सही पिरामिड। परिभाषा
चतुर्भुज पिरामिडएक पॉलीहेड्रॉन को एक पॉलीहेड्रॉन कहा जाता है जिसका आधार एक वर्ग होता है, और सभी पक्ष समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।
इस पॉलीहेड्रॉन में कई अलग-अलग गुण हैं:
- इसकी पार्श्व पसली और आसन्न द्वितल कोण एक दूसरे के बराबर हैं;
- पार्श्व चेहरों के क्षेत्र समान हैं;
- एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है;
- पिरामिड के शीर्ष से गिराई गई ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ प्रतिच्छेद करती है।
ये सभी गुण इसे खोजना आसान बनाते हैं। हालांकि, अक्सर, इसके अलावा, पॉलीहेड्रॉन की मात्रा की गणना करना आवश्यक होता है। ऐसा करने के लिए, चतुर्भुज पिरामिड के आयतन के लिए सूत्र लागू करें:
यानी पिरामिड का आयतन पिरामिड की ऊंचाई और आधार के क्षेत्रफल के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है। चूँकि यह इसकी समान भुजाओं के गुणनफल के बराबर है, इसलिए हम आयतन व्यंजक में तुरंत वर्ग क्षेत्रफल सूत्र दर्ज करते हैं।
एक चतुर्भुज पिरामिड के आयतन की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।
मान लीजिए कि एक चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है, जिसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी भुजा a = 6 सेमी है। पिरामिड का पार्श्व फलक b = 8 सेमी है। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए। 
किसी दिए गए बहुफलक का आयतन ज्ञात करने के लिए हमें उसकी ऊँचाई की लंबाई की आवश्यकता होती है। इसलिए, हम इसे पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके पाएंगे। सबसे पहले, आइए विकर्ण की लंबाई की गणना करें। नीले त्रिभुज में, यह कर्ण होगा। यह भी याद रखने योग्य है कि वर्ग के विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं: 
अब लाल त्रिभुज से हमें वह ऊँचाई ज्ञात होती है जिसकी हमें आवश्यकता है। इसके बराबर होगा: 
आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करें और पिरामिड की ऊंचाई पाएं:
अब, ऊँचाई जानने के बाद, हम सूत्र में सभी मानों को पिरामिड के आयतन के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं और आवश्यक मान की गणना कर सकते हैं:
इस प्रकार, कुछ सरल सूत्रों को जानकर, हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की मात्रा की गणना करने में सक्षम थे। यह मत भूलो कि यह मान घन इकाइयों में मापा जाता है।
- एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो एक नियमित बहुभुज के बीच से उसके 1 हिस्से तक कम हो जाती है);
- साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिकोण जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
- पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सीएस , डी.एस. ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
- पिरामिड के ऊपर (वी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
- कद ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
- पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
- आधार (ए बी सी डी) एक बहुभुज है जिसमें पिरामिड का शीर्ष संबंधित नहीं है।
पिरामिड गुण।
1. जब सभी किनारों का आकार समान हो, तब:
- पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
- पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
- इसके अतिरिक्त, विलोम भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी किनारे समान आकार।
2. जब पार्श्व फलकों में समान मान के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:
- पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
- पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
- पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ½ आधार की परिधि और पार्श्व फलक की ऊंचाई का गुणनफल है।
3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।
4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक द्वितल कोणों के समद्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।
सबसे सरल पिरामिड।
पिरामिड के आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, उन्हें त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित किया गया है।
पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।
परिभाषा 1. एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऐसे पिरामिड का शीर्ष इसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।
परिभाषा 2. एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और इसकी ऊंचाई आधार के केंद्र से होकर गुजरती है।
एक नियमित पिरामिड के तत्व
- इसके शीर्ष से खींचे गए पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेम. चित्र में इसे खंड ON . के रूप में निर्दिष्ट किया गया है
- भुजा के किनारों को जोड़ने वाला और आधार के तल में न पड़ा हुआ बिंदु कहलाता है पिरामिड के ऊपर(ओ)
- त्रिभुज जिनका आधार के साथ एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है और शीर्ष के साथ मेल खाने वाला एक शीर्ष कहलाता है साइड फेस(एओडी, डीओसी, सीओबी, एओबी)
- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल पर खींचे गए लंब के खंड को कहते हैं पिरामिड ऊंचाई(ठीक है)
- पिरामिड का विकर्ण खंड- यह आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाला खंड है (एओसी, बीओडी)
- एक बहुभुज जिसमें पिरामिड का शीर्ष नहीं होता है, कहलाता है पिरामिड का आधार(ए बी सी डी)
यदि आधार पर सही पिरामिडएक त्रिभुज, चतुर्भुज, आदि स्थित है। तब इसे कहा जाता है नियमित त्रिकोणीय , चतुष्कोणीयआदि।
एक त्रिभुजाकार पिरामिड एक चतुष्फलक है - चतुर्पाश्वीय.
एक नियमित पिरामिड के गुण
समस्याओं को हल करने के लिए, व्यक्तिगत तत्वों के गुणों को जानना आवश्यक है, जो आमतौर पर स्थिति में छोड़े जाते हैं, क्योंकि यह माना जाता है कि छात्र को शुरू से ही यह जानना चाहिए।
- पार्श्व पसलियां बराबर होती हैंआपस में
- एपोथेम्स बराबर हैं
- पार्श्व फलक समान हैंआपस में (उसी समय, उनके क्षेत्रफल, भुजाएँ और आधार क्रमशः बराबर होते हैं), अर्थात् वे समान त्रिभुज हैं
- सभी पार्श्व फलक समान हैं समद्विबाहु त्रिभुज
- किसी भी नियमित पिरामिड में, आप उसके चारों ओर एक गोले को अंकित कर सकते हैं और उसका वर्णन कर सकते हैं
- यदि उत्कीर्ण और परिबद्ध क्षेत्रों के केंद्र मेल खाते हैं, तो पिरामिड के शीर्ष पर समतल कोणों का योग है, और उनमें से प्रत्येक क्रमशः π/n है, जहां n आधार बहुभुज की भुजाओं की संख्या है
- एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है
- एक नियमित पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (यह भी देखें त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या)
- सभी पार्श्व फलक एक नियमित पिरामिड के आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं
- पार्श्व फलकों की सभी ऊँचाइयाँ एक दूसरे के बराबर होती हैं
समस्याओं के समाधान के निर्देश. ऊपर सूचीबद्ध गुणों को व्यावहारिक समाधान में मदद करनी चाहिए। यदि आप चेहरों, उनकी सतह आदि के झुकाव के कोणों को खोजना चाहते हैं, तो सामान्य तकनीकसंपूर्ण त्रि-आयामी आकृति को अलग-अलग सपाट आकृतियों में विभाजित करने और पिरामिड के अलग-अलग तत्वों को खोजने के लिए उनके गुणों को लागू करने के लिए नीचे आता है, क्योंकि कई तत्व कई आंकड़ों के लिए सामान्य हैं।
संपूर्ण त्रि-आयामी आकृति को अलग-अलग तत्वों - त्रिकोण, वर्ग, खंडों में तोड़ना आवश्यक है। इसके अलावा, योजनामिति पाठ्यक्रम से ज्ञान को अलग-अलग तत्वों पर लागू करना, जो उत्तर खोजने को बहुत सरल करता है।
सही पिरामिड के सूत्र
आयतन और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र:
नोटेशन:
वी - पिरामिड का आयतन
एस - आधार क्षेत्र
एच - पिरामिड की ऊंचाई
एसबी - पार्श्व सतह क्षेत्र
ए - एपोथेम (α के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)
पी - आधार परिधि
n - आधार पक्षों की संख्या
बी - साइड रिब लंबाई
α - पिरामिड के शीर्ष पर समतल कोण
आयतन ज्ञात करने के लिए इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है केवलके लिये सही पिरामिड:
, कहाँ पे
वी - एक नियमित पिरामिड का आयतन
एच - नियमित पिरामिड की ऊंचाई
n नियमित बहुभुज के पक्षों की संख्या है जो नियमित पिरामिड का आधार है
a - एक नियमित बहुभुज की भुजा की लंबाई
सही काटे गए पिरामिड
यदि हम पिरामिड के आधार के समानांतर एक खंड खींचते हैं, तो इन तलों और पार्श्व सतह के बीच घिरे शरीर को कहा जाता है छोटा पिरामिड. काटे गए पिरामिड के लिए यह खंड इसके आधारों में से एक है।
पार्श्व फलक की ऊंचाई (जो है समद्विबाहु समलम्ब), कहा जाता है - एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम.
एक काटे गए पिरामिड को सही कहा जाता है यदि जिस पिरामिड से इसे प्राप्त किया गया था वह सही है।
- काटे गए पिरामिड के आधारों के बीच की दूरी कहलाती है काटे गए पिरामिड की ऊंचाई
- सभी एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के चेहरेसमद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार हैं
टिप्पणियाँ
यह सभी देखें:एक नियमित पिरामिड के लिए विशेष मामले (सूत्र):
यहां दी गई सैद्धांतिक सामग्री का उपयोग कैसे करेंआपकी समस्या का समाधान करने के लिए:
