Натуральные действительные. Числа: натуральные, целые, рациональные, действительные

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.

Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел, отличных от рациональных решим уравнение $x^2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

$\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число (кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Что такое число? ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов. 1

История. На раскопках стойбища древних людей нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад, какой – то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Также в Сибири и в других местах были найдены, сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Кельты - древний народ, живший в Европе 2500 лет тому назад, являющиеся предками французов и англичан, считали двадцатками (две руки и две ноги давали двадцать пальцев). Следы этого сохранились во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать». Двадцатками считали и другие народы – предки датчан и голландцев, осетин и грузин. 2

Чётные и нечётные числа. Чётное число целое число, которое делится без остатка на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Нечётное число целое число, которое не делится без остатка на 2: …, 1, 3, 5, 7, 9, … Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Чётные числа Пифагор считал женскими, а нечётные – мужскими: 2+3=5 5- это символ семьи, брака. Чётные и нечётные числа = женские и мужские числа. 4

Простые и составные. Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Составные числа- это числа имеющие 3 и больше делителей. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. 5

Совершенные и несовершенные числа. Совершенные числа, целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = и 28 = являются совершенными. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного Сов. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о Сов. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма правильных делителей, которых меньше его самого. 6

Магические числа. Секреты чисел привлекают людей, заставляют вникать, разбираться, сравнивать свои выводы с реальным соотношением дел. К цифрам в древнем мире относились очень трепетно. Люди, познавшие их, считались великими, их приравнивали к божествам. Самый простой пример – это отсутствие во многих странах самолётов с бортовым номером 13, этажей и номеров в гостиницах с номером «13». 8
Магический ряд 2 – число равновесия и контраста, и поддерживающие устойчивость, смешивающие позитивные и негативные качества. 6 – Символ надёжности. Это идеальное число, которое делится как на чётное число(2), так и на нечётное(3), таким образом, объединяя элементы каждого. 8 – Число материального успеха. Оно означает надёжность, доведённую до совершенства, поскольку представлено двойным квадратом. Разделённое пополам, оно имеет равные части (4 и 4). Если его ещё разделить, то части будут тоже равными (2, 2, 2, 2), показывая четырёхкратное равновесие. 9 – Число всеобщего успеха, самое большое из всех цифр. Как трёхкратное числу 3, девятка превращает неустойчивость в стремление. 10

*Привыкшие к требовательности мисс Дэвис ученики, появились в классе за несколько минут до конца перемены. Никто не спешил доставать пергаменты и перья, зная, что с началом лекции те сами появятся на партах. Вместо этого студенты принялись наблюдать за тем, как мисс Дэвис при помощи магии развешивает на доске многочисленные графики, таблицы и диаграммы, один вид которых мог нагнать уныние и тоску*
- Вижу, многие из вас уже успели ознакомиться с материалом лекции - *коротко поприветствовав собравшихся, продолжила чародейка* - Наша с вами задача на сегодня – сделать так, чтобы этот материал был вами не только увиден, но и понят - *звон школьного колокола прервал Эйн и та досадливо поморщилась*
//Материала, как обычно, много, а времени, как всегда, не хватает. И на Нумерологию в школьной программе отведено так мало часов//
- Не будем терять время и начнем прямо сейчас.
*Ужас, застывший на лицах некоторых студентов, явственно намекал на то, что они сейчас с удовольствием занялись бы не громоздкими и сложными вычислениями, а чем-нибудь другим. Но профессор была неумолима*
- На прошлых занятиях мы познакомились с различными алфавитными нумерациями. А с сегодняшнего дня начнем знакомиться с их применением в нумерологических вычислениях. И начнем с тех из них, которые были разработаны нумерологами Древней Греции.
- Например, с психоматрицы Пифагора? - *уточнила рыжеволосая старшекурсница за первой партой*
- Не путайте, мисс Гаррет - *предупредила ее профессор* - Психоматрица и квадрат Пифагора – это совершенно разные вещи. В основе психоматрицы лежит квадрат Пифагора, а не наоборот. Она появилась гораздо позже и была разработана русскими нумерологами вдали от территории современной Греции. Методики расчета и анализа результатов в обоих случаях различаются так сильно, что говорить о слиянии психоматрицы и квадрата Пифагора не приходится. И, раз уж мы заговорили о Пифагоре, то с него, пожалуй, и начнем. Для тех, кто не помнит, как выглядит этот древний ученый муж, напомню – именно так - *повинуясь легкому взмаху палочки волшебницы, на доску отправился довольно большой портрет*

Он родился в 570 году до нашей эры на острове Самос, в семье Мнесарха и Партениды. О том, чем же на самом деле занимались родители Пифагора, точных сведений нет. Одни называют Мнесарха самосским камнерезом, другие – финикийским купцом из Тира, переехавшим на Самос и женившимся на знатной гречанке. Рождение Пифагора было предсказано дельфийской прорицательницей Пифией. Волшебница сказала, что сын Мнесарха «принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой». Счастливый отец решил назвать новорожденного Пифагором, и даже жене дать имя Пифаида. Мальчик и впрямь оказался очень одаренным – в 18 лет он отправился в Египет, имея при себе рекомендательное письмо от самого Поликрата. Там Пифагор постигал знания, недоступные простым чужеземцам, и потратил на это 22 года. Еще 12 лет обучения прошли в Вавилоне, куда ученый попал после завоевания Египта царем Камбизом. Именно во время изучения египетских и вавилонских трактатов, Пифагор увлекся Нумерологией. Возвратившись на родной Самос 56-летним стариком, он задумался, почему его учителя, изучая влияние чисел на судьбы людей, оставляли без внимания влияние имен. Ведь любое имя может быть записано в виде определенной последовательности цифр. Да и знакомая всем нам ионийская нумерация была хорошим подспорьем для проверки ученым его гипотезы. Думал Пифагор и о несовершенстве существующей на тот момент классификации чисел. А точнее, о практически полном ее отсутствии. Идеи Пифагора людям того времени казались смелыми и необычными, но все же он сумел найти единомышленников. Ученики и последователи Пифагора позже объединились в некое подобие ордена и стали называться пифагорейцами. Именно пифагорейцами была создана принципиально новая классификация чисел, которая используется многими нумерологами и в наши дни - *девушка указала палочкой на один из плакатов, и изображение стало чуточку ярче, давая возможность даже студентам с галерки без труда прочитать написанное*

Четные	Нечетные
Четно-четные	Составные
Четно-нечетные	Несоставные
Нечетно-четные (Нечетно-нечетные)	Несоставные-составные
Совершенные
Сверхсовершенные
Несовершенные

- Нечетные числа – это числа, состоящие из двух частей, одна из которых четная, а вторая – нечетная. Например: 4 (четная часть) + 3 (нечетная часть) = 7. Нечетное число также можно записать в виде m=2k+1, где k € Z. То есть, k принадлежит множеству целых чисел, и дробные мы в этом случае не рассматриваем.
Четные числа – это числа, состоящие из двух частей, обе из которых либо четные, либо нечетные. Например: 4 (четная часть) + 4 (четная часть) = 8 = 5 (нечетная часть) + 3 (нечетная часть). Четное число также можно записать в виде m=2k, где k € Z. И здесь k тоже является частью множества целых чисел.
Магглы дали бы несколько иное, отличное от пифагорового, определение четности чисел. С их точки зрения четность – это характеристика целого числа. А четные числа – это такие целые числа, которые способны делиться на 2 без остатка. Нечетные числа, соответственно, нацело на 2 не делятся.
*Эйн указала палочкой на нижнюю часть плаката*
(6 + 6) = 12 = (7 + 5) – четное по Пифагору
12:2 = 6 – четное
12 = 2*6, где m=12, k=6
(10 + 5) = 15 – нечетное по Пифагору
15:2 = 7,5 - нечетное
15 = (2*7) + 1, где m=15, k=7
- В нумерологии гораздо чаще используется именно то определение четных и нечетных чисел, которое дал Пифагор.
Составные числа – это числа, которые делятся без остатка на самих себя, единицу и некоторые другие делители. Например: 9 (1; 3; 9), 15 (1; 3; 5; 15) 27 (1; 3; 9; 27), 33 (1; 3; 11; 33) и так далее.
Несоставные числа - это числа, которые делятся без остатка на самих себя и единицу. Например: 3 (1 и 3), 5 (1 и 5), 7 (1 и 7), 11 (1 и 11), 13 (1 и 13) и так далее. Такие числа некоторые нумерологи еще называют линейными. С точки зрения пифагорейцев, их можно изобразить в виде линии, состоящей из последовательно стоящих друг за другом точек.
Несоставные-составные числа – это числа, которые не имеют общего делителя, но каждое из них само по себе делимо. Например: 9 (1; 3; 9) и 25 (1; 5; 25). Как видим, такого общего числа, на которое и 9, и 25 делились бы без остатка, действительно нет. Эти числа всегда рассматриваются в паре.
С четными числами все немного сложнее.
Четно-четные числа - это числа, которые получаются путем удвоения, начиная с единицы. Например: 1, 2, 4, 8 и так далее. Пифагор считал эти числа совершенными, ведь каждое из них можно было поделить на 2 один или несколько раз, и так вплоть до получения 1. У четно-четных чисел есть ряд уникальных свойств. Так, сумма любого числа терминов 1, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. Страшно? - *спросила студентов Эйн* - Вовсе нет. Рассмотрим пример: (1+2+4+8)=(16-1). Ранее мы с вами уже говорили о том, что же такое четно-четные числа. И если бы нам захотелось записать последовательность этих чисел, мы бы получили вот такие результаты: 1, 2, 4, 8, 16, 32... Значит, следом за 8 должно идти число 16. Но, в соответствии со свойствами четно-четных чисел, при сложении первых четырех чисел мы получим не 16, а 15. Число, на один меньше того, которое могли бы ожидать, глядя на последовательность четно-четных чисел. Числовой ряд, состоящий из таких чисел, тоже имеет одно интересное свойство: первый член, умноженный на последний, дает последний до тех пор, пока в ряду с нечетным числом терминов не останется одно число. И если это число умножить на само себя, получится последнее число в ряду.
Четно-нечетные числа - это числа, которые можно разделить на 2 без остатка всего один раз. Например: 2, 6, 10, 14 и так далее. Если мы попробуем разделить на 2, к примеру, 10, то получим 5. Но если мы попробуем разделить на два 5, то целое число уже не получим. Точно так же все остальные четно-нечетные числа в ряду можно нацело разделить на 2 только один раз. Четно-нечетные числа получаются путем умножения нечетных чисел на 2. Например: 2 (1*2), 6 (3*2), 10 (5*2), 14 (7*2). У четно-нечетных чисел тоже есть свои уникальные свойства. Так, если такое число разделить на нечетный делитель, частное в любом случае будет четным. А если делитель такого числа четный, нечетным будет частное. Например:
14:7 (нечетный делитель)=2 (четное частное)
14:2 (четный делитель) = 7 (нечетное частное)
Числовой ряд таких числе тоже обладает своими собственными свойствами. Так, любое число в ряду является половиной суммы терминов по обе его стороны в ряду. Давайте разбираться в этой премудрости. Возьмем, к примеру, числа 10, 14 и 18. В нашем числовом ряду четно-нечетных чисел 10 и 18 будут стоять по обе стороны от числа 14: 2, 6, 10 , 14, 18 , 22. При этом 10+18=28. А 28:2=14. То есть, 14 действительно является половиной суммы своих соседей по ряду.
С третьим пунктом пифагоровой классификации дела обстоят несколько хуже. Ученые до сих пор спорят о том, как же именно называть эту группу чисел: нечетно-четными или нечетно-нечетными. В разной литературе вы можете встретить и то, и другое название. Поэтому лучше запомните оба, но знайте, что по сути это одно и то же. Нечетно-четные числа занимают промежуточную позицию между четно-четными и четно-нечетными числами. При их последовательном делении на 2 нельзя получить единицу, да, но зато их можно нацело делить на 2 больше одного раза. Нечетно-четные числа получаются путем умножения четно-четных чисел больше 2 на нечетные числа. Некоторые нечетно-четные числа образуются путем умножения ряда нечетных чисел на 4 и далее на весь ряд четно-четных чисел.
Чтобы понять, к какому виду относится то или иное четное число, его нужно разложить на составляющие. При этом количество частей, на которые будет разложено число, должно соответствовать количеству его делителей. Например, число 6. Оно делится на 2, 3, 1 и на само себя. Следовательно, 2+3+1=6; 6/6=1. Из этого мы можем сделать ввод о том, что:
Совершенные числа – это числа, сумма частей которых равна целому.
Но бывают и другие числа. Такие, например, как 18. Оно делится на 2, 9, 6, 3, 1 и на само себя. Следовательно, 2+9+3+6+1= 21; 18/18 =1. Сумма частей явно больше целого. В таком случае, число считается сверхсовершенным.
Сверхсовершенные числа - это числа, сумма частей которых превышает целое.
Рассмотрим еще один пример. Число 8. Оно делится на 2, 4, 1 и на само себя. Следовательно, 2+4+1=7; 8/8=1. Сумма частей меньше целого. А это значит, что мы подошли к понятию несовершенных чисел.
Несовершенные числа - это числа, сумма частей которых меньше целого.
- Профессор, а нечетные числа могут быть совершенными? - *уточнила серьезная девушка с гербом Хаффлпаффа на мантии*
*В классе раздались сдавленные смешки*
- Зря смеетесь - *одернула весельчаков волшебница* - Мисс Тайлер задала очень правильный вопрос. Действительно, нечетное число может быть совершенным. Правда, пока только в теории - *вздохнула девушка* - Ученым-нумерологам точно известно, что такое число должно иметь 9 простых делителей и 75 простых делителей с учетом кратности. Само число пока обнаружено не было, но никем не доказано, что оно не существует. Сейчас некоторые нумерологи занимаются поисками такого числа. Быть может, кому-нибудь из вас в будущем повезет стать его первооткрывателем.
- В зависимости от того, к какой группе относится то или иное число, оно обладает определенными свойствами - *продолжила лекцию чародейка* - И именно эти свойства влияют на судьбу человека. Четные числа пифагорейцы связывали с пассивным женским началом. Эти числа - отображение замкнутых процессов в природе и самом человеке, цикличных изменений в рамках единого целого. Четные числа могут влиять на что-то количественно, но не качественно. Нечетные числа, наоборот, обычно связывают с активным мужским началом. Они - отображение открытых систем и переходных процессов. Нечетные числа изменяют что-либо качественно, а не количественно.
- Совершенные числа самые лучшие - *крикнул вихрастый второкурсник с красной нашивкой на мантии*
*Профессор Дэвис нахмурилась: этого студента она не помнила, он был на лекции впервые*
- Верно, мистер… Уолтон - *сверяясь с журналом, ответила она* - Но впредь, не сочтите за труд, поднимайте руку. Действительно, Пифагор видел в совершенных числах символ добродетели, золотой середины между недостатком и излишеством. Чем больше совершенных чисел окружает человека, тем больше добродетелей в нем самом. Несовершенные же числа Пифагор называл символами порока. Соответственно, чем хуже человек, тем больше несовершенных чисел его окружает. Но об определенной степени влияния чисел на судьбу мы уже говорили на нашем первом занятии. Судьба поливариантна и выбор зачастую зависит только от нас самих. Числа являются нашими путеводными звездами, но сам путь выбираем мы. Поэтому говорить о том, что кто-то стал успешным только благодаря счастливой дате рождения, а кто-то родился под несчастливой звездой и потому вырос негодяем, нельзя. Но вернемся к нашей классификации. Впоследствии пифагорейцы существенно дополнили и расширили ее. Особенно отличились в этом деле Гиппас из Метапонта, Дамо, гипотетическая дочь Пифагора и Феано, Модерат из Кадиса, Тимей Локрийский, Феано, жена Пифагора, Филолай и Экфант из Сиракуз. Согласно работам этих пифагорейцев, числа бывают и вот такими - *профессор указала палочкой на очередной плакат, и тот сразу стал гораздо ярче и заметнее*

Продолжатели дела великого ученого долго спорили о том, можно ли считать ноль числом, а также о том, каким именно образом его классифицировать и в какую группу определить. Немало споров вызвала и единица. В результате ей была отведена важная роль первичного четно-нечетного числа. Именно она легла в основу дополненной классификации, созданной талантливыми нумерологами древности. В соответствии с этой классификацией:
Квадратные числа – это числа, получающиеся при сложении чисел нечетных. Например: 1+3=4; 1+3+5+7=16; 1+3+5=9; 3+13=16. Эти числа пифагорейцы иногда изображали в виде квадратов.
Прямоугольные числа - это числа, получающиеся при сложении чисел четных. Например: 2+4=6; 2+4+6=12.
Треугольные числа - это числа, получающиеся при сложении четных и нечетных чисел по порядку. Например: 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10. Эти числа, с точки зрения пифагорейцев, могут быть изображены треугольниками.
Пятиугольные числа - эти числа, по мнению пифагорейцев, могут быть изображены пятиугольниками. К пятиугольным числам относят 5, 12 и 22.
Практически любое число может относиться ко всем трем категориям. В зависимости от тех или иных расчетов, оно может быть и квадратным, и треугольным, а также прямоугольным и пятиугольным.
- Теперь поговорим о том, какими же именно свойствами наделяли числа первые исследователи - *волшебница указала палочкой на большой плакат, испещеренный цифрами и их трактовками*

Число	Название	Изображение	Свойства
			Первичное четно-нечетное число, основа всего сущего. Число начинаний, положительной динамики и силы. Диоген Лаэртский отмечал, что из монады проистекает весь числовой ряд. Из монады исходит диада, из диады – все остальные числа, а из них - точки, линии, «двумерные» и «трехмерные сущности» и тела. Символизирует прямолинейность, независимость, лидерство и смелость, в несовершенном виде может символизировать агрессию и эгоизм.
			Вторичное число, выражающее принцип двойственности всего сущего. Самое «мягкое» число, символ сотрудничества и дипломатичности. Обычно диада встречается в дате рождения или имени будущего наставника и советника. Придает дополнительную жизненную силу, многие долгожители и здоровяки даже не подозревают о том, что этим они обязаны не только здоровому образу жизни и регулярным физическим нагрузкам.
			Самое прекрасное, с точки зрения пифагорейцев, число. Единственное из всех натуральных чисел представляет собой сумму своих предшественников. Единственное число, у которого сумма предшественников равна их же произведению. Триада – одно из чисел магии. Традиционно числами магической силы считаются 3, 7 и 11. Очень мощное созидательное и мотивационное число. Символизирует оптимизм, самовыражение и удачу.
			Еще одно любимое число пифагорейцев. Первое число, полученное путем сложения и умножения равных чисел. Символ справедливости, упорядоченности, точности и надежности. Человеку прививает любовь к порядку и правилам, анализу и систематизации, усиливает упорство в достижении цели, четность и искренность.
			Этот символ носили при себе все пифагорейцы. Благодаря ему они узнавали единомышленников. Число жизни, власти и неуязвимости. В своих трудах Никомах писал: «Правосудие – это пентада». Пифагорейцы считали пентаду священным числом, символом объединения мужского и женского начал, любви и брака.
			Число равновесия мироздания. Символ здоровья и неиссякаемой жизненной энергии.
			Пифагорейцы называли эннеаду «числом-горизонтом», разграничивающим числа первого и всех последующих десятков. Символ завершения, таланта, артистизма, идеализма и альтруизма.
			Число схождения, пифагорейцы видели в нем символ соединения земли и неба. Декаду было принято изображать в виде священного символа тетраксиса.

*Волшебница перевела палочку с таблицы на одно из изображений*

Очень часто вместо того изображения декады, которое дано в таблице, пифагорейцы писали вот такой священный знак тетраксис, символ гармонии и Вселенной. Конечно, их трактовку нельзя рассматривать как единственно правильную и верную. У нумерологов других стран этим числам могут быть даны совершенно иные характеристики. И все же пифагорейские характеристики пользуются большим уважением среди нумерологов. В ряде случае они очень полно и точно отражают истинную сущность большинства чисел. И…
*Но школьный колокол вновь самым наглым и беззастенчивым образом прервал профессора*
//Уже?//
*Девушка вытащила из кармана мантии серебряные часы на тонкой цепочке и убедилась в том, что время вышло и лекцию действительно пора завершать*
- На сегодня все. О квадрате Пифагора и других не менее интересных вещах поговорим на следующей лекции. Домашнее задание на доске - *Эйн раздвинула несколько плакатов и освободила немного места. Коснувшись доски волшебной палочкой, она дала студентам возможность переписать появившееся там задание*

Задания

1. Один из студентов на лекции поддался лени и не стал подробно записывать выдаваемую мисс Дэвис информацию. А теперь и сам запутался в собственных записях. Как вы думаете, о каких пифагорейских числах здесь идет речь? Аргументируйте.
   - Первичное всевидящее око
   - Два кольца здоровья
   - Тетрадка порядка
   - Вызови демона правосудия
   - Звезда равновесия
   - Многауглофф в голове мудреца
   - Первая кубическая штуковина
   - Лотос идеалиста
   - Три небесно-земных пламбоба в круге
2. Приведите минимум по одному примеру замкнутых количественных процессов в человеческом организме и открытых качественных в окружающей человека среде. Например, ежегодное взросление/старение человека на 1 год – это цикличный замкнутый количественный процесс.

Дополнительные задания

1. 1. Сочинение. Вам предстоит сложный экзамен, к которому вы не очень хорошо готовы. Услышав от однокурсников о том, что изображение одного из пифагорейских чисел на пергаменте приносит удачу при тестировании. Вы решаете попробовать. Какой именно знак вы нанесете на свой экзаменационный пергамент и почему?
2. 1. Доклад «Не так страшен знак, как его малюют». Пентаграмма не всегда была отрицательным символом – ее изображал на своих печатях Александр Македонский, а легендарный сэр Гавейн носил на своем щите. Расскажите о том, какой сложный историко-культурный путь прошел этот амбивалентный символ. (1000 символов)
3. 1. Ролевой отыгрыш «Семейная мелодрама». Вам крупно не повезло - ваша младшая сестра родилась сквибом. Пока родители не сообразили, что к чему, вы решили взять ситуацию в свои руки и исправить ее. Вам известно, что 3 с точки зрения пифагорейцев – это число магии. А значит, если окружить несчастную тройками, теоретически, в ней должна проснуться полноценная магия. Отыграйте свои попытки помочь и постарайтесь не попасться на глаза родителям, чтобы все тайное не стало явным.
4. 1. Задание на фантазию. Вам крупно повезло – вы являетесь личным нумерологом Волдеморта/Гарри Поттера (выбор персонажа на ваше усмотрение). Вы посоветовали своему патрону всегда иметь при себе знак тетраксиса – он должен обеспечить успех в любых делах. Однако ожидаемого успеха почему-то нет как нет, ваш патрон недоволен и намерен уволить вас на бумаге или посредством Авады. Постарайтесь сохранить не только свое место, но и жизнь. Задание можно оформить в виде ролевого отыгрыша.
5. (Эта лекция только для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 курсов)

Интуитивное представление о числе, по–видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только “один”, “два” и “много”, подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово “три” использовалось только в сочетаниях “три дерева” или “три человека”; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова “один” и “первый”, равно как “два” и “второй”, во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета “один”, “два”, “много”, слова “три” и “третий”, “четыре” и “четвертый” ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по–видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово “двадцать три” – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий “два раза по десять и три”. Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерений или вычислений использовались основания 12 и 60.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

Основные виды чисел

В отличие от октав, седенионы S не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности .

Для представления целого положительного числа х в памяти компьютера, оно переводится в двоичную систему счисления. Полученное число в двоичной системе счисления х 2 представляет собой машинную запись соответствующего десятичного числа х 10 . Для записи отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера (в вычислительной технике для их обозначения используется термин число с плавающей запятой) имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также, ограниченностью объёма памяти выделяемого под числа. Так, лишь некоторые из действительных чисел могут быть без потерь в точности представлены в памяти компьютера. В наиболее распространённой схеме число с плавающей запятой записывается в виде блока битов часть из которых представляют собой мантиссу числа, часть - степень, а один бит выделяется для представления знака числа (в случае необходимости знаковый бит может отсутствовать).

Числа – виды, понятия и операции, натуральные и другие виды чисел.

Число – фундаментальное понятие математики, служащее для определения количественной характеристики, нумерации, сравнения объектов и их частей. К числам применимы различные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и другие.

Числа, участвующие в операции, называются операндами. В зависимости от производимого действия, они получают различные наименования. В общем случае схему операции можно представить следующим образом: <операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

В операции деления первый операнд называется делимым (так называется число, которое делят). Второй (на которое делят) – делитель, а результат – частное (оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя).

Виды чисел

В операции деления могут участвовать различные числа. Результат деления может быть целым или дробным. В математике существуют следующие виды чисел:

• Натуральные – числа, используемые при счёте. Среди них выделяется подмножество простых чисел, имеющих всего два делителя: единицу и самого себя. Все остальные, кроме 1, называются составными и имеют более двух делителей (примеры простых чисел: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д.);
• Целые – множество, состоящее их отрицательных, положительных чисел и нуля. При делении одного целого числа на другое, частное может быть целым, либо вещественным (дробным). Среди них можно выделить подмножество совершенных чисел – равных сумме всех своих делителей (включая 1), кроме самого себя. Древним грекам было известно только четыре совершенных числа. Последовательность совершенных чисел: 6, 28, 496, 8128, 33550336… До сих пор не известно ни одного нечётного совершенного числа;
• Рациональные – представимые в виде дроби a/b, где а – числитель, а b – знаменатель (частное таких чисел обычно не вычисляется);
• Действительные (вещественные) – содержащие целую и дробную часть. Множество включает рациональные и иррациональные числа (представимые в виде непериодической бесконечной десятичной дроби). Частное таких чисел, как правило, представляет собой вещественное значение.

Существует несколько особенностей, связанных с выполнением арифметического действия – деления. Их понимание важно для получения правильного результата:

• Делить на ноль нельзя (в математике данная операция не имеет смысла);
• Целочисленное деление – операция, в результате которой вычисляется только целая часть (дробная при этом отбрасывается);
• Вычисление остатка от целочисленного деления позволяет получить в качестве результата целое число, оставшееся после завершения операции (например, при делении 17 на 2 целая часть равна 8, остаток – 1).