Sposobnost primjene znanja u pronalaženju opsega i površine geometrijskih likova. Jednostavan zadatak: kako pronaći opseg? Kako pronaći opseg figure formula

U sljedećim ispitnim zadatcima potrebno je pronaći opseg lika prikazanog na slici.

Opseg figure možete pronaći na različite načine. Izvorni oblik možete transformirati tako da se opseg novog oblika može lako izračunati (na primjer, promijeniti u pravokutnik).

Drugo rješenje je tražiti opseg figure izravno (kao zbroj duljina svih njezinih stranica). Ali u ovom slučaju ne možete se osloniti samo na crtež, već pronaći duljine segmenata na temelju podataka problema.

Upozoravam vas: u jednom od zadataka među ponuđenim odgovorima nisam našao onaj koji mi je odgovarao.

C) .

Pomaknimo stranice malih pravokutnika iz unutarnjeg područja u vanjsko područje. Kao rezultat, veliki pravokutnik je zatvoren. Formula za pronalaženje opsega pravokutnika

U ovom slučaju, a=9a, b=3a+a=4a. Dakle, P=2(9a+4a)=26a. Opseg velikog pravokutnika dodamo zbroj duljina četiri segmenta od kojih je svaki jednak 3a. Kao rezultat, P=26a+4∙3a= 38a .

C) .

Prenošenjem unutarnjih stranica malih pravokutnika na vanjsko područje dobivamo veliki pravokutnik čiji je opseg P=2(10x+6x)=32x i četiri segmenta, dva duljine x, dva dužine x. dužine 2x.

Ukupno, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Pomaknimo se 6 horizontalnih “koraka” iznutra prema van. Opseg dobivenog velikog pravokutnika je P=2(6y+8y)=28y. Preostaje pronaći zbroj duljina odsječaka unutar pravokutnika 4y+6∙y=10y. Dakle, opseg figure je P=28y+10y= 38g .

D) .

Pomaknimo okomite segmente iz unutarnjeg područja figure ulijevo, u vanjsko područje. Da biste dobili veliki pravokutnik, pomaknite jedan od segmenata dužine 4x u donji lijevi kut.

Opseg izvorne figure nalazimo kao zbroj opsega ovog velikog pravokutnika i duljina tri segmenta koja su ostala unutar P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

E) .

Prenošenjem unutarnjih strana malih pravokutnika na vanjsko područje dobivamo veliki kvadrat. Njegov opseg je P=4∙10x=40x. Da biste dobili opseg izvorne figure, morate obodu kvadrata dodati zbroj duljina osam segmenata, svaki 3x dug. Ukupno, P=40x+8∙3x= 64x .

B) .

Premjestimo sve vodoravne "korake" i okomite gornje segmente u vanjsko područje. Opseg dobivenog pravokutnika je P=2(7y+4y)=22y. Da biste pronašli opseg izvorne figure, morate opsegu pravokutnika dodati zbroj duljina četiri segmenta, svaki duljine y: P=22y+4∙y= 26g .

D) .

Pomaknimo sve vodoravne crte iz unutarnjeg područja u vanjsko i pomaknimo dvije okomite vanjske crte u lijevom i desnom kutu, redom, z ulijevo i udesno. Kao rezultat, dobivamo veliki pravokutnik čiji je opseg P=2(11z+3z)=28z.

Opseg izvorne figure jednak je zbroju opsega velikog pravokutnika i duljina šest segmenata duž z: P=28z+6∙z= 34z .

B) .

Rješenje je potpuno slično rješenju prethodnog primjera. Nakon transformacije figure, nalazimo opseg velikog pravokutnika:

P=2(5z+3z)=16z. Obuhvatu pravokutnika dodamo zbroj duljina preostalih šest segmenata od kojih je svaki jednak z: P=16z+6∙z= 22z .

Učenici uče kako pronaći opseg u osnovnoj školi. Zatim se te informacije stalno koriste tijekom cijelog tečaja matematike i geometrije.

Teorija zajednička svim figurama

Strane su obično označene latiničnim slovima. Štoviše, mogu se označiti kao segmenti. Tada će vam trebati dva slova za svaku stranu i napisana velikim slovima. Ili unesite oznaku s jednim slovom, koje će svakako biti malo.
Slova se uvijek biraju abecednim redom. Za trokut to će biti prva tri. Šestokut će ih imati 6 - od a do f. Ovo je zgodno za unos formula.

Sada o tome kako pronaći perimetar. To je zbroj duljina svih stranica figure. Broj termina ovisi o njegovoj vrsti. Opseg je označen latiničnim slovom R. Mjerne jedinice su iste kao one za stranice.

Formule za opsege različitih likova

Za trokut: P=a+b+c. Ako je jednakokračan, tada se formula transformira: P = 2a + b. Kako pronaći opseg trokuta ako je jednakostraničan? Ovo će pomoći: P = 3a.

Za proizvoljni četverokut: P=a+b+c+d. Njegov poseban slučaj je kvadrat, formula perimetra: P = 4a. Postoji i pravokutnik, tada je potrebna sljedeća jednakost: P = 2 (a + b).

Što ako je duljina jedne ili više stranica trokuta nepoznata?

Upotrijebite teorem kosinusa ako podaci uključuju dvije strane i kut između njih, koji je označen slovom A. Zatim, prije pronalaženja opsega, morat ćete izračunati treću stranu. Za to je korisna sljedeća formula: c² = a² + b² - 2 av cos(A).

Poseban slučaj ovog teorema je onaj koji je formulirao Pitagora za pravokutni trokut. U njemu vrijednost kosinusa pravog kuta postaje jednaka nuli, što znači da posljednji član jednostavno nestaje.

Postoje situacije kada možete saznati kako pronaći opseg trokuta gledajući jednu stranu. Ali u isto vrijeme poznati su i kutovi figure. Ovdje u pomoć dolazi teorem sinusa, kada su omjeri duljina stranica i sinusa odgovarajućih suprotnih kutova jednaki.

U situaciji kada opseg figure treba odrediti njezinom površinom, dobro će doći druge formule. Na primjer, ako je poznat polumjer upisane kružnice, tada će u pitanju kako pronaći opseg trokuta biti korisna sljedeća formula: S = p * r, ovdje je p poluperimetar. Mora se izvesti iz ove formule i pomnožiti s dva.

Uzorak problema

Stanje prvog. Odredi opseg trokuta čije su stranice 3, 4 i 5 cm.
Riješenje. Morate upotrijebiti gore navedenu jednakost i jednostavno zamijeniti podatke u nju u problemu vrijednosti. Izračuni su jednostavni i rezultiraju brojkom od 12 cm.
Odgovor. Opseg trokuta je 12 cm.

Uvjet dva. Jedna stranica trokuta je 10 cm.Poznato je da je druga 2 cm veća od prve, a treća 1,5 puta veća od prve. Morate izračunati njegov opseg.
Riješenje. Da biste ga prepoznali, morat ćete prebrojati dvije strane. Drugi je definiran kao zbroj 10 i 2, treći je jednak umnošku 10 i 1,5. Zatim ostaje samo izračunati zbroj triju vrijednosti: 10, 12 i 15. Rezultat će biti 37 cm.
Odgovor. Opseg je 37 cm.

Uvjet tri. Postoji pravokutnik i kvadrat. Jedna stranica pravokutnika je 4 cm, a druga je 3 cm veća. Potrebno je izračunati stranicu kvadrata ako je njegov opseg 6 cm manji od pravokutnika.
Riješenje. Druga stranica pravokutnika je 7. Znajući to, lako je izračunati njegov opseg. Izračun daje 22 cm.
Da biste saznali stranicu kvadrata, prvo morate oduzeti 6 od opsega pravokutnika, a zatim podijeliti dobiveni broj s 4. Rezultat je broj 4.
Odgovor. Stranica kvadrata je 4 cm.

Sigurno je svatko od nas naučio u školi tako važnu komponentu geometrije kao perimetar. Pronalaženje perimetra jednostavno je potrebno za rješavanje mnogih problema. Naš članak će vam reći kako pronaći perimetar.

Vrijedno je zapamtiti da je opseg svake figure gotovo uvijek zbroj njezinih stranica. Pogledajmo nekoliko različitih geometrijskih oblika.

1. Pravokutnik je četverokut čije su paralelne stranice u parovima jednake. Ako je jedna strana X, a druga Y, tada dobivamo sljedeću formulu za pronalaženje opsega ove figure:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Primjer rješavanja problema:

   Pretpostavimo da je strana X = 5 cm, strana Y = 10 cm. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobivamo - P = 2 * 5 cm + 2 * 10 cm = 30 cm.

2. Trapez je četverokut čije su dvije nasuprotne stranice paralelne, ali nisu međusobno jednake. Opseg trapeza je zbroj sve četiri stranice:

   P = X+Y+Z+W, gdje su X, Y, Z, W stranice figure.

   Primjer rješavanja problema:

   Pretpostavimo da je strana X = 5 cm, strana Y = 10 cm, strana Z = 8 cm, strana W = 20 cm. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobivamo - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Opseg kruga (obim) može se izračunati pomoću formule:

   P = 2rπ = dπ, gdje je r polumjer kruga, d je promjer kruga.

   Primjer rješavanja problema:

   Pretpostavimo da je polumjer r naše kružnice 5 cm, tada će promjer d biti jednak 2 * 5 cm = 10 cm. Poznato je da je π = 3,14. To znači da zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu dobivamo - P = 2*5 cm*3,14 = 31,4 cm.

4. Ako trebate pronaći opseg trokuta, pritom biste se mogli susresti s brojnim problemima jer trokuti mogu imati vrlo različite oblike. Na primjer, postoje oštri, tupi, jednakokračni, pravi i jednakostranični trokuti. Iako je formula za sve vrste trokuta:

   P = X+Y+Z, gdje su X, Y, Z stranice figure.

   Problem je u tome što kada rješavate mnoge probleme traženja opsega ove figure, nećete uvijek znati duljine svih stranica. Na primjer, umjesto podatka o duljini jedne od stranica, možete imati stupanj kuta ili duljinu visine određenog trokuta. To će značajno zakomplicirati zadatak, ali neće učiniti njegovo rješenje nerealnim. Možete pročitati “” o tome kako pronaći opseg trokuta, bez obzira na oblik.

5. Opseg figure kao što je romb nalazi se na isti način kao i opseg kvadrata, jer je romb paralelogram koji ima jednake stranice. Možete saznati kako pronaći opseg kvadrata čitajući članak na našoj web stranici "".

   Sada znate kako pronaći stranu perimetra geometrijske figure koja vam je potrebna!

Struktura lekcije:

1. Organizacija i motivacija učenika za aktivnosti na satu.
2. Organizacija percepcije novog materijala na temelju vizualnog materijala
3. Organizacija razumijevanja.
4. Početna provjera razumijevanja novog gradiva.
5. Organizacija primarne konsolidacije i neovisne analize obrazovnih informacija.
6. Primjena stečenog znanja na radionici.

Ciljevi lekcije:

1. Edukativni. Osigurati da učenici nauče pronaći površinu i opseg geometrijskih likova;

vizualna percepcija materijala u lekciji; Ima smisla razumjeti što su područje i perimetar.

2. Razvojni. Koristite razvojne vježbe u lekciji, aktivirajte

mentalna aktivnost školaraca.

3. Edukativni. Osigurati razvoj vrijednosno-semantičke kulture učenika;

motivacija za sposobnost ispravnog postizanja cilja -

podudarnost očekivanja i rezultata.

Oprema:

1. M.I.Moro i dr. “Matematika” - udžbenik za 3. razred osnovne škole, 1. dio.
2. Radna bilježnica iz matematike.
3. Olovka, ravnalo, olovka, trokut, škare.
4. Modeli geometrijskih figura za određivanje površine.
5. Iznad ploče su posteri s formulama za određivanje površine i opsega.

Sredstva obrazovanja:

1. Didaktički materijal.
2. Vizualna pomagala.

Nastavne metode:

1. Usporedba objekata.
2. Usporedba metoda za pronalaženje površine iste figure.

Tijekom nastave.

1. Organizacijski trenutak i poruka teme lekcije.

Učitelj: Zdravo, dečki. Danas ćemo nastaviti proučavati veliku temu pod nazivom "Površina i perimetar". Tema naše današnje lekcije: “Sposobnost primjene znanja u pronalaženju opsega i površine složene figure.” Složena figura je geometrijska figura koja se sastoji od nekoliko jednostavnih figura. Prvo, ponovimo što smo naučili u prethodnim lekcijama.

II. Usmeno brojanje.

Razvojni zadaci.

Učitelj: Nađite površinu ove figure ako je stranica kvadrata 1 cm.

Figura je prikazana na ploči.

Učenik: Ako 1 kvadrat ima površinu od 1 cm 2, a na slici je 5 kvadrata, tada je površina ove figure 5 cm 2.

Učitelj: Točno. Sljedeći zadatak. Uklonite 3 štapića da biste dobili 3 takva kvadrata.

Učenik dolazi do ploče i uklanja 3 štapića.

Učitelj: Uklonite 4 štapića tako da ostanu 3 ista kvadrata.

Učenik dolazi do ploče i uklanja 4 štapića. Riješenje.

III. Rad na temi lekcije

Učitelj: Koje geometrijske oblike već poznajete?

Učenik: Pravokutnik.

Učenik: Trg.

Učitelj: Točno. Što znamo o trgu?

Učenik: Kvadrat ima 4 stranice i 4 ugla.

Učitelj: Točno. Koja svojstva imaju stranice kvadrata?

Učenik: Jednaki su.

Učitelj: Točno. Koliki su kutovi kvadrata?

Student: Ravni su.

Učitelj: Čime možemo konstruirati pravi kut?

Učenik: Pomoću trokuta.

Učiteljica: Hajdemo u vašoj bilježnici sastaviti kvadrat sa stranicom 4 cm. Kojim alatima ćemo crtati kvadrat?

Učenik: Korištenje ravnala, olovke i trokuta.

Učenici koriste svoje bilježnice kako bi sastavili kvadrat i obojali ga.

Učitelj: Ova geometrijska figura. Kako pronaći opseg i površinu ovog kvadrata?

Učenik: Opseg je zbroj svih njegovih stranica. Kvadrat ima 4 strane. To znači da 4 zbrajamo 4 puta.

Učitelj: Kako to zapisati?

Učenici zapisuju u svoje bilježnice: „ Pronađite površinu slike F1”.

Učenik se prozove na ploču i zapiše: P = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 (cm)

Učenici zapisuju u svoje bilježnice.

Učitelj: U kojim drugim jedinicama se mjeri opseg?

Učenik: U centimetrima, u milimetrima, u metrima, u decimetrima, u kilometrima.

Učitelj: Bravo! Kako drugačije možete napisati opseg?

Učenik: Korištenje množenja.

Učenik zapisuje na ploču: P = 4 4 = 16 (cm)

Učenici zapisuju u svoje bilježnice.

Učitelj: Kolika je površina kvadrata?

Učenik: Duljinu kvadrata množimo s njegovom širinom. Kako su stranice kvadrata jednake, dakle

S = 4 4 = 16 (cm 2)

Učenici bilježe u svoju bilježnicu i zapisuju - “ Odgovor: S = 16 cm 2”.

Učitelj: Koje još jedinice za površinu znate?

Učenik: kvadratni centimetar, kvadratni decimetar, kvadratni metar, kvadratni milimetar.

Učitelj: Sada zakomplicirajmo zadatak. Ispred vas je karta.

Ova kartica prikazuje kvadrat isti kao onaj u vašoj bilježnici. U sredini ovog kvadrata je još jedan kvadrat sa stranicom od 2 cm. Sada ćete uzeti škare i pažljivo izrezati ovaj mali kvadrat.

Učenici rade ovaj zadatak i zapisuju u svoju bilježnicu: „ Pronađite površinu slike F2”.

Učitelj: Imamo figuru "s prozorom" - F2. Kako možete pronaći područje ove zanimljive figure? Površina kvadrata je već poznata i jednaka je 16 cm 2.

Učenik: Trebate pronaći površinu malog kvadrata sa stranicom od 2 cm.

Učenik izlazi na ploču i zapisuje – S2 = 2 2 = 4 (cm 2)

Učenici zapisuju u svoje bilježnice

Učenik: Oduzmi površinu malog kvadrata od površine velikog kvadrata.

Učitelj: Točno.

Učenik zapisuje na ploču – S = S1 – S2 = 16 – 4 = 12 (cm 2)

Učenici bilježe u svoje bilježnice.

Učitelj: Pažljivo pogledajte ovu figuru i recite mi kako još možete izmjeriti površinu? Je li moguće nekako izrezati ovu figuru da dobijete oblike koji su vam već poznati?

Učenici razmišljaju i govore različite mogućnosti.

Jedna od opcija pokazala se vrlo zanimljivom.

Učenik: Možete ga izrezati tako da dobijete pravokutnike i pokazuje na ploči kako se to može napraviti.

Učenici režu oblik kako je prikazano na ploči.

Učitelj: Kolika je površina pravokutnika?

Učenik: Trebate pomnožiti duljinu sa širinom.

Učitelj: Imate četiri figure. Što možete reći o njima?

Učenik: Dvije figure su kao blizanci – jednojajčani, a druge dvije su također jednojajčane.

Možete pronaći površinu jedne figure i pomnožiti je s 2.

Učenik rješava na ploči: S1 = 1 4 = 4 (cm 2)

S2 = 1 2 = 2 (cm 2)

S = 2 S1 + 2 S2 = 2 4 + 2 2 = 8 + 4 = 12 (cm 2)

Učitelj: Bravo! Dobili smo istu vrijednost površine kao i prije.

Učenici zapisuju u svoje bilježnice: „ Odgovor: S = 12 cm 2.”

Učitelj: Jeste li vjerojatno umorni?

Vrijeme je za odmor.

Predlažem umor

Odlazak na minutu tjelesnog odgoja.

IV. Minute tjelesnog odgoja.

Svaki dan ujutro
Radimo vježbe (hodanje u mjestu).
Stvarno volimo to raditi redom:
Zabavite se hodajući (hodajući)
Podignite ruke (ruke gore)
Čučnite i ustanite (čučnite 4-6 puta),
Skok i galop (10 skokova).

Učitelj, nastavnik, profesor: A sada smo sjeli za svoje stolove i

pogledajte sljedeći model. Slika F3

Kako pronaći područje ove zanimljive figure?

Učenik: Trokut koji strši

može se odrezati i staviti u dio gdje

trokut "ide" prema unutra.

Učitelj: Uzmimo škare, odrežimo trokut i stavimo ga u gornji dio.

Kakvu brojku imamo?

Učenik: Pravokutnik!

Učitelj: Kako pronaći površinu ovog pravokutnika,

Ako su nam stranke nepoznate.

Učenik: Možemo uzeti ravnalo i mjeriti

duljina i širina pravokutnika.

Učenici zapisuju: „ Pronađite površinu slike F3”.

Učenici ravnalom mjere duljinu i širinu. Rezultat je duljina a = 6 cm, širina b = 2 cm.

Učenik: Površina ove figure je S = 6 · 2 = 12 (cm 2).

Učenici bilježe u svoju bilježnicu i zapisuju: „ Odgovor: S = 12 cm 2.

Učitelj: Ali to nije sve. Evo sljedeće figure. Morate pronaći njegovo područje.

Kakva je figura pred vama?

Student: Trokut. Ali područje trokuta

Ne znamo kako pronaći!

Učitelj: To je istina. Iz ovog trokuta

napravimo pravokutnik. Dat ću ti natuknicu. Slika F4

Prvo preklopimo ovaj trokut na pola

Učenici: Razumijemo! Pravo

okrenuti stranu.

Dobit ćete pravokutnik.

Učenik: Pomoću ravnala mjerimo

duljina a i širina b, a prema S = a · b,

pronaći područje.

Učitelj: Ako mjerimo, mi

nalazimo da je duljina

bit će izražena u mm, a širina u cm,

što da radimo?

Učenik: Dužinu i širinu obavezno pretvorite u jednu mjernu jedinicu.

Učenici zapisuju u svoje bilježnice: „ Pronađite površinu slike F4”.

V. Rad u parovima.

Učitelj: A sada predlažem rad u parovima. Vas je dvoje za vašim stolom. Jedan učenik (I. opcija) pronalazi opseg zadanog lika, a drugi (II. opcija) nalazi površinu.

Da biste to učinili, nacrtajte ovu figuru u svoju bilježnicu. Nakon što završite zadatak, razmijenite bilježnice i međusobno provjerite rezultate.

Učenici rješavaju zadatak i rezultati

zapiši u bilježnicu.

Učitelj: Što ste učinili?

Učenik: Kvadrat sa stranicom 3 cm P = 3 4 = 12 (cm)

S = 3 3 = 9 (cm 2) 3 cm

Učenici zapisuju: „ Odgovor: P = 12 cm, S = 9 cm 2.

Učitelj: Bravo! A sada predlažem da radite sami.

Pronađite područje sljedeće figure. Ona leži ispred tebe.

VI. Samostalni rad na učvršćivanju naučenog gradiva.

Nastavnik dijeli unaprijed pripremljene figure.

Učenici samostalno, bez pomoći nastavnika, režu ovu figuru i dobivaju tri pravokutnika.

Učenici zapisuju: „ Pronađite površinu figure F5”.

Učenici pronalaze S1 = 4 3 = 12 (cm 2), S2 = 2 1 = 2 (cm 2), zatim pronalaze površinu ove figure: S = S1 + S2 + S2 = 12 + 2 + 2 = 16 ( cm 2 ) i zatim zabilježite u bilježnicu

Zapiši: " Odgovor: S = 16 cm 2”.

Učitelj: Je li vam se svidjela lekcija?

Učenici: Da.

Učitelj: Što ste novo naučili u ovoj lekciji?

Učenik: Naučili smo pronaći površinu i opseg složenih likova. Ispalo je vrlo jednostavno. Moramo malo razmisliti i ponovno izgraditi ovu figuru ili je preoblikovati u jednu, perimetar i područje, koje već znamo pronaći.

Učitelj: Jako mi je drago da vam se svidjelo. Kod kuće ponovite formule za pronalaženje opsega i površine kvadrata i pravokutnika; zapamtite kako pretvoriti jednu jedinicu

drugome. Sljedeći učenici danas su dobro odgovorili. . .

Učitelj daje ocjene.

VII. Domaća zadaća: udžbenik str.77 br.8.