Metoda monge je projiciranje objektov. Metoda Monge, kompleksna risba

Metoda Monge uporablja metodo pravokotnih projekcij ali metodo pravokotne projekcije geometrijske slike (točka, črta, ravnina, površina) na dve medsebojno pravokotni in med seboj povezani projekcijski ravnini s pravokotnimi žarki na te projekcijske ravnine, to je bistvo metoda Monge:

riž. osemnajst Metoda Monge: H - vodoravna projekcijska ravnina; V- čelna ravnina projekcije; W - ravnina projekcije profila.

Presečišča projekcijskih ravnin se imenujejo projekcijska os ali koordinatna os:

A`- projekcija točke A na ravnino H (horizontalna projekcija točke A);

A "- projekcija točke A na ravnino V (čelna projekcija točke A);

A "`- projekcija točke A na ravnino W (profilna projekcija točke A).

Metode projekcije z uporabo enoslikovnih risb omogočajo reševanje neposrednega problema (tj. sestavljanje projekcije na danem originalu). Vendar pa inverznega problema (t.j. reproducirati izvirnik s projekcijo) ni mogoče nedvoumno rešiti. Ta problem dopušča neskončno število rešitev, ker vsako točko Ab ravnine projekcij b lahko štejemo za projekcijo katere koli točke projekcijskega žarka SAb, ki poteka skozi Ab.

Tako obravnavane enoslikovne risbe nimajo lastnosti reverzibilnosti.

Za pridobitev reverzibilnih enoslikovnih risb so dopolnjene s potrebnimi podatki.

To lahko dodate na različne načine. Na primer risbe s številčnimi oznakami.

Metoda je v tem, da se poleg projekcije točke A1 nastavi višina točke, t.j. njegova oddaljenost od projekcijske ravnine. Nastavite tudi lestvico.

Ta metoda se uporablja v gradbeništvu, arhitekturi, geodeziji itd. Vendar pa ni univerzalna za ustvarjanje risb kompleksnih prostorskih oblik.

riž. 19

Leta 1798 je francoski geometer-inženir Gaspard Monge, ki je povzemal teoretično znanje in izkušnje, nabrane do takrat, prvič dal znanstveno utemeljitev splošne metode gradnje slik, pri čemer je predlagal obravnavanje ravne risbe, sestavljene iz dveh projekcij, kot rezultat združitve dveh medsebojno povezanih med seboj pravokotnih ravnin z ravninskimi projekcijami.

Od tod izvira načelo konstruiranja risb, imenovano Mongeova metoda, o kateri je bilo zgoraj rečeno, da projekcija točke ne določa položaja točke v prostoru, in za vzpostavitev tega položaja je treba imeti projekcijo točke. točka, so potrebni dodatni pogoji. Na primer, podana je pravokotna projekcija točke na vodoravno projekcijsko ravnino, oddaljenost te točke od ravnine pa je označena s številčno oznako; projekcijska ravnina se vzame kot »ravnina ničelne ravnine«, številčna oznaka pa se šteje za pozitivno, če je točka v prostoru nad ravnino ničelnega nivoja, in negativno, če je točka pod to ravnino.

Na tem temelji metoda projekcij s številčnimi oznakami ").

V naslednji predstavitvi bomo določili položaj točk v prostoru glede na njihove pravokotne projekcije na dve ali več projekcijskih ravninah.

Na sl. 20 prikazuje dve medsebojno pravokotni ravnini. Vzemimo jih kot projekcijske ravnine. Eden od njih, označen s črko k1, se nahaja vodoravno; drugi, označen s črko i2, je navpičen. Ta ravnina se imenuje čelna ravnina projekcij, pl. i, se imenuje vodoravna projekcijska ravnina. Projekcijski ravnini Kj in R2 tvorita s sistemom Kj, R2.

Črta presečišča projekcijskih ravnin se imenuje os projekcije. Os projekcij ločuje vsako od ravnin I! in n2 na polravnini. Za to os bomo uporabili oznako l ali zapis v obliki ulomka ra2/raj. Od štirih diedrskih kotov, ki jih tvorijo projekcijske ravnine, se za prvega šteje tisti, katerega ploskve na sl. 9 je označenih z I! in i2.

Na sl. Slika 10 prikazuje konstrukcijo projekcij neke točke A v sistemu r15 n2. Če narišemo pravokotnico A na itj in n2, dobimo projekcije točke A: vodoravno, označeno z A ", in čelno, označeno z A".

Projicirane premice, pravokotne na l in r2, določata ravnino, pravokotno na ravnine in na os projekcij. Ta ravnina v presečišču z i, i2 tvori dve medsebojno pravokotni ravnini A "AX in A" AX, ki se sekata v točki Ax na osi projekcij. Posledično se dobijo projekcije določene točke, ki se nahajajo na ravnih črtah, pravokotnih na os projekcije in sekajo to os v isti točki.

Metoda projekcij s številčnimi oznakami ni vključena v program predstavljenega predmeta. Zainteresirane napotimo na knjige o deskriptivni geometriji za gradbene in arhitekturne specialnosti.

Če sta podani projekciji A" in A" neke točke A (slika 21), potem narišemo navpičnice - skozi A" na kvadrat TCj in skozi A" na kvadrat. l2 - dobimo določeno točko na presečišču teh pravokotnic. Torej, dve projekciji točke popolnoma določata njen položaj v prostoru glede na dani sistem projekcijskih ravnin.

Obračanje kvadrata Kj okoli projekcijske osi pod kotom 90 ° (kot je prikazano na sliki 22), dobimo eno ravnino - ravnino risbe; projekciji A "in A" bosta nameščeni na isti pravokotni na os projekcij - na komunikacijski liniji. Kot rezultat navedene poravnave ravnin i in l2 dobimo risbo, imenovano diagram ") (Mongejev diagram). To je risba v sistemu 2 (ali v sistemu dveh pravokotnih projekcij).

Če se obrnemo na diagram, smo izgubili prostorsko sliko lokacije projekcijskih ravnin in točk. Toda, kot bomo videli kasneje, diagrami zagotavljajo natančnost in berljivost slik s precejšnjo preprostostjo konstrukcije. Za predstavitev prostorske slike na njej je potrebno delo domišljije.

Ker je ob prisotnosti projekcijske osi določen položaj točke A glede na projekcijski ravnini Tij in n2, odsek A "AX izraža oddaljenost točke A od projekcijske ravnine l2, segment A" AX je oddaljenost točke A od projekcijske ravnine n ^ Določite lahko tudi oddaljenost točke A od projekcijske osi. Izraža se s hipotenuzo trikotnika, zgrajenega vzdolž krakov A "AX in A" AX (slika 23): če na diagram položimo segment A "A", enak A "AX, pravokotno na A" AX, dobimo hipotenuzo AAX, ki izraža zahtevano razdaljo.

Pozornost je treba nameniti potrebi, da se nariše povezovalna črta med projekcijami točke: le če je ta črta, ki povezuje projekcije, mogoče določiti položaj točke, ki jo določajo.

V prihodnosti se bomo strinjali, da bomo Mongeove diagrame, pa tudi projekcijske risbe, ki temeljijo na metodi Monge (glej § 3), imenovali z eno besedo - risba in jo razumeli le v navedenem pomenu. V drugih primerih bo uporabo besede "risba" spremljala ustrezna definicija (perspektivna risba, aksonometrična risba itd.).

Yorige (francosko) - risba, projekt. Včasih namesto "epure" napišejo in izgovorijo "epure", kar ne ustreza izgovorjavi besede yorige, temveč ženskemu spolu te besede v francoski.

Informacije in načini gradnje, pogojeni s potrebo po ravnih podobah prostorskih oblik, so se postopoma kopičili že od antičnih časov. Dolgo časa so bile ravne slike izvedene predvsem kot vizualne podobe. Z razvojem tehnologije se postavlja vprašanje uporabe metode, ki zagotavlja natančnost in berljivost slik, torej zmožnost natančnega določanja lokacije vsake točke slike glede na druge točke ali ravnine ter z enostavnimi metodami določiti velikost črtnih segmentov in številk, je postala izjemnega pomena. Postopoma nakopičena ločena pravila in tehnike za konstruiranje takšnih slik so bila vnesena v sistem in razvita v delu francoskega znanstvenika Mongea, objavljenem leta 1799 pod naslovom "Géometrie desscriptive".

Gaspard Monge (1746-1818) se je zapisal v zgodovino kot pomemben francoski geometer poznega 18. začetek XIX stoletja, inženir, javnost in državnik med revolucijo 1789-1794. in vladavino Napoleona I., enega od ustanoviteljev znamenite Politehnične šole v Parizu, udeleženca dela pri uvedbi metričnega sistema mer in uteži. Kot ena od ministrov v revolucionarni vladi Francije je Monge naredila veliko, da bi jo zaščitila pred tujim posredovanjem in pridobila revolucionarne čete. Monge ni takoj dobil priložnosti, da bi objavil svoje delo, v katerem bi opisal metodo, ki jo je razvil. Glede na velik praktični pomen te metode za izdelavo risb objektov vojaškega pomena in zaradi neželenja, da bi metoda Monge postala znana izven meja Francije, je njena vlada prepovedala objavo knjige. Šele ob koncu XVIII stoletja je bila ta prepoved odpravljena. Po obnovi Bourbonov je bil Gaspard Monge preganjan, prisiljen v skrivanje in svoje življenje končal v revščini. Mongeova metoda - metoda vzporedne projekcije (poleg tega se pravokotne projekcije vzamejo na dve medsebojno pravokotni projekcijski ravnini)- zagotavljanje ekspresivnosti, natančnosti in berljivosti slik predmetov na ravnini, je bila in ostaja glavna metoda izdelave tehničnih risb.

Beseda pravokotna pogosto zamenjana z besedo ortogonalno, ki je nastala iz besed starogrškega jezika, ki označuje "ravno" in "kot". V nadaljevanju izraz ortogonalne projekcije bo uporabljen za označevanje sistema pravokotnih projekcij na medsebojno pravokotne ravnine.

Ta tečaj se osredotoča na pravokotne projekcije. V primeru uporabe vzporednih poševnih projekcij bo to vsakič določeno.

Deskriptivna geometrija (NG) se pri nas poučuje že od leta 1810, ko se je na novoustanovljenem Inštitutu zbora železniških inženirjev začel pouk opisne geometrije skupaj z drugimi strokami učnega načrta. To je bilo posledica njegovega vedno večjega praktičnega pomena.

Yakov Aleksandrovič Sevastjanov (1796-1849), ki je diplomiral na tem inštitutu leta 1814, je poučeval na Inštitutu korpusa železniških inženirjev 1), katerega ime je povezano s pojavom prvih del o sodobnem času v Rusiji. , najprej prevedeno iz francoščine, nato pa prvo izvirno delo z naslovom »Osnove deskriptivne geometrije« (1821), posvečeno predvsem predstavitvi metode ortogonalnih projekcij.

1) Zdaj Leningradski inštitut železniških inženirjev. Akademik V. N. Obrazcov.

Ya. A. Sevastjanov je predaval v ruščini, čeprav je poučevanje v tistih letih običajno potekalo v francoščini. Tako je Ya. A. Sevastjanov postavil temelje za poučevanje in uveljavljanje terminologije v n. npr. v njihovem maternem jeziku. Tudi v času življenja Ya. A. Sevastyanova n. mesto je bilo vključeno v učne načrte številnih civilnih in vojaških izobraževalnih ustanov.

Večja sled v razvoju n. V 19. stoletju sta bila Nikolaj Ivanovič Makarov (1824-1904), ki je poučeval ta predmet na Tehnološkem inštitutu v Sankt Peterburgu, in Valerian Ivanovič Kurdyumov (1853-1904), ki je kot profesor na Inštitutu za železnice v Sankt Peterburgu Inženirji na oddelku za gradbeno umetnost, ki so ostali na tem inštitutu, tečaj N. d. V svoji pedagoški praksi daje V. I. Kurdyumov številne primere uporabe n. za reševanje inženirskih problemov.

Dejavnosti in dela V. I. Kurdyumova so tako rekoč končale skoraj stoletje razvoja našega štetja. mesto in njegovo poučevanje v Rusiji. V tem obdobju je bila največja pozornost namenjena organizaciji poučevanja, ustvarjanju učbenikov, razvoju izboljšanih tehnik in metod za reševanje številnih problemov. To so bili bistveni in nujni momenti v razvoju pouka n. G.; vendar je njen znanstveni razvoj zaostajal za dosežki na področju načina prikaza predmeta. Šele v delih V. I. Kurdyumova je teorija dobila bolj živ odraz. Medtem so v nekaterih tujih državah v 19. stoletju n.š. mesto je že prejelo pomemben znanstveni razvoj. Očitno, da bi odpravili zaostanek in da nadaljnji razvoj znanstvena vsebina n. bilo je treba razširiti njegovo teoretično osnovo in se obrniti na raziskovalno delo.

To je razvidno iz del in dejavnosti Evgrafa Stepanoviča Fedorova (1853-1919), slavnega ruskega znanstvenika, kristalografa, in Nikolaja Aleksejeviča Rynina (1877-1942), ki sta bila že v Zadnja leta pred veliko oktobrsko socialistično revolucijo so se usmerili v razvoj deskriptivne geometrije kot znanosti. Do danes je deskriptivna geometrija kot znanost dobila pomemben razvoj v delih sovjetskih znanstvenikov N. A. Glagolev (1888-1945), A. I. Dobryakov (1895-1947), D. D. Y. Gromov (1884-1963), SM Kolotov (1885-1965). ), NF Četveruhin (1891-1974), II Kotov (1909-1976) in mnogi drugi.

Vprašanja za poglavje I

1. Kako je sestavljena osrednja projekcija točke?
2. Kdaj je osrednja projekcija premice točka?
3. Kaj se imenuje metoda projekcije vzporedna?
4. Kako je sestavljena vzporedna projekcija premice?
5. Ali je lahko vzporedna projekcija premice točka?
6. Če točka pripada dani premici, kako so njune projekcije medsebojno razporejene?
7. V katerem primeru se v vzporedni projekciji premični odsek projicira v polni velikosti?
8. Kaj je "Mongejeva metoda"?
9. Kaj pomeni beseda "ortogonalno"?

Začetno izobrazbo je pridobil na mestni šoli mesta Bona. Poučevanje na tej šoli je bilo osredotočeno skoraj izključno na starodavne jezike; fizikalne in matematične vede, do katerih je Monge še posebej privlačil, se je moral ukvarjati brez zunanje pomoči.

Pri 16 letih je Monge sestavil načrt svojega rojstnega mesta Beaune, ki je bil izjemno natančen. Metode in instrumente, potrebne za njegovo sestavljanje za merjenje kotov in risanje črt, je izumil prevajalec sam.

Ko se je vpisal v dodaten oddelek za usposabljanje inženirskih dirigentov Šole vojaških inženirjev Mézieres, je Monge kmalu izstopil iz vrst svojih tovarišev. Neposredna in enostavna rešitev, ki jo je dal pri oskrunitvi utrdbe, je povzročila, da so ga šolske oblasti imenovale za učitelja matematike.

Od istega časa se začne Mongejeva znanstvena dejavnost, katere prvi rezultat je bila ustvarjanje "Opisne geometrije" - tega najpomembnejšega od njegovih znanstvenih del. Nepripravljenost, da bi tujcem dali priložnost, da uživajo v sadovih izumov francoskega genija, je spodbudila vodjo šole Mezieres, da je Mongeju prepovedal objavljanje svojega odkritja. Drugo veliko Mongejevo delo so bile raziskave o teoriji površin, opisane v številnih spominih, ki so mu jih predstavili na pariški in torinski akademiji.

Leta 1768 je bil Monge imenovan za profesorja matematike; poleg tega je bila leta 1771 (po smrti Abbéja Nolleta) tudi katedra za fiziko prenesena v Monge. Treba je opozoriti, da je vodo razgradil leta 1783, čeprav je bilo to delo opravljeno po homogenem delu Henryja Cavendisha, vendar pred prejemom informacij o tem slednjem in zato predstavlja neodtujljivo last Mongeja.

Leta 1780 je bil Monge imenovan za učitelja hidravlike na šoli, ustanovljeni v Louvru, z obveznostjo, da šest mesecev živi v Mézièresu in v Parizu. Istega leta je bil Monge izvoljen za člana Akademije. Mézières Montge so morali leta 1783 popolnoma zapustiti.

Monge, ki je bil izvoljen za akademika, se je poleg raziskav o višjih analizah, ki jih je zapisal v številnih odličnih spominih v publikacijah Akademije, skupaj z Bertholletom in Vandermontom ukvarjal s preučevanjem različnih stanj železa, izvajal poskuse. na kapilarnosti, opazoval optične pojave, delal, čeprav neuspešno, na izgradnji teorije glavnih meteoroloških pojavov, končno je v veliki meri izboljšal praktično mehaniko. V slednjem je pokazal, da je mogoče vse zapletene stroje, pa naj so še tako zapleteni, reducirati na zelo majhno število sestavnih elementov; podal je tabele, ki pojasnjujejo spremembo enega gibanja z drugim, ki ga povzroča povezava med deli stroja; pokazal donosnejše načine uporabe sil vode, zraka in pare med delom. Iz istega časa sega tudi zbirka njegove znamenite »Traité de statique« (P., 1788). Francoska revolucija je v Mongeju našla gorečega zagovornika. V tem obdobju je bil prvič imenovan za člana komisije za ustanovitev nov sistem mere in uteži, leta 1792 pa je prevzel mesto pomorskega ministra, ki mu je ostalo do 10. aprila 1793.

Kljub skromnosti državne zakladnice je energija Mongeja uspela delno napolniti znižane arzenale in nadaljevati z gradnjo potrebnih zgradb na bregovih. Še pomembnejše je bilo dejstvo, da je Monge izpostavil in popularno orisal načine pridobivanja salitre, potrebne za izdelavo smodnika iz zemlje v skednjih, kleteh in pokopališčih ter da je postavil številne tovarne livarskih topov, tovarn robnega orožja in izdelava orožja. Iz njegovih navodil za delavce je bilo pozneje sestavljeno njegovo znamenito delo o topniški tehnologiji L’Art de fabriquer les canons (1794).

Ker ni prejel nobenega plačila za vse svoje delo od propadle države, je dosegel takšno revščino, da je moral jesti samo kruh, obtožba na podlagi odpovedi vratarja pa ga je prisilila v beg. Hitra sprememba smeri pa mu je zelo kmalu omogočila vrnitev v Pariz. Od takrat naprej ni več neposredno sodeloval v zadevah državne uprave in se je v celoti posvetil znanstveni in pedagoški dejavnosti.

V normalni šoli, ustanovljeni po 9. Thermidorju, je v učni načrt najprej uvedel predmet deskriptivne geometrije, katerega zapiske, ki so jih sestavili dijaki, so hitro širili.

Prelomnica Mongejeve pedagoške dejavnosti je bilo delo pri organizaciji poučevanja in njegovo izvajanje v praksi na znameniti Politehniški šoli, ustanovljeni konec leta 1794. Ob zaprtju akademij leta 1793 in ustanovitvi leta pozneje nacionalnega inštituta, ki jih je nadomestil, pri oblikovanju listine, pri kateri je močno sodeloval Monge, je bil med prvimi 48 člani nove akademske ustanove, ki so bili imenovala vlada.

Poslan leta 1796 v Italijo, da bi prejel slike in kipe, vključene v vojaško odškodnino, se je srečal in spoprijateljil z Napoleonom Bonapartom. Leta 1798 mu je vlada skupaj z dvema drugim osebama zaupala težko nalogo, da na podlagi francoske ustave tretjega leta ustanovi uničeno Rimsko republiko, ki naj bi nadomestila posvetno oblast papežev. s strani francoskih čet. Vendar Monge in njegovi tovariši niso mogli zmagati nad težavami naloge, ki jim je bila zaupana.

Napoleon, ki se je pripravljal na pohod na Egipt, je njega in Bertholleta povabil, da zbereta znanstveno odpravo, ki naj bi spremljala vojsko na pohodu in je imela za cilj preučevanje osvojenih dežel in v njih širiti razsvetljenje. Pomemben del te odprave so sestavljali ljudje, ki so pripadali Politehniški šoli. 29. avgusta 1798 je bil v Kairu iz članov te odprave in nekaj vojske, ki ji je pripadal tudi Napoleon, ustanovljen Egiptovski inštitut po vzoru francoskega in za predsednika izvolil Mongea.

Dela članov novega inštituta so bila umeščena v Décade Egyptienne, ki jo je izdal in je izhajal v desetdnevnih presledkih. V njem so se prvič pojavili Mongejevi spomini o fatamorgani. V času cesarstva je bil imenovan za senatorja in prejel naziv grof Peluza in najvišjo stopnjo legije časti. Na njegovo željo so iz cesarjevih osebnih sredstev iztisnili bolj ali manj znatne vsote. različne osebe v obliki ugodnosti, nekoč pa mu je cesar poslal znesek 100.000 frankov. Postopoma je Monge spremenil svoja prepričanja in se iz republikanskega spremenil v imperialistično.

Po padcu cesarstva in obnovi Bourbonov je Monge izgubil vse, kar je prejel pod cesarstvom, in celo akademski stolček, ki ga je zasedal že pred revolucijo. Leta 1816 sta bila z vladnim odlokom on in Carnot izključena iz inštituta, ki se je na nov način preoblikoval, zamenjala pa sta ju Cauchy in Breguet. Zaradi vseh teh nesreč, ki jih je dopolnil izgnanstvo njegovega zeta Echasseria, kot nekdanjega člana konvencije, je Monge duševno zbolel in kmalu umrl.

Znanstvena dejavnost

Ustvarjanje "Opisne geometrije", katere razprava se je pojavila šele leta 1799 pod naslovom "Géométrie deskriptivna", je služila kot začetek in temelj dela, ki je novi Evropi omogočilo obvladovanje geometrijske smeri antične Grčije; dela na teoriji površin so poleg njihovega neposrednega pomena privedla do razjasnitve pomembno načelo kontinuitete in do razkritja pomena široke negotovosti, ki nastane pri integraciji enačb z delnimi izpeljankami, poljubnimi konstantami in še bolj pojavom poljubnih funkcij.

Načelo kontinuitete, kot je prikazano v Mongeju, lahko izrazimo takole. Vsako lastnost figure, ki izraža položajna razmerja in je upravičena v nešteto množici neprekinjeno medsebojno povezanih primerov, je mogoče razširiti na vse figure iste vrste, tudi če dopušča dokaz le ob predpostavki, da so konstrukcije izvedljive le v določenih mejah. , je dejansko mogoče izdelati. Takšna lastnost obstaja tudi v primerih, ko zaradi popolnega izginotja nekaterih vmesnih količin, potrebnih za dokaz, predlaganih konstrukcij ni mogoče izvesti v praksi.

Med manj pomembnimi prispevki k znanosti je treba izpostaviti Mongeovo teorijo polarnih ravnin na površine drugega reda; o odkritju krožnih presekov hiperboloidov in hiperboličnih paraboloidov; do odkritja dvojnega načina oblikovanja površin istih teles s pomočjo ravne črte; ustvariti prvo predstavo o linijah ukrivljenosti površin; vzpostaviti prve temelje teorije vzajemnih polar, ki jo je pozneje razvil Poncelet, in končno dokazati izrek, da je lokus oglišča triedričnega kota s pravimi ravninskimi koti, opisanimi okoli površine drugega reda, krogla.

V času Imenika se je zbližal z Napoleonom, sodeloval pri njegovem pohodu v Egipt in ustanovitvi Egiptovskega inštituta v Kairu (1798); je bil povišan na graf.

Monge Gaspard (10. maj 1746 - 28. julij 1818) - francoski geometer in javna osebnost, član Pariške akademije znanosti (1780). Ustvarjalec deskriptivne geometrije, eden od organizatorjev Politehnične šole v Parizu in njen dolgoletni direktor. Rojen v Bon Côte d "0r. Diplomiral je na šoli za vojaške inženirje v Mezieresu. Od 1768 je bil profesor matematike, od 1771 je bil tudi profesor fizike na tej šoli. Od 1780 je poučeval hidravliko na šoli v Louvru. (Pariz) Ukvarjal se je z matematično analizo, kemijo, meteorologijo, praktično mehaniko. V času francoske meščanske revolucije je delal v komisiji za vzpostavitev novega sistema mer in uteži, nato je bil minister za morje in organizator. narodne obrambe.V času Imenika se je zbližal z Napoleonom, sodeloval v njegovi kampanji v Egiptu in ustanovil Egiptovski inštitut v Kairu (1798); bil povzdignjen v grofa. Prejel svetovno priznanje, ustvarjal (v 70. letih) sodobne metode projekcijska risba in njena osnova - opisna geometrija. Glavno Mongejevo delo o teh vprašanjih je "Opisna geometrija"; objavljeno leta 1799 Dosegel je tudi pomembna odkritja v diferencialni geometriji. Prva Mongejeva dela o enačbah površin so bila objavljena leta 1770 in 1773. Leta 1795 in 1801 so bili objavljeni Mongejevi prispevki o končnih in diferencialnih enačbah različnih površin. Leta 1804 je izšla knjiga "Uporaba analize v geometriji". V njem je Monge obravnaval cilindrične in stožčaste površine, ki nastanejo s premikanjem vodoravne črte, ki poteka skozi fiksno navpično črto, površine "kanalov", površine, pri katerih črte največjega naklona povsod tvorijo stalen kot z vodoravno ravnino; translacijskih površin itd. Kot prilogo knjigi je Monge podal svojo teorijo integracije enačb z delnimi izpeljankami 1. reda in rešitev problema nihanja strun. Za vsako od vrst površin je najprej izpeljal diferencial, nato pa končno enačbo. Prvi označeni s črkama p in q delni izpeljanki z glede na x in y, ter s črkami r, s in t - izpeljanke 2. reda.

Gašpar Monge

Po uspešno končani šoli je njeno vodstvo priporočilo Gasparda Mongea za nadaljnji študij na College of the Holy Trinity v Lyonu. Tja so ga sprejeli in tam je kmalu (pri 16 letih!) postal učitelj fizike, ki je bil na tem položaju do leta 1764. Za pridobitev posebne izobrazbe pri 18 letih je Monge vstopil na vojaško inženirsko šolo v Mezieresu, vendar ga niso sprejeli v častniški razred, saj ni imel plemiškega porekla, temveč v oddelek, ki je usposabljal obrtnike in delavce. Tam so učenci osvojili osnove algebre, geometrije, risanja, izdelali pa so tudi vse vrste modelov zgradb in utrdb. V šoli Mézières je Monge hitro postal eden prvih učencev. Z dobrim matematičnim znanjem je lahko zlahka in na izviren način reševal najzahtevnejše probleme.

Po diplomi je bil Monge zapuščen na šoli Mézieres kot učitelj: najprej kot asistent na oddelku za matematiko pri prof. Charles Bossu(1730–1814), nato pa kot asistent na oddelku za fiziko pri prof JeanAntoine Nollet(1700–1770). Leta 1770, po Nolletovi smrti in premestitvi Bossuja na drugo službo, je Monge postal vodja obeh oddelkov hkrati. Poleg fizike in matematike je predaval tudi predmet kemije ter teorijo perspektive in senc. V obdobju svojega življenja Mézieres je Monge začel razvijati ideje opisne geometrije in zanje našel številne aplikacije, zlasti za izračun reliefa utrdb.

Učencem takratne šole je bil njihov mladi profesor zelo všeč. Ni bil čeden, govoril je hitro in ni bil vedno jasen, vendar je bil zelo prijazen in nikoli ni prizanašal svojega osebnega časa za nikogar. Pogosto se je v učilnici približal kakšnemu zevajočemu poslušalcu z besedami: "Prijatelj moj, ponavljal bom od trenutka, ko si me nehal razumeti."

Profesor Monge je znal prenesti na druge svojo strast do znanosti, med njegovimi študenti ni bilo brezdelnih in zaostalih. Sploh mu ni bilo mar za lastno kariero.

Leta 1777 se je poročil in tri leta pozneje postal učitelj hidravlike na šoli Louvre v Parizu. V teh letih se je aktivno ukvarjal z matematično analizo, kemijo, meteorologijo in praktično mehaniko. Za dosežke na teh področjih je Pariška akademija znanosti leta 1780 izvolila 34-letnega Mongea za svojega polnopravnega člana.

Udeležba na sestankih Akademije je od mladega znanstvenika zahtevala stalno bivanje v Parizu, zato mu je bilo dovoljeno ostati tam šest mesecev na leto. V času Mongejeve odsotnosti je na šoli Mézières predaval njegov mlajši brat Louis Monge(1748–1827), tudi profesor matematike.

Ko se je začela francoska revolucija, je Monge postal njen goreč podpornik. Ta leta so bila zanj polna izjemno aktivnih družbenih in praktičnih dejavnosti. Sprva je delal v komisiji za vzpostavitev novega sistema uteži in mer, nato je postal eden od organizatorjev narodne obrambe in francoske vojaške industrije. To se je zgodilo v naslednjih okoliščinah. 10. avgusta 1792, po odstavitvi kralja Ludvika XVI., je bil Monge izvoljen v začasno vlado, kjer je prejel resor pomorskega ministra. Po ustanovitvi Narodne konvencije, ki je dokončno odpravila kraljevo oblast, je septembra istega leta obdržal mesto ministra republike, odgovornega za mornarico. Takšno imenovanje znanstvenika, ki je daleč od problemov flote, je mogoče razložiti takole: po revoluciji so pobegnili vsi specialisti, aristokrati v admiralitetu in potrebovali so le narodu predano, avtoritativno in pošteno osebo. .

Monge je vedno želel uporabiti svojo oboževano matematiko na katerem koli področju, ne glede na to, kam ga je usoda vrgla. Bil je enciklopedist, kot vsak znanstvenik tistega časa, in, ko je postal preizkuševalec vezista, ni dajal nobene popustljivosti bodočim mornariškim častnikom. Vendar pa flota takrat ni bila glavna prioriteta vlade. Veliko več je Francija potrebovala streliva. Pod kraljem se je briljantni Lavoisier ukvarjal s tem vprašanjem, vendar so ga revolucionarji usmrtili in s tem razkrili najpomembnejšo fronto, brez smodnika pa so njihove puške in topovi postali kot palice neuporabni v resnični bitki.

In Monge se je lotil proizvodnje smodnika. Skupaj s Claudom Louisom Bertholletom je ugotovil, kako in kje kopati salitro v Franciji. Rezultat je bil neverjeten: če Francija pred letom 1789 ni porabila več kot milijon funtov salitre na leto, je bilo s prizadevanji Mongea in njegovih zaposlenih v desetih mesecih izkopanih 12 milijonov funtov!

Toda pridobivanje sestavnih delov ni rešitev problema. Mlini na prah, katerih število je bilo zelo omejeno, niso imeli časa za obdelavo vsega tega. Potem je Monge predlagal, da bi bakrene kroglice dali v navadne sode. Te "mline v malem" je bilo mogoče postaviti na katero koli dvorišče in z njegovimi prizadevanji se je France spremenil v ogromno tovarno smodnika. Seveda brez splošnega navdušenja ljudi tega ogromnega dela ne bi bilo mogoče opraviti, a tudi brez Mongejeve iznajdljive glave se ne bi zgodilo nič.

Puške so bile takrat izdelane iz litega železa in brona. Puške iz litega železa je bilo lažje vliti, vendar so bile veliko težje. Praviloma so jih uporabljali v mornarici ali v trdnjavah. Monge je povečal število tovarn železnih topov s štirih na trideset. Namesto 900 pušk so jih na leto oddali 30.000. Število tovarn bakrenih topov se je s prizadevanji Mongeja povečalo z dveh na petnajst. Začeli so proizvajati sedem tisoč pušk. Za to so se cerkveni zvonovi začeli uporabljati kot vir bakra. Res je, da sestava zvonastega bakra ni bila primerna za proizvodnjo topov, vendar je Monge pritegnil kemike in našel nove načine za ločevanje bakra od kositra. Prej so bili za proizvodnjo potrebni glineni kalupi za orodje. Monge je predlagal metanje topov v pesek. Prvi na ta način pridobljen top je bil testiran na Champ de Mars in ves Pariz je ploskal uspešnim rezultatom. Monge podnevi ni šel iz delavnic, ponoči je napisal navodilo "O topovski umetnosti". Vse, kar ni bilo posebej povezano z vprašanji obrambe in oborožitve vojske, se je zdelo nepomembno.

Monge je prenašal lakoto in mraz. Na splošno je jedel predvsem kruh, kar mu je omogočilo, da se norčuje iz sebe. Znana je na primer taka šala: »Monge je začel razkošovati; Zdaj poje redkev!"

Nekega dne je Madame Monge ugotovila, da je bila zoper njenega moža in Bertholla napisana obtožba. Stekla je k Bertholli, a veliki kemik je le zamišljeno zamrmral: "Zelo možno je, da nas bodo obsodili in odpeljali na giljotino, a to se bo zgodilo šele čez osem dni."

Zakaj čez osem dni in kaj se bo zgodilo čez osem dni, Madame Monge ni razumela, vendar je bilo očitno, da je takratnega znanstvenika skrbelo nekaj povsem drugega. Sam Monge je kot odgovor na jok svoje žene dejal: "Najpomembnejše je, da moje livarne delajo čudovito."

Leta 1794 je skupaj z Bertholletom Mongeom postal ustanovitelj in prvi profesor Ecole Polytechnique, ene najboljših visokošolskih ustanov v Franciji (tu je predaval več kot deset let). Tega Mongejevega prispevka k znanosti je težko preceniti: zaradi njegove plodne organizacijske in pedagoške dejavnosti je Politehnična šola hitro postala središče splošnega znanstvenega usposabljanja visokokvalificiranih strokovnjakov, vseh najpomembnejših inženirjev in matematikov Francije v 19. stoletja bodisi diplomiral iz te šole bodisi bil njen učitelj.

Ko se je vrnil k znanstveni dejavnosti, se je Monge posvetil deskriptivni geometriji. To je zdaj ime inženirske discipline, ki je sestavljena iz niza algoritmov za preučevanje lastnosti prostorskih geometrijskih objektov in temelji na predstavitvi teh objektov z uporabo dveh neodvisnih projekcij. Preprosto povedano, to je znanost, ki preučuje prostorske figure tako, da jih projicira na ravnino.

Vendar pa Mongejevi glavni spisi o tem delu niso bili objavljeni šele leta 1799, odkar dolga leta francoska vlada je to disciplino ohranila v tajnosti in jo označila kot vojaško skrivnost. Hkrati je znano, da je Monge leta 1795 ustvaril svoje pomembno delo "Uporaba analize v geometriji". To delo je bilo učbenik analitične geometrije, v katerem je bil poseben poudarek na diferencialnih enačbah.

Znotraj zidov Ecole Polytechnique de Montjou je bilo mogoče zagotoviti, da sta deskriptivna geometrija in geometrija na splošno postala osrednji, opredeljujoči predmet učnega načrta. Znal je izraziti najbolj zapletena vprašanja z neverjetno jasnostjo in razločnostjo.

Med vladavino imenika se je Monge zbližal z Napoleonom in po njegovi zaslugi je dosegel velike uvrstitve in slavo. Napoleon, kot veste, nikoli ni postavljal brezdejavcev na visoka mesta. In za Mongeja je bil že takrat vzoren državnik in poveljnik. Napoleon in Monge sta se še posebej zbližala leta 1796 v Italiji, kamor je slednjega poslal Direktorij z navodili, naj izbere najbolj izjemna dela znanosti in umetnosti za pariške muzeje in repozitorije.

Ko je Napoleon leta 1797 podpisal mir z Avstrijci, je bil Monge poslan iz Milana v Pariz, da bi ta dokument predložil imeniku v ratifikacijo. Hkrati je Napoleon o Mongeju zapisal takole:

Državljan Monge je znan po svojem znanju in domoljubju. S svojim obnašanjem v Italiji je dosegel, da so Francoze spoštovali. Prislužil si je moje prijateljstvo."

Leta 1797 je Monge pomagal Napoleonu vstopiti v Francoski inštitut ( Nacionalni inštitut znanosti in umetnosti), ki je bila ustanovljena s konvencijo namesto "meščanske" akademije znanosti, ukinjene leta 1793.

Ko se je Monge oktobra 1797 vrnil iz Italije v Pariz, se je že zavedal Napoleonove želje, da bi se »pridružil znanosti« in je takoj začel »kuhati javno mnenje". Pri tem mu je pomagal še en Napoleonu vdan akademik Claude-Louis Berthollet. Priložnost se je pokazala zelo primerno: pojavilo se je prosto mesto v vrstah akademikov. Vendar sta ga zahtevala še dva človeka in v znanosti veliko bolj znan kot general Bonaparte. Prvi je bil Jacques Dillon(1760-1807) - inženir, ki je zgradil prvi železni most v Franciji, drugi - 84-letni inženir MarkRené Montalembert(1713–1799), avtor enajstega dela o utrdbi.

Tajno glasovanje je potekalo 25. decembra 1797: 305 glasov je bilo oddanih za Napoleona, 166 glasov za Dillona in 123 glasov za Montalemberta. Kot lahko vidite, bhakte Monge in Berthollet niso razočarali: izbrali so Napoleona, ki razen zmag na bojiščih ni imel znanstvenih del in drugih zaslug. Po tem je bilo v časopisih zapisano, da je bil general Bonaparte, "neverjetna oseba, filozof, ki je stal na čelu vojske, izvoljen v akademike."

Ko je Napoleon začel načrtovati svojo egipčansko odpravo, ni niti za trenutek okleval in povabil Mongeja in Bertholleta v svojo "ekipo". Z veseljem so privolili.

V odpravo je sodelovalo okoli 150 znanstvenikov in specialistov, ki so predstavljali več kot petnajst različnih strok.

Zgodovinar Jean Tulart daje naslednje podatke:

»21 matematikov, 3 astronomi, 17 gradbenih inženirjev, 13 naravoslovcev in rudarskih inženirjev, enako število geografov, 3 kemiki, specialisti za smodnik in salitro, 4 arhitekti, 8 risarjev, 10 mehanikov, 1 kipar, 110 prevajalcev, , 22 sestavljalcev.

Seznam imen znanstvenikov, ki so odšli z Napoleonom v Egipt, je impresiven. Vodila sta ga Monge in Berthollet. Pod njihovim poveljstvom so bili matematiki jeanBatisteJoseph Fourier(1768–1830) in Louis Costaz(1767–1842), kemiki Hippolyte Colletdekotil(1773–1815) in JacquesPierre Champy(1744–1816), naravoslovec EtienneGeoffroy SaintHilaire(1772–1844), astronomi NicolasAntoine Nuet(1740–1811) in PierreJoseph de Beauchamp(1752–1801), geolog Deoda de Dolomieu(1750–1801), slikarji Dominique VivantDenon (1747–1825), HenriJoseph Redoute(1766–1852) in André Dutertre (1753–1842).

In mnogi svetilniki francoske znanosti so mimogrede zavrnili. Število "zavrnilcev" je vključevalo na primer inženir-matematik Gaspard de Prony(1755–1839), kemik AntoineFrançois Fourcroix(1755–1809), naravoslovci GeorgesLeopold Cuvier(1769–1832) in Frederic Cuvier (1773–1838).

Seveda je imel vsak svoje razloge za to. »Moj izračun,« je Georges Leopold Cuvier pojasnil svojo zavrnitev, »je ta: zdaj sem v središču znanosti, med najimenitnejšimi zbirkami, in prepričan sem, da bom tukaj v Parizu naredil veliko pomembnejša odkritja kot sodelovanje v celo najbolj plodno potovanje."

Že v Kairu je Monge postal eden od ustanoviteljev Egiptskega inštituta.

Egiptovski inštitut je bil zelo pomembna raziskovalna ustanova, sestavljena iz štirih oddelkov: matematike, fizike, politične ekonomije, književnosti in umetnosti. Sam Napoleon je postal podpredsednik inštituta, Monge pa predsednik. Odprtje te »akademije« je bilo zelo slovesno, hkrati pa je Napoleon izjavil, da je »zmagoslavje nad nevednostjo največje zmagoslavje, uspehi njegovega orožja pa so uspehi razsvetljenstva«.

V Egiptu je Monge pravzaprav postal desno roko Napoleon. Veliko časa sta preživela v znanstvenih razpravah, skupaj odpotovala v Suez, da bi si ogledala sledi starodavnega kanala, ki je nekoč povezoval Nil z Rdečim morjem.