สูตรคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง วิธีพิกัด (ระยะห่างระหว่างจุดกับระนาบ ระหว่างเส้นตรง)

ความสามารถในการหาระยะห่างระหว่างวัตถุเรขาคณิตต่างๆ มีความสำคัญเมื่อคำนวณพื้นที่ผิวของตัวเลขและปริมาตร ในบทความนี้เราจะพิจารณาคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งเป็นเส้นตรงในอวกาศและบนระนาบ

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของเส้นตรง

เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง คุณควรจัดการกับคำถามเกี่ยวกับข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์ของวัตถุทางเรขาคณิตเหล่านี้

ทุกอย่างเรียบง่ายด้วยจุดซึ่งอธิบายโดยชุดพิกัดจำนวนที่สอดคล้องกับมิติของพื้นที่ ตัวอย่างเช่น บนเครื่องบิน พิกัดเหล่านี้คือสองพิกัด ในพื้นที่สามมิติ - สาม

สำหรับวัตถุหนึ่งมิติ - เส้นตรงนั้นใช้สมการหลายประเภทเพื่ออธิบาย ลองพิจารณาแค่สองคน

ชนิดแรกเรียกว่าสมการเวกเตอร์ ด้านล่างนี้คือนิพจน์สำหรับบรรทัดในช่องว่างสามมิติและสองมิติ:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

ในนิพจน์เหล่านี้ พิกัดที่มีดัชนีเป็นศูนย์จะอธิบายจุดที่เส้นที่กำหนดผ่านไป ชุดของพิกัด (a; b; c) และ (a; b) คือเวกเตอร์ทิศทางที่เรียกว่าสำหรับเส้นที่สอดคล้องกัน α คือ a พารามิเตอร์ที่สามารถรับค่าจริงใดๆ ก็ได้

สมการเวกเตอร์สะดวกในแง่ที่ว่าประกอบด้วยเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงอย่างชัดเจน พิกัดสามารถใช้ในการแก้ปัญหาความขนานหรือความตั้งฉากของวัตถุทางเรขาคณิตต่างๆ เช่น เส้นตรงสองเส้น

สมการประเภทที่สองที่เราจะพิจารณาเป็นเส้นตรงเรียกว่าสมการทั่วไป ในอวกาศ แบบฟอร์มนี้มาจากสมการทั่วไปของระนาบสองระนาบ บนเครื่องบินมีรูปแบบดังนี้:

A × x + B × y + C = 0

เมื่อทำการพล็อตมักจะเขียนขึ้นโดยอาศัย x / y นั่นคือ:

y = -A / B × x +(-C / B)

ในที่นี้ ระยะอิสระ -C / B สอดคล้องกับพิกัดของจุดตัดของเส้นที่มีแกน y และสัมประสิทธิ์ -A / B สัมพันธ์กับมุมเอียงของเส้นกับแกน x

แนวคิดของระยะห่างระหว่างเส้นกับจุด

เมื่อจัดการกับสมการแล้ว คุณสามารถดำเนินการตอบคำถามโดยตรงเกี่ยวกับวิธีการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งเป็นเส้นตรง ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 โรงเรียนเริ่มพิจารณาปัญหานี้โดยกำหนดมูลค่าที่เหมาะสม

ระยะห่างระหว่างเส้นกับจุดคือความยาวของส่วนที่ตั้งฉากกับเส้นนี้ ซึ่งถูกละไว้จากจุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา รูปด้านล่างแสดงเส้น r และจุด A เส้นสีน้ำเงินแสดงส่วนที่ตั้งฉากกับเส้น r ความยาวของมันคือระยะทางที่ต้องการ

กรณี 2D ถูกแสดงไว้ที่นี่ อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของระยะทางนี้ใช้ได้กับปัญหา 3D ด้วย

สูตรที่จำเป็น

ขึ้นอยู่กับรูปแบบที่เขียนสมการของเส้นตรงและในพื้นที่ใดที่ปัญหากำลังได้รับการแก้ไข สามารถให้สูตรพื้นฐานสองสูตรที่ตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด

ระบุจุดที่รู้จักด้วยสัญลักษณ์ P 2 . หากให้สมการของเส้นตรงอยู่ในรูปเวกเตอร์ ดังนั้นสำหรับระยะห่าง d ระหว่างวัตถุที่อยู่ในการพิจารณา สูตรจะถูกต้อง:

d = || / |v¯|

นั่นคือเพื่อกำหนด d เราควรคำนวณโมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์โดยตรง v¯ และเวกเตอร์ P 1 P 2 ¯ ซึ่งจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดใดก็ได้ P 1 บนเส้นและจุดสิ้นสุดคือ ที่จุด P 2 แล้วหารโมดูลนี้ด้วยความยาว v ¯ สูตรนี้เป็นสูตรสากลสำหรับพื้นที่ราบและสามมิติ

หากพิจารณาปัญหาบนระนาบในระบบพิกัด xy และให้สมการของเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป สูตรต่อไปนี้จะให้คุณหาระยะทางจากเส้นตรงไปยังจุดได้ดังนี้

เส้นตรง: A × x + B × y + C = 0;

จุด: P 2 (x 2; y 2; z 2);

ระยะทาง: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

สูตรข้างต้นค่อนข้างง่าย แต่การใช้งานถูกจำกัดโดยเงื่อนไขที่ระบุไว้ข้างต้น

พิกัดการฉายภาพจุดบนเส้นตรงและระยะทาง

คุณยังสามารถตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งเป็นเส้นตรงได้ด้วยวิธีอื่นที่ไม่เกี่ยวข้องกับการท่องจำสูตรข้างต้น วิธีนี้ประกอบด้วยการกำหนดจุดบนเส้นตรงซึ่งเป็นการฉายภาพของจุดเดิม

สมมติว่ามีจุด M และเส้น r การฉายภาพบน r ของจุด M สอดคล้องกับบางจุด M 1 ระยะทางจาก M ถึง r เท่ากับความยาวของเวกเตอร์ MM 1 ¯

จะหาพิกัดของ M 1 ได้อย่างไร ? ง่ายมาก. พอจำได้ว่าเวกเตอร์เส้น v¯ จะตั้งฉากกับ MM 1 ¯ นั่นคือผลคูณของสเกลาร์ต้องเท่ากับศูนย์ บวกกับความจริงที่ว่าพิกัด M 1 ต้องเป็นไปตามสมการของเส้นตรง r เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นอย่างง่าย จากการแก้ปัญหาจะได้พิกัดของการฉายภาพจุด M ไปยัง r

วิธีการที่อธิบายในย่อหน้านี้ในการค้นหาระยะทางจากเส้นหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งสามารถใช้สำหรับระนาบและช่องว่างได้ แต่การประยุกต์ใช้ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับสมการเวกเตอร์สำหรับเส้นนั้น

งานบนเครื่องบิน

ตอนนี้ได้เวลาแสดงวิธีใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอเพื่อแก้ปัญหาจริง สมมติว่าจุด M(-4; 5) ถูกกำหนดบนเครื่องบิน จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุด M ถึงเส้นตรง ซึ่งอธิบายโดยสมการทั่วไป:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

นั่นคือ M ไม่นอนบนเส้น

เนื่องจากสมการของเส้นตรงไม่ได้ให้ในรูปแบบทั่วไป เราจึงย่อให้เป็นแบบนั้นเพื่อให้สามารถใช้สูตรที่สอดคล้องกันได้ เราจึงมี:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่รู้จักลงในสูตรสำหรับ d:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

งานในอวกาศ

พิจารณากรณีนี้ในอวกาศ ให้เส้นตรงอธิบายโดยสมการต่อไปนี้:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

ระยะทางจากจุดนั้นถึงจุด M(0; 2; -3) คืออะไร?

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ เราตรวจสอบว่า M อยู่ในบรรทัดที่กำหนดหรือไม่ ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่พิกัดลงในสมการแล้วเขียนใหม่อย่างชัดเจน:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

เนื่องจากได้พารามิเตอร์ต่าง ๆ α ดังนั้น M จึงไม่อยู่บนบรรทัดนี้ ตอนนี้เราคำนวณระยะทางจากมันถึงเส้นตรง

ในการใช้สูตรสำหรับ d ให้ใช้จุดใดก็ได้บนเส้น ตัวอย่างเช่น P(1; -1; 0) จากนั้น:

ให้เราคำนวณผลคูณระหว่าง PM¯ และเส้น v¯ เราได้รับ:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

ตอนนี้เราแทนที่โมดูลของเวกเตอร์ที่พบและเวกเตอร์ v¯ ลงในสูตรสำหรับ d เราจะได้:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

คำตอบนี้สามารถหาได้โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ในปัญหานี้และปัญหาก่อนหน้านี้ ค่าที่คำนวณได้ของระยะทางจากเส้นไปยังจุดจะแสดงในหน่วยของระบบพิกัดที่สอดคล้องกัน

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ในเรขาคณิตเชิงพรรณนา จะกำหนดแบบกราฟิกตามอัลกอริธึมด้านล่าง

อัลกอริทึม

1. เส้นตรงจะถูกโอนไปยังตำแหน่งที่จะขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้วิธีการแปลงของการฉายภาพมุมฉาก
2. วาดเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง โครงสร้างนี้ใช้ทฤษฎีบทการฉายภาพมุมฉาก
3. ความยาวของเส้นตั้งฉากถูกกำหนดโดยการแปลงการฉายภาพหรือใช้วิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปต่อไปนี้แสดงภาพวาดที่ซับซ้อนของจุด M และเส้น b ที่กำหนดโดยซีดีส่วนของเส้น คุณต้องหาระยะห่างระหว่างพวกเขา

ตามอัลกอริทึมของเรา สิ่งแรกที่ต้องทำคือย้ายเส้นไปยังตำแหน่งที่ขนานกับระนาบการฉาย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลังจากการแปลง ระยะห่างจริงระหว่างจุดกับเส้นไม่ควรเปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้จึงสะดวกที่จะใช้วิธีการเปลี่ยนเครื่องบินที่นี่ ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของหุ่นในอวกาศ

ผลลัพธ์ของขั้นตอนแรกของการก่อสร้างแสดงไว้ด้านล่าง รูปแสดงให้เห็นว่ามีการนำระนาบด้านหน้าเพิ่มเติม P 4 ขนานกับ b อย่างไร ในระบบใหม่ (P 1 , P 4) จุด C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 อยู่ห่างจากแกน X 1 เท่ากับ C"", D"", M"" จากแกน แกน x

ดำเนินการในส่วนที่สองของอัลกอริทึมจาก M"" 1 เราลดแนวตั้งฉาก M"" 1 N"" 1 ถึงเส้น b"" 1 เนื่องจากมุมฉาก MND ระหว่าง b และ MN ถูกฉายบนระนาบ P 4 ใน ขนาดเต็ม เรากำหนดตำแหน่งของจุด N" ตามเส้นการสื่อสารและวาดเส้นโครง M"N" ของส่วน MN

ในขั้นตอนสุดท้าย จำเป็นต้องกำหนดค่าของเซ็กเมนต์ MN โดยประมาณการ M"N" และ M"" 1 N"" 1 . ในการทำเช่นนี้ เราสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก M"" 1 N"" 1 N 0 ซึ่งขา N"" 1 N 0 เท่ากับความแตกต่าง (YM 1 - YN 1) ของการลบจุด M " และ N" จากแกน X 1 ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก M"" 1 N 0 ของสามเหลี่ยม M"" 1 N"" 1 N 0 สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการจาก M ถึง b

วิธีที่สองในการแก้ปัญหา

• ขนานกับซีดี เราแนะนำระนาบหน้าผากใหม่ П 4 . มันตัด P 1 ตามแกน X 1 และ X 1 ∥C"D" ตามวิธีการเปลี่ยนเครื่องบินเรากำหนดเส้นโครงของจุด C "" 1, D"" 1 และ M"" 1 ดังแสดงในรูป
• ตั้งฉากกับ C "" 1 D "" 1 เราสร้างระนาบแนวนอนเพิ่มเติม P 5 ซึ่งเส้นตรง b ถูกฉายไปยังจุด C" 2 \u003d b" 2
• ระยะห่างระหว่างจุด M และเส้นตรง b ถูกกำหนดโดยความยาวของส่วน M "2 C" 2 ที่มีเครื่องหมายสีแดง

งานที่เกี่ยวข้อง:

พิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีการวิเคราะห์เพื่อหาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นตรงที่กำหนดบนระนาบเมื่อทำการแก้ตัวอย่าง

ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง:

ก่อนอื่นมาแก้ปัญหาด้วยวิธีแรกกัน

ในเงื่อนไขของปัญหา เราได้รับสมการทั่วไปของเส้นตรง a ของรูปแบบ:

มาหาสมการทั่วไปของเส้น b ซึ่งผ่านจุดที่กำหนดในแนวตั้งฉากกับเส้นตรง:

เนื่องจากเส้น b ตั้งฉากกับเส้น a เวกเตอร์ทิศทางของเส้น b เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นที่กำหนด:

นั่นคือเวกเตอร์ทิศทางของเส้น b มีพิกัด ตอนนี้ เราสามารถเขียนสมการบัญญัติของเส้น b บนระนาบ เนื่องจากเราทราบพิกัดของจุด M 1 ที่เส้น b ผ่าน และพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้น b:

จากสมการมาตรฐานที่ได้รับของเส้นตรง b เราส่งผ่านไปยังสมการทั่วไปของเส้นตรง:

ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดตัดของเส้น a กับ b กัน (ให้แทนค่า H 1) โดยการแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการทั่วไปของเส้น a และ b (ถ้าจำเป็น ให้อ้างอิงถึงระบบการแก้บทความ ของสมการเชิงเส้น):

ดังนั้นจุด H 1 มีพิกัด

มันยังคงคำนวณระยะทางที่ต้องการจากจุด M 1 ถึงเส้นตรง a เป็นระยะห่างระหว่างจุดและ:

วิธีที่สองในการแก้ปัญหา

เราได้สมการปกติของเส้นที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณค่าของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานและคูณทั้งสองส่วนของสมการทั่วไปดั้งเดิมของเส้นตรงด้วย:

(เราพูดถึงเรื่องนี้ในหัวข้อการนำสมการทั่วไปของเส้นตรงให้อยู่ในรูปปกติ)

ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานเท่ากับ

แล้วสมการตั้งฉากของเส้นตรงจะมีรูปแบบดังนี้

ตอนนี้เราใช้นิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการปกติที่เป็นผลลัพธ์ของเส้นตรง และคำนวณค่าสำหรับ:

ระยะทางที่ต้องการจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นตรงที่กำหนด:

เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของค่าที่ได้รับ นั่นคือ ห้า ()

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง:

เห็นได้ชัดว่าข้อดีของวิธีการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นตรงในระนาบโดยใช้สมการปกติของเส้นตรงนั้นเป็นงานคำนวณในปริมาณที่ค่อนข้างน้อย ในทางกลับกัน วิธีแรกในการค้นหาระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งนั้นทำได้โดยสัญชาตญาณและแยกแยะด้วยความสม่ำเสมอและตรรกะ

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy ได้รับการแก้ไขบนระนาบโดยให้จุดและเส้นตรง:

หาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นที่กำหนด

วิธีแรก.

คุณสามารถเปลี่ยนจากสมการของเส้นตรงที่มีความชันเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรงนี้ และดำเนินการในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น

แต่คุณสามารถทำได้แตกต่างกัน

เรารู้ว่าผลคูณของความชันของเส้นตั้งฉากเท่ากับ 1 (ดูบทความ เส้นตั้งฉาก ความตั้งฉากของเส้น) ดังนั้น ความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด:

เท่ากับ 2 จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดและผ่านจุดหนึ่งจะมีรูปแบบดังนี้

ทีนี้ลองหาพิกัดของจุด H 1 - จุดตัดของเส้นกัน:

ดังนั้นระยะทางที่ต้องการจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรง:

เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดและ:

วิธีที่สอง

ลองย้ายจากสมการของเส้นตรงที่มีความชันเป็นสมการปกติของเส้นตรงนี้:

ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเท่ากับ:

ดังนั้น สมการตั้งฉากของเส้นตรงที่กำหนดจึงมีรูปแบบดังนี้

ตอนนี้เราคำนวณระยะทางที่ต้องการจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง:

คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง:

และถึงเส้นตรง:

เราได้สมการปกติของเส้นตรง:

ตอนนี้คำนวณระยะทางจากจุดไปยังเส้น:

Normalizing factor สำหรับสมการเส้นตรง:

เท่ากับ 1 แล้วสมการตั้งฉากของเส้นนี้มีรูปแบบดังนี้

ตอนนี้เราสามารถคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งได้:

มันเท่ากัน

คำตอบ: และ 5.

โดยสรุป เราจะพิจารณาแยกกันว่าระยะทางจากจุดที่กำหนดของระนาบไปยังเส้นพิกัด Ox และ Oy นั้นพบได้อย่างไร

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy เส้นพิกัด Oy ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้น x=0 และเส้นพิกัด Ox ถูกกำหนดโดยสมการ y=0 สมการเหล่านี้เป็นสมการปกติของเส้น Oy และ Ox ดังนั้นระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นเหล่านี้จึงคำนวณโดยสูตร:

ตามลำดับ

รูปที่ 5

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy ถูกนำมาใช้บนเครื่องบิน หาระยะทางจากจุดไปยังเส้นพิกัด

ระยะทางจากจุดที่กำหนด M 1 ถึงเส้นพิกัด Ox (กำหนดโดยสมการ y=0) เท่ากับโมดูลของพิกัดของจุด M 1 นั่นคือ

ระยะทางจากจุดที่กำหนด M 1 ถึงเส้นพิกัด Oy (สอดคล้องกับสมการ x=0) เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ abscissa ของจุด M 1: .

คำตอบ: ระยะทางจากจุด M 1 ถึงเส้น Ox คือ 6 และระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังเส้นพิกัด Oy มีค่าเท่ากัน

ในบทความนี้ คุณและฉันจะเริ่มต้นการสนทนาเกี่ยวกับ "ไม้เท้าวิเศษ" หนึ่งอันที่จะช่วยให้คุณลดปัญหามากมายในเรขาคณิตเป็นเลขคณิตอย่างง่าย “ไม้กายสิทธิ์” นี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณรู้สึกไม่ปลอดภัยในการสร้างร่างอวกาศ ส่วนต่างๆ ฯลฯ ทั้งหมดนี้ต้องใช้จินตนาการและทักษะเชิงปฏิบัติ วิธีการที่เราจะเริ่มพิจารณาในที่นี้จะช่วยให้คุณสรุปได้เกือบทั้งหมดจากโครงสร้างทางเรขาคณิตและการให้เหตุผลทุกประเภท วิธีการนี้เรียกว่า "วิธีการประสานงาน". ในบทความนี้ เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

1. พิกัดเครื่องบิน
2. จุดและเวกเตอร์บนเครื่องบิน
3. การสร้างเวกเตอร์จากสองจุด
4. ความยาวเวกเตอร์ (ระยะห่างระหว่างสองจุด)​
5. พิกัดจุดกึ่งกลาง
6. ผลคูณดอทของเวกเตอร์​
7. มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ฉันคิดว่าคุณเดาแล้วว่าทำไมวิธีพิกัดจึงถูกเรียกว่า? มันเป็นความจริงที่มีชื่อดังกล่าว เนื่องจากมันไม่ได้ทำงานกับวัตถุเรขาคณิต แต่มีลักษณะเชิงตัวเลข (พิกัด) และการแปลงเองซึ่งทำให้สามารถย้ายจากเรขาคณิตเป็นพีชคณิตได้นั้นประกอบด้วยการแนะนำระบบพิกัด หากรูปต้นฉบับเป็นแบบแบน พิกัดจะเป็นแบบสองมิติ และถ้ารูปนั้นเป็นแบบสามมิติ พิกัดจะเป็นแบบสามมิติ ในบทความนี้เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีสองมิติเท่านั้น และจุดประสงค์หลักของบทความนี้คือเพื่อสอนวิธีใช้เทคนิคพื้นฐานบางประการของวิธีการพิกัด (บางครั้งอาจมีประโยชน์เมื่อแก้ปัญหาในการวัดระดับระนาบในส่วน B ของการสอบ Unified State) สองส่วนต่อไปนี้ในหัวข้อนี้มีไว้สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา C2 (ปัญหาของสเตอริโอเมทรี)

จะเริ่มอภิปรายวิธีการประสานงานที่ไหน น่าจะเป็นด้วยแนวคิดของระบบพิกัด จำไว้เมื่อคุณพบเธอครั้งแรก สำหรับฉันดูเหมือนว่าในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อคุณเรียนรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นต้น ฉันขอเตือนคุณว่าคุณสร้างมันทีละจุด คุณจำได้ไหม? คุณเลือกหมายเลขที่ต้องการ แทนที่ลงในสูตรแล้วคำนวณด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่น if แล้ว if ดังนั้น เป็นต้น ผลลัพธ์ที่ได้คืออะไร? และคุณได้รับคะแนนพร้อมพิกัด: และ. จากนั้นคุณวาด "กากบาท" (ระบบพิกัด) เลือกมาตราส่วนบนนั้น (จำนวนเซลล์ที่คุณจะมีเป็นส่วนเดียว) และทำเครื่องหมายจุดที่คุณได้รับบนนั้นซึ่งคุณเชื่อมต่อกับเส้นตรงซึ่งเป็นเส้นผลลัพธ์ คือกราฟของฟังก์ชัน

มีบางสิ่งที่ต้องอธิบายให้คุณฟังอย่างละเอียดมากขึ้น:

1. คุณเลือกส่วนเดียวเพื่อความสะดวกเพื่อให้ทุกอย่างเข้ากันได้ดีในภาพ

2. สันนิษฐานว่าแกนไปจากซ้ายไปขวา และแกนไปจากล่างขึ้นบน

3. ตัดกันเป็นมุมฉากและจุดตัดเรียกว่าจุดกำเนิด มันถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร

4. ในบันทึกพิกัดของจุด ตัวอย่างเช่น ทางซ้ายในวงเล็บคือพิกัดของจุดตามแกน และทางด้านขวา ตามแกน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความง่ายๆ ว่า จุด

5. ในการตั้งจุดใดๆ บนแกนพิกัด คุณต้องระบุพิกัด (2 ตัวเลข)

6. สำหรับจุดใด ๆ ที่วางอยู่บนแกน

7. สำหรับจุดใด ๆ ที่วางอยู่บนแกน

8. แกนเรียกว่าแกน x

9. แกนเรียกว่าแกน y

ตอนนี้ ไปขั้นตอนต่อไปกับคุณ: ทำเครื่องหมายสองจุด เชื่อมต่อจุดทั้งสองนี้ด้วยเส้น และลองวางลูกศรราวกับว่าเรากำลังวาดส่วนจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง นั่นคือ เราจะกำหนดส่วนของเราให้ตรง!

จำชื่ออื่นสำหรับส่วนกำกับได้หรือไม่? ถูกต้อง เรียกว่าเวกเตอร์!

ดังนั้น หากเราเชื่อมจุดกับจุด และจุดเริ่มต้นจะเป็นจุด A และจุดสิ้นสุดจะเป็นจุด Bแล้วเราจะได้เวกเตอร์ คุณยังสร้างสิ่งนี้ในเกรด 8 จำได้ไหม?

ปรากฎว่าเวกเตอร์เช่นจุดสามารถเขียนแทนด้วยตัวเลขสองตัว: ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ คำถาม: คุณคิดว่าการรู้พิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์นั้นเพียงพอสำหรับเราหรือไม่ที่จะหาพิกัดของมัน ปรากฎว่าใช่! และทำได้ง่ายมาก:

ดังนั้น เนื่องจากในเวกเตอร์ จุดคือจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด เวกเตอร์จึงมีพิกัดดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วพิกัดของเวกเตอร์

ทีนี้ลองทำตรงกันข้าม หาพิกัดของเวกเตอร์กัน เราต้องเปลี่ยนแปลงอะไรในเรื่องนี้? ใช่ คุณต้องสลับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: ตอนนี้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะอยู่ที่จุดหนึ่ง และสิ้นสุดที่จุดหนึ่ง แล้ว:

ดูให้ดีว่าเวกเตอร์กับเวกเตอร์ต่างกันอย่างไร? ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวของพวกเขาคือสัญญาณในพิกัด พวกเขาอยู่ตรงข้าม ข้อเท็จจริงนี้เขียนดังนี้:

บางครั้ง หากไม่ได้ระบุอย่างเฉพาะเจาะจงว่าจุดใดเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และจุดสิ้นสุด เวกเตอร์นั้นไม่ได้แสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว แต่เป็นตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น เป็นต้น

ตอนนี้เล็กน้อย ฝึกฝนและหาพิกัดของเวกเตอร์ต่อไปนี้

การตรวจสอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหายากขึ้นเล็กน้อย:

พรูเวกเตอร์ที่มีเศษซากที่จุดมีความสอดคล้องกันกับคุณ ค้นหาจุด abs-cis-su

ทั้งหมดนั้นค่อนข้างธรรมดา: ให้ เป็นพิกัดของจุด แล้ว

ฉันรวบรวมระบบโดยกำหนดว่าพิกัดของเวกเตอร์คืออะไร จากนั้นจุดจะมีพิกัด เรามีความสนใจใน abscissa แล้ว

ตอบ:

คุณสามารถทำอะไรกับเวกเตอร์ได้อีก? ใช่ เกือบทุกอย่างเหมือนกับตัวเลขธรรมดา (ยกเว้นว่าคุณไม่สามารถหารได้ แต่คุณสามารถคูณได้สองวิธี ซึ่งเราจะพูดถึงที่นี่ในภายหลังเล็กน้อย)

1. เวกเตอร์สามารถซ้อนกันได้
2. เวกเตอร์สามารถลบออกจากกัน
3. เวกเตอร์สามารถคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์โดยพลการ
4. เวกเตอร์สามารถคูณกันได้

การดำเนินการทั้งหมดนี้มีการแสดงทางเรขาคณิตที่ค่อนข้างชัดเจน ตัวอย่างเช่น กฎสามเหลี่ยม (หรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน) สำหรับการบวกและการลบ:

เวกเตอร์ยืดหรือหดหรือเปลี่ยนทิศทางเมื่อคูณหรือหารด้วยตัวเลข:

อย่างไรก็ตาม เราจะมาสนใจคำถามที่ว่าเกิดอะไรขึ้นกับพิกัด

1. เมื่อบวก (ลบ) เวกเตอร์สองตัว เราจะบวก (ลบ) องค์ประกอบพิกัดของพวกมันทีละองค์ประกอบ เช่น:

2. เมื่อคูณ (หาร) เวกเตอร์ด้วยตัวเลข พิกัดทั้งหมดจะถูกคูณ (หาร) ด้วยตัวเลขนี้:

ตัวอย่างเช่น:

· ค้นหาผลรวมของ ko-or-di-nat ศตวรรษต่อรา

เรามาหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวกันก่อน ทั้งสองมีต้นกำเนิดเดียวกัน - จุดกำเนิด ปลายของพวกเขาแตกต่างกัน แล้ว, . ตอนนี้เราคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ผลลัพธ์จะเท่ากับ

ตอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวคุณเอง:

· ค้นหาผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์

เราตรวจสอบ:

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: เรามีจุดสองจุดบนระนาบพิกัด จะหาระยะห่างระหว่างพวกเขาได้อย่างไร? ให้จุดแรกเป็นและจุดที่สอง แสดงว่าระยะห่างระหว่างพวกเขาเป็น . ลองทำรูปวาดต่อไปนี้เพื่อความชัดเจน:

ฉันทำอะไรลงไป? ประการแรกฉันเชื่อมต่อจุดและวาดเส้นขนานกับแกนจากจุดและลากเส้นขนานกับแกนจากจุด พวกเขาตัดกันที่จุดหนึ่งเพื่อสร้างร่างที่ยอดเยี่ยมหรือไม่? ทำไมเธอถึงยอดเยี่ยม ใช่ คุณกับฉันเกือบจะรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว แน่นอน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ส่วนที่ต้องการคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้ และส่วนคือขา พิกัดของจุดคืออะไร? ใช่ หาได้ง่ายจากภาพ: เนื่องจากส่วนต่างๆ ขนานกับแกน และตามลำดับ ความยาวของพวกมันจึงหาได้ง่าย: หากเราแสดงความยาวของส่วนต่างๆ ตามลำดับ ผ่าน แล้ว

ทีนี้ ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน เรารู้ความยาวของขา เราจะพบด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือผลรวมรากของผลต่างกำลังสองจากพิกัด หรือ - ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อกัน สังเกตได้ง่ายว่าระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทาง แล้ว:

จากนี้เราได้ข้อสรุปสามประการ:

มาฝึกการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดกัน:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว ระยะห่างระหว่าง และ คือ

หรือต่างออกไป: หาพิกัดของเวกเตอร์

และหาความยาวของเวกเตอร์:

อย่างที่คุณเห็นมันเหมือนกัน!

ตอนนี้ฝึกฝนเล็กน้อยด้วยตัวคุณเอง:

ภารกิจ: ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด:

เราตรวจสอบ:

ต่อไปนี้คือปัญหาอีกสองสามข้อสำหรับสูตรเดียวกัน แม้ว่าจะฟังดูแตกต่างกันเล็กน้อย:

1. หาค่ากำลังสองของความยาวของเปลือกตาถึงรา

2. นัยน์ตาสี่เหลี่ยมยาวถึงระ

ฉันเดาว่าคุณสามารถจัดการกับพวกเขาได้อย่างง่ายดาย? เราตรวจสอบ:

1. และนี่เพื่อความใส่ใจ) เราเคยพบพิกัดของเวกเตอร์มาก่อนแล้ว: . แล้วเวกเตอร์ก็มีพิกัด กำลังสองของความยาวของมันจะเป็น:

2. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์

แล้วความยาวของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม เลขคณิตง่ายๆ ไม่มีอะไรมาก

ปริศนาต่อไปนี้ไม่สามารถจำแนกได้อย่างชัดเจน ปริศนาเหล่านี้มีไว้สำหรับความรู้ทั่วไปและความสามารถในการวาดภาพง่ายๆ

1. ค้นหาได-ไซน์เหล่านั้นของมุมบน-clo-on-from-cut, ต่อจุดหนึ่ง-n-th-th กับแกน abscissa

และ

เราจะทำอย่างไรที่นี่? คุณต้องหาไซน์ของมุมระหว่างกับแกน และเราจะหาไซน์ได้จากที่ไหน? ถูกแล้ว ในสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วเราต้องทำอย่างไร? สร้างสามเหลี่ยมนี้!

เนื่องจากพิกัดของจุดแล้วส่วนนั้นเท่ากันและส่วนนั้น เราต้องหาไซน์ของมุม ผมขอเตือนคุณว่าไซน์คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้ว

เราเหลืออะไรให้ทำบ้าง? หาด้านตรงข้ามมุมฉาก คุณสามารถทำได้สองวิธี: ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (รู้จักขา!) หรือใช้สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (ที่จริงแล้วเหมือนกับวิธีแรก!) ฉันจะไปทางที่สอง:

ตอบ:

งานต่อไปจะดูง่ายยิ่งขึ้นสำหรับคุณ เธอ - บนพิกัดของจุด

ภารกิจที่ 2จากจุดนั้น per-pen-di-ku-lar จะถูกลดระดับลงบนแกน abs-ciss Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

มาวาดรูปกันเถอะ:

ฐานของเส้นตั้งฉากคือจุดที่มันตัดกับแกน x (แกน) สำหรับฉัน นี่คือจุด จากรูปแสดงว่ามีพิกัด: . เราสนใจ abscissa นั่นคือองค์ประกอบ "X" เธอมีความเท่าเทียมกัน

ตอบ: .

ภารกิจที่ 3ภายใต้เงื่อนไขของปัญหาก่อนหน้า ให้หาผลรวมของระยะทางจากจุดไปยังแกนพิกัด

งานนี้โดยทั่วไปเป็นพื้นฐานถ้าคุณรู้ว่าระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังแกนคืออะไร คุณรู้? ฉันหวังว่า แต่ฉันยังคงเตือนคุณ:

ดังนั้นในภาพวาดของฉันซึ่งอยู่สูงขึ้นเล็กน้อยฉันได้วาดภาพแนวตั้งฉากหนึ่งแล้วหรือยัง มันคือแกนอะไร? ไปที่แกน แล้วความยาวของมันคือเท่าไหร่? เธอมีความเท่าเทียมกัน วาดเส้นตั้งฉากกับแกนด้วยตัวคุณเองแล้วหาความยาวของมัน มันจะเท่ากันไม่ใช่เหรอ? แล้วผลรวมของพวกเขาจะเท่ากัน

ตอบ: .

ภารกิจที่ 4ในเงื่อนไขของปัญหาที่ 2 ให้หาพิกัดของจุดสมมาตรกับจุดรอบแกน x

ฉันคิดว่าคุณเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่าสมมาตรคืออะไร? วัตถุจำนวนมากมีอยู่: อาคารจำนวนมาก โต๊ะ เครื่องบิน รูปทรงเรขาคณิตจำนวนมาก: ลูกบอล ทรงกระบอก สี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ พูดคร่าวๆ สมมาตรสามารถเข้าใจได้ดังนี้: รูปประกอบด้วยสอง (หรือมากกว่า) แบ่งเท่า ๆ กัน ความสมมาตรนี้เรียกว่าแนวแกน แล้วแกนคืออะไร? นี่คือเส้นตรงที่ร่างนั้นสามารถ "ตัด" ออกเป็นครึ่งๆ เดียวกันได้ (ในภาพนี้ แกนสมมาตรจะเป็นเส้นตรง):

ตอนนี้กลับไปที่งานของเรา เรารู้ว่าเรากำลังหาจุดที่สมมาตรเกี่ยวกับแกน แกนนี้เป็นแกนสมมาตร ดังนั้น เราจำเป็นต้องทำเครื่องหมายจุดหนึ่งเพื่อให้แกนตัดส่วนนั้นออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน พยายามทำเครื่องหมายจุดดังกล่าวด้วยตัวเอง ตอนนี้เปรียบเทียบกับโซลูชันของฉัน:

คุณทำเช่นเดียวกันหรือไม่? ดี! ที่จุดพบเราสนใจในพิกัด เธอเท่าเทียมกัน

ตอบ:

ทีนี้ บอกฉันที หลังจากที่คิดอยู่ครู่หนึ่ง แล้ว abscissa ของจุดสมมาตรที่ชี้ A เกี่ยวกับแกน y คืออะไร? คำตอบของคุณคืออะไร? คำตอบที่ถูกต้อง: .

โดยทั่วไป กฎสามารถเขียนได้ดังนี้:

จุดสมมาตรถึงจุดรอบแกน x มีพิกัดดังนี้

จุดสมมาตรถึงจุดรอบแกน y มีพิกัด:

ตอนนี้มันน่ากลัวจริงๆ งาน: ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดซึ่งสัมพันธ์กับจุดกำเนิด คิดเอาเองก่อน แล้วค่อยดูภาพวาดของฉัน!

ตอบ:

ตอนนี้ ปัญหาด้านสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

งาน 5: ประเด็นคือ ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma หาจุดดีเต้หรือดีออนตู

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้สองวิธี: ตรรกะและวิธีพิกัด ฉันจะใช้วิธีพิกัดก่อน จากนั้นฉันจะบอกคุณว่าคุณจะตัดสินใจอย่างอื่นได้อย่างไร

ค่อนข้างชัดเจนว่า abscissa ของจุดนั้นเท่ากัน (อยู่บนเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดไปยังแกน x) เราต้องหาพิกัด ลองใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า ตัวเลขของเราเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่า ค้นหาความยาวของส่วนโดยใช้สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด:

เราลดจุดเชื่อมต่อตั้งฉากกับแกน จุดตัดแสดงด้วยตัวอักษร

ความยาวของส่วนเท่ากัน (ค้นหาปัญหาด้วยตัวเองที่เราพูดถึงในขณะนี้) จากนั้นเราจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ความยาวของส่วนนั้นเท่ากันทุกประการกับการกำหนด

ตอบ: .

วิธีแก้ปัญหาอื่น (ฉันจะให้รูปภาพที่แสดงมันเท่านั้น)

ความคืบหน้าของโซลูชัน:

1. ใช้จ่าย

2. ค้นหาพิกัดจุดและความยาว

3. พิสูจน์ว่า

อีกหนึ่ง ปัญหาความยาวตัด:

ประเด็นคือ-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka หาความยาวของเส้นกึ่งกลางของเขา par-ral-lel-noy

คุณจำได้ไหมว่าเส้นกลางของสามเหลี่ยมคืออะไร? สำหรับคุณแล้ว งานนี้เป็นงานระดับประถมศึกษา หากคุณจำไม่ได้ ฉันจะเตือนคุณว่า เส้นกลางของสามเหลี่ยมคือเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

ฐานเป็นส่วน เราต้องดูความยาวก่อนว่าเท่ากัน จากนั้นความยาวของเส้นกึ่งกลางจะยาวและเท่ากันครึ่งหนึ่ง

ตอบ: .

ความคิดเห็น: ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่งซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง

ในระหว่างนี้ นี่เป็นงานสองสามอย่างสำหรับคุณ ฝึกฝนมัน พวกมันค่อนข้างง่าย แต่ช่วย "เติมเต็มมือของคุณ" โดยใช้วิธีการประสานงาน!

1. คะแนนปรากฏ-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion หาความยาวของเส้นกลาง.

2. คะแนนและ yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma หาจุดดีเต้หรือดีออนตู

3. หาความยาวจากการตัด เชื่อมจุดที่สองและ

4. ค้นหาพื้นที่สำหรับ-the-red-shen-noy fi-gu-ry บนเครื่องบิน ko-or-di-nat-noy

5. วงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่นาชะเล โกออร์ดีแนท ผ่านจุดหนึ่ง ค้นหา-de-te ra-di-mustache ของเธอ

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, อธิบาย-san-noy ใกล้มุมขวา-no-ka, tops-shi-ny ของบางสิ่งบางอย่าง-ro-go มี co-or - di-na-you co-from-reply-but

โซลูชั่น:

1. เป็นที่ทราบกันว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน ฐานเท่ากันแต่ฐาน. แล้ว

ตอบ:

2. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือสังเกตว่า (กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) คำนวณพิกัดของเวกเตอร์และไม่ยาก: . เมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดจะถูกเพิ่ม แล้วมีพิกัด จุดมีพิกัดเหมือนกัน เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เป็นจุดที่มีพิกัด เรามีความสนใจในการประสานงาน เธอมีความเท่าเทียมกัน

ตอบ:

3. เราดำเนินการทันทีตามสูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุด:

ตอบ:

4. ดูภาพแล้วพูดว่า พื้นที่แรเงา "ถูกบีบ" ระหว่างตัวเลขใด? มันถูกประกบระหว่างสองสี่เหลี่ยม จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ต้องการจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ลบด้วยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเล็ก ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กเป็นส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดต่างๆ และมีความยาวเท่ากับ

แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กคือ

เราทำเช่นเดียวกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่: ด้านที่เป็นส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดต่างๆ และความยาวเท่ากับ

แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่คือ

พื้นที่ของตัวเลขที่ต้องการหาได้จากสูตร:

ตอบ:

5. หากวงกลมมีจุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางและผ่านจุดใดจุดหนึ่ง รัศมีของวงกลมจะเท่ากับความยาวของส่วน (วาดรูปแล้วจะเข้าใจว่าทำไมจึงชัดเจน) ค้นหาความยาวของส่วนนี้:

ตอบ:

6. เป็นที่ทราบกันว่ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม หาความยาวของเส้นทแยงมุมสองเส้น (ในสี่เหลี่ยมมันเท่ากัน!)

ตอบ:

คุณจัดการทุกอย่างแล้วเหรอ? มันไม่ยากเลยที่จะคิดออก ใช่ไหม? มีกฎข้อเดียวอยู่ที่นี่ - เพื่อให้สามารถสร้างภาพที่มองเห็นได้และเพียงแค่ "อ่าน" ข้อมูลทั้งหมดจากมัน

เราเหลือน้อยมาก มีอีกสองประเด็นที่ฉันอยากจะพูดถึง

ลองแก้ปัญหาง่ายๆนี้กัน ให้สองคะแนนและได้รับ หาพิกัดตรงกลางเซกเมนต์ วิธีแก้ปัญหามีดังนี้ ให้จุดอยู่ตรงกลางที่ต้องการแล้วมีพิกัด:

เช่น: พิกัดตรงกลางของเซกเมนต์ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดที่สอดคล้องกันของปลายเซกเมนต์

กฎนี้ง่ายมากและมักจะไม่ทำให้นักเรียนลำบาก มาดูกันว่ามีปัญหาอะไรและใช้งานอย่างไร:

1. Find-di-te หรือ-di-na-tu se-re-di-us จากจุดเชื่อมต่อจุดเชื่อมต่อและ

2. คะแนนคือ yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka Find-di-te or-di-na-tu จุด re-re-se-che-niya ของ dia-go-on-lei ของเขา

3. ค้นหา-di-te abs-cis-su ของศูนย์กลางของวงกลม, อธิบาย-san-noy ใกล้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า-no-ka, ยอด-shi- เรามีบางอย่าง-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but

โซลูชั่น:

1. งานแรกเป็นเพียงงานคลาสสิก เราดำเนินการทันทีโดยกำหนดจุดกึ่งกลางของกลุ่ม เธอมีพิกัด พิกัดเท่ากัน

ตอบ:

2. ง่ายที่จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยมที่ให้มานั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แม้กระทั่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน!) คุณสามารถพิสูจน์ได้ด้วยตัวเองโดยการคำนวณความยาวของด้านและเปรียบเทียบกัน ฉันรู้อะไรเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน? เส้นทแยงมุมของมันถูกผ่าครึ่งโดยจุดสี่แยก! อ้า! แล้วจุดตัดของเส้นทแยงมุมคืออะไร? นี่คือจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม! ฉันจะเลือกโดยเฉพาะเส้นทแยงมุม จากนั้นจุดจะมีพิกัด พิกัดของจุด เท่ากับ

ตอบ:

3. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสคืออะไร? มันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของมัน คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบ้าง? เท่ากันและจุดตัดแบ่งครึ่ง ลดงานลงเป็นงานก่อนหน้า ใช้ตัวอย่างเช่นเส้นทแยงมุม แล้วถ้าเป็นจุดศูนย์กลางของวงรอบวง แสดงว่าอยู่ตรงกลาง ฉันกำลังมองหาพิกัด: abscissa เท่ากัน

ตอบ:

ตอนนี้ฝึกฝนด้วยตัวเองเล็กน้อยฉันจะให้คำตอบสำหรับแต่ละปัญหาเพื่อให้คุณตรวจสอบตัวเอง

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, อธิบาย-san-noy ใกล้รูปสามเหลี่ยม-no-ka, ยอดของ someone-ro-go มี ko-or-di -no Misters

2. ค้นหา-di-te หรือ-di-na-tu ศูนย์กลางของวงกลม อธิบาย san-noy ใกล้รูปสามเหลี่ยม-no-ka, tops-shi-we มีพิกัดบางอย่าง-ro-go

๓. รัศมีแบบใดควรมีวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางตรงจุดจนแตะแกน abs-ciss?

4. ค้นหา-di-te หรือ-di-on-จุด re-re-se-che-ing ของแกนและจาก-cut จุดเชื่อมต่อ-nya-yu-th-th และ

คำตอบ:

ทุกอย่างได้ผลหรือไม่? ฉันหวังว่ามันจริงๆ! ตอนนี้ - ดันสุดท้าย ตอนนี้ควรระมัดระวังเป็นพิเศษ เนื้อหาที่ฉันจะอธิบายตอนนี้ไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับปัญหาวิธีการประสานงานอย่างง่ายในส่วน B แต่ยังแพร่หลายในปัญหา C2 ด้วย

ฉันยังไม่ได้รักษาสัญญาใด จำได้ไหมว่าการดำเนินการใดกับเวกเตอร์ที่ฉันสัญญาว่าจะแนะนำและอันไหนที่ฉันแนะนำในที่สุด ฉันแน่ใจว่าฉันไม่ได้ลืมอะไร? ลืม! ฉันลืมอธิบายว่าการคูณเวกเตอร์หมายถึงอะไร

มีสองวิธีในการคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ เราจะได้วัตถุที่มีลักษณะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับวิธีที่เลือก:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ค่อนข้างยุ่งยาก จะทำอย่างไรและเหตุใดจึงจำเป็นเราจะหารือกับคุณในบทความถัดไป และในเรื่องนี้เราจะเน้นที่ผลคูณสเกลาร์

มีสองวิธีที่ทำให้เราคำนวณได้อยู่แล้ว:

อย่างที่คุณเดาผลลัพธ์ควรจะเหมือนกัน! มาดูวิธีแรกกันก่อน:

จุดสินค้าผ่านพิกัด

ค้นหา: - สัญกรณ์ทั่วไปสำหรับ dot product

สูตรการคำนวณมีดังนี้:

นั่นคือผลคูณดอท = ผลรวมของผลิตภัณฑ์พิกัดของเวกเตอร์!

ตัวอย่าง:

Find-dee-te

สารละลาย:

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัว:

เราคำนวณผลคูณสเกลาร์ตามสูตร:

ตอบ:

คุณเห็นไหมว่าไม่มีอะไรซับซ้อนอย่างแน่นอน!

ทีนี้ลองด้วยตัวคุณเอง:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie ศตวรรษสู่คูและ

คุณจัดการหรือไม่ บางทีเขาอาจสังเกตเห็นเคล็ดลับเล็กน้อย? มาตรวจสอบกัน:

พิกัดเวกเตอร์เหมือนในงานที่แล้ว! ตอบ: .

นอกจากพิกัดแล้ว ยังมีอีกวิธีในการคำนวณผลคูณของสเกลาร์ กล่าวคือ ผ่านความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

หมายถึงมุมระหว่างเวกเตอร์กับ

นั่นคือผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ทำไมเราต้องใช้สูตรที่สองนี้ ถ้าเรามีสูตรแรก ซึ่งง่ายกว่ามาก อย่างน้อยก็ไม่มีโคไซน์อยู่ในนั้น และเราต้องการมันเพื่อที่ว่าจากสูตรแรกและสูตรที่สอง เราสามารถอนุมานได้ว่าจะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร!

ให้ แล้ว จำสูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์!

ถ้าฉันเสียบข้อมูลนี้ลงในสูตรดอทผลิตภัณฑ์ ฉันจะได้รับ:

แต่ในทางอื่น:

แล้วเราได้อะไร? ตอนนี้เรามีสูตรคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวแล้ว! บางครั้ง เพื่อความกระชับ ก็เขียนแบบนี้เช่นกัน:

นั่นคืออัลกอริทึมสำหรับการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์มีดังนี้:

1. เราคำนวณผลคูณสเกลาร์ผ่านพิกัด
2. หาความยาวของเวกเตอร์แล้วคูณมัน
3. หารผลลัพธ์ของจุดที่ 1 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 2

มาฝึกกันด้วยตัวอย่าง:

1. หามุมระหว่างเปลือกตากับรัศมี ให้คำตอบเป็นองศา

2. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหาก่อนหน้า ให้หาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์

มาทำสิ่งนี้: ฉันจะช่วยคุณแก้ปัญหาแรก และลองทำปัญหาที่สองด้วยตัวเอง! ตกลง? เริ่มกันเลย!

1. เวกเตอร์เหล่านี้เป็นเพื่อนเก่าของเรา เราได้พิจารณาผลคูณของสเกลาร์แล้วและมีค่าเท่ากัน พิกัดคือ , . จากนั้นเราจะพบความยาวของมัน:

จากนั้นเรากำลังมองหาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมเป็นเท่าไหร่? นี่คือมุม

ตอบ:

ตอนนี้แก้ปัญหาที่สองด้วยตัวคุณเองแล้วเปรียบเทียบ! ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

2. มีพิกัด มีพิกัด

อนุญาต เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์กับ, แล้ว

ตอบ:

ควรสังเกตว่างานโดยตรงบนเวกเตอร์และวิธีการพิกัดในส่วน B ของกระดาษตรวจสอบนั้นค่อนข้างหายาก อย่างไรก็ตาม ปัญหา C2 ส่วนใหญ่สามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยการแนะนำระบบพิกัด ดังนั้นคุณสามารถพิจารณาบทความนี้เป็นพื้นฐานโดยเราจะสร้างโครงสร้างที่ค่อนข้างยุ่งยากซึ่งเราจะต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อน

พิกัดและเวกเตอร์ ระดับกลาง

คุณและฉันศึกษาวิธีการพิกัดต่อไป ในส่วนสุดท้าย เราได้รับสูตรสำคัญหลายประการที่ช่วยให้:

1. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์
2. หาความยาวของเวกเตอร์ (อีกทางหนึ่งคือ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด)
3. บวกลบเวกเตอร์ คูณด้วยจำนวนจริง
4. หาจุดกึ่งกลางของกลุ่ม
5. คำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์
6. หามุมระหว่างเวกเตอร์

แน่นอนว่าวิธีการพิกัดทั้งหมดไม่เข้ากับ 6 จุดเหล่านี้ มันรองรับวิทยาศาสตร์เช่นเรขาคณิตวิเคราะห์ซึ่งคุณจะได้ทำความคุ้นเคยที่มหาวิทยาลัย ฉันแค่ต้องการสร้างรากฐานที่จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ในสถานะเดียว การสอบ. เราค้นพบภารกิจของภาค B แล้ว ตอนนี้ได้เวลาก้าวไปสู่ระดับใหม่เชิงคุณภาพแล้ว! บทความนี้จะกล่าวถึงวิธีการแก้ปัญหา C2 ซึ่งควรเปลี่ยนไปใช้วิธีพิกัดอย่างเหมาะสม ความสมเหตุสมผลนี้กำหนดโดยสิ่งที่ต้องพบในปัญหาและตัวเลขที่ให้มา ดังนั้น ฉันจะใช้วิธีพิกัดหากคำถามคือ:

1. หามุมระหว่างระนาบสองระนาบ
2. หามุมระหว่างเส้นกับระนาบ
3. หามุมระหว่างเส้นสองเส้น
4. หาระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ
5. หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
6. หาระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบ
7. จงหาระยะห่างระหว่างสองเส้น

หากร่างที่กำหนดในสภาพของปัญหาเป็นร่างของการปฏิวัติ (บอล, กระบอก, กรวย ... )

ตัวเลขที่เหมาะสมสำหรับวิธีการพิกัดคือ:

1. ทรงลูกบาศก์
2. พีระมิด (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หกเหลี่ยม)

จากประสบการณ์ของผมด้วย ไม่เหมาะสมที่จะใช้วิธีการประสานงานสำหรับ:

1. การหาพื้นที่ของส่วนต่างๆ
2. การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตทันทีว่าสถานการณ์ "เสียเปรียบ" สามสถานการณ์สำหรับวิธีการประสานงานนั้นค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ ในงานส่วนใหญ่ มันสามารถเป็นผู้กอบกู้ของคุณได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่แข็งแกร่งมากในโครงสร้างสามมิติ (ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน)

ตัวเลขทั้งหมดที่ฉันได้ระบุไว้ข้างต้นมีอะไรบ้าง? พวกมันไม่แบนอีกต่อไปแล้ว เช่น สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม วงกลม แต่ใหญ่โต! ดังนั้น เราต้องไม่พิจารณาว่าไม่ใช่ระบบพิกัดสองมิติ แต่เป็นระบบพิกัดสามมิติ มันถูกสร้างขึ้นค่อนข้างง่าย: นอกจาก abscissa และ ordinates แล้ว เราจะแนะนำแกนอื่น แกน applicate รูปแผนผังแสดงตำแหน่งสัมพัทธ์:

ทั้งหมดตั้งฉากกันโดยตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเราจะเรียกว่าจุดกำเนิด แกน abscissa จะถูกแทนเช่นเดิม แกนพิกัด - และแกนแอ็พพลิเคชั่นที่แนะนำ -

ถ้าก่อนหน้านี้ แต่ละจุดบนเครื่องบินถูกกำหนดด้วยตัวเลขสองตัว - abscissa และ ordinate แต่ละจุดในอวกาศจะถูกอธิบายด้วยตัวเลขสามตัวแล้ว - abscissa, ดิจิตัล, ใบสมัคร ตัวอย่างเช่น:

ดังนั้น abscissa ของจุดจะเท่ากัน, ลำดับคือ และ applicate คือ .

บางครั้งการฉายภาพจุดบนแกน abscissa เรียกอีกอย่างว่าการฉายภาพจุดบนแกน abscissa การกำหนดคือการฉายจุดบนแกน y และโปรแกรมคือการฉายภาพของจุดบนแกน applicate ดังนั้น หากกำหนดจุดนั้น จุดที่มีพิกัด:

เรียกว่าการฉายจุดบนระนาบ

เรียกว่าการฉายจุดบนระนาบ

คำถามที่เป็นธรรมชาติเกิดขึ้น: สูตรทั้งหมดมาจากกรณีสองมิติในอวกาศหรือไม่? คำตอบคือใช่ พวกเขาเป็นเพียงและมีลักษณะเหมือนกัน สำหรับรายละเอียดปลีกย่อย ฉันคิดว่าคุณเดาได้แล้วว่าอันไหน ในทุกสูตร เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งเทอมที่รับผิดชอบแกนของแอปพลิเคชัน กล่าวคือ

1. หากได้รับสองคะแนน: แล้ว:

• พิกัดเวกเตอร์:
• ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (หรือความยาวเวกเตอร์)
• ตรงกลางเซกเมนต์มีพิกัด

2. หากได้รับเวกเตอร์สองตัว: และแล้ว:

• ผลิตภัณฑ์จุดของพวกเขาคือ:
• โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์คือ:

อย่างไรก็ตาม พื้นที่ไม่ง่ายนัก ตามที่คุณเข้าใจ การเพิ่มพิกัดอีกหนึ่งพิกัดจะทำให้เกิดความหลากหลายอย่างมากในสเปกตรัมของตัวเลข "มีชีวิต" ในพื้นที่นี้ และสำหรับการบรรยายเพิ่มเติม ฉันต้องแนะนำ "ลักษณะทั่วไป" ของเส้นตรงที่พูดคร่าวๆ "ลักษณะทั่วไป" นี้จะเป็นเครื่องบิน คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเครื่องบิน? ลองตอบคำถาม เครื่องบินคืออะไร? มันยากมากที่จะพูด อย่างไรก็ตาม เราทุกคนโดยสัญชาตญาณว่าหน้าตาเป็นอย่างไร:

กล่าวโดยคร่าว ๆ นี่เป็น "ใบไม้" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งถูกผลักเข้าสู่อวกาศ "อินฟินิตี้" ควรเข้าใจว่าเครื่องบินขยายออกไปทุกทิศทางนั่นคือพื้นที่ของมันเท่ากับอินฟินิตี้ อย่างไรก็ตาม คำอธิบาย "บนนิ้ว" นี้ไม่ได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับโครงสร้างของเครื่องบินแม้แต่น้อย และเราจะสนใจมัน

มาจดจำสัจพจน์พื้นฐานของเรขาคณิตอย่างใดอย่างหนึ่ง:

• เส้นตรงลากผ่านจุดที่แตกต่างกันสองจุดบนระนาบ ยิ่งกว่านั้น มีเพียงจุดเดียว:

หรืออนาล็อกในอวกาศ:

แน่นอน คุณจำได้ว่าจะหาสมการของเส้นตรงจากจุดที่กำหนดสองจุดได้อย่างไร ซึ่งไม่ยากเลย: หากจุดแรกมีพิกัด และจุดที่สอง สมการของเส้นตรงจะเป็นดังนี้:

คุณผ่านสิ่งนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในอวกาศ สมการของเส้นตรงจะมีลักษณะดังนี้: ให้เรามีสองจุดที่มีพิกัด: จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจะมีรูปแบบดังนี้:

ตัวอย่างเช่น เส้นผ่านจุด:

เรื่องนี้ควรเข้าใจอย่างไร? สิ่งนี้ควรเข้าใจดังนี้: จุดอยู่บนเส้นหากพิกัดเป็นไปตามระบบต่อไปนี้:

เราจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่เราต้องให้ความสนใจกับแนวคิดที่สำคัญมากของเวกเตอร์การกำกับของเส้นตรง - เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นที่กำหนดหรือขนานกับมัน

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ทั้งสองเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง อนุญาต ให้เป็นจุดที่วางอยู่บนเส้นตรง, และเป็นเวกเตอร์กำกับทิศทางของมัน จากนั้นสมการของเส้นตรงสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

อีกครั้ง ผมจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่ผมต้องการให้คุณจำว่าเวกเตอร์ทิศทางคืออะไร! อีกครั้ง: มันคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงหรือขนานกับมัน

ถอน สมการสามจุดของระนาบไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยอีกต่อไป และมักจะไม่ครอบคลุมในหลักสูตรระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย แต่เปล่าประโยชน์! เทคนิคนี้มีความสำคัญเมื่อเราใช้วิธีพิกัดเพื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ฉันคิดว่าคุณเต็มไปด้วยความปรารถนาที่จะเรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ หรือไม่? นอกจากนี้ คุณจะสามารถสร้างความประทับใจให้อาจารย์ที่มหาวิทยาลัยได้ เมื่อปรากฏว่าคุณรู้วิธีใช้เทคนิคที่มักจะศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์อยู่แล้ว มาเริ่มกันเลยดีกว่า

สมการระนาบไม่ต่างจากสมการเส้นตรงบนระนาบมากนัก กล่าวคือ มีรูปแบบดังนี้

ตัวเลขบางตัว (ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด) แต่เป็นตัวแปร เช่น เป็นต้น อย่างที่คุณเห็น สมการของระนาบไม่แตกต่างจากสมการของเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) มากนัก อย่างไรก็ตาม จำสิ่งที่เราโต้เถียงกับคุณได้ไหม เราบอกว่าถ้าเรามีจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว สมการของระนาบก็จะกลับคืนมาอย่างเฉพาะตัวจากจุดเหล่านั้น แต่อย่างไร ฉันจะพยายามอธิบายให้คุณฟัง

เนื่องจากสมการระนาบคือ:

และจุดต่าง ๆ เป็นของระนาบนี้ เมื่อแทนพิกัดของแต่ละจุดเป็นสมการระนาบ เราควรจะได้เอกลักษณ์ที่ถูกต้อง:

ดังนั้นจึงมีความจำเป็นต้องแก้สมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่แล้ว! ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออก! อย่างไรก็ตาม เราสามารถสรุปได้เสมอว่า (สำหรับสิ่งนี้เราต้องหารด้วย) ดังนั้นเราจึงได้สมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า:

อย่างไรก็ตาม เราจะไม่แก้ระบบดังกล่าว แต่เขียนนิพจน์ที่เป็นความลับที่ตามมาจากนั้น:

สมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

\"ซ้าย| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

หยุด! นี่อะไรอีก? โมดูลที่ผิดปกติมาก! อย่างไรก็ตาม วัตถุที่คุณเห็นต่อหน้าคุณไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับโมดูลนี้ ออบเจ็กต์นี้เรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม จากนี้ไป เมื่อคุณจัดการกับวิธีพิกัดบนเครื่องบิน คุณมักจะเจอดีเทอร์มิแนนต์เหล่านี้ ดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามคืออะไร? น่าแปลกที่มันเป็นเพียงตัวเลข ยังคงต้องเข้าใจว่าเราจะเปรียบเทียบจำนวนใดกับดีเทอร์มีแนนต์

ก่อนอื่นเรามาเขียนดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามในรูปแบบทั่วไปกันก่อน:

มีเบอร์ไหน. นอกจากนี้ โดยดัชนีแรก เราหมายถึงหมายเลขแถว และโดยดัชนี - หมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น หมายความว่าตัวเลขที่ระบุอยู่ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์ที่สาม เรามาตั้งคำถามกัน: เราจะคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ได้อย่างไร? นั่นคือเราจะเปรียบเทียบตัวเลขเฉพาะกับอะไร? สำหรับดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่สามอย่างแม่นยำ มีกฎรูปสามเหลี่ยมฮิวริสติก (ภาพ) มีลักษณะดังนี้:

1. ผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงหลัก (จากบนซ้ายไปล่างขวา) ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉาก" กับแนวทแยงหลัก ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉาก" กับหลัก เส้นทแยงมุม
2. ผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงทุติยภูมิ (จากขวาบนไปซ้ายล่าง) ผลคูณขององค์ประกอบที่ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉาก" ถึงเส้นทแยงมุมรอง ผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉาก" ถึง เส้นทแยงมุมรอง
3. จากนั้นดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับผลต่างระหว่างค่าที่ได้รับในขั้นตอนและ

ถ้าเราเขียนทั้งหมดนี้เป็นตัวเลข เราก็จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องจำวิธีการคำนวณในแบบฟอร์มนี้ แค่เก็บสามเหลี่ยมไว้ในหัวและให้คิดว่าอะไรถูกบวกเข้าไป แล้วอะไรจะถูกหักออกจากอะไร)

ลองอธิบายวิธีสามเหลี่ยมด้วยตัวอย่าง:

1. คำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

ลองหาสิ่งที่เราเพิ่มและสิ่งที่เราลบ:

คำศัพท์ที่มาพร้อมกับ "บวก":

นี่คือเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

เราเพิ่มตัวเลขสามตัว:

คำศัพท์ที่มาพร้อมกับ "ลบ"

นี่คือเส้นทแยงมุม: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมแรก "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมรอง: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

สามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมรอง: ผลคูณขององค์ประกอบคือ

เราเพิ่มตัวเลขสามตัว:

สิ่งที่ต้องทำคือลบผลบวกของเทอมบวกกับผลบวกลบ:

ทางนี้,

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนและเหนือธรรมชาติในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม สิ่งสำคัญคือต้องจำเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและอย่าทำผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ ตอนนี้ลองคำนวณตัวเอง:

เราตรวจสอบ:

1. สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
2. สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
3. ผลรวมของเงื่อนไขบวก:
4. สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับแนวทแยงด้าน:
5. สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับแนวทแยงด้าน:
6. ผลรวมของเทอมที่มีเครื่องหมายลบ:
7. ผลรวมของเทอมบวกลบผลบวกลบเทอม:

ต่อไปนี้เป็นตัวกำหนดอีกสองสามตัวสำหรับคุณ คำนวณค่าของพวกมันด้วยตัวเองและเปรียบเทียบกับคำตอบ:

คำตอบ:

ดีทุกอย่างตรงกันหรือไม่? ดีมาก แล้วไปต่อได้! หากมีปัญหา คำแนะนำของฉันคือ: บนอินเทอร์เน็ตมีโปรแกรมมากมายสำหรับคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ออนไลน์ สิ่งที่คุณต้องมีคือสร้างดีเทอร์มีแนนต์ของคุณเอง คำนวณด้วยตัวเอง แล้วเปรียบเทียบกับสิ่งที่โปรแกรมคำนวณ ไปเรื่อยๆ จนกว่าผลการแข่งขันจะเริ่มตรงกัน ฉันแน่ใจว่าช่วงเวลานี้จะไม่นานมานี้!

ทีนี้ กลับไปที่ดีเทอร์มีแนนต์ที่ผมเขียนไว้ตอนที่พูดถึงสมการระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด:

สิ่งที่คุณต้องทำคือคำนวณค่าของมันโดยตรง (โดยใช้วิธีสามเหลี่ยม) และตั้งค่าผลลัพธ์ให้เท่ากับศูนย์ โดยธรรมชาติแล้ว เนื่องจากพวกมันเป็นตัวแปร คุณจะได้นิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับพวกมัน นิพจน์นี้จะเป็นสมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว!

มาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ กัน:

1. สร้างสมการระนาบผ่านจุด

เราเขียนดีเทอร์มีแนนต์สำหรับสามจุดเหล่านี้:

ลดความซับซ้อน:

ตอนนี้เราคำนวณโดยตรงตามกฎของสามเหลี่ยม:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

ดังนั้น สมการของระนาบที่ผ่านจุดคือ

ตอนนี้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเองแล้วเราจะพูดถึงเรื่องนี้:

2. หาสมการระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

ทีนี้มาพูดถึงวิธีแก้ปัญหากันตอนนี้:

เราสร้างดีเทอร์มีแนนต์:

และคำนวณมูลค่าของมัน:

จากนั้นสมการของระนาบจะมีรูปแบบดังนี้

หรือลดลงโดยเราได้รับ:

ตอนนี้มีสองงานสำหรับการควบคุมตนเอง:

1. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านสามจุด:

คำตอบ:

ทุกอย่างตรงกันหรือไม่? อีกครั้งหากมีปัญหาบางอย่างคำแนะนำของฉันคือ: รับสามคะแนนจากหัวของคุณ (ด้วยความน่าจะเป็นสูงที่พวกเขาจะไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว) สร้างเครื่องบินบนนั้น แล้วตรวจสอบตัวเองออนไลน์ ตัวอย่างเช่นบนเว็บไซต์:

อย่างไรก็ตาม ด้วยความช่วยเหลือของดีเทอร์มีแนนต์ เราจะไม่เพียงสร้างสมการของระนาบเท่านั้น จำไว้, ฉันบอกคุณแล้วว่าสำหรับเวกเตอร์, ไม่ใช่แค่ดอทโปรดัคที่ถูกนิยามไว้ นอกจากนี้ยังมีเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์แบบผสม และหากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นตัวเลข ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นเวกเตอร์ และเวกเตอร์นี้จะตั้งฉากกับค่าที่กำหนด:

ยิ่งไปกว่านั้น โมดูลัสของมันจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์และ เราจะต้องใช้เวกเตอร์นี้ในการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เราจะคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ได้อย่างไรและถ้าให้พิกัดของพวกมัน? ดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่สามมาช่วยเหลือเราอีกครั้ง อย่างไรก็ตาม ก่อนที่ฉันจะไปที่อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณผลคูณ ฉันต้องพูดนอกเรื่องเล็กน้อย

การพูดนอกเรื่องนี้เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์พื้นฐาน

แผนผังจะแสดงในรูป:

ทำไมคุณถึงคิดว่าสิ่งเหล่านี้เรียกว่าพื้นฐาน? ความจริงก็คือ:

หรือในภาพ:

ความถูกต้องของสูตรนี้ชัดเจนเพราะ:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มแนะนำผลิตภัณฑ์ข้ามได้:

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่คำนวณตามกฎต่อไปนี้:

มาดูตัวอย่างการคำนวณผลคูณกัน:

ตัวอย่างที่ 1: ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์:

วิธีแก้ปัญหา: ฉันสร้างดีเทอร์มีแนนต์:

และฉันคำนวณ:

ตอนนี้ จากการเขียนถึงเวกเตอร์ฐาน ฉันจะกลับไปที่สัญกรณ์เวกเตอร์ปกติ:

ทางนี้:

ตอนนี้ลอง

พร้อม? เราตรวจสอบ:

และตามธรรมเนียมสอง งานในการควบคุม:

1. ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ต่อไปนี้:
2. ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ต่อไปนี้:

คำตอบ:

ผลคูณของเวกเตอร์สามตัว

โครงสร้างสุดท้ายที่ฉันต้องการคือผลคูณของเวกเตอร์สามตัว ก็เหมือนสเกลาร์ มันคือตัวเลข มีสองวิธีในการคำนวณ - ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ - ผ่านผลิตภัณฑ์ผสม

กล่าวคือ สมมุติว่าเรามีเวกเตอร์สามตัว:

จากนั้นผลคูณของเวกเตอร์สามตัวเขียนแทนด้วยสามารถคำนวณได้ดังนี้:

1. - นั่นคือ ผลคูณผสมเป็นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์อื่นอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวคือ:

ลองคำนวณด้วยตัวเองโดยใช้ผลคูณเวกเตอร์และตรวจดูให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ตรงกัน!

และอีกครั้ง - สองตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

ทางเลือกของระบบพิกัด

ตอนนี้ เรามีพื้นฐานความรู้ที่จำเป็นในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนแล้ว อย่างไรก็ตาม ก่อนดำเนินการแก้ไขตัวอย่างและอัลกอริทึมโดยตรง ฉันเชื่อว่าจะเป็นประโยชน์หากต้องอาศัยคำถามต่อไปนี้ เลือกระบบพิกัดสำหรับตัวเลขเฉพาะท้ายที่สุด มันเป็นทางเลือกของตำแหน่งสัมพัทธ์ของระบบพิกัดและตัวเลขในอวกาศที่จะเป็นตัวกำหนดว่าการคำนวณจะยุ่งยากเพียงใด

ฉันเตือนคุณว่าในส่วนนี้ เรากำลังพิจารณาตัวเลขต่อไปนี้:

1. ทรงลูกบาศก์
2. ปริซึมตรง (สามเหลี่ยม หกเหลี่ยม…)
3. พีระมิด (สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม)
4. จัตุรมุข (เหมือนกับปิรามิดสามเหลี่ยม)

สำหรับทรงลูกบาศก์หรือลูกบาศก์ ฉันแนะนำการก่อสร้างต่อไปนี้:

นั่นคือฉันจะวางร่าง "ในมุม" ลูกบาศก์และกล่องเป็นตัวเลขที่ดีมาก สำหรับพวกเขา คุณสามารถค้นหาพิกัดของจุดยอดได้อย่างง่ายดายเสมอ เช่น ถ้า (ตามภาพ)

จากนั้นพิกัดจุดยอดคือ:

แน่นอน คุณไม่จำเป็นต้องจำสิ่งนี้ แต่การจดจำวิธีที่ดีที่สุดในการวางตำแหน่งลูกบาศก์หรือกล่องสี่เหลี่ยมนั้นเป็นสิ่งที่พึงปรารถนา

ปริซึมตรง

ปริซึมเป็นตัวเลขที่เป็นอันตรายมากกว่า คุณสามารถจัดเรียงในช่องว่างได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม ฉันคิดว่าตัวเลือกต่อไปนี้เป็นตัวเลือกที่ดีที่สุด:

ปริซึมสามเหลี่ยม:

นั่นคือเราวางด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมไว้บนแกนทั้งหมด และจุดยอดด้านหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด

ปริซึมหกเหลี่ยม:

นั่นคือจุดยอดจุดหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดและด้านใดด้านหนึ่งอยู่บนแกน

ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม:

สถานการณ์ที่คล้ายกับลูกบาศก์: เรารวมสองด้านของฐานเข้ากับแกนพิกัด เรารวมจุดยอดจุดหนึ่งเข้ากับจุดกำเนิด ความยากเพียงเล็กน้อยคือการคำนวณพิกัดของจุด

สำหรับปิรามิดหกเหลี่ยม - เช่นเดียวกับปริซึมหกเหลี่ยม ภารกิจหลักอีกครั้งคือการหาพิกัดของจุดยอด

จัตุรมุข (พีระมิดสามเหลี่ยม)

สถานการณ์คล้ายกันมากกับสถานการณ์ที่ฉันให้ไว้สำหรับปริซึมสามเหลี่ยม: จุดยอดหนึ่งจุดตรงกับจุดกำเนิด ด้านหนึ่งอยู่บนแกนพิกัด

ตอนนี้คุณและฉันใกล้จะเริ่มต้นแก้ปัญหาแล้ว จากที่ผมกล่าวไปในตอนต้นของบทความ คุณสามารถสรุปได้ดังนี้: ปัญหา C2 ส่วนใหญ่แบ่งออกเป็น 2 หมวดหมู่: ปัญหาสำหรับมุมและปัญหาสำหรับระยะทาง อันดับแรก เราจะพิจารณาปัญหาในการหามุม ในทางกลับกัน พวกเขาถูกแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ต่อไปนี้ (เมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น):

ปัญหาในการหามุม

1. การหามุมระหว่างเส้นสองเส้น
2. การหามุมระหว่างระนาบสองระนาบ

ลองพิจารณาปัญหาเหล่านี้ตามลำดับ: เริ่มจากการหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น จำไว้นะ คุณกับฉันเคยแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันมาก่อนหรือไม่? คุณจำได้ เพราะเรามีสิ่งที่คล้ายกันอยู่แล้ว ... เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ฉันเตือนคุณว่าถ้าให้เวกเตอร์สองตัว: และพบมุมระหว่างพวกมันจากความสัมพันธ์:

ตอนนี้เรามีเป้าหมายแล้ว - การหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น หันมาที่ "ภาพแบน":

เราจะได้มุมกี่มุมเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน? ของอยู่แล้ว. จริงอยู่เพียงสองคนเท่านั้นที่ไม่เท่ากันในขณะที่คนอื่นอยู่ในแนวตั้ง (และดังนั้นจึงตรงกับพวกเขา) แล้วมุมใดที่เราควรพิจารณามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น: หรือ? นี่คือกฎ: มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเสมอกันไม่เกินองศา. นั่นคือ จากสองมุม เราจะเลือกมุมที่มีหน่วยวัดองศาที่เล็กที่สุดเสมอ นั่นคือ ในภาพนี้ มุมระหว่างสองเส้นเท่ากัน เพื่อไม่ให้รบกวนการหามุมที่เล็กที่สุดของทั้งสองทุกครั้ง นักคณิตศาสตร์ที่ฉลาดแกมโกงแนะนำให้ใช้โมดูลนี้ ดังนั้นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจึงถูกกำหนดโดยสูตร:

คุณในฐานะผู้อ่านที่เอาใจใส่ควรมีคำถาม: อันที่จริง เราได้ตัวเลขเหล่านี้ที่เราต้องคำนวณโคไซน์ของมุมจากที่ใด คำตอบ: เราจะเอามันมาจากเวกเตอร์ทิศทางของเส้น! ดังนั้นอัลกอริธึมในการหามุมระหว่างสองเส้นจึงเป็นดังนี้:

1. เราใช้สูตร 1

หรือรายละเอียดเพิ่มเติม:

1. เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นแรก
2. เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่สอง
3. คำนวณโมดูลัสของผลิตภัณฑ์สเกลาร์
4. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์แรก
5. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์ที่สอง
6. คูณผลลัพธ์ของจุดที่ 4 ด้วยผลลัพธ์ของจุด 5
7. เราหารผลลัพธ์ของจุดที่ 3 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 6 เราได้โคไซน์ของมุมระหว่างเส้น
8. หากผลลัพธ์นี้ทำให้เราคำนวณมุมได้อย่างแม่นยำ เราก็มองหามัน
9. มิฉะนั้นเราจะเขียนผ่านอาร์คโคไซน์

ตอนนี้เป็นเวลาที่ต้องไปยังงานต่างๆ: ฉันจะสาธิตวิธีแก้ปัญหาของสองข้อแรกโดยละเอียด ฉันจะนำเสนอวิธีแก้ปัญหาของอีกงานหนึ่งโดยสังเขป และฉันจะให้คำตอบสำหรับสองงานสุดท้ายเท่านั้น คุณต้อง ทำการคำนวณทั้งหมดด้วยตัวเอง

งาน:

1. ใน tet-ra-ed-re ทางขวา ให้ค้นหามุมระหว่าง you-so-that tet-ra-ed-ra และด้าน me-di-a-noy bo-ko-how

2. ทางขวาไปข้างหน้า six-coal-pi-ra-mi-de ร้อย-ro-na-os-no-va-niya จะเท่ากัน และซี่โครงด้านข้างเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรง เส้นและ.

3. ความยาวของขอบทั้งหมดของผู้ถนัดขวา four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy เท่ากัน จงหามุมระหว่างเส้นตรงและถ้า from-re-zok - you-so- that given pi-ra-mi-dy, the point is se-re-di-on her bo-ko-th rib

4. บนขอบของลูกบาศก์จาก-me-che-ไปยังจุดหนึ่ง เพื่อที่ ค้นหา-di-te มุมระหว่างเส้นตรงกับ

5. จุด - se-re-di-on ที่ขอบของลูกบาศก์ Nai-di-te มุมระหว่างเส้นตรงและ

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันวางงานในลำดับนี้ ในขณะที่คุณยังไม่มีเวลาเริ่มสำรวจวิธีการพิกัด ตัวฉันเองจะวิเคราะห์ตัวเลขที่ "มีปัญหา" ที่สุด และฉันจะปล่อยให้คุณจัดการกับลูกบาศก์ที่ง่ายที่สุด! คุณต้องค่อยๆ เรียนรู้วิธีการทำงานกับตัวเลขทั้งหมด ฉันจะเพิ่มความซับซ้อนของงานจากหัวข้อหนึ่งไปอีกหัวข้อหนึ่ง

มาเริ่มแก้ปัญหากันเลย:

1. วาดจัตุรมุข วางไว้ในระบบพิกัดตามที่ฉันแนะนำไว้ก่อนหน้านี้ เนื่องจากจัตุรมุขเป็นแบบปกติ ใบหน้าทั้งหมด (รวมถึงฐาน) จึงเป็นสามเหลี่ยมปกติ เนื่องจากเราไม่มีความยาวของด้าน ผมจึงเอามาเท่ากันได้ ฉันคิดว่าคุณเข้าใจดีว่ามุมจะไม่ขึ้นอยู่กับว่าจัตุรมุขของเราจะ "ยืด" มากแค่ไหน? ฉันจะวาดความสูงและค่ามัธยฐานในจัตุรมุขด้วย ระหว่างทาง ฉันจะวาดฐานของมัน (มันจะสะดวกสำหรับเราด้วย)

ต้องหามุมระหว่าง and เรารู้อะไร? เรารู้แค่พิกัดของจุดเท่านั้น เลยต้องหาพิกัดของจุดเพิ่มเติม ตอนนี้เราคิดว่า: จุดเป็นจุดตัดของความสูง (หรือแบ่งครึ่งหรือค่ามัธยฐาน) ของรูปสามเหลี่ยม จุดเป็นจุดยกระดับ จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน ในที่สุด เราก็ต้องหาพิกัดของจุดต่างๆ : .

เริ่มจากที่ง่ายที่สุด: พิกัดจุด ดูรูป: เห็นได้ชัดว่าการใช้จุดมีค่าเท่ากับศูนย์ (จุดอยู่บนระนาบ) พิกัดเท่ากัน (เพราะเป็นค่ามัธยฐาน) เป็นการยากที่จะหา abscissa ของมัน อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ทำได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พิจารณารูปสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน และขาข้างหนึ่งเท่ากัน จากนั้น:

ในที่สุดเราก็มี:

ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดกัน เป็นที่ชัดเจนว่าแอปพลิเคชันมีค่าเท่ากับศูนย์อีกครั้งและลำดับของมันก็เหมือนกับของจุดนั่นคือ มาหาเรื่องไร้สาระกันเถอะ สิ่งนี้ทำค่อนข้างเล็กน้อยถ้าจำได้ว่า ความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่าหารด้วยจุดตัดตามสัดส่วนนับจากด้านบน ตั้งแต่: ดังนั้น abscissa ที่ต้องการของจุด เท่ากับความยาวของส่วน เท่ากับ:. ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:

มาหาพิกัดของจุดกัน เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate นั้นตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุดนั้น และ applique เท่ากับความยาวของเซ็กเมนต์ - นี่คือขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมคือส่วน - ขา มีการค้นหาเหตุผลที่ฉันเน้นด้วยตัวหนา:

จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน จากนั้นเราต้องจำสูตรพิกัดของส่วนกลางของเซกเมนต์:

เพียงเท่านี้ เราก็สามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้แล้ว:

ทุกอย่างพร้อมแล้ว: เราแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร:

ทางนี้,

ตอบ:

คุณไม่ควรกลัวคำตอบที่ "แย่มาก" สำหรับปัญหา C2 นี่เป็นวิธีปฏิบัติทั่วไป ฉันค่อนข้างจะประหลาดใจกับคำตอบที่ "สวย" ในส่วนนี้ อย่างที่คุณสังเกตด้วย ฉันไม่ได้หันไปใช้อะไรอื่นนอกจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสและคุณสมบัติของความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่นคือ เพื่อแก้ปัญหาสเตอริโอเมทริก ผมใช้มิติที่น้อยที่สุด กำไรในส่วนนี้จะ "ดับ" บางส่วนโดยการคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก แต่พวกมันค่อนข้างอัลกอริธึม!

2. วาดพีระมิดหกเหลี่ยมปกติพร้อมกับระบบพิกัดเช่นเดียวกับฐาน:

เราต้องหามุมระหว่างเส้นกับ ดังนั้นงานของเราจึงลดลงเพื่อค้นหาพิกัดของจุด: เราจะหาพิกัดของสามตัวสุดท้ายจากรูปวาดเล็กๆ และเราจะหาพิกัดของจุดยอดผ่านพิกัดของจุดนั้น งานเยอะแต่ต้องเริ่ม!

ก) พิกัด: เป็นที่ชัดเจนว่าการสมัครและการกำหนดเป็นศูนย์ มาหา abscissa กันเถอะ ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก อนิจจา เรารู้แค่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเท่ากับ เราจะพยายามหาขา (เพราะเห็นได้ชัดว่าความยาวของขาสองเท่าจะทำให้เรามีจุดสิ้นสุด) เราจะมองหาเธอได้อย่างไร? จำรูปทรงของพีระมิดที่ฐานพีระมิดกันได้ไหม? นี่คือรูปหกเหลี่ยมปกติ มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน เราต้องหามุมแบบนั้นให้ได้ ความคิดใด? มีความคิดมากมาย แต่มีสูตร:

ผลรวมของมุมของ n-gon ปกติคือ .

ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปหกเหลี่ยมปกติคือองศา แล้วแต่ละมุมจะเท่ากับ:

มาดูรูปกันอีกที เป็นที่ชัดเจนว่าเซ็กเมนต์คือครึ่งเสี้ยวของมุม จากนั้นมุมก็คือองศา แล้ว:

แล้วที่.

จึงมีพิกัด

b) ตอนนี้เราสามารถหาพิกัดของจุดได้อย่างง่ายดาย: .

c) ค้นหาพิกัดของจุด เนื่องจาก abscissa ของมันตรงกับความยาวของส่วนจึงเท่ากัน การหาพิกัดก็ไม่ยากเช่นกัน หากเราเชื่อมต่อจุดต่างๆ และระบุจุดตัดของเส้น ให้พูดแทน (ทำเองก่อสร้างง่ายๆ). ดังนั้น พิกัดของจุด B เท่ากับผลรวมของความยาวของส่วน ลองดูที่สามเหลี่ยมอีกครั้ง แล้ว

จากนั้นจุดก็มีพิกัด

d) ค้นหาพิกัดของจุดนั้น พิจารณาสี่เหลี่ยมแล้วพิสูจน์ว่า ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:

จ) ยังคงต้องหาพิกัดของจุดยอด เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate นั้นตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุดนั้น มาหาแอปกัน ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก. โดยสภาพของปัญหาขอบด้านข้าง นี่คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมของฉัน จากนั้นความสูงของปิรามิดคือขา

จากนั้นจุดจะมีพิกัด:

แค่นั้นแหละ ฉันมีพิกัดของจุดสนใจทั้งหมดให้ฉัน ฉันกำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:

เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:

ตอบ:

อีกครั้ง เมื่อแก้ปัญหานี้ ฉันไม่ได้ใช้กลอุบายที่ซับซ้อนใดๆ ยกเว้นสูตรสำหรับผลรวมของมุมของ n-gon ปกติ เช่นเดียวกับคำจำกัดความของโคไซน์และไซน์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. เนื่องจากเราไม่ได้รับความยาวของขอบในปิรามิดอีกต่อไป ฉันจะถือว่ามันมีค่าเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นเนื่องจากขอบทั้งหมดและไม่ใช่แค่ด้านข้างเท่านั้นที่เท่ากันดังนั้นที่ฐานของปิรามิดและฉันจึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสและใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ลองวาดภาพปิรามิดดังกล่าวเช่นเดียวกับฐานบนเครื่องบินโดยทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมดที่ระบุในข้อความของปัญหา:

เรากำลังมองหามุมระหว่างและ ฉันจะทำการคำนวณคร่าวๆ เมื่อฉันกำลังมองหาพิกัดของจุดต่างๆ คุณจะต้อง "ถอดรหัส" พวกเขา:

b) - ตรงกลางของส่วน พิกัดของเธอ:

c) ฉันจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม ฉันจะหาโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม

พิกัด:

d) - ตรงกลางของส่วน พิกัดคือ

จ) พิกัดเวกเตอร์

f) พิกัดเวกเตอร์

g) มองหามุม:

ลูกบาศก์เป็นตัวเลขที่ง่ายที่สุด ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถคิดออกด้วยตัวคุณเอง คำตอบของปัญหาที่ 4 และ 5 มีดังนี้:

การหามุมระหว่างเส้นกับระนาบ

หมดเวลาไขปริศนาง่ายๆ แล้ว! ตอนนี้ตัวอย่างจะยิ่งยากขึ้น ในการหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ เราจะดำเนินการดังนี้:

1. ใช้สามจุดเราสร้างสมการของระนาบ
   ,
   โดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สาม
2. สองจุดที่เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:
3. เราใช้สูตรในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกันมากกับสูตรที่เราใช้ในการหามุมระหว่างสองบรรทัด โครงสร้างของด้านขวาก็เหมือนเดิม และทางซ้ายเรากำลังหาไซน์ ไม่ใช่โคไซน์เหมือนเมื่อก่อน มีการเพิ่มการกระทำที่น่ารังเกียจอย่างหนึ่ง - การค้นหาสมการของระนาบ

อย่าให้ชั้น แก้ตัวอย่าง:

1. Os-no-va-ni-em straight-my Prize-we are-la-et-xia equal-but-ยากจน-ren-ny สามเหลี่ยม-nick you-with-รางวัลนั้น-เราเท่าเทียมกัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

2. ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

3. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ.

4. ในรูปสามเหลี่ยมขวา pi-ra-mi-de กับ os-but-va-ni-em จากทิศตะวันตกของมุมซี่โครง Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny ระนาบของ os -โน-วา-นิยะ และ สตรฺต-มี, ผ่าน เส-เร-ดี-นา ของซี่โครง และ

5. ความยาวของขอบทั้งหมดของ pi-ra-mi-dy สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านขวาที่มีส่วนบนเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ ถ้าจุดอยู่บนขอบ bo-ko-in-th ของ pi-ra-mi-dy

อีกครั้ง ฉันจะแก้ปัญหาสองข้อแรกโดยละเอียด ข้อที่สาม - สั้น ๆ และฉันปล่อยให้สองข้อสุดท้ายให้คุณแก้เอง นอกจากนี้คุณต้องจัดการกับปิรามิดรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมแล้ว แต่ยังไม่ถึงปริซึม

โซลูชั่น:

1. วาดปริซึมรวมทั้งฐานของมัน มารวมกับระบบพิกัดและทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมดที่ระบุในคำสั่งปัญหา:

ฉันขอโทษสำหรับการไม่ปฏิบัติตามสัดส่วน แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้อันที่จริงไม่สำคัญ เครื่องบินเป็นเพียง "ผนังด้านหลัง" ของปริซึมของฉัน แค่เดาว่าสมการของระนาบดังกล่าวมีรูปแบบดังนี้:

อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงข้อมูลนี้ได้โดยตรง:

เราเลือกสามจุดโดยพลการบนระนาบนี้: ตัวอย่างเช่น .

มาสร้างสมการระนาบกันเถอะ:

แบบฝึกหัดสำหรับคุณ: คำนวณดีเทอร์มิแนนต์นี้ด้วยตัวเอง คุณประสบความสำเร็จหรือไม่? จากนั้นสมการของระนาบจะมีรูปแบบดังนี้

หรือง่ายๆ

ทางนี้,

ในการแก้ตัวอย่าง ฉันต้องหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง พิกัดของเวกเตอร์ก็มักจะตรงกับพิกัดของจุดนั้น ๆ ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราต้องหาพิกัดของจุดนั้นก่อน

ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยม ลองวาดความสูง (เป็นค่ามัธยฐานและครึ่งวงกลมด้วย) จากด้านบนกัน เนื่องจากจากนั้นพิกัดของจุดจะเท่ากัน ในการหา abscissa ของจุดนี้ เราต้องคำนวณความยาวของส่วนนั้น โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเรามี:

จากนั้นจุดจะมีพิกัด:

จุดคือ "ยก" บนจุด:

จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์:

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรยากโดยพื้นฐานในการแก้ปัญหาดังกล่าว อันที่จริง "ความตรง" ของตัวเลขเช่นปริซึมทำให้กระบวนการง่ายขึ้นอีกเล็กน้อย มาต่อกันที่ตัวอย่างต่อไป:

2. เราวาด parallelepiped วาดระนาบและเส้นตรงในนั้นและแยกฐานล่างของมันแยกกัน:

อันดับแรก เราพบสมการของระนาบ: พิกัดของจุดสามจุดที่อยู่ในนั้น:

(สองพิกัดแรกจะได้รับอย่างชัดเจน และคุณสามารถค้นหาพิกัดสุดท้ายจากรูปภาพจากจุดนั้นได้อย่างง่ายดาย) จากนั้นเราเขียนสมการของระนาบ:

เราคำนวณ:

เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เป็นที่ชัดเจนว่าพิกัดของมันตรงกับพิกัดของจุดนั้นใช่ไหม จะหาพิกัดได้อย่างไร? นี่คือพิกัดของจุดที่ยกขึ้นตามแกนแอปพลิเคชันทีละหนึ่ง! . จากนั้นเรากำลังมองหามุมที่ต้องการ:

ตอบ:

3. วาดพีระมิดหกเหลี่ยมปกติแล้ววาดระนาบและเส้นตรงเข้าไป

ที่นี่แม้จะเป็นปัญหาในการวาดระนาบ ไม่ต้องพูดถึงวิธีแก้ปัญหานี้ แต่วิธีการพิกัดไม่สนใจ! มันอยู่ในความเก่งกาจที่มีข้อได้เปรียบหลักอยู่!

เครื่องบินผ่านสามจุด: . เรากำลังมองหาพิกัดของพวกเขา:

หนึ่ง) . แสดงพิกัดของสองจุดสุดท้ายด้วยตัวเอง คุณจะต้องแก้ปัญหาด้วยปิรามิดหกเหลี่ยมเพื่อสิ่งนี้!

2) เราสร้างสมการของระนาบ:

เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์: (ดูปัญหาพีระมิดสามเหลี่ยมอีกครั้ง!)

3) เรากำลังมองหามุม:

ตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรยากเหนือธรรมชาติในงานเหล่านี้ คุณเพียงแค่ต้องระวังให้มากกับราก สำหรับปัญหาสองข้อสุดท้ายฉันจะให้คำตอบเท่านั้น:

อย่างที่คุณเห็น เทคนิคในการแก้ปัญหาจะเหมือนกันทุกที่ ภารกิจหลักคือค้นหาพิกัดของจุดยอดและแทนที่มันลงในสูตรบางสูตร เรายังคงต้องพิจารณาปัญหาอีกประเภทหนึ่งในการคำนวณมุม กล่าวคือ:

การคำนวณมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

อัลกอริทึมการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

1. สำหรับสามจุดเรากำลังมองหาสมการของระนาบแรก:
2. สำหรับอีกสามจุดที่เหลือ เรากำลังหาสมการของระนาบที่สอง:
3. เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกันมากกับสองสูตรก่อนหน้า โดยเรากำลังมองหามุมระหว่างเส้นตรงและระหว่างเส้นตรงกับระนาบ ดังนั้นการจดจำสิ่งนี้จะไม่ยากสำหรับคุณ ข้ามไปที่ปัญหากันเลย:

1. ร้อย ro- บนพื้นฐานของปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวามีค่าเท่ากันและไดอะโกนัลของใบหน้าด้านข้างเท่ากัน หามุมระหว่างระนาบกับระนาบของฐานของรางวัล

2. ทางขวาโฟร์ยูรีโคลนอยปีระมีเด ขอบทุกคนเท่ากัน หาไซน์ของมุมระหว่างระนาบกับระนาบโกสตู ผ่าน ประเด็นของ per-pen-di-ku-lyar-but-traight-my

3. ในปริซึมสี่ถ่านหินปกติ ด้านข้างของ os-no-va-nia เท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน บนขอบจาก-me-che-ถึงจุดนั้น หามุมระหว่างระนาบกับ

4. ในปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขวา ด้านข้างของฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน บนขอบจาก-me-che-ถึงจุดนั้น จงหามุมระหว่างระนาบกับ

5. ในลูกบาศก์ จงหา co-si-nus ของมุมระหว่างระนาบกับ

การแก้ปัญหา:

1. ฉันวาดปริซึมสามเหลี่ยมปกติ (ที่ฐาน - สามเหลี่ยมด้านเท่า) และทำเครื่องหมายบนระนาบที่ปรากฏในสภาพของปัญหา:

เราจำเป็นต้องหาสมการของระนาบสองระนาบ: สมการฐานได้มาเล็กน้อย: คุณสามารถสร้างดีเทอร์มีแนนต์ที่สอดคล้องกันสำหรับจุดสามจุด แต่ฉันจะสร้างสมการขึ้นมาทันที:

ทีนี้ลองหาสมการ จุดมีพิกัด จุด - เนื่องจาก - ค่ามัธยฐานและความสูงของสามเหลี่ยม มันหาง่ายโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม จากนั้นจุดจะมีพิกัด: หา applicate ของจุด ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราจะได้พิกัดดังนี้ เราเขียนสมการระนาบ

เราคำนวณมุมระหว่างระนาบ:

ตอบ:

2. การวาดภาพ:

สิ่งที่ยากที่สุดคือการเข้าใจว่ามันคือระนาบลึกลับประเภทใด โดยผ่านจุดในแนวตั้งฉาก สิ่งสำคัญคือมันคืออะไร? สิ่งสำคัญคือความใส่ใจ! อันที่จริงเส้นนั้นตั้งฉาก เส้นยังตั้งฉาก จากนั้นเครื่องบินที่ผ่านสองเส้นนี้จะตั้งฉากกับเส้นและจะผ่านจุดนั้น เครื่องบินลำนี้บินผ่านยอดพีระมิดด้วย จากนั้นเครื่องบินที่ต้องการ - และเครื่องบินก็มอบให้เราแล้ว เรากำลังมองหาพิกัดของจุด

เราหาพิกัดของจุดผ่านจุด ง่ายที่จะอนุมานจากรูปวาดเล็กๆ ว่าพิกัดของจุดจะเป็นดังนี้: ตอนนี้ยังเหลืออะไรให้ค้นหาเพื่อหาพิกัดของยอดปิรามิด? ยังต้องคำนวนส่วนสูง ทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเดียวกัน ขั้นแรก พิสูจน์ว่า (เล็กน้อยจากสามเหลี่ยมเล็กๆ ที่ก่อตัวเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ฐาน) เนื่องจากตามเงื่อนไข เรามี:

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมแล้ว: พิกัดจุดสุดยอด:

เราเขียนสมการของระนาบ:

คุณเป็นผู้เชี่ยวชาญในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อยู่แล้ว คุณจะได้รับ:

หรืออย่างอื่น (ถ้าเราคูณทั้งสองส่วนด้วยรากของสอง)

ทีนี้ลองหาสมการของระนาบ:

(คุณคงไม่ลืมว่าเราได้สมการของระนาบมาได้อย่างไร ใช่ไหม ถ้าคุณไม่เข้าใจว่าลบหนึ่งนี่มาจากไหน ก็กลับไปที่นิยามสมการของระนาบ! มันกลับกลายเป็นก่อนหน้านั้นเสมอ ว่าเครื่องบินของฉันเป็นของต้นทาง!)

เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

(คุณอาจสังเกตได้ว่าสมการระนาบประจวบกับสมการเส้นตรงผ่านจุดต่างๆ และคิดว่าทำไม!)

ตอนนี้เราคำนวณมุม:

เราต้องหาไซน์:

ตอบ:

3. คำถามกวนๆ ปริซึมสี่เหลี่ยมคืออะไร คิดยังไง? มันเป็นเพียงเกมขนานที่รู้จักกันดีสำหรับคุณ! วาดทันที! คุณไม่สามารถวาดภาพฐานแยกจากกันได้ มีประโยชน์เพียงเล็กน้อยจากที่นี่:

ระนาบดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้เขียนเป็นสมการ:

ตอนนี้เราสร้างเครื่องบิน

เราเขียนสมการระนาบทันที:

มองหามุม

ตอนนี้คำตอบของปัญหาสองข้อสุดท้าย:

ตอนนี้เป็นเวลาพักผ่อนเพราะคุณกับฉันทำได้ดีและทำได้ดีมาก!

พิกัดและเวกเตอร์ ระดับสูง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงปัญหาอีกประเภทหนึ่งที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการพิกัด: ปัญหาระยะทาง กล่าวคือเราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้:

1. การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นเอียง

ฉันได้สั่งงานที่กำหนดเมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น ง่ายที่สุดคือหา ชี้ไปที่ระยะทางระนาบและส่วนที่ยากที่สุดคือการค้นหา ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน. แม้ว่าแน่นอน ไม่มีอะไรที่เป็นไปไม่ได้! อย่าผัดวันประกันพรุ่งและดำเนินการพิจารณาปัญหาชั้นหนึ่งทันที:

การคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

เราต้องแก้ปัญหานี้อย่างไร?

1. พิกัดจุด

ดังนั้น ทันทีที่เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด เราจะใช้สูตร:

คุณน่าจะรู้วิธีที่เราสร้างสมการระนาบจากปัญหาก่อนหน้าที่วิเคราะห์ไว้ในส่วนที่แล้ว มาลงมือทำธุรกิจกันเถอะ โครงการมีดังนี้: 1, 2 - ฉันช่วยคุณตัดสินใจและในรายละเอียด 3, 4 - เฉพาะคำตอบเท่านั้นที่คุณตัดสินใจด้วยตัวเองและเปรียบเทียบ เริ่ม!

งาน:

1. ให้ลูกบาศก์ ความยาวขอบของลูกบาศก์คือ Find-di-te ระยะทางจาก se-re-di-ny จากการตัดไปยังแฟลต

2. ให้สิทธิ vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge ร้อย ro-on os-no-va-nia เท่ากัน ค้นหาระยะทางเหล่านั้นจากจุดหนึ่งไปยังระนาบโดยที่ - se-re-di-on ที่ขอบ

3. ในรูปสามเหลี่ยมขวา pi-ra-mi-de กับ os-but-va-ni-em อีกด้านเท่ากัน และหนึ่งร้อยโรออน os-no-va-ni-em เท่ากัน ค้นหาระยะทางเหล่านั้นจากด้านบนถึงเครื่องบิน

4. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน หาระยะทางเหล่านั้นจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

โซลูชั่น:

1. วาดลูกบาศก์ที่มีขอบด้านเดียว สร้างส่วนและระนาบ ระบุตรงกลางของส่วนด้วยตัวอักษร

.

ก่อนอื่น มาเริ่มกันด้วยวิธีง่ายๆ กัน: หาพิกัดของจุด ตั้งแต่นั้นมา (จำพิกัดตรงกลางเซกเมนต์!)

ตอนนี้เราเขียนสมการระนาบสามจุด

\"ซ้าย| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มหาระยะทางได้แล้ว:

2. เราเริ่มต้นอีกครั้งด้วยการวาดภาพซึ่งเราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด!

สำหรับปิรามิด จะเป็นประโยชน์ในการวาดฐานแยกจากกัน

ถึงแม้จะวาดเหมือนตีนไก่ก็ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ง่ายๆ!

ตอนนี้หาพิกัดของจุดได้ง่ายแล้ว

เนื่องจากพิกัดของจุด

2. เนื่องจากพิกัดของจุด a อยู่ตรงกลางของส่วน ดังนั้น

เราสามารถหาพิกัดของจุดอีก 2 จุดบนระนาบได้ง่าย ๆ เราเขียนสมการของระนาบและทำให้ง่ายขึ้น:

\"ซ้าย| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

เนื่องจากจุดมีพิกัด: เราจึงคำนวณระยะทาง:

คำตอบ (หายากมาก!):

อืม เข้าใจมั้ย? สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าทุกอย่างที่นี่เป็นเพียงเทคนิคเช่นเดียวกับในตัวอย่างที่เราพิจารณากับคุณในส่วนที่แล้ว ดังนั้นฉันแน่ใจว่าถ้าคุณเชี่ยวชาญเนื้อหานั้นแล้ว การแก้ปัญหาอีกสองข้อที่เหลือจะไม่ยากสำหรับคุณ ฉันจะให้คำตอบกับคุณ:

การคำนวณระยะทางจากเส้นถึงเครื่องบิน

อันที่จริง ไม่มีอะไรใหม่ที่นี่ เส้นและระนาบจะสัมพันธ์กันได้อย่างไร? มีความเป็นไปได้ทั้งหมดที่จะตัดกัน หรือเส้นตรงขนานกับระนาบ คุณคิดว่าระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบที่เส้นที่กำหนดตัดกันคือเท่าใด สำหรับฉันดูเหมือนว่าชัดเจนว่าระยะทางดังกล่าวเท่ากับศูนย์ กรณีที่ไม่น่าสนใจ

กรณีที่สองนั้นยากกว่า: ที่นี่ระยะทางไม่เป็นศูนย์แล้ว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเส้นตรงขนานกับระนาบ ดังนั้นแต่ละจุดของเส้นจึงอยู่ห่างจากระนาบนี้เท่ากัน:

ทางนี้:

และนี่หมายความว่างานของฉันถูกลดขนาดไปเป็นงานก่อนหน้า: เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรง เรากำลังมองหาสมการของระนาบ เราคำนวณระยะทางจากจุดนั้นไปยังระนาบ อันที่จริงงานดังกล่าวในการสอบนั้นหายากมาก ฉันจัดการเพื่อค้นหาปัญหาเพียงข้อเดียวและข้อมูลในนั้นทำให้วิธีการพิกัดไม่เหมาะกับมันมากนัก!

ทีนี้มาดูปัญหาประเภทอื่นที่สำคัญกว่ากันมาก:

การคำนวณระยะทางของจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง

เราต้องการอะไร?

1. พิกัดของจุดที่เราต้องการหาระยะทาง:

2. พิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรง

3. พิกัดเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

เราใช้สูตรอะไร?

ตัวส่วนของเศษส่วนนี้มีความหมายต่อคุณอย่างไร และควรมีความชัดเจน: นี่คือความยาวของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง นี่เป็นตัวเศษที่ยุ่งยากมาก! นิพจน์หมายถึงโมดูล (ความยาว) ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์และวิธีคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เราศึกษาในส่วนก่อนหน้าของงาน รีเฟรชความรู้ของคุณจะเป็นประโยชน์กับเราในขณะนี้!

ดังนั้นอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

1. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดที่เราต้องการหาระยะทาง:

2. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นที่เรากำลังมองหาระยะทาง:

3. การสร้างเวกเตอร์

4. เราสร้างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

5. คำนวณผลคูณระหว่างกัน

6. เรากำลังมองหาความยาวของเวกเตอร์ผลลัพธ์:

7. คำนวณระยะทาง:

เรามีงานมากมายและตัวอย่างจะค่อนข้างซับซ้อน! ดังนั้นตอนนี้เน้นความสนใจของคุณทั้งหมด!

1. Dana เป็นปิรามิดาสามเหลี่ยมมือขวาที่มีจุดยอด หนึ่งร้อยโรออน os-no-va-niya pi-ra-mi-dy เท่ากัน you-so-ta เท่ากัน หาระยะทางเหล่านั้นจากเซเรดินีของขอบโบโคถึงเส้นตรง โดยที่จุดและคือซีเรดินีของซี่โครงและโคจาก -stven-แต่.

2. ความยาวของซี่โครงและมุมฉาก-no-para-ral-le-le-pi-pe-da เท่ากันตามลำดับ และระยะ Find-di-te จากยอด-shi-ny ถึง straight-my

3. ในปริซึมหกถ่านหินทางขวา ขอบทั้งหมดของฝูงมีระยะห่างเท่ากันจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรง

โซลูชั่น:

1. เราวาดรูปอย่างเรียบร้อยซึ่งเราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด:

เรามีงานมากมายให้คุณ! ก่อนอื่นฉันอยากจะอธิบายเป็นคำพูดว่าเราจะมองหาอะไรและเรียงลำดับอย่างไร:

1. พิกัดของจุดและ

2. พิกัดจุด

3. พิกัดของจุดและ

4. พิกัดของเวกเตอร์และ

5. ผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

6. ความยาวของเวกเตอร์

7. ความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

8. ระยะทางจากถึง

เรามีงานต้องทำมากมาย! มาม้วนแขนเสื้อกันเถอะ!

1. ในการหาพิกัดความสูงของปิรามิดนั้น เราต้องรู้พิกัดของจุดนั้นเสียก่อน โดยมีค่า 0 และค่าพิกัดเท่ากับ abscissa ในที่สุด เราก็ได้พิกัด:

พิกัดจุด

2. - ตรงกลางของกลุ่ม

3. - ตรงกลางของกลุ่ม

จุดกึ่งกลาง

4.พิกัด

พิกัดเวกเตอร์

5. คำนวณผลคูณของเวกเตอร์:

6. ความยาวของเวกเตอร์: วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแทนที่ส่วนที่เป็นเส้นกลางของสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน ดังนั้น.

7. เราพิจารณาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

8. สุดท้าย หาระยะทาง:

วุ้ย นั่นคือทั้งหมด! ฉันจะบอกคุณว่า: การแก้ปัญหานี้โดยใช้วิธีการแบบเดิม (ผ่านโครงสร้าง) จะเร็วกว่ามาก แต่ที่นี่ฉันลดทุกอย่างให้เป็นอัลกอริธึมสำเร็จรูป! ฉันคิดว่าอัลกอริทึมการแก้ปัญหานั้นชัดเจนสำหรับคุณ? ดังนั้นฉันจะขอให้คุณแก้ปัญหาที่เหลืออีกสองปัญหาด้วยตัวคุณเอง เปรียบเทียบคำตอบ?

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่า ง่ายกว่า (เร็วกว่า) ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ผ่านโครงสร้าง แทนที่จะหันไปใช้วิธีพิกัด ฉันแสดงวิธีแก้ปัญหานี้เพื่อแสดงให้คุณเห็นถึงวิธีการที่เป็นสากลซึ่งช่วยให้คุณ "ไม่ทำอะไรให้เสร็จ"

สุดท้าย ให้พิจารณาปัญหาชั้นสุดท้าย:

การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นเอียง

ที่นี่อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาจะคล้ายกับก่อนหน้านี้ สิ่งที่เรามี:

3. เวกเตอร์ใด ๆ ที่เชื่อมต่อจุดของบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง:

เราจะหาระยะห่างระหว่างเส้นได้อย่างไร?

สูตรคือ:

ตัวเศษเป็นโมดูลของผลิตภัณฑ์ผสม (เราแนะนำในส่วนก่อนหน้า) และตัวส่วน - เช่นเดียวกับในสูตรก่อนหน้า (โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์กำกับของเส้น ระยะห่างระหว่างที่เรากำลังมองหา สำหรับ).

ฉันจะเตือนคุณว่า

แล้ว สูตรระยะทางสามารถเขียนใหม่เป็น:

หารดีเทอร์มีแนนต์นี้ด้วยดีเทอร์มีแนนต์! แม้ว่าตามจริงแล้ว ฉันไม่มีอารมณ์จะเล่นตลกที่นี่! อันที่จริง สูตรนี้ยุ่งยากมากและนำไปสู่การคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน ถ้าฉันเป็นเธอ ฉันจะใช้มันเป็นทางเลือกสุดท้าย!

ลองแก้ปัญหาเล็กน้อยโดยใช้วิธีการข้างต้น:

1. ในปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวา ขอบทั้งหมดเท่ากัน จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับ

2. จากปริซึมสามเหลี่ยมหน้าขวา ขอบทั้งหมดของ os-no-va-niya ของใครบางคนมีค่าเท่ากับ Se-che-tion ผ่านซี่โครงอีกอันและซี่โครง se-re-di-nu คือ yav-la-et-sya สแควร์-รา-ทอม Find-di-te dis-sto-I-nie ระหว่าง straight-we-mi และ

ฉันตัดสินใจอย่างแรก และคุณตัดสินใจครั้งที่สอง!

1. ฉันวาดปริซึมและทำเครื่องหมายเส้นและ

พิกัดจุด C: แล้ว

พิกัดจุด

พิกัดเวกเตอร์

พิกัดจุด

พิกัดเวกเตอร์

พิกัดเวกเตอร์

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

เราพิจารณาผลคูณระหว่างเวกเตอร์กับ

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

ตอนนี้เราพิจารณาความยาวของมัน:

ตอบ:

ตอนนี้พยายามทำงานที่สองให้เสร็จอย่างระมัดระวัง คำตอบก็คือ:.

พิกัดและเวกเตอร์ คำอธิบายสั้น ๆ และสูตรพื้นฐาน

เวกเตอร์เป็นส่วนกำกับ - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
เวกเตอร์แสดงด้วยหรือ

ค่าสัมบูรณ์ vector - ความยาวของส่วนที่แทนเวกเตอร์ กำหนดให้เป็น

พิกัดเวกเตอร์:

,
จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \displaystyle a อยู่ที่ไหน

ผลรวมของเวกเตอร์: .

ผลคูณของเวกเตอร์:

ผลคูณดอทของเวกเตอร์:

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

บทความที่เหลือ 2/3 มีให้สำหรับนักเรียนที่ฉลาดเท่านั้น!

มาเป็นนักเรียนของ YouClever

เตรียมความพร้อมสำหรับ OGE หรือ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ในราคา "กาแฟหนึ่งแก้วต่อเดือน"

และยังเข้าถึงหนังสือเรียน "YouClever" ได้ไม่จำกัด, โปรแกรมฝึกอบรม "100gia" (หนังสือโซลูชัน), USE และ OGE รุ่นทดลองใช้ไม่จำกัดจำนวน, งาน 6000 งานพร้อมการวิเคราะห์โซลูชันและบริการอื่นๆ ของ YouClever และ 100gia

โอ้ โอ้ โอ้ โอ้ โอ้ ... มันไม่เล็กราวกับว่าคุณอ่านประโยคให้ตัวเอง =) อย่างไรก็ตามการผ่อนคลายจะช่วยได้โดยเฉพาะเมื่อฉันซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมในวันนี้ ดังนั้น ไปต่อกันที่ส่วนแรกกัน ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะมีอารมณ์ร่าเริง

การจัดเรียงเส้นตรงสองเส้นร่วมกัน

กรณีที่ห้องโถงร้องพร้อมกัน สองบรรทัดสามารถ:

1) การแข่งขัน;

2) ขนานกัน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ความช่วยเหลือสำหรับหุ่น : โปรดจำเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ของทางแยก มันจะเกิดขึ้นบ่อยมาก รายการหมายความว่าเส้นตัดกับเส้นที่จุด

จะกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของสองบรรทัดได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรก:

สองบรรทัดจะตรงกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ตามลำดับเป็นสัดส่วนนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ความเท่าเทียมกัน

ลองพิจารณาเส้นตรงและเขียนสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: จากสมการแต่ละสมการจะเป็นไปตามนั้น ดังนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แน่นอนถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ คูณด้วย -1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย) และลดสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการด้วย 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน:

กรณีที่สองเมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของพวกมันที่ตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร :

อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นสองเส้นตัดกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่เท่าเทียมกัน

ดังนั้นสำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกจะเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ดังนั้น ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา). ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาในทางปฏิบัติ สามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งพิจารณาได้ อย่างไรก็ตาม มันคล้ายกับอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับความสอดคล้อง ซึ่งเราพิจารณาในบทเรียน แนวคิดของการพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานเวกเตอร์. แต่มีแพ็คเกจอารยะมากกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

สารละลายจากการศึกษาเวกเตอร์กำกับเส้นตรง:

ก) จากสมการ เราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ดังนั้นเวกเตอร์ไม่ขนานกันและเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีตัวชี้ที่ทางแยก:

ที่เหลือกระโดดข้ามหินแล้วเดินต่อไปตรงไปยัง Kashchei the Deathless =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าทั้งสองขนานหรือเท่ากัน ที่นี่ไม่จำเป็นต้องใช้ดีเทอร์มีแนนต์

เห็นได้ชัดว่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักนั้นเป็นสัดส่วน ในขณะที่ .

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ทางนี้,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

มาคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้กัน:
ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นแนวร่วม เส้นจะขนานหรือคู่กัน

ปัจจัยด้านสัดส่วน "แลมบ์ดา" นั้นง่ายต่อการดูโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางแนวร่วม อย่างไรก็ตาม ยังสามารถพบได้ผ่านสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ค่าผลลัพธ์เป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้ว ตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปตามนั้น)

ดังนั้นเส้นจึงตรงกัน

ตอบ:

ในไม่ช้า คุณจะได้เรียนรู้ (หรือเรียนรู้ไปแล้ว) เพื่อแก้ปัญหาที่พิจารณาแล้วด้วยวาจาภายในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ ฉันไม่เห็นเหตุผลที่จะเสนอบางอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ เป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกหนึ่งก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะวาดเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เพื่อความไม่รู้ของงานที่ง่ายที่สุดนี้ Nightingale the Robber ลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่าง 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการเส้นขนานที่ลากผ่านจุดนั้น

สารละลาย: ระบุบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษร เงื่อนไขบอกอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้? เส้นผ่านจุด และถ้าเส้นขนานกัน ก็เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์กำกับของเส้น "ce" ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้น "te" เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

ตอบ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ทำให้ง่ายขึ้นอย่างเหมาะสม เวกเตอร์จะเป็นเส้นตรง)

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการผลลัพธ์หรือไม่

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ในกรณีส่วนใหญ่นั้นง่ายต่อการดำเนินการด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะเข้าใจได้อย่างรวดเร็วว่าเส้นขนานกันอย่างไรโดยไม่ต้องวาด

ตัวอย่างการแก้ปัญหาตัวเองในวันนี้จะเป็นการสร้างสรรค์ เพราะคุณยังต้องแข่งขันกับ Baba Yaga และเธอก็เป็นคนรักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นที่ลากผ่านจุดขนานกับเส้น if

มีวิธีแก้ที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผลมาก วิธีที่สั้นที่สุดคือเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

เราทำงานเล็ก ๆ น้อย ๆ กับเส้นขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นประจัญบานไม่ค่อยน่าสนใจนัก ลองพิจารณาปัญหาที่คุณทราบดีจากหลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด จากนั้นพิกัดคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

นี่เพื่อคุณ ความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่าเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน (ส่วนใหญ่) บนระนาบ

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดของเส้น

สารละลาย: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและเชิงวิเคราะห์

วิธีแบบกราฟิกคือการวาดเส้นที่กำหนดและค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันในแต่ละสมการของเส้นตรง โดยให้พอดีทั้งสองที่นั่นและที่นั่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ อันที่จริง เราพิจารณาวิธีแก้ไขแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองนิรนาม

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจด้วยวิธีนี้ ประเด็นคือต้องใช้เวลาในการวาดภาพที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นบางเส้นสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดเองก็อาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุด

ดังนั้นจึงควรค้นหาจุดตัดด้วยวิธีการวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบ ใช้วิธีการบวกระยะของสมการ เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง เยี่ยมชมบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

ตอบ:

การตรวจสอบเป็นเรื่องเล็กน้อย - พิกัดของจุดตัดต้องเป็นไปตามสมการของระบบแต่ละข้อ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดของเส้นตรงหากตัดกัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งปัญหาออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์เงื่อนไขแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัด

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตหลายอย่าง และฉันจะเน้นเรื่องนี้ซ้ำๆ

วิธีแก้ปัญหาและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทช่วยสอน:

รองเท้าคู่หนึ่งยังไม่สึกเมื่อเรามาถึงส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
มุมระหว่างเส้น

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมาก ในส่วนแรก เราเรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดและตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะเปลี่ยนเป็น 90 องศา:

วิธีการวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการเส้นตั้งฉากผ่านจุด

สารละลาย: เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉาก เคล็ดลับจึงง่าย:

จากสมการ เรา "ลบ" เวกเตอร์ตั้งฉาก: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

เราเขียนสมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์กำกับ:

ตอบ:

มาแฉร่างเรขาคณิตกัน:

อืม...ฟ้าส้ม ทะเลส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) แยกเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณดอทของเวกเตอร์เราสรุปได้ว่าเส้นนั้นตั้งฉากกันจริง ๆ : .

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ มันง่ายยิ่งขึ้นไปอีก

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การยืนยันอีกครั้งทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่าง 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉาก ถ้าทราบสมการ และจุด

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง มีการดำเนินการหลายอย่างในงาน ดังนั้นจึงสะดวกในการจัดเรียงวิธีแก้ปัญหาทีละจุด

การเดินทางที่น่าตื่นเต้นของเราดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ก่อนที่เราจะเป็นแนวตรงของแม่น้ำและหน้าที่ของเราคือไปให้ถึงในวิธีที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวาง และเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักใช้แทนด้วยอักษรกรีก "ro" ตัวอย่างเช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดถึงเส้น แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

สารละลาย: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังและทำการคำนวณ:

ตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย \u003d 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

พิจารณางานอื่นตามรูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุด ซึ่งสมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้น . ฉันเสนอให้ดำเนินการด้วยตัวเอง อย่างไรก็ตาม ฉันจะร่างอัลกอริทึมโซลูชันพร้อมผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) หาเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงในรายละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เราทราบพิกัดของจุดกึ่งกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรพิกัดกลางเซกเมนต์หา .

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเท่ากับ 2.2 หน่วย

ความยากลำบากที่นี่อาจเกิดขึ้นในการคำนวณ แต่ในหอคอย ไมโครแคลคูเลเตอร์ช่วยได้มาก ช่วยให้คุณนับเศษส่วนธรรมดาได้ ได้แนะนำหลายครั้งแล้วและจะแนะนำอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของโซลูชันอิสระ คำแนะนำเล็กน้อย: มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวคุณเอง ฉันคิดว่าคุณสามารถแยกย้ายกันไปความเฉลียวฉลาดของคุณได้ดี

มุมระหว่างสองเส้น

ไม่ว่ามุมไหนก็วงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถูกนำมาเป็นมุมขนาดเล็ก ซึ่งจะตามไปโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้เป็นมุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุด้วยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" หรือ ตรงกันข้ามมุมแดง

หากเส้นตั้งฉาก ก็สามารถนำมุมทั้ง 4 มุมมาเป็นมุมระหว่างพวกมันได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของ "การเลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง ประการที่สอง มุมเชิงลบเขียนด้วยเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น ถ้า .

ทำไมฉันถึงพูดแบบนี้? ดูเหมือนว่าคุณสามารถผ่านแนวคิดปกติของมุมได้ ความจริงก็คือในสูตรที่เราใช้หามุม ผลลัพธ์เชิงลบสามารถหาได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณแปลกใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในการวาดภาพสำหรับมุมลบ จำเป็นต้องระบุทิศทาง (ตามเข็มนาฬิกา) ด้วยลูกศร

จะหามุมระหว่างสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่าง 10

หามุมระหว่างเส้น

สารละลายและ วิธีที่หนึ่ง

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, แล้ว มุ่งเน้นมุมระหว่างพวกเขาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

มาใส่ใจตัวส่วนกันให้ดี - นี่แหละ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ถ้า จากนั้นตัวส่วนของสูตรจะหายไป และเวกเตอร์จะเป็นมุมฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือเหตุผลที่ทำการจองเกี่ยวกับการไม่ตั้งฉากของเส้นในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น โซลูชันนี้ถูกทำให้เป็นทางการโดยสะดวกในสองขั้นตอน:

1) คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์กำกับเส้นตรง:
เส้นจึงไม่ตั้งฉาก

2) เราหามุมระหว่างเส้นโดยสูตร:

เมื่อใช้ฟังก์ชันผกผัน จะหามุมได้ง่าย ในกรณีนี้ เราใช้ความแปลกของอาร์คแทนเจนต์ (ดูรูปที่ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

ตอบ:

ในคำตอบ เราระบุค่าที่แน่นอน เช่นเดียวกับค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งหน่วยองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ก็ได้ ลบก็ได้ นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นแนวลบเพราะในสภาพของปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและ "การบิด" ของมุมเริ่มต้นอย่างแม่นยำจากมุมนั้น

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้นตรง นั่นคือ หาค่าสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .