे दूर का बिंदु। ग्रह सूर्य के चारों ओर असमान रूप से घूमता है, अपहेलियन की तुलना में पेरीहेलियन पर अधिक रैखिक गति होती है। चित्र में, नीले रंग में हाइलाइट किए गए सेक्टरों का क्षेत्रफल बराबर है और तदनुसार, ग्रह को प्रत्येक सेक्टर से गुजरने में लगने वाला समय भी बराबर है। पृथ्वी जनवरी की शुरुआत में पेरीहेलियन और जुलाई की शुरुआत में अपहेलियन से गुजरती है। केपलर का दूसरा नियम, क्षेत्रों का नियम, इंगित करता है कि ग्रहों की कक्षीय गति को नियंत्रित करने वाला बल सूर्य की ओर निर्देशित है।

केप्लर का तीसरा नियम (हार्मोनिक नियम)

सूर्य के चारों ओर ग्रहों की परिक्रमा अवधि का वर्ग उनकी अण्डाकार कक्षाओं के अर्धप्रमुख अक्षों के घनों के समानुपाती होता है। यह न केवल ग्रहों के लिए, बल्कि उनके उपग्रहों के लिए भी सच है।

केप्लर का तीसरा नियम हमें ग्रहों की कक्षाओं की एक दूसरे से तुलना करने की अनुमति देता है। कोई ग्रह सूर्य से जितना दूर होता है, उसकी कक्षा की परिधि उतनी ही लंबी होती है और जब वह अपनी कक्षा में घूमता है, तो उसकी पूर्ण परिक्रमा में अधिक समय लगता है। साथ ही, सूर्य से बढ़ती दूरी के साथ, ग्रह की गति की रैखिक गति कम हो जाती है।

जहां टी 1, टी 2 सूर्य के चारों ओर ग्रह 1 और 2 की परिक्रमा की अवधि हैं; ए 1 > ए 2 ग्रह 1 और 2 की कक्षाओं के अर्ध-प्रमुख अक्षों की लंबाई है। अर्ध-अक्ष ग्रह से सूर्य तक की औसत दूरी है।

न्यूटन को बाद में पता चला कि केप्लर का तीसरा नियम पूरी तरह सटीक नहीं था; वास्तव में, इसमें ग्रह का द्रव्यमान शामिल था:

जहाँ M सूर्य का द्रव्यमान है, और m 1 और m 2 ग्रह 1 और 2 का द्रव्यमान है।

चूँकि गति और द्रव्यमान आपस में संबंधित पाए जाते हैं, केप्लर के हार्मोनिक नियम और न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के इस संयोजन का उपयोग ग्रहों और उपग्रहों के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए किया जाता है यदि उनकी कक्षाएँ और कक्षीय अवधि ज्ञात हों। इसके अलावा, ग्रह की सूर्य से दूरी जानकर, आप वर्ष की लंबाई (सूर्य के चारों ओर पूर्ण क्रांति का समय) की गणना कर सकते हैं। इसके विपरीत, वर्ष की लंबाई जानकर, आप ग्रह की सूर्य से दूरी की गणना कर सकते हैं।

ग्रहों की गति के तीन नियमकेप्लर द्वारा खोजे गए ग्रहों की असमान गति के लिए एक सटीक स्पष्टीकरण प्रदान किया गया। पहला नियम ग्रहों की कक्षाओं के प्रक्षेप पथ की ज्यामिति का वर्णन करता है। दूसरा नियम सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति की गति में परिवर्तन का वर्णन करता है। केप्लर का तीसरा नियम हमें ग्रहों की कक्षाओं की एक दूसरे से तुलना करने की अनुमति देता है। केप्लर द्वारा खोजे गए नियमों ने बाद में न्यूटन के लिए गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत को बनाने का आधार बनाया। न्यूटन ने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि केप्लर के सभी नियम गुरुत्वाकर्षण के नियम के परिणाम हैं।

प्राचीन काल में भी, यह देखा गया था कि, सितारों के विपरीत, जो सदियों तक अंतरिक्ष में अपनी सापेक्ष स्थिति बनाए रखते हैं, ग्रह सितारों के बीच बहुत जटिल प्रक्षेप पथ का वर्णन करते हैं। ग्रहों की लूप जैसी गति को समझाने के लिए, प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक के. पाटलोमी (दूसरी शताब्दी ईस्वी) ने पृथ्वी को ब्रह्मांड के केंद्र में स्थित मानते हुए सुझाव दिया कि प्रत्येक ग्रह एक छोटे वृत्त (एपिसाइकिल) में घूमता है। ), जिसका केंद्र एक बड़े वृत्त में समान रूप से घूमता है, जिसके केंद्र में पृथ्वी है। इस अवधारणा को पाटलोमीयन या भूकेन्द्रित विश्व व्यवस्था कहा गया।

16वीं शताब्दी की शुरुआत में, पोलिश खगोलशास्त्री एन. कोपरनिकस (1473-1543) ने हेलियोसेंट्रिक प्रणाली की पुष्टि की, जिसके अनुसार आकाशीय पिंडों की गतिविधियों को सूर्य के चारों ओर पृथ्वी (साथ ही अन्य ग्रहों) की गति से समझाया जाता है। और पृथ्वी का दैनिक घूर्णन। कॉपरनिकस के अवलोकन सिद्धांत को एक मनोरंजक कल्पना के रूप में देखा गया। 16वीं सदी में इस कथन को चर्च ने विधर्म माना। यह ज्ञात है कि जी ब्रूनो, जिन्होंने खुले तौर पर कोपरनिकस की हेलियोसेंट्रिक प्रणाली का समर्थन किया था, की जांच द्वारा निंदा की गई और उन्हें दांव पर लगा दिया गया।

सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की खोज न्यूटन ने केप्लर के तीन नियमों के आधार पर की थी।

केप्लर का प्रथम नियम. सभी ग्रह दीर्घवृत्त में घूमते हैं, सूर्य एक फोकस पर है (चित्र 7.6)।

चावल। 7.6

केप्लर का दूसरा नियम. ग्रह का त्रिज्या वेक्टर समान समय में समान क्षेत्रों का वर्णन करता है (चित्र 7.7)।
लगभग सभी ग्रह (प्लूटो को छोड़कर) गोलाकार कक्षाओं में घूमते हैं। वृत्ताकार कक्षाओं के लिए, केप्लर का पहला और दूसरा नियम स्वचालित रूप से संतुष्ट होते हैं, और तीसरा नियम यह बताता है टी 2 ~ आर 3 (टी- संचलन अवधि; आर– कक्षा त्रिज्या).

न्यूटन ने यांत्रिकी की व्युत्क्रम समस्या को हल किया और ग्रहों की गति के नियमों से गुरुत्वाकर्षण बल के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त की:

(7.5.2)

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, गुरुत्वाकर्षण बल रूढ़िवादी बल हैं। जब कोई पिंड एक बंद प्रक्षेपवक्र के साथ रूढ़िवादी बलों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में चलता है, तो कार्य शून्य होता है।
गुरुत्वाकर्षण बलों की रूढ़िवादिता की संपत्ति ने हमें संभावित ऊर्जा की अवधारणा को पेश करने की अनुमति दी।

संभावित ऊर्जाशरीर का भार एम, दूरी पर स्थित है आरएक विशाल पिंड से एम, वहाँ है

इस प्रकार, ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड की कुल ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है.

कुल ऊर्जा सकारात्मक या नकारात्मक या शून्य के बराबर हो सकती है। कुल ऊर्जा का चिन्ह आकाशीय पिंड की गति की प्रकृति को निर्धारित करता है।

पर इ < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние आर 0 < आरअधिकतम. इस मामले में, आकाशीय पिंड आगे बढ़ता है अण्डाकार कक्षा(सौरमंडल के ग्रह, धूमकेतु) (चित्र 7.8)

चावल। 7.8

किसी खगोलीय पिंड की अण्डाकार कक्षा में परिक्रमण की अवधि त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमण की अवधि के बराबर होती है आर, कहाँ आर- कक्षा की अर्धप्रमुख धुरी।

पर इ= 0 शरीर एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है। अनंत पर किसी पिंड की गति शून्य होती है।

पर इ< 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

प्रथम ब्रह्मांडीय गतिपृथ्वी की सतह के निकट वृत्ताकार कक्षा में किसी पिंड की गति की गति है। ऐसा करने के लिए, न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, केन्द्रापसारक बल को गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए:

यहाँ से

दूसरा पलायन वेगपरवलयिक प्रक्षेपवक्र के साथ किसी पिंड की गति की गति कहलाती है। यह उस न्यूनतम गति के बराबर है जो पृथ्वी की सतह पर किसी पिंड को प्रदान की जानी चाहिए ताकि वह गुरुत्वाकर्षण पर काबू पाकर सूर्य का एक कृत्रिम उपग्रह (कृत्रिम ग्रह) बन जाए। ऐसा करने के लिए यह आवश्यक है कि गतिज ऊर्जा पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण पर काबू पाने के लिए किये गये कार्य से कम न हो:

यहाँ से
तीसरा पलायन वेग- गति की वह गति जिस पर कोई पिंड सूर्य के गुरुत्वाकर्षण को पार करते हुए सौर मंडल छोड़ सकता है:

υ 3 = 16.7·10 3 मी/से.

चित्र 7.8 विभिन्न ब्रह्मांडीय वेगों वाले पिंडों के प्रक्षेप पथ को दर्शाता है।