Teorem o svojstvu kutova paralelograma. Izračunajte zbroj kutova i površinu paralelograma: svojstva i značajke

Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne. Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove baze (a) i visine (h). Također možete pronaći njegovu površinu kroz dvije strane i kut i kroz dijagonale.

Svojstva paralelograma

1. Nasuprotne strane su identične

Prije svega nacrtajte dijagonalu \(AC \) . Dobivaju se dva trokuta: \(ABC \) i \(ADC \) ​​​​.

Budući da je \(ABCD \) paralelogram, vrijedi sljedeće:

\(AD || BC \desna strelica \kut 1 = \kut 2 \) kao da leži poprijeko.

\(AB || CD \desna strelica \kut3 = \kut 4 \) kao da leži poprijeko.

Prema tome, (po drugoj osnovi: i \(AC\) je zajedničko).

I stoga, \(\trokut ABC = \trokut ADC \), zatim \(AB = CD \) i \(AD = BC \) .

2. Nasuprotni kutovi su identični

Prema dokazu svojstva 1 Mi to znamo \(\kut 1 = \kut 2, \kut 3 = \kut 4 \). Dakle, zbroj suprotnih kutova je: \(\kut 1 + \kut 3 = \kut 2 + \kut 4 \). S obzirom na to \(\trokut ABC = \trokut ADC \) dobivamo \(\kut A = \kut C \) , \(\kut B = \kut D \) .

3. Dijagonale su raspolovljene točkom presjeka

Po svojstvo 1 znamo da su suprotne stranice identične: \(AB = CD \) . Još jednom bilježimo jednake kutove koji leže unakrsno.

Dakle, vidi se da \(\trokut AOB = \trokut COD \) prema drugom kriteriju za jednakost trokuta (dva kuta i stranica između njih). To jest, \(BO = OD \) (nasuprot kutovima \(\kut 2 \) i \(\kut 1 \) ) i \(AO = OC \) (nasuprot kutovima \(\kut 3 \) i \( \kut 4 \) redom).

Značajke paralelograma

Ako je u vašem problemu prisutan samo jedan znak, tada je lik paralelogram i možete koristiti sva svojstva tog lika.

Za bolje pamćenje, imajte na umu da će znak paralelograma odgovoriti na sljedeće pitanje - "kako saznati?". Odnosno, kako saznati da je data figura paralelogram.

1. Paralelogram je četverokut čije su dvije stranice jednake i paralelne

\(AB = CD \) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)- paralelogram.

Razmotrimo detaljnije. Zašto \(AD || BC \) ?

\(\trokut ABC = \trokut ADC \) na svojstvo 1: \(AB = CD \) , \(\kut 1 = \kut 2 \) kao poprečno s paralelom \(AB \) i \(CD \) i sekantom \(AC \) .

Ali ako \(\trokut ABC = \trokut ADC \), tada \(\kut 3 = \kut 4 \) (oni leže nasuprot \(AD || BC \) (\(\kut 3 \) i \(\kut 4 \) - nasuprotni leže također su jednaki).

Prvi znak je točan.

2. Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice jednake

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) je paralelogram.

Razmotrimo ovu značajku. Ponovno nacrtajte dijagonalu \(AC \).

Po svojstvo 1\(\trokut ABC = \trokut ACD \).

Iz toga slijedi da: \(\kut 1 = \kut 2 \Rightarrow AD || BC \) i \(\kut 3 = \kut 4 \desna strelica AB || CD \), odnosno \(ABCD\) je paralelogram.

Drugi znak je točan.

3. Paralelogram je četverokut čiji su nasuprotni kutovi jednaki

\(\kut A = \kut C \) , \(\kut B = \kut D \desna strelica ABCD \)- paralelogram.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(jer \(\kut A = \kut C \) , \(\kut B = \kut D \) po definiciji).

Ispada, . Ali \(\alpha \) i \(\beta \) su unutarnje jednostrane u sekanti \(AB \) .

I što \(\alfa + \beta = 180^(\circ) \) također kaže da \(AD || BC \) .

Tema lekcije

• Svojstva dijagonala paralelograma.

Ciljevi lekcije

• Upoznati nove definicije i prisjetiti se nekih već proučenih.
• Formulirajte i dokažite svojstvo dijagonala paralelograma.
• Naučiti primijeniti svojstva oblika u rješavanju zadataka.
• Razvijanje - razvijati pažnju učenika, upornost, ustrajnost, logičko razmišljanje, matematički govor.
• Obrazovni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći, neovisnosti.

Ciljevi lekcije

• Provjeriti sposobnost učenika za rješavanje problema.

Plan učenja

1. Uvodni govor.
2. Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.
3. Paralelogram, njegova svojstva i predznaci.
4. Primjeri zadataka.
5. Samoprovjera.

Uvod

“Veliko znanstveno otkriće nudi rješenje za veliki problem, ali u rješenju bilo kojeg problema postoji zrno otkrića.”

Svojstva suprotnih stranica paralelograma

Paralelogram ima jednake suprotne stranice.

Dokaz.

Neka je ABCD zadani paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u točki O.
Kako je Δ AOB = Δ COD po prvom znaku jednakosti trokuta (∠ AOB = ∠ COD, kao okomitih, AO=OC, DO=OB, po svojstvu dijagonala paralelograma), onda je AB=CD. Slično, iz jednakosti trokuta BOC i DOA slijedi BC=DA. Teorem je dokazan.

Svojstvo nasuprotnih kutova paralelograma

Paralelogram ima suprotne kutove.

Dokaz.

Neka je ABCD zadani paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u točki O.
Iz svojstava suprotnih stranica paralelograma dokazanih u teoremu o Δ ABC = Δ CDA na tri strane (AB=CD, BC=DA iz dokazanog, AC je općenito). Iz jednakosti trokuta slijedi ∠ABC = ∠CDA.
Također je dokazano da je ∠ DAB = ∠ BCD, što slijedi iz ∠ ABD = ∠ CDB. Teorem je dokazan.

Svojstvo dijagonala paralelograma

Dijagonale paralelograma se sijeku, a sjecište se raspolavlja.

Dokaz.

Neka je ABCD zadani paralelogram. Nacrtajmo dijagonalu AC. Na njemu označimo sredinu O. Na nastavku odsječka DO odvajamo odsječak OB 1 jednak DO.
Prema prethodnom teoremu, AB 1 CD je paralelogram. Stoga je pravac AB 1 paralelan s DC. Ali kroz točku A može se povući samo jedan pravac paralelan s DC. Dakle, pravac AB 1 podudara se s pravcem AB.
Također je dokazano da se BC 1 podudara s BC. Dakle, točka C se podudara s C 1 . paralelogram ABCD poklapa se s paralelogramom AB 1 CD. Dakle, dijagonale paralelograma se sijeku i sjecište se raspolavlja. Teorem je dokazan.

U udžbenicima za obične škole (na primjer, u Pogorelovu) dokazuje se kako slijedi: dijagonale dijele paralelogram na 4 trokuta. Razmotrite jedan par i saznajte - oni su jednaki: njihove baze su suprotne strane, odgovarajući kutovi koji su uz njega jednaki su okomiti s paralelnim linijama. To jest, segmenti dijagonala su po paru jednaki. Sve.

Je li to sve?
Gore je dokazano da sjecište raspolavlja dijagonale - ako postoji. Gornje obrazloženje ni na koji način ne dokazuje njegovo postojanje. Odnosno, dio teorema "dijagonale paralelograma se sijeku" ostaje nedokazan.

Smiješno je kako je ovaj dio puno teže dokazati. Usput, ovo slijedi iz općenitijeg rezultata: za bilo koji konveksni četverokut, dijagonale će se sijeći, za bilo koji nekonveksni, neće.

O jednakosti trokuta duž stranice i dva kuta uz nju (drugi znak jednakosti trokuta) i drugi.

Teorem o jednakosti dva trokuta duž stranice i dva kuta uz nju, Thales je pronašao važan praktičnu upotrebu. U luci Mileta izgrađen je daljinomjer koji određuje udaljenost do broda na moru. Sastojala se od tri zabijena klina A, B i C (AB = BC) i označene ravne crte SK, okomite na CA. Kad se brod pojavio na pravoj liniji SC, našla se točka D takva da su točke D, .B i E bile na istoj pravoj liniji. Kao što je jasno iz crteža, udaljenost CD na tlu je željena udaljenost do broda.

Pitanja

1. Jesu li dijagonale kvadrata raspolovljene točkom presjeka?
   
2. Jesu li dijagonale paralelograma jednake?
3. Jesu li suprotni kutovi paralelograma jednaki?
4. Koja je definicija paralelograma?
5. Koliko obilježja ima paralelogram?
   
6. Može li romb biti paralelogram?
   

Popis korištenih izvora

1. Kuznetsov A. V., učitelj matematike (razredi 5-9), Kijev
2. “Jedinstveni državni ispit 2006. Matematika. Obrazovni i obučni materijali za pripremu učenika / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Rješavanje glavnih natjecateljskih problema u matematici zbirke koju je uredio M. I. Scanavi"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometrija, 7 - 9: udžbenik za obrazovne ustanove"

Rad na lekciji

Kuznjecov A.V.

Poturnak S.A.

Evgenij Petrov

Postavite pitanje o moderno obrazovanje, izraziti ideju ili riješiti hitan problem, možete Obrazovni forum gdje se obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja sastaje na međunarodnoj razini. Stvorivši blog, Ne samo da ćete unaprijediti svoj status kompetentnog učitelja, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Ceh voditelja obrazovanja otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva vas na suradnju u pravcu stvaranja najboljih škola na svijetu.

Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne (slika 233).

Proizvoljni paralelogram ima sljedeća svojstva:

1. Nasuprotne stranice paralelograma su jednake.

Dokaz. Nacrtaj dijagonalu AC u paralelogramu ABCD. Trokuti ACD i AC B jednaki su ako imaju zajedničku stranicu AC i dva para jednakih kutova uz nju:

(kao unakrsno ležeći kutovi s usporednim pravcima AD i BC). Dakle, i kao strane jednakih trokuta koji leže nasuprot jednakih kutova, što je trebalo dokazati.

2. Nasuprotni kutovi paralelograma su:

3. Susjedni kutovi paralelograma, odnosno kutovi koji priliježu jednoj stranici, zbrajaju se itd.

Dokaz svojstava 2 i 3 neposredno slijedi iz svojstava kutova na paralelnim pravcima.

4. Dijagonale paralelograma međusobno se raspolovljuju u točki svog sjecišta. Drugim riječima,

Dokaz. Trokuti AOD i BOC su jednaki, jer su im stranice AD ​​i BC jednake (svojstvo 1) i kutovi uz njih (kao unakrsno ležeći kutovi s usporednicama). To implicira jednakost odgovarajućih stranica ovih trokuta: AO što je trebalo dokazati.

Svako od ova četiri svojstva karakterizira paralelogram, ili, kako se kaže, njegovo je karakteristično svojstvo, tj. svaki četverokut koji ima barem jedno od ovih svojstava je paralelogram (pa prema tome ima i sva ostala tri svojstva).

Dokaz provodimo za svaku nekretninu posebno.

1". Ako su nasuprotne stranice četverokuta po parovima jednake, onda je to paralelogram.

Dokaz. Neka su četverokutu ABCD jednake stranice AD ​​i BC, odnosno AB i CD (sl. 233). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trokuti ABC i CDA bit će sukladni jer imaju tri para jednakih stranica.

Ali tada su kutovi BAC i DCA jednaki i . Paralelnost stranica BC i AD proizlazi iz jednakosti kutova CAD i DIA.

2. Ako četverokut ima dva para suprotnih kutova jednaka, onda je to paralelogram.

Dokaz. Neka . Budući da su obje stranice AD ​​i BC paralelne (na temelju paralelnih pravaca).

3. Formulaciju i dokazivanje prepuštamo čitatelju.

4. Ako su dijagonale četverokuta međusobno podijeljene u sjecištu popola, tada je četverokut paralelogram.

Dokaz. Ako je AO \u003d OS, BO \u003d OD (sl. 233), tada su trokuti AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake kutove (okomite!) Na vrhu O, zatvoreni između parova jednakih stranica AO i CO, BO i ČINI. Iz jednakosti trokuta zaključujemo da su stranice AD ​​i BC jednake. Stranice AB i CD su također jednake, a četverokut se ispostavlja kao paralelogram prema karakterističnom svojstvu G.

Dakle, da bi se dokazalo da je dati četverokut paralelogram, dovoljno je provjeriti valjanost bilo kojeg od četiri svojstva. Čitatelj je pozvan da samostalno dokaže još jedno karakteristično svojstvo paralelograma.

5. Ako četverokut ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.

Ponekad se bilo koji par paralelnih stranica paralelograma naziva njegovim bazama, dok se druge dvije nazivaju bočnim stranicama. Isječak ravne crte okomit na dvije stranice paralelograma, zatvoren između njih, naziva se visina paralelograma. Paralelogram na sl. 234 ima visinu h povučenu na stranice AD ​​i BC, druga visina je prikazana segmentom .

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, tj. leže na paralelnim pravcima

Svojstva paralelograma:
Teorem 22. Nasuprotne stranice paralelograma su jednake.
Dokaz. Nacrtaj dijagonalu AC u paralelogramu ABCD. Trokuti ACD i ACB sukladni su jer imaju zajedničku stranicu AC i dva para jednakih kutova. njemu susjedni: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (kao unakrsni kutovi s usporednim pravcima AD i BC). Dakle, AB=CD i BC=AD kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta, itd. Jednakost ovih trokuta također podrazumijeva jednakost odgovarajućih kutova trokuta:
Teorem 23. Suprotni kutovi paralelograma su: ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D.
Jednakost prvog para proizlazi iz jednakosti trokuta ABD i CBD, a drugog - ABC i ACD.
Teorem 24. Susjedni kutovi paralelograma, tj. kutovi uz jednu stranu zbroje do 180 stupnjeva.
To je tako jer su unutarnji jednostrani kutovi.
Teorem 25. Dijagonale paralelograma međusobno se raspolavljaju u točki njihova sjecišta.
Dokaz. Promotrimo trokute BOC i AOD. Prema prvom svojstvu AD=BC ∠ OAD=∠ OSV i ∠ ODA=∠ OVS kao ležeći poprijeko s paralelnim pravcima AD i BC. Prema tome, trokuti BOC i AOD jednaki su po stranici i kutovima koji joj priležu. Dakle, BO=OD i AO=OC, kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta, itd.

Značajke paralelograma
Teorem 26. Ako su nasuprotne stranice četverokuta u parovima jednake, tada je četverokut paralelogram.
Dokaz. Neka četverokut ABCD ima jednake stranice AD ​​i BC, odnosno AB i CD (slika 2). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trokut ABC i ACD imaju tri jednake stranice. Tada su kutovi BAC i DCA jednaki pa je AB paralelan s CD. Paralelnost stranica BC i AD proizlazi iz jednakosti kutova CAD i DIA.
Teorem 27. Ako su nasuprotni kutovi četverokuta u parovima jednaki, tada je on paralelogram.
Neka je ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, zatim ∠ A+∠ B=180 o i stranice AD ​​i BC su paralelne (na temelju paralelnih pravaca). Dokazujemo i paralelnost stranica AB i CD te zaključujemo da je ABCD po definiciji paralelogram.
Teorem 28. Ako su susjedni kutovi četverokuta, t.j. kutovi uz jednu stranicu zbroje 180 stupnjeva, tada je to paralelogram.
Ako unutarnji jednostrani kutovi zbroje 180 stupnjeva, tada su linije paralelne. To znači da je AB par CD, a BC par AD. Ispada da je četverokut po definiciji paralelogram.
Teorem 29. Ako su dijagonale četverokuta međusobno podijeljene u točki presjeka popola, tada je četverokut paralelogram.
Dokaz. Ako je AO=OC, BO=OD, tada su trokuti AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake kutove (okomite) u vrhu O, zatvoreni između parova jednakih stranica. Iz jednakosti trokuta zaključujemo da su AD i BC jednaki. Stranice AB i CD također su jednake, a četverokut se ispostavlja kao paralelogram prema značajki 1.
Teorem 30. Ako četverokut ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.
Neka su stranice AB i CD paralelne i jednake u četverokutu ABCD. Nacrtaj dijagonale AC i BD. Iz paralelnosti ovih pravaca slijedi jednakost unakrsnih kutova ABO=CDO i BAO=OCD. Trokuti ABO i CDO imaju jednake stranice i susjedne kutove. Prema tome, AO=OC, BO=OD, tj. dijagonale sjecišta su podijeljene na pola i četverokut se ispostavlja kao paralelogram prema značajki 4.

U geometriji se razmatraju posebni slučajevi paralelograma.

1. Definicija paralelograma.

Presiječemo li par paralelnih pravaca s drugim parom paralelnih pravaca, dobit ćemo četverokut čije su suprotne stranice po parovima paralelne.

U četverokutima ABDC i EFNM (sl. 224) BD || AC i AB || CD;

EF || MN i EM || F.N.

Četverokut čije su suprotne stranice po parovima paralelne naziva se paralelogram.

2. Svojstva paralelograma.

Teorema. Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trokuta.

Neka postoji paralelogram ABDC (slika 225) u kojem je AB || CD i AC || BD.

Potrebno je dokazati da ga dijagonala dijeli na dva jednaka trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu CB u paralelogramu ABDC. Dokažimo da je \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)SDV.

SI stranica je zajednička ovim trokutima; ∠ABC = ∠BCD, kao unutarnji unakrsni kutovi s paralelama AB i CD i sekantom CB; ∠ACB = ∠CBD, isto kao i unutarnji poprečni kutovi s paralelama AC i BD i sekantom CB.

Dakle \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)SDV.

Na isti način se može dokazati da dijagonala AD dijeli paralelogram na dva jednaka trokuta ACD i ABD.

Posljedice:

1 . Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki.

∠A = ∠D, to proizlazi iz jednakosti trokuta CAB i CDB.

Slično je ∠C = ∠B.

2. Nasuprotne stranice paralelograma su jednake.

AB \u003d CD i AC \u003d BD, jer su to strane jednakih trokuta i leže nasuprot jednakih kutova.

Teorem 2. Dijagonale paralelograma raspolavljaju se u točki njihova sjecišta.

Neka su BC i AD dijagonale paralelograma ABDC (slika 226). Dokažimo da je AO = OD i CO = OB.

Da bismo to učinili, usporedimo neki par suprotnih trokuta, na primjer \(\Delta\)AOB i \(\Delta\)COD.

U tim trokutima AB = CD, kao suprotne stranice paralelograma;

∠1 = ∠2, kao unutarnji kutovi koji unakrsno leže na paralelama AB i CD i sekanti AD;

∠3 = ∠4 iz istog razloga, budući da je AB || CD i CB su njihova sekansa.

Slijedi da je \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)COD. A u jednakim trokutima, nasuprot jednakim kutovima jednake su stranice. Prema tome, AO = OD i CO = OB.

Teorem 3. Zbroj kutova uz jednu stranicu paralelograma jednak je 180°.

Nacrtaj dijagonalu AC u paralelogramu ABCD i dobij dva trokuta ABC i ADC.

Trokuti su sukladni jer je ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (unakrsni kutovi kod paralelnih pravaca), a stranica AC je zajednička.
Jednakost \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC implicira da je AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Zbroj kutova koji graniče s jednom stranom, na primjer, kutovi A i D, jednaki su 180 ° kao jednostrani s paralelnim linijama.