คำตอบของอสมการลอการิทึมกับฐานที่ไม่รู้จัก อสมการลอการิทึมเชิงซ้อน

ในบรรดาอสมการลอการิทึมที่หลากหลายทั้งหมด ศึกษาอสมการที่มีฐานตัวแปรแยกกัน พวกเขาได้รับการแก้ไขตามสูตรพิเศษซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างที่โรงเรียนไม่ค่อยสอน:

บันทึก k (x ) f (x ) ∨ บันทึก k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

แทนที่จะเป็นแม่แรง "∨" คุณสามารถใส่เครื่องหมายอสมการใดก็ได้: มากหรือน้อย สิ่งสำคัญคือในความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองสัญญาณจะเหมือนกัน

ดังนั้นเราจึงกำจัดลอการิทึมและลดปัญหาให้เป็นอสมการตรรกยะ อันหลังแก้ได้ง่ายกว่ามาก แต่เมื่อละทิ้งลอการิทึม รูตพิเศษอาจปรากฏขึ้น หากต้องการตัดออก ก็เพียงพอที่จะค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ หากคุณลืม ODZ ของลอการิทึม ขอแนะนำให้ทำซ้ำ - ดู "ลอการิทึมคืออะไร"

ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะต้องเขียนและแก้ไขแยกกัน:

f(x) > 0; ก.(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสี่นี้ประกอบขึ้นเป็นระบบและต้องปฏิบัติตามพร้อมกัน เมื่อพบช่วงของค่าที่ยอมรับได้ มันยังคงข้ามมันด้วยคำตอบของอสมการเชิงเหตุผล - และคำตอบก็พร้อม

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ขั้นแรก ให้เขียน ODZ ของลอการิทึม:

อสมการสองตัวแรกจะดำเนินการโดยอัตโนมัติ และอสมการสุดท้ายจะต้องถูกเขียน เนื่องจากกำลังสองของตัวเลขเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวตัวเลขนั้นเป็นศูนย์ เราจึงมี:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมเป็นตัวเลขทั้งหมดยกเว้นศูนย์: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞) ตอนนี้เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหลัก:

เราดำเนินการเปลี่ยนจากอสมการลอการิทึมเป็นอสมการ ในอสมการเดิมจะมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันที่ได้จึงควรมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ด้วย เรามี:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

ศูนย์ของนิพจน์นี้: x = 3; x = -3; x = 0 นอกจากนี้ x = 0 ยังเป็นรูทของทวีคูณที่สอง ซึ่งหมายความว่าเมื่อผ่านไป เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง เรามี:

เราได้ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) ชุดนี้มีอยู่ใน ODZ ของลอการิทึมอย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่านี่คือคำตอบ

การแปลงอสมการลอการิทึม

บ่อยครั้งที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมแตกต่างจากที่กล่าวข้างต้น ซึ่งแก้ไขได้ง่ายตามกฎมาตรฐานสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม" กล่าวคือ:

1. ตัวเลขใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมด้วยฐานที่กำหนด
2. ผลรวมและผลต่างของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันสามารถแทนที่ด้วยลอการิทึมเดียว

แยกจากกัน ฉันต้องการเตือนคุณเกี่ยวกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เนื่องจากอาจมีลอการิทึมหลายลอการิทึมในอสมการดั้งเดิม จึงจำเป็นต้องหา DPV ของแต่ละลอการิทึม ดังนั้นรูปแบบทั่วไปสำหรับการแก้อสมการลอการิทึมจึงเป็นดังนี้:

1. ค้นหา ODZ ของลอการิทึมแต่ละตัวที่รวมอยู่ในอสมการ
2. ลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นค่ามาตรฐานโดยใช้สูตรสำหรับการบวกและลบลอการิทึม
3. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นตามรูปแบบด้านบน

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ (ODZ) ของลอการิทึมแรก:

เราแก้โดยวิธีช่วงเวลา การหาศูนย์ของตัวเศษ:

3x − 2 = 0;
x = 2/3

จากนั้น - ศูนย์ของตัวส่วน:

x − 1 = 0;
x = 1

เราทำเครื่องหมายศูนย์และเครื่องหมายบนลูกศรพิกัด:

เราได้ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) ลอการิทึมที่สองของ ODZ จะเท่ากัน ถ้าไม่เชื่อก็เช็คได้ ตอนนี้เราแปลงลอการิทึมที่สองเพื่อให้ฐานเป็นสอง:

อย่างที่คุณเห็น เลขสามตัวที่ฐานและก่อนลอการิทึมหดตัว รับลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน มารวมกัน:

บันทึก 2 (x − 1) 2< 2;
บันทึก 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

เราได้รับอสมการลอการิทึมมาตรฐาน เรากำจัดลอการิทึมด้วยสูตร เนื่องจากมีเครื่องหมายน้อยกว่าในอสมการดั้งเดิม นิพจน์ตรรกยะที่ได้จึงต้องน้อยกว่าศูนย์ด้วย เรามี:

(f (x) - ก. (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

เราได้สองชุด:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. ตอบผู้สมัคร: x ∈ (-1; 3)

ยังคงต้องข้ามชุดเหล่านี้ - เราได้รับคำตอบที่แท้จริง:

เราสนใจจุดตัดของเซตต่างๆ ดังนั้นเราจึงเลือกช่วงเวลาที่แรเงาบนลูกศรทั้งสอง เราได้ x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3) - จุดทั้งหมดถูกเจาะ

คิดว่ายังมีเวลาก่อนสอบและจะมีเวลาเตรียมตัวมั้ย? บางทีอาจเป็นเช่นนี้ แต่ไม่ว่าในกรณีใด ยิ่งนักเรียนเริ่มฝึกเร็วเท่าไหร่ เขาก็ยิ่งสอบผ่านได้สำเร็จมากขึ้นเท่านั้น วันนี้เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความให้กับอสมการลอการิทึม นี่เป็นหนึ่งในงานซึ่งหมายถึงโอกาสในการได้รับคะแนนพิเศษ

คุณรู้อยู่แล้วว่าลอการิทึม (ล็อก) คืออะไร? เราหวังอย่างนั้นจริงๆ แต่แม้ว่าคุณจะไม่มีคำตอบสำหรับคำถามนี้ แต่ก็ไม่ใช่ปัญหา มันง่ายมากที่จะเข้าใจว่าลอการิทึมคืออะไร

ทำไม 4 แน่นอน? คุณต้องเพิ่มเลข 3 ให้เป็นกำลังเพื่อให้ได้ 81 เมื่อคุณเข้าใจหลักการแล้ว คุณสามารถดำเนินการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นได้

คุณผ่านความไม่เท่าเทียมกันเมื่อสองสามปีก่อน และตั้งแต่นั้นมา คุณมักจะพบกับพวกเขาในวิชาคณิตศาสตร์ หากคุณกำลังประสบปัญหาในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน โปรดดูส่วนที่เกี่ยวข้อง
เมื่อเราคุ้นเคยกับแนวคิดแยกกัน เราจะส่งต่อไปยังการพิจารณาโดยทั่วไป

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ได้จำกัดอยู่แค่ตัวอย่างนี้ ยังมีอีกสามตัวที่มีเครื่องหมายต่างกันเท่านั้น ทำไมสิ่งนี้จึงจำเป็น? เพื่อให้เข้าใจวิธีการแก้อสมการด้วยลอการิทึมมากขึ้น ตอนนี้เรายกตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงมากขึ้น ซึ่งค่อนข้างง่าย เราปล่อยให้อสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนไว้ใช้ในภายหลัง

วิธีแก้ปัญหา? ทุกอย่างเริ่มต้นด้วย ODZ คุณควรทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้หากต้องการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอย่างง่ายๆ เสมอ

ODZ คืออะไร? DPV สำหรับอสมการลอการิทึม

ตัวย่อหมายถึงช่วงของค่าที่ถูกต้อง ในการบ้านสอบ ประโยคนี้มักจะปรากฏขึ้น DPV มีประโยชน์กับคุณไม่เฉพาะในกรณีของอสมการลอการิทึมเท่านั้น

ดูตัวอย่างด้านบนอีกครั้ง เราจะพิจารณา ODZ ตามนั้น เพื่อให้คุณเข้าใจหลักการ และการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมจะไม่ทำให้เกิดคำถาม จากนิยามของลอการิทึมว่า 2x+4 ต้องมากกว่าศูนย์ ในกรณีของเรา นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้

ตัวเลขนี้ต้องเป็นค่าบวกตามคำจำกัดความ แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่นำเสนอข้างต้น สิ่งนี้สามารถทำได้ด้วยวาจา เป็นที่ชัดเจนว่า X ต้องไม่น้อยกว่า 2 คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันคือนิยามของช่วงของค่าที่ยอมรับได้
ทีนี้มาดูการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดกัน

เราละทิ้งลอการิทึมเองจากอสมการทั้งสองส่วน ผลที่ตามมาคืออะไรสำหรับเรา? ความไม่เท่าเทียมกันง่ายๆ

มันง่ายที่จะแก้ปัญหา X ต้องมากกว่า -0.5 ตอนนี้เรารวมสองค่าที่ได้รับเข้ากับระบบ ทางนี้,

นี่จะเป็นขอบเขตของค่าที่ยอมรับได้สำหรับอสมการลอการิทึมที่พิจารณา

ทำไม ODZ จึงมีความจำเป็น? นี่เป็นโอกาสที่จะขจัดคำตอบที่ไม่ถูกต้องและเป็นไปไม่ได้ หากคำตอบไม่อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ คำตอบก็ไม่สมเหตุสมผล สิ่งนี้ควรค่าแก่การจดจำเป็นเวลานานเนื่องจากในการสอบมักมีความจำเป็นต้องค้นหา ODZ และไม่เพียงเกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมเท่านั้น

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม

การแก้ปัญหาประกอบด้วยหลายขั้นตอน อันดับแรก จำเป็นต้องค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ จะมีสองค่าใน ODZ เราพิจารณาสิ่งนี้ข้างต้น ขั้นตอนต่อไปคือการแก้ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเอง วิธีการแก้ปัญหามีดังนี้:

• วิธีการเปลี่ยนตัวคูณ
• การสลายตัว;
• วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

ควรใช้วิธีการใดวิธีการหนึ่งข้างต้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ไปตรงที่วิธีแก้ปัญหา เราจะเปิดเผยวิธีการที่นิยมมากที่สุดซึ่งเหมาะสำหรับการแก้งาน USE ในเกือบทุกกรณี ต่อไปเราจะพิจารณาวิธีการสลายตัว สามารถช่วยได้หากคุณพบความไม่เท่าเทียมกันที่ "ยุ่งยาก" โดยเฉพาะ ดังนั้น อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม

ตัวอย่างโซลูชัน :

มันไม่ไร้ประโยชน์ที่เราเอาความไม่เท่าเทียมกันอย่างแม่นยำ! ให้ความสนใจกับฐาน ข้อควรจำ: หากมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายจะยังคงเหมือนเดิมเมื่อค้นหาช่วงของค่าที่ถูกต้อง มิฉะนั้นจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

เป็นผลให้เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน:

ตอนนี้ขอนำเสนอ ด้านซ้ายให้อยู่ในรูปของสมการเท่ากับศูนย์ แทนที่จะใส่เครื่องหมาย "น้อยกว่า" เราใส่ "เท่ากับ" เราแก้สมการ ดังนั้น เราจะพบ ODZ เราหวังว่าคุณจะไม่มีปัญหากับการแก้สมการง่ายๆ คำตอบคือ -4 และ -2 นั่นไม่ใช่ทั้งหมด. คุณต้องแสดงจุดเหล่านี้บนแผนภูมิ วาง "+" และ "-" ต้องทำอะไรเพื่อสิ่งนี้? แทนที่ตัวเลขจากช่วงเวลาลงในนิพจน์ โดยที่ค่าเป็นบวก เราจะใส่ "+" ไว้ที่นั่น

ตอบ: x ต้องไม่มากกว่า -4 และน้อยกว่า -2

เราพบช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับด้านซ้ายเท่านั้น ตอนนี้เราต้องค้นหาช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับด้านขวา นี้ไม่ได้หมายความว่าง่ายกว่า คำตอบ: -2. เราตัดกันทั้งสองพื้นที่ที่ได้รับ

และตอนนี้เราเริ่มแก้ความไม่เท่าเทียมกันเอง

เรามาลดความซับซ้อนให้มากที่สุดเพื่อให้ง่ายต่อการตัดสินใจ

เราใช้วิธีช่วงเวลาในการแก้ปัญหาอีกครั้ง ข้ามการคำนวณไปกับเขาทุกอย่างชัดเจนจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตอบ.

แต่วิธีนี้เหมาะถ้าอสมการลอการิทึมมีฐานเท่ากัน

การแก้สมการลอการิทึมและอสมการที่มีฐานต่างกันเกี่ยวข้องกับการลดลงเริ่มต้นเป็นฐานเดียว จากนั้นใช้วิธีข้างต้น แต่ก็มีกรณีที่ซับซ้อนกว่านั้น พิจารณาอสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนที่สุดประเภทหนึ่ง

อสมการลอการิทึมกับฐานตัวแปร

จะแก้ความไม่เท่าเทียมกันในลักษณะดังกล่าวได้อย่างไร? ใช่และสามารถพบได้ในการสอบ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยวิธีต่อไปนี้จะส่งผลดีต่อกระบวนการศึกษาของคุณ มาดูประเด็นโดยละเอียดกัน เลิกใช้ทฤษฏีแล้วลงมือปฏิบัติได้เลย ในการแก้อสมการลอการิทึม ก็เพียงพอแล้วที่จะทำความคุ้นเคยกับตัวอย่าง

ในการแก้สมการลอการิทึมของแบบฟอร์มที่นำเสนอ จำเป็นต้องลดด้านขวาของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกัน หลักการนี้คล้ายกับการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่ากัน เป็นผลให้ความไม่เท่าเทียมกันจะมีลักษณะเช่นนี้

อันที่จริง มันยังคงสร้างระบบความไม่เท่าเทียมกันโดยไม่มีลอการิทึม โดยใช้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง เราส่งผ่านไปยังระบบอสมการที่เท่าเทียมกัน คุณจะเข้าใจกฎเองเมื่อคุณแทนที่ค่าที่เหมาะสมและติดตามการเปลี่ยนแปลง ระบบจะมีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

เมื่อใช้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง ในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน คุณต้องจำสิ่งต่อไปนี้: คุณต้องลบหนึ่งตัวออกจากฐาน x ตามนิยามของลอการิทึม จะถูกลบออกจากความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองส่วน (ทางขวาจากซ้าย) สองนิพจน์จะถูกคูณและตั้งค่าภายใต้เครื่องหมายเดิมที่สัมพันธ์กับศูนย์

วิธีแก้ไขเพิ่มเติมดำเนินการโดยวิธีช่วงเวลา ทุกอย่างง่ายที่นี่ เป็นสิ่งสำคัญสำหรับคุณที่จะเข้าใจความแตกต่างในวิธีการแก้ปัญหา จากนั้นทุกอย่างจะเริ่มทำงานได้อย่างง่ายดาย

มีความแตกต่างหลายอย่างในอสมการลอการิทึม วิธีที่ง่ายที่สุดคือง่ายพอที่จะแก้ไข ทำอย่างไรจึงจะแก้ปัญหาแต่ละข้อได้โดยไม่มีปัญหา? คุณได้รับคำตอบทั้งหมดในบทความนี้แล้ว ตอนนี้คุณมีแนวปฏิบัติที่ยาวนานอยู่ข้างหน้าคุณ หมั่นฝึกฝนการแก้ปัญหาต่าง ๆ ภายในข้อสอบ แล้วคุณจะสามารถทำคะแนนสูงสุดได้ ขอให้โชคดีในการทำงานที่ยากลำบากของคุณ!

เราได้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอสมการลอการิทึมและอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดโดยที่ฐานของลอการิทึมได้รับการแก้ไขแล้ว

แต่ถ้าฐานของลอการิทึมเป็นตัวแปรล่ะ?

แล้วเราจะมาช่วยชีวิต การหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของความไม่เท่าเทียมกันเพื่อให้เข้าใจว่าสิ่งนี้ทำงานอย่างไร ให้พิจารณาตัวอย่างเช่นความไม่เท่าเทียมกัน:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

ตามที่คาดไว้ เรามาเริ่มกันที่ ODZ กันก่อน

ODZ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน

ให้เหตุผลราวกับว่าเรากำลังแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยฐานที่ตายตัว หากฐานมากกว่า 1 เราจะกำจัดลอการิทึม และเครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง หากน้อยกว่าหนึ่ง แสดงว่ามีการเปลี่ยนแปลง

ลองเขียนเป็นระบบ:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

เพื่อเหตุผลเพิ่มเติม เราโอนทางขวามือของอสมการไปทางซ้าย

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

เราได้อะไร? ปรากฎว่าเราต้องการนิพจน์ `2x-1` และ `x^2 - x` ให้เป็นค่าบวกหรือค่าลบในเวลาเดียวกัน จะได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกันหากเราแก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ เหมือนกับระบบเดิม หากปัจจัยทั้งสองเป็นบวกหรือลบ ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ที่จะย้ายจากอสมการลอการิทึมไปเป็นอสมการ (โดยคำนึงถึง ODZ)

มากำหนดสูตรกัน วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองสำหรับอสมการลอการิทึม$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ โดยที่ `\vee` เป็นเครื่องหมายอสมการใดๆ (สำหรับเครื่องหมาย `>` เราเพิ่งตรวจสอบความถูกต้องของสูตร สำหรับส่วนที่เหลือ ฉันขอแนะนำให้ตรวจสอบด้วยตัวเอง - วิธีนี้คุณจะจำได้ดีขึ้น)

กลับไปที่วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของเรา ขยายเป็นวงเล็บ (เพื่อให้เห็นค่าศูนย์ของฟังก์ชันได้ดีขึ้น) เราจะได้

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

วิธีช่วงเวลาจะให้ภาพต่อไปนี้:

(เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวดและจุดสิ้นสุดของช่วงนั้นไม่น่าสนใจสำหรับเรา พวกมันจะไม่ถูกเติมเข้าไป) ดังที่เห็นได้ ช่วงเวลาที่ได้รับนั้นเป็นไปตาม ODZ ได้คำตอบแล้ว: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`

ตัวอย่างที่สอง คำตอบของอสมการลอการิทึมกับฐานตัวแปร

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0 \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0. \end(array)\right.$$

การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน

ตามกฎแล้วเราเพิ่งได้รับ การหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของอสมการลอการิทึมเราได้รับว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้เหมือนกัน (โดยคำนึงถึง ODZ) ดังต่อไปนี้:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

เมื่อรวมโซลูชันนี้เข้ากับ ODZ เราจะได้คำตอบ: `(1,2)`

ตัวอย่างที่สาม ลอการิทึมของเศษส่วน

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

เนื่องจากระบบค่อนข้างซับซ้อน ลองพลอตคำตอบของอสมการบนเส้นจำนวนทันที:

ดังนั้น ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`

การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน

มาแทนค่า `-1' เป็นลอการิทึมที่มีฐาน 'x'

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

โดยใช้ การหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของอสมการลอการิทึมเราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผล:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$

ในบรรดาอสมการลอการิทึมที่หลากหลายทั้งหมด ศึกษาอสมการที่มีฐานตัวแปรแยกกัน พวกเขาได้รับการแก้ไขตามสูตรพิเศษซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างไม่ค่อยมีใครสอนที่โรงเรียน การนำเสนอนำเสนอวิธีแก้ปัญหาสำหรับงาน C3 USE - 2014 ในวิชาคณิตศาสตร์

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชีผู้ใช้) Google และลงชื่อเข้าใช้: https://accounts.google.com

คำบรรยายสไลด์:

การแก้ความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมที่มีตัวแปรที่ฐานของลอการิทึม: วิธีการ, เทคนิค, ครูการเปลี่ยนที่เทียบเท่าของคณิตศาสตร์ MBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 143 Knyazkina T.V.

ในบรรดาอสมการลอการิทึมที่หลากหลายทั้งหมด ศึกษาอสมการที่มีฐานตัวแปรแยกกัน พวกเขาได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรพิเศษซึ่งไม่ค่อยมีใครสอนในโรงเรียนด้วยเหตุผลบางประการ: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 แทนที่จะใช้ช่องกาเครื่องหมาย “∨” คุณสามารถใส่เครื่องหมายอสมการใดๆ ก็ได้: มากหรือน้อย สิ่งสำคัญคือในความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองสัญญาณจะเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงกำจัดลอการิทึมและลดปัญหาให้เป็นอสมการตรรกยะ อันหลังแก้ได้ง่ายกว่ามาก แต่เมื่อละทิ้งลอการิทึม รูตพิเศษอาจปรากฏขึ้น หากต้องการตัดออก ก็เพียงพอที่จะค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ อย่าลืม ODZ ของลอการิทึม! ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะต้องเขียนและแก้ไขแยกกัน: f (x) > 0; ก.(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสี่นี้ประกอบขึ้นเป็นระบบและต้องเติมเต็มพร้อมกัน เมื่อพบช่วงของค่าที่ยอมรับได้ มันยังคงข้ามมันด้วยคำตอบของอสมการเชิงเหตุผล - และคำตอบก็พร้อม

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน: วิธีแก้ปัญหา เริ่มต้นด้วยการเขียน ODZ ของลอการิทึม ความไม่เท่าเทียมกันสองอันแรกจะดำเนินการโดยอัตโนมัติและจะต้องทาสีอันสุดท้าย เนื่องจากกำลังสองของตัวเลขมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวตัวเลขนั้นเท่ากับศูนย์ เราจึงได้: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 . ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมเป็นตัวเลขทั้งหมดยกเว้นศูนย์: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞) ตอนนี้เราแก้อสมการหลัก: เราดำเนินการเปลี่ยนจากอสมการลอการิทึมไปเป็นอสมการตรรกยะ ในอสมการเดิมจะมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันที่ได้จึงควรมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ด้วย

เรามี: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

การแปลงอสมการลอการิทึม บ่อยครั้งความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมแตกต่างจากอสมการข้างต้น ซึ่งแก้ไขได้ง่ายโดยใช้กฎมาตรฐานสำหรับการทำงานกับลอการิทึม กล่าวคือ ตัวเลขใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมด้วยฐานที่กำหนดได้ ผลรวมและผลต่างของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันสามารถแทนที่ด้วยลอการิทึมเดียว แยกจากกัน ฉันต้องการเตือนคุณเกี่ยวกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เนื่องจากอาจมีลอการิทึมหลายลอการิทึมในอสมการดั้งเดิม จึงจำเป็นต้องหา DPV ของแต่ละลอการิทึม ดังนั้น โครงร่างทั่วไปสำหรับการแก้อสมการลอการิทึมจึงเป็นดังนี้: ค้นหา ODZ สำหรับแต่ละลอการิทึมที่รวมอยู่ในอสมการ ลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นค่ามาตรฐานโดยใช้สูตรสำหรับการบวกและลบลอการิทึม แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นตามรูปแบบด้านบน

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: วิธีแก้ไข ลองหาโดเมนของคำจำกัดความ (ODZ) ของลอการิทึมแรกกัน: เราแก้โดยวิธีช่วงเวลา หาเลขศูนย์ของตัวเศษ: 3 x − 2 = 0; x = 2/3 จากนั้น - ศูนย์ตัวส่วน: x − 1 = 0; x = 1 เราทำเครื่องหมายศูนย์และเครื่องหมายบนเส้นพิกัด:

เราได้ x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) ลอการิทึมที่สองของ ODZ จะเท่ากัน ถ้าไม่เชื่อก็เช็คได้ ทีนี้ มาแปลงลอการิทึมที่สองกันเพื่อให้มีสองตัวที่ฐาน: อย่างที่คุณเห็น ค่าสามเท่าของฐานและหน้าลอการิทึมลดลง รับลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน บวกเข้าด้วยกัน: บันทึก 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

เราสนใจจุดตัดของเซตต่างๆ ดังนั้นเราจึงเลือกช่วงเวลาที่แรเงาบนลูกศรทั้งสอง เราได้รับ: x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - จุดทั้งหมดถูกเจาะ คำตอบ: x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3)

การแก้ปัญหาของ Unified State Exam-2014 ประเภท C3

แก้ระบบอสมการแก้ ODZ:  1) 2)

แก้ระบบอสมการ 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (ต่อ)

แก้ระบบอสมการ 4) วิธีแก้ปัญหาทั่วไป: และ -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (ต่อ)

แก้สมการ (ต่อ) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ODZ: 

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน (ต่อ)

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

โดยมีลอการิทึมอยู่ภายใน

ตัวอย่าง:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

วิธีแก้อสมการลอการิทึม:

อสมการลอการิทึมใดๆ ควรลดลงให้อยู่ในรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (สัญลักษณ์ \(˅\) หมายถึง ใดๆ ของ ) แบบฟอร์มนี้ช่วยให้เรากำจัดลอการิทึมและฐานของลอการิทึมได้โดยส่งผ่านไปยังอสมการของนิพจน์ภายใต้ลอการิทึม นั่นคือ แบบฟอร์ม \(f(x) ˅ g(x)\)

แต่เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้ มีความละเอียดอ่อนที่สำคัญอย่างหนึ่ง:
\(-\) ถ้า - ตัวเลขและมากกว่า 1 - เครื่องหมายอสมการยังคงเหมือนเดิมระหว่างการเปลี่ยนแปลง
\(-\) หากฐานเป็นตัวเลขที่มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 (ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง) เครื่องหมายอสมการจะต้องกลับด้าน นั่นคือ

ตัวอย่าง:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) วิธีการแก้: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) คำตอบ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ หนึ่ง))\) ODZ: \(\begin(กรณี)2x-4>0\\x+1 > 0\end(กรณี)\) \(\begin(กรณี)2x>4\\x > -1\end(กรณี)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(กรณี)x>2\\x > -1\end(กรณี) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) วิธีการแก้: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) คำตอบ: \((2;5]\)

สำคัญมาก!ในความไม่เท่าเทียมกันใดๆ การเปลี่ยนจากรูปแบบ \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) เป็นการเปรียบเทียบนิพจน์ภายใต้ลอการิทึมสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ:

ตัวอย่าง . แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: \(\log\)\(≤-1\)

วิธีการแก้:

\(\บันทึก\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	มาเขียน ODZ กัน
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	เราเปิดวงเล็บ ให้ .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	เราคูณอสมการด้วย \(-1\) โดยอย่าลืมกลับเครื่องหมายเปรียบเทียบ
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	มาสร้างเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายจุด \(\frac(7)(3)\) และ \(\frac(3)(2)\) บนมัน โปรดทราบว่าจุดจากตัวส่วนถูกเจาะแม้ว่าความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เข้มงวด ความจริงก็คือว่าประเด็นนี้จะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากเมื่อแทนที่ความไม่เท่าเทียมกัน มันจะนำเราไปสู่การหารด้วยศูนย์
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	ตอนนี้ เราพล็อต ODZ บนแกนตัวเลขเดียวกัน และเขียนตามช่วงเวลาที่อยู่ใน ODZ
	เขียนคำตอบสุดท้าย

ตอบ: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

ตัวอย่าง . แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

วิธีการแก้:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	มาเขียน ODZ กัน
ODZ: \(x>0\)	มาเริ่มตัดสินใจกันเลย
วิธีแก้ไข: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	ก่อนหน้าเราคืออสมการกำลังสองลอการิทึมทั่วไป พวกเราทำ.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	ขยายด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันเป็น .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	ตอนนี้คุณต้องกลับไปที่ตัวแปรเดิม - x ในการทำเช่นนี้ เราส่งผ่านไปยัง ซึ่งมีคำตอบเหมือนกัน และทำการแทนที่แบบย้อนกลับ
\(\left[ \begin(รวบรวม) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	แปลง \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)
\(\left[ \begin(รวบรวม) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	มาดูการเปรียบเทียบข้อโต้แย้งกัน ฐานของลอการิทึมมีค่ามากกว่า \(1\) ดังนั้นเครื่องหมายของอสมการจึงไม่เปลี่ยนแปลง
\(\left[ \begin(รวบรวม) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	มารวมคำตอบของอสมการกับ ODZ เข้าด้วยกันเป็นหนึ่งเดียว
	มาเขียนคำตอบกัน

ตอบ: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)