Rješenje logaritamskih nejednadžbi s nepoznatom bazom. Složene logaritamske nejednadžbe

Među cijelom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednadžbe s promjenjivom bazom. Rješavaju se prema posebnoj formuli, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Umjesto čavke "∨" možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.

Tako se rješavamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednadžbu. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali kada se odbace logaritmi, mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odrezali, dovoljno je pronaći raspon dopuštenih vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, preporučujem da ga ponovite - pogledajte "Što je logaritam".

Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ove četiri nejednakosti čine sustav i moraju se ispuniti istovremeno. Kada se pronađe raspon prihvatljivih vrijednosti, ostaje ga prijeći rješenjem racionalne nejednadžbe - i odgovor je spreman.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

Prvo, napišimo ODZ logaritma:

Prve dvije nejednakosti se izvode automatski, a posljednja će se morati napisati. Budući da je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednakost:

Izvodimo prijelaz s logaritamske nejednadžbe na racionalnu. U izvornoj nejednakosti postoji predznak "manje od", pa bi i rezultirajuća nejednakost trebala biti sa predznakom "manje od". Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Nule ovog izraza: x = 3; x = -3; x = 0. Štoviše, x = 0 je korijen druge množine, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:

Dobivamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ logaritma, što znači da je to odgovor.

Transformacija logaritamskih nejednadžbi

Često se izvorna nejednakost razlikuje od gornje. To je lako popraviti prema standardnim pravilima za rad s logaritmima - pogledajte "Osnovna svojstva logaritama". Naime:

  1. Bilo koji broj može se prikazati kao logaritam sa zadanom bazom;
  2. Zbroj i razlika logaritama s istom bazom mogu se zamijeniti jednim logaritmom.

Zasebno vas želim podsjetiti na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednadžbi može biti više logaritama, potrebno je pronaći DPV svakog od njih. Dakle, opća shema za rješavanje logaritamskih nejednakosti je sljedeća:

  1. Nađite ODZ svakog logaritma uključenog u nejednadžbu;
  2. Nejednadžbu svesti na standardnu ​​pomoću formula za zbrajanje i oduzimanje logaritama;
  3. Dobivenu nejednadžbu riješite prema gornjoj shemi.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

Pronađite domenu definicije (ODZ) prvog logaritma:

Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojnika:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Zatim - nule nazivnika:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:

Dobivamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam ODZ bit će isti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:

Kao što vidite, trojke na bazi i ispred logaritma su se smanjile. Dobijte dva logaritma s istom bazom. Spojimo ih zajedno:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardnu ​​logaritamsku nejednakost. Logaritama se rješavamo formulom. Budući da postoji znak manje u izvornoj nejednakosti, rezultirajući racionalni izraz također mora biti manji od nule. Imamo:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva kompleta:

  1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. Kandidat za odgovor: x ∈ (−1; 3).

Ostaje još prijeći ove skupove - dobivamo pravi odgovor:

Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale osjenčane na obje strelice. Dobivamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve točke su punktirane.

Mislite li da još ima vremena do ispita i da ćete se imati vremena pripremiti? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne trenirati, to uspješnije polaže ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednakostima. Ovo je jedan od zadataka, što znači priliku za dodatni bod.

Znate li već što je logaritam (log)? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Vrlo je lako razumjeti što je logaritam.

Zašto baš 4? Morate podići broj 3 na takvu moć da dobijete 81. Kada razumijete princip, možete nastaviti sa složenijim izračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada ih stalno susrećete u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada, kada smo se zasebno upoznali s pojmovima, prijeći ćemo na njihovo razmatranje općenito.

Najjednostavnija logaritamska nejednadžba.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je ovo potrebno? Za bolje razumijevanje rješavanja nejednakosti s logaritmima. Sada dajemo primjenjiviji primjer, još uvijek prilično jednostavan, a složene logaritamske nejednadžbe ostavljamo za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje s ODZ-om. Trebao bi znati više o tome ako želiš uvijek lako riješiti svaku nejednadžbu.

Što je ODZ? DPV za logaritamske nejednadžbe

Skraćenica označava raspon valjanih vrijednosti. U zadacima za ispit često se pojavljuje ova formulacija. DPV vam je koristan ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Ponovno pogledajte gornji primjer. Razmotrit ćemo ODZ na temelju njega, tako da razumijete princip, a rješenje logaritamskih nejednakosti ne izaziva pitanja. Iz definicije logaritma proizlazi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj mora biti pozitivan po definiciji. Riješite gornju nejednadžbu. To se može učiniti čak i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednadžbe bit će definiranje raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada prijeđimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednadžbe.

Same logaritme odbacujemo iz oba dijela nejednadžbe. Što nam kao rezultat ostaje? jednostavna nejednakost.

Lako je riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada spajamo dvije dobivene vrijednosti u sustav. Tako,

Ovo će biti područje dopuštenih vrijednosti za razmatranu logaritamsku nejednakost.

Zašto je uopće potreban ODZ? Ovo je prilika za uklanjanje netočnih i nemogućih odgovora. Ako odgovor nije unutar raspona prihvatljivih vrijednosti, tada odgovor jednostavno nema smisla. Ovo vrijedi dugo pamtiti, jer na ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe

Rješenje se sastoji od nekoliko koraka. Prvo je potrebno pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će biti dvije vrijednosti, to smo razmotrili gore. Sljedeći korak je rješavanje same nejednadžbe. Metode rješenja su sljedeće:

  • metoda zamjene množitelja;
  • raspad;
  • metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, treba koristiti jednu od gore navedenih metoda. Idemo odmah na rješenje. Otkrit ćemo najpopularniju metodu koja je prikladna za rješavanje USE zadataka u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo razmotriti metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno "škakljivu" nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe.

Primjeri rješenja :

Nismo uzalud uzeli upravo takvu nejednakost! Obratite pozornost na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti pri pronalaženju raspona valjanih vrijednosti; u protivnom se znak nejednakosti mora promijeniti.

Kao rezultat toga dobivamo nejednakost:

Sada predstavljamo lijeva strana obliku jednadžbe jednaka nuli. Umjesto znaka "manje od" stavljamo "jednako", rješavamo jednadžbu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da nećete imati problema s rješavanjem tako jednostavne jednadžbe. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Morate prikazati ove točke na grafikonu, staviti "+" i "-". Što za to treba učiniti? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, tamo stavljamo "+".

Odgovor: x ne može biti veći od -4 ni manji od -2.

Pronašli smo raspon važećih vrijednosti samo za lijevu stranu, sada moramo pronaći raspon važećih vrijednosti za desnu stranu. Ovo nikako nije lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba primljena područja.

I tek sada počinjemo rješavati samu nejednadžbu.

Pojednostavimo to što je više moguće kako bismo se lakše odlučili.

Ponovno koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo kalkulacije, s njim je već sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovor.

Ali ova je metoda prikladna ako logaritamska nejednadžba ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi s različitim bazama uključuje početno svođenje na jednu bazu. Zatim upotrijebite gornju metodu. Ali postoji i kompliciraniji slučaj. Razmotrite jednu od najsloženijih vrsta logaritamskih nejednakosti.

Logaritamske nejednadžbe s promjenjivom bazom

Kako riješiti nejednadžbe s takvim karakteristikama? Da, i takvi se mogu naći na ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Pogledajmo problem u detalje. Ostavimo teoriju po strani i prijeđimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednadžbi dovoljno je jednom pogledati primjer.

Za rješavanje logaritamske nejednadžbe prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom bazom. Princip nalikuje ekvivalentnim prijelazima. Kao rezultat toga, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, ostaje stvoriti sustav nejednakosti bez logaritama. Metodom racionalizacije prelazimo na ekvivalentni sustav nejednakosti. Samo pravilo ćete razumjeti kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sustav će imati sljedeće nejednakosti.

Koristeći metodu racionalizacije pri rješavanju nejednadžbi, potrebno je zapamtiti sljedeće: od baze treba oduzeti jedan, x se, po definiciji logaritma, oduzima od oba dijela nejednadžbe (desni od lijevog), dva izrazi se množe i postavljaju pod izvorni znak u odnosu na nulu.

Daljnje rješenje provodi se metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da razumijete razlike u metodama rješenja, tada će sve početi funkcionirati lako.

Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednadžbama. Najjednostavnije od njih dovoljno je lako riješiti. Kako učiniti da se svaki od njih riješi bez problema? Sve odgovore ste već dobili u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka unutar ispita i moći ćete dobiti najvišu ocjenu. Sretno u vašem teškom radu!

Rješenje najjednostavnijih logaritamskih nejednakosti i nejednakosti, gdje je baza logaritma fiksna, razmotrili smo u prošloj lekciji.

Ali što ako je baza logaritma varijabla?

Tada ćemo mi priskočiti u pomoć racionalizacija nejednakosti. Da bismo razumjeli kako ovo funkcionira, razmotrimo, na primjer, nejednakost:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Očekivano, krenimo od ODZ-a.

ODZ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

Rješavanje nejednadžbe

Razmišljajmo kao da rješavamo nejednadžbu s fiksnom bazom. Ako je baza veća od jedan, oslobađamo se logaritama, a znak nejednakosti se ne mijenja, ako je manji od jedan, mijenja se.

Zapišimo to kao sustav:

$$\lijevo[ \begin(niz)(l) \lijevo\( \begin(niz)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(niz)\desno. \\ \lijevo\ ( \početak(niz)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Za dalje razmišljanje prenosimo sve desne strane nejednakosti na lijevu.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\desno. \ \ \lijevo\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Što smo dobili? Ispostavilo se da trebamo izraze `2x-1` i `x^2 - x` da budu ili pozitivni ili negativni u isto vrijeme. Isti rezultat ćemo dobiti ako riješimo nejednadžbu:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Ova nejednakost, kao i izvorni sustav, vrijedi ako su oba faktora pozitivna ili negativna. Ispada da je moguće prijeći s logaritamske nejednadžbe na racionalnu (uzimajući u obzir ODZ).

Idemo formulirati metoda racionalizacije za logaritamske nejednakosti$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Lijeva desna strelica (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ gdje je `\vee` bilo koji znak nejednakosti. (Za znak `>` upravo smo provjerili valjanost formule. Za ostalo predlažem da provjerite sami - tako ćete bolje zapamtiti).

Vratimo se rješenju naše nejednadžbe. Proširujući u zagrade (kako bismo bolje vidjeli nule funkcije), dobivamo

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Intervalna metoda će dati sljedeću sliku:

(Budući da je nejednakost stroga i da nas krajevi intervala ne zanimaju, oni se ne popunjavaju.) Kao što se vidi, dobiveni intervali zadovoljavaju ODZ. Dobio sam odgovor: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Drugi primjer. Rješenje logaritamske nejednadžbe s promjenjivom bazom

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\lijevo\(\begin(niz)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \kraj(niz)\desno.$$

$$\lijevo\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0. \end(niz)\desno.$$

Rješavanje nejednadžbe

Prema pravilu koje smo upravo dobili racionalizacija logaritamskih nejednakosti, dobivamo da je ova nejednakost identična (uzimajući u obzir ODZ) sljedećoj:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Kombinirajući ovo rješenje s ODZ-om, dobivamo odgovor: `(1,2)`.

Treći primjer. Logaritam razlomka

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\lijevo\(\begin(niz)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(niz) \desno.$ $

Budući da je sustav relativno složen, iscrtajmo odmah rješenje nejednadžbi na brojevnoj crti:

Dakle, ODZ: `(0,1)\čaša \lijevo(1,\frac(6)(5)\desno)`.

Rješavanje nejednadžbe

Predstavimo "-1" kao logaritam s bazom "x".

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Pomoću racionalizacija logaritamske nejednakosti dobivamo racionalnu nejednakost:

$$(x-1)\lijevo(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\desno)\leqslant0,$$

$$(x-1)\lijevo(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\desno)\leqslant0,$$

$$(x-1)\lijevo(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\desno)\leqslant0.$$

Među cijelom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednadžbe s promjenjivom bazom. Rješavaju se prema posebnoj formuli, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi. Prezentacija predstavlja rješenja zadataka C3 USE - 2014 iz matematike.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, napravite račun za sebe ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com


Naslovi slajdova:

Rješavanje logaritamskih nejednakosti koje sadrže varijablu na bazi logaritma: metode, tehnike, ekvivalentni prijelazi profesor matematike MBOU srednja škola br. 143 Knyazkina T.V.

Među cijelom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednadžbe s promjenjivom bazom. Rješavaju se pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Umjesto kvadratića “∨” možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti. Tako se rješavamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednadžbu. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali kada se odbace logaritmi, mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odrezali, dovoljno je pronaći raspon dopuštenih vrijednosti. Ne zaboravite ODZ logaritma! Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Ove četiri nejednadžbe čine sustav i moraju biti ispunjene istovremeno. Kada se pronađe raspon prihvatljivih vrijednosti, ostaje ga prijeći rješenjem racionalne nejednadžbe - i odgovor je spreman.

Riješite nejednadžbu: Rješenje Za početak ispišemo ODZ logaritma Prve dvije nejednadžbe se rade automatski, a posljednju ćemo morati slikati. Kako je kvadrat broja jednak nuli ako i samo ako je sam broj jednak nuli, imamo: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 . Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Sada rješavamo glavnu nejednadžbu: Izvodimo prijelaz iz logaritamske nejednadžbe u racionalnu. U izvornoj nejednakosti postoji predznak "manje od", pa bi i rezultirajuća nejednakost trebala biti sa predznakom "manje od".

Imamo: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

Pretvaranje logaritamskih nejednakosti Često se izvorna nejednadžba razlikuje od gornje. To je lako popraviti pomoću standardnih pravila za rad s logaritmima. Naime: Bilo koji broj može se prikazati kao logaritam sa zadanom bazom; Zbroj i razlika logaritama s istom bazom mogu se zamijeniti jednim logaritmom. Zasebno vas želim podsjetiti na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednadžbi može biti više logaritama, potrebno je pronaći DPV svakog od njih. Dakle, opća shema za rješavanje logaritamskih nejednadžbi je sljedeća: Pronađite ODZ za svaki logaritam uključen u nejednadžbu; Nejednadžbu svesti na standardnu ​​pomoću formula za zbrajanje i oduzimanje logaritama; Dobivenu nejednadžbu riješite prema gornjoj shemi.

Riješite nejednadžbu: Rješenje Nađimo domenu definicije (ODZ) prvog logaritma: Rješavamo metodom intervala. Nađi nulte točke brojnika: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Zatim - nule nazivnika: x − 1 = 0; x = 1. Na koordinatnoj liniji označavamo nule i predznake:

Dobivamo x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Drugi logaritam ODZ bit će isti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da baza bude dvojka: Kao što vidite, trojke na bazi i ispred logaritma su smanjene. Dobijte dva logaritma s istom bazom. Zbrojite ih: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale osjenčane na obje strelice. Dobivamo: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - sve točke su punktirane. Odgovor: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita-2014 tipa C3

Riješite sustav nejednadžbi Rješenje. ODZ:  1) 2)

Riješite sustav nejednadžbi 3) ​​-7 -3 - 5 x -1 + + + − − (nastavak)

Riješite sustav nejednadžbi 4) Opće rješenje: i -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (nastavak)

Riješite nejednadžbu (nastavak) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Riješite nejednadžbu Rješenje. ODZ: 

Riješite nejednadžbu (nastavak)

Riješite nejednadžbu Rješenje. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2


S njima su unutar logaritmi.

Primjeri:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Kako riješiti logaritamske nejednadžbe:

Svaku logaritamsku nejednakost treba svesti na oblik \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbol \(˅\) znači bilo koji od ). Ovaj oblik nam omogućuje da se riješimo logaritama i njihovih baza prelazeći na nejednakost izraza pod logaritmima, odnosno na oblik \(f(x) ˅ g(x)\).

Ali kada se radi ovaj prijelaz, postoji jedna vrlo važna suptilnost:
\(-\) ako je - broj i veći je od 1 - znak nejednakosti ostaje isti tijekom prijelaza,
\(-\) ako je baza broj veći od 0, ali manji od 1 (između nule i jedan), tada znak nejednakosti mora biti obrnut, tj.

Primjeri:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(x<8\)

Riješenje:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
Odgovor: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\)
ODZ: \(\početak(slučajevi)2x-4>0\\x+1 > 0\kraj(slučajevi)\)
\(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Lijevadesnastrelica\) \(x\in(2;\infty)\)

Riješenje:
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Odgovor: \((2;5]\)

Jako važno! U bilo kojoj nejednakosti, prijelaz s oblika \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) na usporedbu izraza pod logaritmima može se izvršiti samo ako:


Primjer . Riješite nejednadžbu: \(\log\)\(≤-1\)

Riješenje:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

Ispišimo ODZ.

ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

Otvaramo zagrade, dajemo .

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

Nejednakost množimo s \(-1\), ne zaboravimo obrnuti znak usporedbe.

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

Izgradimo brojevni pravac i na njemu označimo točke \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\). Imajte na umu da je točka iz nazivnika probušena, unatoč činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova točka neće biti rješenje, jer će nas pri zamjeni u nejednadžbu dovesti do dijeljenja s nulom.


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji ulazi u ODZ.


Zapiši konačan odgovor.

Odgovor: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Primjer . Riješite nejednadžbu: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Riješenje:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Ispišimo ODZ.

ODZ: \(x>0\)

Prijeđimo na odluku.

Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Pred nama je tipična kvadratno-logaritamska nejednadžba. Radimo.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

Proširite lijevu stranu nejednadžbe u .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Sada se morate vratiti na izvornu varijablu - x. Da bismo to učinili, prelazimo na , koji ima isto rješenje, i vršimo obrnutu zamjenu.

\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Transformacija \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).

\(\lijevo[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Prijeđimo na usporedbu argumenata. Baze logaritama veće su od \(1\), pa se predznak nejednakosti ne mijenja.

\(\lijevo[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Spojimo rješenje nejednadžbe i ODZ na jednoj slici.


Zapišimo odgovor.

Odgovor: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)
Udio: