Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash formulasi. Koordinata usuli (nuqta va tekislik orasidagi, to'g'ri chiziqlar orasidagi masofa)

Turli geometrik ob'ektlar orasidagi masofani topish qobiliyati raqamlarning sirt maydoni va ularning hajmlarini hisoblashda muhimdir. Ushbu maqolada biz kosmosda va tekislikdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani qanday topish masalasini ko'rib chiqamiz.

To'g'ri chiziqning matematik tavsifi

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani qanday topishni tushunish uchun siz ushbu geometrik ob'ektlarning matematik tavsifi masalasi bilan shug'ullanishingiz kerak.

Nuqta bilan hamma narsa oddiy, u koordinatalar to'plami bilan tavsiflanadi, ularning soni bo'shliq o'lchamiga mos keladi. Masalan, tekislikda bu ikkita koordinata, uch o'lchovli fazoda - uchta.

Bir o'lchovli ob'ekt - to'g'ri chiziqqa kelsak, uni tasvirlash uchun bir necha turdagi tenglamalar qo'llaniladi. Keling, ulardan faqat ikkitasini ko'rib chiqaylik.

Birinchi tur vektor tenglama deyiladi. Quyida uch o'lchovli va ikki o'lchovli fazodagi chiziqlar uchun ifodalar keltirilgan:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + a × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + a × (a; b)

Bu ifodalarda nol indeksli koordinatalar berilgan chiziq o‘tadigan nuqtani tasvirlaydi, (a; b; c) va (a; b) koordinatalar to‘plami mos keladigan chiziq uchun yo‘nalish vektorlari deb ataladi, a - a a. har qanday haqiqiy qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan parametr.

Vektor tenglamasi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini aniq o'z ichiga olganligi ma'nosida qulaydir, uning koordinatalaridan turli geometrik jismlarning parallelligi yoki perpendikulyarligi masalalarini, masalan, ikkita to'g'ri chiziqni echishda foydalanish mumkin.

To'g'ri chiziq uchun biz ko'rib chiqadigan ikkinchi turdagi tenglama umumiy deyiladi. Fazoda bu shakl ikki tekislikning umumiy tenglamalari bilan berilgan. Samolyotda u quyidagi shaklga ega:

A × x + B × y + C = 0

Chizma bajarilganda, u ko'pincha x / y ga bog'liqlik sifatida yoziladi, ya'ni:

y = -A / B × x +(-C / B)

Bu erda erkin atama -C / B chiziqning y o'qi bilan kesishish koordinatasiga mos keladi va -A / B koeffitsienti chiziqning x o'qiga moyillik burchagi bilan bog'liq.

Chiziq va nuqta orasidagi masofa haqida tushuncha

Tenglamalar bilan shug'ullanib, siz to'g'ridan-to'g'ri nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javobga o'tishingiz mumkin. 7-sinfda maktablar tegishli qiymatni aniqlash orqali ushbu masalani ko'rib chiqishni boshlaydilar.

Chiziq va nuqta orasidagi masofa bu chiziqqa perpendikulyar bo'lgan segmentning uzunligi bo'lib, u ko'rib chiqilayotgan nuqtadan olib tashlangan. Quyidagi rasmda r chiziq va A nuqta ko'rsatilgan. Ko'k chiziq r chiziqqa perpendikulyar segmentni ko'rsatadi. Uning uzunligi kerakli masofadir.

Biroq, bu erda 2D holati bu ta'rif masofa uch o'lchovli masala uchun ham amal qiladi.

Kerakli formulalar

To'g'ri chiziq tenglamasi qanday shaklda yozilishi va masala qaysi fazoda yechilayotganiga qarab, to'g'ri chiziq bilan nuqta orasidagi masofani qanday topish mumkin degan savolga javob beradigan ikkita asosiy formulani berish mumkin.

Ma'lum nuqtani P 2 belgisi bilan belgilang. Agar to'g'ri chiziq tenglamasi vektor ko'rinishida berilgan bo'lsa, u holda ko'rib chiqilayotgan ob'ektlar orasidagi d masofa uchun formula to'g'ri keladi:

d = || / |v¯|

Ya'ni d ni aniqlash uchun to'g'ridan-to'g'ri vektor v¯ va P 1 P 2 ¯ vektorining vektor mahsulotining modulini hisoblash kerak, uning boshlanishi chiziqning ixtiyoriy P 1 nuqtasida, oxiri esa P 2 nuqtasida, keyin bu modulni v ¯ uzunligiga bo'ling. Ushbu formula tekis va uch o'lchamli makon uchun universaldir.

Agar muammo xy koordinata sistemasidagi tekislikda ko‘rib chiqilsa va to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagicha berilgan bo‘lsa. umumiy ko'rinish, keyin to'g'ri chiziqdan nuqtagacha bo'lgan masofani topish uchun quyidagi formula sizga imkon beradi:

To'g'ri chiziq: A × x + B × y + C = 0;

Nuqta: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Masofa: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Yuqoridagi formula juda oddiy, ammo uni ishlatish yuqorida qayd etilgan shartlar bilan cheklangan.

Nuqtaning to'g'ri chiziqdagi proyeksiyasining koordinatalari va masofasi

Nuqtadan toʻgʻri chiziqgacha boʻlgan masofani qanday topish mumkinligi haqidagi savolga yuqoridagi formulalarni yod olishni nazarda tutmaydigan boshqa usulda ham javob berishingiz mumkin. Bu usul to'g'ri chiziqdagi nuqtani aniqlashdan iborat bo'lib, u dastlabki nuqtaning proyeksiyasi hisoblanadi.

Faraz qilaylik, M nuqta va r chiziq bor. M nuqtaning r ga proyeksiyasi qandaydir M 1 nuqtaga mos keladi. M dan r gacha bo'lgan masofa MM 1 ¯ vektorining uzunligiga teng.

M 1 ning koordinatalarini qanday topish mumkin? Juda onson. V¯ chiziq vektori MM 1¯ ga perpendikulyar bo'lishini eslash kifoya, ya'ni ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lishi kerak. Bu shartga M 1 koordinatalari r to'g'ri chiziq tenglamasini qanoatlantirishi kerakligini qo'shib, oddiy chiziqli tenglamalar sistemasini olamiz. Uning yechimi natijasida M nuqtaning r ga proyeksiyasining koordinatalari olinadi.

Ushbu paragrafda tasvirlangan chiziqdan nuqtagacha bo'lgan masofani topish usuli tekislik va fazo uchun ishlatilishi mumkin, ammo uni qo'llash chiziq uchun vektor tenglamasini bilishni talab qiladi.

Samolyotda vazifa

Keling, haqiqiy muammolarni hal qilish uchun taqdim etilgan matematik apparatdan qanday foydalanishni ko'rsatish vaqti keldi. Faraz qilaylik, tekislikda M(-4; 5) nuqta berilgan. M nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish kerak, bu umumiy tenglama bilan tavsiflanadi:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Ya'ni, M chiziq ustida yotmaydi.

To'g'ri chiziq tenglamasi umumiy shaklda berilmaganligi sababli, tegishli formuladan foydalanish imkoniyatiga ega bo'lish uchun uni shunday yo'l bilan qisqartiramiz, bizda:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Endi siz ma'lum raqamlarni d formulasiga almashtirishingiz mumkin:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Kosmosdagi vazifa

Endi kosmosdagi ishni ko'rib chiqing. To'g'ri chiziq quyidagi tenglama bilan tasvirlansin:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + a × (3; -2; 1)

Undan M(0; 2; -3) nuqtagacha bo'lgan masofa qancha?

Xuddi oldingi holatda bo'lgani kabi, M ning berilgan qatorga tegishli yoki yo'qligini tekshiramiz. Buning uchun koordinatalarni tenglamaga almashtiramiz va uni aniq qayta yozamiz:

x = 0 = 1 + 3 × a => a = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × a => a \u003d -3/2;

Turli xil a parametrlari olinganligi sababli, M bu chiziqda yotmaydi. Endi biz undan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz.

d formulasidan foydalanish uchun chiziqning ixtiyoriy nuqtasini oling, masalan, P(1; -1; 0), keyin:

Keling, PM¯ va v¯ chizig'i orasidagi ko'paytmani hisoblaylik. Biz olamiz:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Endi topilgan vektor va v¯ vektor modullarini d ning formulasiga almashtiramiz:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Bu javobni yuqorida tavsiflangan usul yordamida olish mumkin, bu chiziqli tenglamalar tizimini echishni o'z ichiga oladi. Ushbu va oldingi masalalarda chiziqdan nuqtagacha bo'lgan masofaning hisoblangan qiymatlari mos keladigan koordinata tizimining birliklarida keltirilgan.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa - bu nuqtadan chiziqqa perpendikulyar uzunligi. Chizma geometriyada u quyidagi algoritmga muvofiq grafik tarzda aniqlanadi.

Algoritm

1. To'g'ri chiziq har qanday proyeksiya tekisligiga parallel bo'ladigan holatga o'tkaziladi. Buning uchun ortogonal proyeksiyalarni o'zgartirish usullarini qo'llang.
2. Nuqtadan chiziqqa perpendikulyar chizing. Ushbu konstruktsiya to'g'ri burchakli proyeksiya teoremasiga asoslangan.
3. Perpendikulyarning uzunligi uning proyeksiyalarini aylantirish yoki to'g'ri burchakli uchburchak usuli yordamida aniqlanadi.

Quyidagi rasmda ko'rsatilgan murakkab chizish M nuqta va CD segmenti tomonidan berilgan b chiziq. Ularning orasidagi masofani topishingiz kerak.

Bizning algoritmimizga ko'ra, birinchi narsa chiziqni proyeksiya tekisligiga parallel holatga o'tkazishdir. Transformatsiyalardan so'ng nuqta va chiziq orasidagi haqiqiy masofa o'zgarmasligini tushunish muhimdir. Shuning uchun bu erda kosmosda harakatlanuvchi figuralarni nazarda tutmaydigan samolyotni almashtirish usulini qo'llash qulay.

Qurilishning birinchi bosqichi natijalari quyida ko'rsatilgan. Rasmda b ga parallel ravishda qo'shimcha frontal P 4 tekisligi qanday kiritilganligi ko'rsatilgan. DA yangi tizim(P 1, P 4) C"" 1, D"" 1, M"" 1 nuqtalari X o'qidan C"", D"", M"" X 1 o'qidan bir xil masofada joylashgan.

Algoritmning ikkinchi qismini bajarib, M"" 1 dan M"" 1 N"" 1 perpendikulyarni b"" 1 chizig'iga tushiramiz, chunki b va MN orasidagi MND to'g'ri burchak P 4 tekisligiga proyeksiyalangan. to'liq o'lcham. Aloqa chizig'i bo'ylab N" nuqtaning o'rnini aniqlaymiz va MN segmentining M" N" proyeksiyasini chizamiz.

Ustida yakuniy bosqich MN segmentining qiymatini uning M"N" va M"" 1 N"" 1 proyeksiyalari bo'yicha aniqlash kerak. Buning uchun biz to'g'ri burchakli uchburchak M "" 1 N "" 1 N 0 quramiz, bunda N "" 1 N 0 oyog'i M nuqtalarini olib tashlashning farqiga (Y M 1 - Y N 1) teng. X 1 o'qidan "va N". M"" 1 N"" 1 N 0 uchburchakning M"" 1 N 0 gipotenuzasi uzunligi M dan b gacha bo'lgan kerakli masofaga to'g'ri keladi.

Yechishning ikkinchi usuli

• Bunga parallel ravishda CD yangisini taqdim etadi frontal tekislik P 4. U P 1 ni X 1 o'qi bo'ylab kesib o'tadi va X 1 ∥C"D". Samolyotlarni almashtirish usuliga muvofiq, rasmda ko'rsatilgandek C "" 1, D"" 1 va M"" 1 nuqtalarining proyeksiyalarini aniqlaymiz.
• C "" 1 D "" 1 ga perpendikulyar ravishda biz qo'shimcha gorizontal P 5 tekisligini quramiz, bunda b to'g'ri chiziq C" 2 \u003d b" 2 nuqtasiga proyeksiya qilinadi.
• M nuqta va b to'g'ri chiziq orasidagi masofa qizil rang bilan belgilangan M "2 C" 2 segmentining uzunligi bilan aniqlanadi.

Tegishli vazifalar:

Misol yechishda tekislikda berilgan nuqtadan berilgan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topishning tahlil qilingan usullarini qo'llashni ko'rib chiqing.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping:

Birinchidan, muammoni birinchi usulda hal qilaylik.

Masalaning shartida bizga a ko`rinishdagi to`g`ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan:

To'g'ri chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi b chiziqning umumiy tenglamasi topilsin:

b chiziq a chiziqqa perpendikulyar bo'lgani uchun b chiziqning yo'nalish vektori berilgan chiziqning normal vektori bo'ladi:

ya'ni b chiziqning yo'nalish vektori koordinatalariga ega. Endi biz tekislikka b chiziqning kanonik tenglamasini yozishimiz mumkin, chunki biz b chiziq o'tadigan M 1 nuqtaning koordinatalarini va b chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini bilamiz:

Olingan b to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasidan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga o'tamiz:

Endi a va b chiziqlarning umumiy tenglamalaridan tuzilgan tenglamalar sistemasini yechish orqali a va b chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topamiz (uni H 1 deb belgilaymiz) (agar kerak bo‘lsa, maqola yechish tizimlariga murojaat qiling). chiziqli tenglamalar):

Shunday qilib, H 1 nuqtasi koordinatalariga ega.

M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqgacha bo'lgan kerakli masofani nuqtalar orasidagi masofa sifatida hisoblash qoladi va:

Muammoni hal qilishning ikkinchi usuli.

Berilgan chiziqning normal tenglamasini olamiz. Buning uchun biz normallashtiruvchi omilning qiymatini hisoblaymiz va unga to'g'ri chiziqning dastlabki umumiy tenglamasining ikkala qismini ko'paytiramiz:

(Bu haqda toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasini normal koʻrinishga keltirish boʻlimida gapirgan edik).

Normallashtiruvchi omil ga teng

u holda to'g'ri chiziqning normal tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Endi biz to'g'ri chiziqning normal tenglamasining chap tomonidagi ifodani olamiz va uning qiymatini hisoblaymiz:

Berilgan nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan kerakli masofa:

qabul qilingan qiymatning mutlaq qiymatiga teng, ya'ni besh ().

nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa:

Ko'rinib turibdiki, tekislikdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani to'g'ri chiziqning normal tenglamasidan foydalanishga asoslangan holda topish usulining afzalligi nisbatan kichikroq hisoblash ishlaridir. O'z navbatida, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topishning birinchi usuli intuitivdir va izchillik va mantiq bilan ajralib turadi.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Oksi tekislikda o'rnatilgan, nuqta va to'g'ri chiziq berilgan:

Berilgan nuqtadan berilgan chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

Birinchi yo'l.

Nishabli to'g'ri chiziqning berilgan tenglamasidan ushbu to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga o'tishingiz va yuqorida ko'rib chiqilgan misoldagi kabi harakat qilishingiz mumkin.

Lekin siz buni boshqacha qilishingiz mumkin.

Bizga ma'lumki, perpendikulyar chiziqlarning qiyaliklarining ko'paytmasi 1 ga teng (perpendikulyar chiziqlar, chiziqlarning perpendikulyarligi maqolasiga qarang). Shunday qilib, berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziqning qiyaligi:

2 ga teng. U holda berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar va nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Endi H 1 nuqtaning koordinatalarini - chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz:

Shunday qilib, nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan kerakli masofa:

nuqtalar orasidagi masofaga teng va:

Ikkinchi yo'l.

Nishabli to‘g‘ri chiziqning berilgan tenglamasidan ushbu to‘g‘ri chiziqning normal tenglamasiga o‘tamiz:

normallashtiruvchi omil quyidagilarga teng:

shuning uchun berilgan to'g'ri chiziqning normal tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Endi biz nuqtadan chiziqqa kerakli masofani hisoblaymiz:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblang:

va to'g'ri chiziqqa:

To'g'ri chiziqning normal tenglamasini olamiz:

Endi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblang:

To'g'ri chiziqli tenglama uchun normallashtiruvchi omil:

1 ga teng. U holda bu chiziqning normal tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Endi biz nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblashimiz mumkin:

tengdir.

Javob: va 5.

Xulosa qilib aytganda, tekislikning berilgan nuqtasidan Ox va Oy koordinata chiziqlarigacha bo'lgan masofa qanday topilganligini alohida ko'rib chiqamiz.

To‘g‘ri burchakli Oxy koordinata sistemasida Oy koordinata chizig‘i x=0 to‘g‘ri chiziqning to‘liq bo‘lmagan umumiy tenglamasi bilan, Ox koordinata chizig‘i esa y=0 tenglama bilan berilgan. Ushbu tenglamalar Oy va Ox chiziqlarining normal tenglamalaridir, shuning uchun nuqtadan bu chiziqlargacha bo'lgan masofa formulalar bilan hisoblanadi:

mos ravishda.

5-rasm

To'g'ri burchakli koordinatalar tizimi Oksi tekislikda kiritilgan. Nuqtadan koordinata chiziqlarigacha bo‘lgan masofalarni toping.

Berilgan M 1 nuqtadan Ox koordinata chizig igacha bo lgan masofa (u y=0 tenglama bilan berilgan) M 1 nuqta ordinatasi moduliga teng, ya ni .

Berilgan M 1 nuqtadan Oy koordinata chizig’igacha bo’lgan masofa (u x=0 tenglamaga to’g’ri keladi) M 1 nuqta abtsissasining absolyut qiymatiga teng: .

Javob: M 1 nuqtadan Ox chiziqgacha bo'lgan masofa 6 ga, berilgan nuqtadan Oy koordinata chizig'igacha bo'lgan masofa teng.

Ushbu maqolada siz va men geometriyadagi ko'plab muammolarni oddiy arifmetikaga qisqartirish imkonini beradigan bitta "sehrli tayoqcha" ni muhokama qilishni boshlaymiz. Ushbu "tayoqcha" hayotingizni ancha osonlashtirishi mumkin, ayniqsa fazoviy figuralar, bo'limlar va hokazolarni qurishda o'zingizni ishonchsiz his qilganingizda. Bularning barchasi ma'lum bir tasavvur va amaliy ko'nikmalarni talab qiladi. Biz bu erda ko'rib chiqa boshlaydigan usul sizga barcha turdagi geometrik konstruktsiyalar va mulohazalardan deyarli butunlay mavhum bo'lishga imkon beradi. Usul deyiladi "koordinata usuli". Ushbu maqolada biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Koordinata tekisligi
2. Samolyotdagi nuqtalar va vektorlar
3. Ikki nuqtadan vektor qurish
4. Vektor uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa).
5. O'rta nuqta koordinatalari
6. Vektorlarning nuqta mahsuloti
7. Ikki vektor orasidagi burchak

O'ylaymanki, siz koordinata usuli nima uchun bunday deb nomlanganini allaqachon taxmin qildingizmi? To'g'ri, u geometrik jismlar bilan emas, balki ularning raqamli xarakteristikalari (koordinatalari) bilan ishlagani uchun shunday nom oldi. Va geometriyadan algebraga o'tishga imkon beradigan transformatsiyaning o'zi koordinatalar tizimini joriy etishdan iborat. Agar dastlabki rasm tekis bo'lsa, u holda koordinatalar ikki o'lchovli, agar rasm uch o'lchamli bo'lsa, u holda koordinatalar uch o'lchovli bo'ladi. Ushbu maqolada biz faqat ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. Va maqolaning asosiy maqsadi sizga koordinata usulining ba'zi asosiy usullaridan qanday foydalanishni o'rgatishdir (ular ba'zan Yagona davlat imtihonining B qismidagi planimetriyadagi muammolarni hal qilishda foydali bo'ladi). Ushbu mavzu bo'yicha keyingi ikkita bo'lim C2 (stereometriya muammosi) muammolarini hal qilish usullarini muhokama qilishga bag'ishlangan.

Koordinata usulini muhokama qilishni qaerdan boshlash mantiqan to'g'ri keladi? Ehtimol, koordinatalar tizimi tushunchasi bilan. U bilan birinchi marta uchrashganingizni eslang. Menimcha, 7-sinfda, masalan, chiziqli funktsiyaning mavjudligi haqida bilganingizda. Eslatib o'taman, siz uni nuqta-nuqta qurgansiz. Esingizdami? Siz ixtiyoriy raqamni tanladingiz, uni formulaga almashtirdingiz va shu tarzda hisoblab chiqdingiz. Masalan, agar, keyin, agar, keyin va hokazo. Natijada nima oldingiz? Va siz koordinatali ballarni oldingiz: va. Keyin siz "xoch" (koordinatalar tizimi) chizdingiz, undagi masshtabni tanladingiz (bitta segment sifatida nechta hujayra bo'ladi) va unda olingan nuqtalarni belgiladingiz, so'ngra ularni to'g'ri chiziq bilan bog'ladingiz, natijada chiziq. funksiyaning grafigi.

Sizga biroz batafsilroq tushuntirish kerak bo'lgan bir nechta narsalar mavjud:

1. Siz qulaylik uchun bitta segmentni tanlaysiz, shunda hamma narsa rasmga chiroyli va ixcham mos tushadi.

2. O'q chapdan o'ngga, o'q esa pastdan yuqoriga o'tadi deb taxmin qilinadi

3. Ular to’g’ri burchak ostida kesishadi va ularning kesishish nuqtasi koordinata deyiladi. U harf bilan belgilangan.

4. Nuqta koordinatasi yozuvida, masalan, qavs ichida chap tomonda nuqtaning o'q bo'ylab koordinatasi, o'ngda esa o'q bo'ylab. Xususan, shunchaki nuqta degan ma'noni anglatadi

5. Koordinata o'qiga istalgan nuqtani o'rnatish uchun uning koordinatalarini (2 ta raqam) ko'rsatish kerak.

6. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

7. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

8. O'q x o'qi deyiladi

9. O'q y o'qi deb ataladi

Endi siz bilan keyingi qadamni qo'yaylik: ikkita nuqtani belgilang. Ushbu ikkita nuqtani chiziq bilan bog'lang. Keling, o'qni nuqtadan nuqtaga segmentni chizayotgandek qo'yamiz: ya'ni biz segmentimizni yo'naltiramiz!

Yo'naltirilgan segmentning boshqa nomi nima ekanligini eslaysizmi? To'g'ri, bu vektor deyiladi!

Shunday qilib, agar biz nuqtani nuqtaga bog'lasak, va boshi A nuqtasi bo'ladi va oxiri B nuqtasi bo'ladi, keyin vektorni olamiz. Siz ham bu qurilishni 8-sinfda qilgan edingizmi?

Ma'lum bo'lishicha, vektorlar ham nuqtalar kabi ikkita raqam bilan belgilanishi mumkin: bu raqamlar vektorning koordinatalari deb ataladi. Savol: Sizningcha, vektorning koordinatalarini topish uchun uning boshi va oxiri koordinatalarini bilish kifoya qiladimi? Ma'lum bo'lishicha, ha! Va buni qilish juda oson:

Shunday qilib, vektorda nuqta boshi va oxiri bo'lgani uchun vektor quyidagi koordinatalarga ega:

Masalan, agar, u holda vektorning koordinatalari

Endi teskarisini qilamiz, vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun nimani o'zgartirishimiz kerak? Ha, siz boshi va oxirini almashtirishingiz kerak: endi vektorning boshlanishi bir nuqtada, oxiri esa bir nuqtada bo'ladi. Keyin:

Diqqat bilan qarang, vektor va o'rtasidagi farq nima? Ularning yagona farqi koordinatalardagi belgilardir. Ular qarama-qarshi. Bu fakt quyidagicha yozilgan:

Ba'zan vektorning qaysi nuqtasi boshi va qaysi biri oxiri ekanligi aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, vektorlar ikkita bosh harf bilan emas, balki bitta kichik harf bilan belgilanadi, masalan: va hokazo.

Endi bir oz amaliyot va quyidagi vektorlarning koordinatalarini toping:

Imtihon:

Endi muammoni biroz qiyinroq hal qiling:

Bir nuqtada on-cha-scrap bilan vektor torus ko-or-di-on-sizga ega. Toping-di-te abs-cis-su nuqtalari.

Hammasi juda prozaik: nuqta koordinatalari bo'lsin. Keyin

Men vektorning koordinatalari nima ekanligini aniqlash orqali tizimni tuzdim. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi. Bizni abscissa qiziqtiradi. Keyin

Javob:

Vektorlar bilan yana nima qila olasiz? Ha, deyarli hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil (bundan tashqari, siz bo'lolmaysiz, lekin siz ikki yo'l bilan ko'paytirishingiz mumkin, ulardan birini keyinroq muhokama qilamiz)

1. Vektorlar bir-biri bilan stacked bo'lishi mumkin
2. Vektorlarni bir-biridan ayirish mumkin
3. Vektorlarni ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish) mumkin
4. Vektorlarni bir-biri bilan ko'paytirish mumkin

Bu operatsiyalarning barchasi juda vizual geometrik tasvirga ega. Masalan, qo'shish va ayirish uchun uchburchak (yoki parallelogramm) qoidasi:

Songa koʻpaytirilganda yoki boʻlinganda vektor choʻziladi yoki qisqaradi yoki yoʻnalishini oʻzgartiradi:

Biroq, bu erda biz koordinatalar bilan nima sodir bo'lishi haqidagi savolga qiziqamiz.

1. Ikki vektorni qo'shishda (ayirishda) ularning koordinatalarini element bo'yicha qo'shamiz (ayitamiz). Ya'ni:

2. Vektorni songa ko'paytirishda (bo'lishda) uning barcha koordinatalari shu raqamga ko'paytiriladi (bo'linadi):

Masalan:

· Ko-or-di-nat asr-to-ra yig‘indisini toping.

Avval vektorlarning har birining koordinatalarini topamiz. Ularning ikkalasining kelib chiqishi bir xil - kelib chiqish nuqtasi. Ularning oxiri boshqacha. Keyin, . Endi biz vektorning koordinatalarini hisoblaymiz Keyin olingan vektorning koordinatalarining yig'indisi teng bo'ladi.

Javob:

Endi quyidagi muammoni o'zingiz hal qiling:

· Vektor koordinatalarining yig‘indisini toping

Biz tekshiramiz:

Endi quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: bizda koordinatalar tekisligida ikkita nuqta bor. Ularning orasidagi masofani qanday topish mumkin? Birinchi nuqta bo'lsin, ikkinchisi. Ularning orasidagi masofani deb belgilaymiz. Aniqlik uchun quyidagi rasmni tuzamiz:

Nima qildim? Men birinchi bo'lib ulandim ball va, a nuqtadan o'qiga parallel chiziq ham chizilgan va nuqtadan o'qga parallel chiziq chizilgan. Ular bir nuqtada kesishib, ajoyib figurani hosil qildilarmi? Nega u ajoyib? Ha, siz va men to'g'ri burchakli uchburchak haqida deyarli hamma narsani bilamiz. Albatta, Pifagor teoremasi. Kerakli segment bu uchburchakning gipotenuzasi, segmentlar esa oyoqlardir. Nuqtaning koordinatalari qanday? Ha, ularni rasmdan topish oson: Segmentlar o'qlarga parallel bo'lgani uchun va mos ravishda ularning uzunliklarini topish oson: agar segmentlarning uzunligini mos ravishda orqali belgilasak, u holda

Endi Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Biz oyoqlarning uzunligini bilamiz, biz gipotenuzani topamiz:

Shunday qilib, ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalardan kvadratik farqlarning ildiz yig'indisidir. Yoki - ikki nuqta orasidagi masofa ularni bog'laydigan segmentning uzunligi. Nuqtalar orasidagi masofa yo'nalishga bog'liq emasligini ko'rish oson. Keyin:

Bundan biz uchta xulosa chiqaramiz:

Keling, ikkita nuqta orasidagi masofani hisoblashda biroz mashq qilaylik:

Masalan, agar, u holda va orasidagi masofa

Yoki boshqacha yo'l tutaylik: vektorning koordinatalarini toping

Va vektor uzunligini toping:

Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday!

Endi o'zingiz biroz mashq qiling:

Vazifa: berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping:

Biz tekshiramiz:

Xuddi shu formula uchun yana bir nechta muammo bor, garchi ular bir oz boshqacha eshitiladi:

1. Ko'z qovog'i-to-ra uzunligining kvadratini top-di-te.

2. Nai-di-te kvadrati ko'z qovog'ining uzunligi-to-ra

O'ylaymanki, siz ularni osonlikcha hal qila olasizmi? Biz tekshiramiz:

1. Va bu e'tibor uchun) Biz allaqachon vektorlarning koordinatalarini topdik: . Keyin vektor koordinatalariga ega bo'ladi. Uning uzunligi kvadrati quyidagicha bo'ladi:

2. Vektorning koordinatalarini toping

Keyin uning uzunligi kvadrati bo'ladi

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Oddiy arifmetika, boshqa hech narsa emas.

Quyidagi jumboqlarni aniq tasniflash mumkin emas, ular umumiy bilim va oddiy rasmlarni chizish qobiliyati uchundir.

1. Kesimdagi burchakning o'sha sinusini toping, abscissa o'qi bilan bir-n-chi nuqtani bog'lang.

va

Bu yerda buni qanday qilamiz? O'q va orasidagi burchakning sinusini topishingiz kerak. Va sinusni qaerdan izlashimiz mumkin? To'g'ri, to'g'ri uchburchakda. Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Bu uchburchakni yarating!

Nuqtaning koordinatalari va, keyin segment teng bo'lgani uchun va segment. Biz burchakning sinusini topishimiz kerak. Shuni eslatib o'tamanki, sinus qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati

Nima qilishimiz kerak? Gipotenuzani toping. Siz buni ikki yo'l bilan qilishingiz mumkin: Pifagor teoremasi (oyoqlari ma'lum!) yoki ikkita nuqta orasidagi masofa formulasi (aslida birinchi usul bilan bir xil!). Men ikkinchi yo'lga boraman:

Javob:

Keyingi vazifa sizga yanada osonroq ko'rinadi. U - nuqta koordinatalari bo'yicha.

Vazifa 2. Nuqtadan per-pen-di-ku-lar abs-ciss o'qiga tushiriladi. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Keling, rasm chizamiz:

Perpendikulyarning asosi - u x o'qi (o'qi) bilan kesishadigan nuqta, men uchun bu nuqta. Rasmda uning koordinatalari borligi ko'rsatilgan: . Bizni abscissa - ya'ni "X" komponenti qiziqtiradi. U teng.

Javob: .

Vazifa 3. Oldingi masala shartlariga ko'ra, nuqtadan koordinata o'qlarigacha bo'lgan masofalar yig'indisini toping.

Agar nuqtadan o'qlargacha bo'lgan masofa qancha ekanligini bilsangiz, vazifa odatda elementardir. Sen bilasan? Umid qilamanki, lekin baribir eslataman:

Xo'sh, bir oz balandroqda joylashgan rasmimda men allaqachon bitta perpendikulyarni tasvirlaganman? Bu qaysi o'q? o'qiga. Va uning uzunligi qancha? U teng. Endi o'z o'qiga perpendikulyar chizib, uning uzunligini toping. Bu teng bo'ladi, to'g'rimi? Keyin ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa 4. 2-masala shartlarida nuqtaning x o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan ordinatasini toping.

O'ylaymanki, siz simmetriya nima ekanligini intuitiv ravishda tushunasizmi? Juda ko'p narsalar mavjud: ko'plab binolar, stollar, samolyotlar, ko'p geometrik raqamlar: shar, silindr, kvadrat, romb va boshqalar.. Taxminan aytganda, simmetriyani quyidagicha tushunish mumkin: figura ikki (yoki undan ortiq) bir xil yarmidan iborat. Ushbu simmetriya eksenel deb ataladi. Xo'sh, eksa nima? Bu aniq chiziq bo'ylab, nisbatan aytganda, raqamni bir xil yarmiga "kesish" mumkin (bu rasmda simmetriya o'qi to'g'ri):

Endi vazifamizga qaytaylik. Biz o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtani qidirayotganimizni bilamiz. Keyin bu o'q simmetriya o'qi hisoblanadi. Shunday qilib, biz nuqtani belgilashimiz kerak, shunda o'q segmentni ikkita teng qismga ajratadi. Bunday nuqtani o'zingiz belgilashga harakat qiling. Endi mening yechimim bilan solishtiring:

Siz ham shunday qildingizmi? Yaxshi! Topilgan nuqtada biz ordinataga qiziqamiz. U teng

Javob:

Endi ayting-chi, bir soniya o'ylab ko'rgandan so'ng, A nuqtaga simmetrik nuqtaning y o'qiga nisbatan abssissasi qanday bo'ladi? Sizning javobingiz nima? To'g'ri javob: .

Umuman olganda, qoida quyidagicha yozilishi mumkin:

X o'qi atrofidagi nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalariga ega:

Y o'qi atrofidagi nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalariga ega:

Xo'sh, endi bu juda qo'rqinchli. vazifa: Koordinatalarni koordinatalarini toping nuqtaga simmetrik, koordinata boshiga nisbatan. Siz avval o'zingiz o'ylab ko'ring, keyin mening rasmimni ko'ring!

Javob:

Hozir parallelogramm muammosi:

5-topshiriq: Ballar ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Top-dee-te yoki-dee-on-tu nuqtalari.

Siz bu muammoni ikki yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: mantiq va koordinata usuli. Men birinchi navbatda koordinata usulini qo'llayman, keyin esa siz qanday qilib boshqacha qaror qilishingiz mumkinligini aytaman.

Nuqtaning abssissasi teng ekanligi aniq. (nuqtadan x o'qiga chizilgan perpendikulyarda yotadi). Biz ordinatani topishimiz kerak. Keling, bizning figuramiz parallelogramm ekanligidan foydalanaylik, bu shuni anglatadi. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi yordamida segment uzunligini toping:

Nuqtani eksa bilan bog'laydigan perpendikulyarni tushiramiz. Kesishish nuqtasi harf bilan belgilanadi.

Segmentning uzunligi teng. (muammoni o'zingiz toping, biz shu lahzani muhokama qildik), keyin Pifagor teoremasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Segmentning uzunligi uning ordinatasi bilan aynan bir xil.

Javob: .

Boshqa yechim (men uni tasvirlaydigan rasmni taqdim etaman)

Yechim jarayoni:

1. Sarflash

2. Nuqta koordinatalari va uzunligini toping

3. Buni isbotlang.

Boshqasi kesish uzunligi muammosi:

Ballar-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-burchak-no-ka. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping, par-ral-lel-noy.

Uchburchakning o'rta chizig'i nima ekanligini eslaysizmi? Keyin siz uchun bu vazifa oddiy. Esingizda bo'lmasa, men sizga eslatib o'taman: uchburchakning o'rta chizig'i qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziqdir. U asosga parallel va uning yarmiga teng.

Baza segmentdir. Biz uning uzunligini avvalroq izlashimiz kerak edi, u teng. Keyin o'rta chiziqning uzunligi yarmi uzun va teng bo'ladi.

Javob: .

Izoh: Bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, biz biroz keyinroq murojaat qilamiz.

Ayni paytda, bu erda siz uchun bir nechta vazifalar bor, ular ustida mashq qiling, ular juda oddiy, ammo ular koordinata usulidan foydalangan holda "qo'lingizni olishga" yordam beradi!

1. Nuqtalar paydo bo'ladi-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

2. Ballar va yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Top-dee-te yoki-dee-on-tu nuqtalari.

3. Kesimdan uzunlikni toping, ikkinchi nuqtani va ulang

4. Ko-or-di-nat-noy tekisligida-red-shen-noy fi-gu-ry maydonini toping-di-te.

5. Markazi na-cha-le ko-or-di-natda joylashgan aylana nuqtadan oʻtadi. Uning ra-di-mo'ylovini toping.

6. Nai-di-te ra-di-us doira-no-sti, to'g'ri burchakli-no-ka yaqinida tasvirlab-san-noy, bir narsa-ro-go ning tepalari-shi-ny bor ko-or - di-na-siz ham-javobdan-lekin

Yechimlar:

1. Ma'lumki, trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslari yig'indisining yarmiga teng. Baza teng, lekin asos. Keyin

Javob:

2. Bu masalani yechishning eng oson yo'li - buni payqash (paralelogramma qoidasi). Vektorlarning koordinatalarini hisoblang va qiyin emas: . Vektorlarni qo'shishda koordinatalar qo'shiladi. Keyin koordinatalar mavjud. Nuqta bir xil koordinatalarga ega, chunki vektorning boshi koordinatali nuqtadir. Biz ordinataga qiziqamiz. U teng.

Javob:

3. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi bo'yicha darhol harakat qilamiz:

Javob:

4. Rasmga qarang va ayting-chi, qaysi ikki raqam orasida soyali maydon "siqilgan"? U ikkita kvadrat orasiga o'ralgan. Keyin kerakli raqamning maydoni katta kvadratning maydonidan kichik kvadratning maydoniga teng bo'ladi. Kichik kvadratning yon tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment bo'lib, uning uzunligi

Keyin kichik kvadratning maydoni

Katta kvadrat bilan ham xuddi shunday qilamiz: uning tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment va uzunligi teng

Keyin katta kvadratning maydoni

Istalgan raqamning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi:

Javob:

5. Agar aylananing markazi koordinataga ega bo'lsa va nuqtadan o'tsa, u holda uning radiusi segment uzunligiga to'liq teng bo'ladi (chizma tuzing va nima uchun bu aniq ekanligini tushunasiz). Ushbu segmentning uzunligini toping:

Javob:

6. Ma'lumki, to'rtburchak atrofida aylana radiusi uning diagonalining yarmiga teng. Keling, ikkita diagonaldan birining uzunligini topaylik (oxir-oqibat, to'rtburchakda ular teng!)

Javob:

Xo'sh, siz hamma narsani hal qildingizmi? Buni aniqlash unchalik qiyin emas edi, shunday emasmi? Bu erda faqat bitta qoida bor - vizual rasm yaratish va undan barcha ma'lumotlarni "o'qish".

Bizda juda oz qoldi. Men muhokama qilmoqchi bo'lgan yana ikkita fikr bor.

Keling, ushbu oddiy muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Ikki ball bo'lsin va berilsin. Segment o'rtasining koordinatalarini toping. Ushbu muammoning echimi quyidagicha: nuqta kerakli o'rta bo'lsin, keyin uning koordinatalari mavjud:

Ya'ni: segment o'rtasining koordinatalari = segment uchlarining tegishli koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Bu qoida juda oddiy va odatda talabalar uchun qiyinchilik tug'dirmaydi. Keling, qanday muammolar va qanday ishlatilishini ko'rib chiqaylik:

1. Toping-di-te or-di-na-tu se-re-di-us dan-kesim, ulanish-nya-yu-th-nuqta va.

2. Nuqtalar yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Uning dia-go-on-lei-ning re-re-se-che-niya-ning-di-te or-di-na-tu nuqtalarini toping.

3. Doira markazini toping-di-te abs-cis-su, tasvir-san-noy to'rtburchaklar-no-ka yaqinida, tepalari-shi-bizda nimadir-ro-go ko-or-di- bor. na-siz hamkorlik-dan-vet-stvenno-lekin.

Yechimlar:

1. Birinchi vazifa shunchaki klassik. Biz segmentning o'rta nuqtasini aniqlab, darhol harakat qilamiz. Uning koordinatalari bor. Ordinata teng.

Javob:

2. Berilgan to‘rtburchak parallelogramm (hatto romb ham!) ekanligini ko‘rish oson. Tomonlarning uzunligini hisoblash va ularni bir-biri bilan solishtirish orqali buni o'zingiz isbotlashingiz mumkin. Parallelogramma haqida nima bilaman? Uning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'lingan! Oha! Shunday qilib, diagonallarning kesishish nuqtasi nima? Bu har qanday diagonalning o'rtasi! Men, xususan, diagonalni tanlayman. U holda nuqta koordinatalariga ega.Nuqtaning ordinatasi ga teng.

Javob:

3. To‘g‘ri to‘rtburchak atrofida aylana markazi nimadan iborat? Uning diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz? Ular teng va kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi. Vazifa avvalgisiga qisqartirildi. Masalan, diagonalni olaylik. Agar chegaralangan doiraning markazi bo'lsa, unda o'rtasi. Men koordinatalarni qidiryapman: abscissa teng.

Javob:

Endi o'zingiz biroz mashq qiling, men har bir masalaga faqat o'zingizni tekshirib ko'rishingiz uchun javob beraman.

1. Nai-di-te ra-di-us doira-no-sti, uchburchak-no-ka yaqinida tasvir-san-noy, kimdir-ro-goning tepalarida ko-or-di -misterlar yo'q.

2. Doira markazini toping-di-te or-di-na-tu, uchburchak-no-ka yaqinidagi san-noyni tasvirlang, tepalar-shi-bizda biror narsa-ro-go koordinatalari bor.

3. Markazi bir nuqtada abs-ciss o'qiga tegib turadigan aylana qanday ra-di-y-sa bo'lishi kerak?

4. Toping-di-te or-di-on-o'sha nuqtasini qayta-qayta-se-che-ing o'qi va dan-kesim, ulanish-nya-yu-th-chi nuqta va

Javoblar:

Hammasi chiqdimi? Men, albatta, umid qilaman! Endi - oxirgi bosish. Endi ayniqsa ehtiyot bo'ling. Men hozir tushuntirib bermoqchi bo‘lgan material faqat B bo‘limidagi oddiy koordinatalar metodi masalalariga taalluqli emas, balki C2 muammosida ham hamma joyda mavjud.

Qaysi va'dalarimni hali bajarmaganman? Yodingizdami, vektorlar ustida qanday operatsiyalarni kiritishga va'da bergandim va qaysi birini oxirida kiritdim? Hech narsani unutmaganimga ishonchim komilmi? Unutdim! Vektorlarni ko'paytirish nimani anglatishini tushuntirishni unutibman.

Vektorni vektorga ko'paytirishning ikki yo'li mavjud. Tanlangan usulga qarab, biz boshqa tabiatdagi ob'ektlarni olamiz:

Vektor mahsuloti juda qiyin. Buni qanday qilish kerak va nima uchun kerak, biz siz bilan keyingi maqolada muhokama qilamiz. Va bu erda biz skalyar mahsulotga e'tibor qaratamiz.

Buni hisoblashning ikkita usuli mavjud:

Siz taxmin qilganingizdek, natija bir xil bo'lishi kerak! Shunday qilib, birinchi yo'lni ko'rib chiqaylik:

Koordinatalar orqali nuqta hosil qilish

Toping: - nuqta hosilasi uchun umumiy belgi

Hisoblash formulasi quyidagicha:

Ya'ni, nuqta mahsuloti = vektorlar koordinatalari ko'paytmalarining yig'indisi!

Misol:

Top-dee-te

Yechim:

Har bir vektorning koordinatalarini toping:

Skayar mahsulotni quyidagi formula bo'yicha hisoblaymiz:

Javob:

Ko'ryapsizmi, hech qanday murakkab narsa yo'q!

Xo'sh, endi o'zingiz sinab ko'ring:

Toping-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie asr-to-handaq va

Siz boshqardingizmi? Balki u bir oz hiyla-nayrangni payqagandir? Keling, tekshiramiz:

Oldingi vazifadagi kabi vektor koordinatalari! Javob: .

Koordinataga qo'shimcha ravishda, skalyar mahsulotni hisoblashning yana bir usuli mavjud, ya'ni vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakning kosinuslari orqali:

vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.

Ya'ni, skalyar ko'paytma vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslari ko'paytmasiga teng.

Nima uchun bizga bu ikkinchi formula kerak, agar bizda birinchisi bo'lsa, u ancha sodda, hech bo'lmaganda unda kosinuslar yo'q. Bizga birinchi va ikkinchi formulalardan vektorlar orasidagi burchakni qanday topish mumkinligi haqida xulosa qilishimiz kerak!

Let Keyin vektor uzunligi formulasini eslaylik!

Agar men ushbu ma'lumotlarni nuqta mahsulot formulasiga kiritsam, men quyidagilarni olaman:

Ammo boshqa tomondan:

Xo'sh, bizda nima bor? Endi bizda ikkita vektor orasidagi burchakni hisoblash uchun formula mavjud! Ba'zan qisqalik uchun shunday yoziladi:

Ya'ni vektorlar orasidagi burchakni hisoblash algoritmi quyidagicha:

1. Biz koordinatalar orqali skalyar mahsulotni hisoblaymiz
2. Vektorlarning uzunliklarini toping va ularni ko'paytiring
3. 1-bandning natijasini 2-bandning natijasiga bo'ling

Keling, misollar bilan mashq qilaylik:

1. Ko'z qovoqlari-to-ra-mi va orasidagi burchakni toping. Javobingizni darajalarda bering.

2. Oldingi masala shartlarida vektorlar orasidagi kosinusni toping

Keling, shunday qilaylik: birinchi muammoni hal qilishga yordam beraman, ikkinchisini esa o'zingiz hal qilishga harakat qiling! Men roziman? Keyin boshlaylik!

1. Bu vektorlar bizning eski do'stlarimizdir. Biz allaqachon ularning skalyar mahsulotini ko'rib chiqdik va u teng edi. Ularning koordinatalari: , . Keyin ularning uzunligini topamiz:

Keyin vektorlar orasidagi kosinusni qidiramiz:

Burchakning kosinusu nimaga teng? Bu burchak.

Javob:

Xo'sh, endi ikkinchi masalani o'zingiz hal qiling va keyin solishtiring! Men juda qisqacha yechim beraman:

2. koordinatalari bor, koordinatalari bor.

vektorlar orasidagi burchak bo'lsin, keyin

Javob:

Shuni ta'kidlash kerakki, imtihon qog'ozining B qismida to'g'ridan-to'g'ri vektorlar va koordinatalar usuli bo'yicha vazifalar juda kam uchraydi. Biroq, C2 muammolarining katta qismi koordinata tizimini joriy qilish orqali osonlikcha hal qilinishi mumkin. Shunday qilib, siz ushbu maqolani poydevor sifatida ko'rib chiqishingiz mumkin, uning asosida biz murakkab muammolarni hal qilishimiz kerak bo'lgan juda murakkab konstruktsiyalarni qilamiz.

KOORDINATLAR VA VEKTORLAR. ORALIQ DARAJA

Siz va men koordinatalar usulini o'rganishda davom etamiz. Oxirgi qismda biz bir qator muhim formulalarni oldik, ular quyidagilarga imkon beradi:

1. Vektor koordinatalarini toping
2. Vektor uzunligini toping (muqobil ravishda: ikki nuqta orasidagi masofa)
3. Vektorlarni qo'shish, ayirish. Ularni haqiqiy songa ko'paytiring
4. Segmentning o'rta nuqtasini toping
5. Vektorlarning nuqta mahsulotini hisoblang
6. Vektorlar orasidagi burchakni toping

Albatta, butun koordinata usuli bu 6 nuqtaga to'g'ri kelmaydi. U siz universitetda tanishadigan analitik geometriya kabi fanga asoslanadi. Men faqat bitta davlatda muammolarni hal qilish imkonini beradigan poydevor qurmoqchiman. imtihon. Biz B qismidagi vazifalarni aniqladik. Endi sifat jihatidan yangi bosqichga o'tish vaqti keldi! Ushbu maqola C2 muammolarini hal qilish usuliga bag'ishlangan bo'lib, unda koordinatalar usuliga o'tish maqsadga muvofiqdir. Ushbu asoslilik muammoda nimani topish kerakligi va qanday raqam berilganligi bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar savollar bo'lsa, men koordinata usulidan foydalanaman:

1. Ikki tekislik orasidagi burchakni toping
2. Chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping
3. Ikki chiziq orasidagi burchakni toping
4. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
5. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping
6. To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
7. Ikki chiziq orasidagi masofani toping

Agar masala shartida berilgan raqam inqilob tanasi bo'lsa (to'p, silindr, konus ...)

Koordinata usuli uchun mos raqamlar:

1. kubsimon
2. Piramida (uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli)

Bundan tashqari, mening tajribamda uchun koordinata usulini qo'llash noo'rin:

1. Bo'limlarning maydonlarini topish
2. Jismlarning hajmlarini hisoblash

Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, koordinata usuli uchun uchta "noqulay" vaziyat amalda juda kam uchraydi. Ko'pgina vazifalarda, ayniqsa, siz uch o'lchamli konstruktsiyalarda (ba'zida juda murakkab) juda kuchli bo'lmasangiz, u sizning qutqaruvchingizga aylanishi mumkin.

Men yuqorida sanab o'tgan barcha raqamlar qanday? Ular endi tekis emas, masalan, kvadrat, uchburchak, doira, lekin hajmli! Shunga ko'ra, biz ikki o'lchovli emas, balki uch o'lchovli koordinatalar tizimini hisobga olishimiz kerak. U juda oson quriladi: abscissa va ordinatalarga qo'shimcha ravishda biz yana bir o'qni, amaliy o'qni kiritamiz. Rasmda ularning nisbiy holati sxematik ko'rsatilgan:

Ularning barchasi o'zaro perpendikulyar, bir nuqtada kesishadi, biz uni kelib chiqishi deb ataymiz. Abtsissa o'qi avvalgidek, ordinata o'qi - , kiritilgan qo'llaniladigan o'q esa - belgilanadi.

Agar ilgari tekislikdagi har bir nuqta ikkita raqam - abscissa va ordinata bilan tavsiflangan bo'lsa, u holda fazodagi har bir nuqta allaqachon uchta raqam bilan tasvirlangan - abscissa, ordinata, applikatsiya. Masalan:

Shunga ko'ra, nuqtaning abssissasi teng, ordinatasi , ilovasi esa .

Ba'zan nuqtaning abscissasi nuqtaning abscissa o'qiga proyeksiyasi deb ham ataladi, ordinata - nuqtaning y o'qiga proyeksiyasi, applikatsiya - nuqtaning qo'llaniladigan o'qga proyeksiyasi. Shunga ko'ra, agar nuqta berilgan bo'lsa, u holda koordinatali nuqta:

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

Tabiiy savol tug'iladi: ikki o'lchovli holat uchun olingan barcha formulalar kosmosda haqiqiymi? Javob ha, ular oddiy va bir xil ko'rinishga ega. Kichik tafsilot uchun. O'ylaymanki, siz qaysi birini allaqachon taxmin qilgansiz. Barcha formulalarda biz ilova o'qi uchun javobgar bo'lgan yana bir atama qo'shishimiz kerak. Aynan.

1. Ikki nuqta berilgan bo'lsa: , u holda:

• Vektor koordinatalari:
• Ikki nuqta orasidagi masofa (yoki vektor uzunligi)
• Segmentning o'rtasida koordinatalar mavjud

2. Agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, keyin:

• Ularning nuqta mahsuloti:
• Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu:

Biroq, makon unchalik oddiy emas. Siz tushunganingizdek, yana bitta koordinataning qo'shilishi ushbu bo'shliqda "yashovchi" raqamlar spektrida sezilarli xilma-xillikni keltirib chiqaradi. Va keyingi rivoyat uchun men to'g'ri chiziqning ba'zi, taxminan aytganda, "umumlashtirish" bilan tanishtirishim kerak. Bu "umumlashtirish" samolyot bo'ladi. Samolyot haqida nimalarni bilasiz? Savolga javob berishga harakat qiling, samolyot nima? Buni aytish juda qiyin. Biroq, biz hammamiz intuitiv ravishda uning qanday ko'rinishini tasavvur qilamiz:

Taxminan aytganda, bu kosmosga cheksiz "barg" ning bir turi. "Cheksizlik" tekislikning barcha yo'nalishlarda cho'zilishi, ya'ni uning maydoni cheksizlikka teng ekanligini tushunish kerak. Biroq, bu "barmoqlarda" tushuntirish samolyotning tuzilishi haqida zarracha fikr ham bermaydi. Va biz bunga qiziqamiz.

Keling, geometriyaning asosiy aksiomalaridan birini eslaylik:

• To'g'ri chiziq tekislikning ikki xil nuqtasidan o'tadi, bundan tashqari, faqat bitta:

Yoki uning kosmosdagi analogi:

Albatta, siz ikkita berilgan nuqtadan to'g'ri chiziq tenglamasini qanday chiqarishni eslaysiz, bu unchalik qiyin emas: agar birinchi nuqta koordinatalarga ega bo'lsa: ikkinchisi esa, to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Siz buni 7-sinfda boshdan kechirgansiz. Fazoda to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: koordinatalari bo'lgan ikkita nuqtaga ega bo'lsin: , u holda ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi:

Masalan, chiziq nuqtalardan o'tadi:

Buni qanday tushunish kerak? Buni quyidagicha tushunish kerak: nuqta chiziq ustida joylashgan bo'lsa, uning koordinatalari quyidagi tizimni qondirsa:

To'g'ri chiziq tenglamasi bizni unchalik qiziqtirmaydi, lekin biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining juda muhim tushunchasiga e'tibor qaratishimiz kerak. - berilgan chiziqda yoki unga parallel bo'lgan nolga teng bo'lmagan har qanday vektor.

Masalan, ikkala vektor ham to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlari. To'g'ri chiziqda yotgan nuqta va uning yo'naltiruvchi vektori bo'lsin. Keyin to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

Yana bir bor to'g'ri chiziq tenglamasi meni unchalik qiziqtirmaydi, lekin yo'nalish vektori nima ekanligini eslab qolishingiz kerak! Yana bir marta: Bu chiziq ustida yoki unga parallel yotgan HAR QANDAY nolga teng vektor.

Olib tashlash tekislikning uch nuqtali tenglamasi endi unchalik ahamiyatsiz emas va odatda bu masala kursda ko'rib chiqilmaydi o'rta maktab. Lekin behuda! Murakkab muammolarni hal qilish uchun koordinata usuliga murojaat qilganimizda, bu usul juda muhimdir. Biroq, menimcha, sizda yangi narsalarni o'rganish istagi bormi? Bundan tashqari, siz analitik geometriya kursida o'rganiladigan texnikadan qanday foydalanishni allaqachon bilganingiz ma'lum bo'lganda, siz universitetdagi o'qituvchingizni hayratda qoldirishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Tekislik tenglamasi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasidan unchalik farq qilmaydi, ya'ni u quyidagi ko'rinishga ega:

ba'zi raqamlar (barchasi nolga teng emas), lekin o'zgaruvchilar, masalan: va hokazo. Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasidan (chiziqli funktsiya) unchalik farq qilmaydi. Biroq, biz siz bilan nima bahslashganimizni eslaysizmi? Agar bizda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bo'lsa, unda tekislik tenglamasi ulardan noyob tarzda tiklanadi, dedik. Lekin qanday? Men sizga tushuntirishga harakat qilaman.

Chunki tekislik tenglamasi:

Va nuqtalar ushbu tekislikka tegishli, keyin har bir nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga almashtirganda, biz to'g'ri identifikatsiyani olishimiz kerak:

Shunday qilib, noma'lum bo'lgan uchta tenglamani hal qilish kerak! Dilemma! Biroq, biz har doim shunday deb taxmin qilishimiz mumkin (buning uchun biz bo'linishimiz kerak). Shunday qilib, biz uchta noma'lumli uchta tenglamani olamiz:

Biroq, biz bunday tizimni hal qilmaymiz, lekin undan kelib chiqadigan sirli ifodani yozamiz:

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \o'ng| = 0\]

To'xta! Bu yana nima? Juda noodatiy modul! Biroq, sizning oldingizda ko'rayotgan ob'ektning modulga hech qanday aloqasi yo'q. Bu obyekt uchinchi tartibli determinant deb ataladi. Bundan buyon, siz tekislikdagi koordinatalar usuli bilan shug'ullanganingizda, xuddi shu determinantlarga tez-tez duch kelasiz. Uchinchi tartibli determinant nima? Ajabo, bu shunchaki raqam. Determinant bilan qaysi aniq raqamni solishtirishni tushunish qoladi.

Avval uchinchi tartibli determinantni umumiyroq shaklda yozamiz:

Ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, birinchi indeks deganda biz satr raqamini, indeks deganda esa ustun raqamini tushunamiz. Masalan, bu berilgan raqam ikkinchi qator va uchinchi ustunning kesishmasida ekanligini bildiradi. Keling, quyidagi savolni qo'yaylik: bunday determinantni qanday aniq hisoblaymiz? Ya'ni, qanday aniq raqam bilan solishtiramiz? Aniq uchinchi tartibning determinanti uchun evristik (vizual) uchburchak qoidasi mavjud, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Asosiy diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori chapdan pastki o'ngga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi asosiy diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi. diagonal
2. Ikkilamchi diagonal elementlarining ko'paytmasi (yuqori o'ngdan pastki chapga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi ikkinchi darajali diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi. ikkilamchi diagonal
3. Keyin determinant va qadamda olingan qiymatlar orasidagi farqga teng bo'ladi

Agar bularning barchasini raqamlar bilan yozsak, quyidagi ifodani olamiz:

Biroq, ushbu shaklda hisoblash usulini eslab qolishning hojati yo'q, shunchaki uchburchaklarni boshingizda ushlab turish va nimaga nima qo'shilishi va nimadan nima ayirilishi haqidagi g'oyaning o'zi kifoya).

Keling, uchburchak usulini misol bilan ko'rsatamiz:

1. Aniqlovchini hisoblang:

Keling, nimani qo'shishimiz va nimani ayirishimizni aniqlaymiz:

"Plyus" bilan kelgan atamalar:

Bu asosiy diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Biz uchta raqamni qo'shamiz:

"minus" bilan kelgan atamalar

Bu yon diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Biz uchta raqamni qo'shamiz:

Bajarilishi kerak bo'lgan narsa - ortiqcha shartlar yig'indisidan minus shartlar yig'indisini ayirish:

Shunday qilib,

Ko'rib turganingizdek, uchinchi darajali determinantlarni hisoblashda murakkab va g'ayritabiiy narsa yo'q. Uchburchaklar haqida eslash va arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik juda muhimdir. Endi o'zingizni hisoblashga harakat qiling:

Biz tekshiramiz:

1. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
2. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi uchburchak:
3. Plyus shartlar yig'indisi:
4. Yon diagonalga perpendikulyar birinchi uchburchak:
5. Yon diagonalga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi uchburchak:
6. Minusli shartlar yig'indisi:
7. Ortiqcha shartlar yig‘indisidan minuslar yig‘indisi:

Mana siz uchun yana bir nechta aniqlovchilar, ularning qiymatlarini o'zingiz hisoblang va javoblar bilan solishtiring:

Javoblar:

Xo'sh, hammasi mos keldimi? Ajoyib, keyin davom eta olasiz! Agar qiyinchiliklar bo'lsa, mening maslahatim shunday: Internetda determinantni onlayn hisoblash uchun bir qator dasturlar mavjud. Sizga kerak bo'lgan narsa - o'zingizning determinantingizni o'ylab toping, uni o'zingiz hisoblang va keyin uni dastur hisoblagan narsa bilan solishtiring. Va shunga o'xshash natijalar mos kelguniga qadar. Ishonchim komilki, bu daqiqa uzoq kutilmaydi!

Keling, uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi haqida gapirganimda yozgan determinantga qaytaylik:

Uning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri hisoblashingiz kerak (uchburchak usuli) va natijani nolga qo'ying. Tabiiyki, ular o'zgaruvchilar bo'lgani uchun siz ularga bog'liq bo'lgan ba'zi ifodalarni olasiz. Aynan shu ifoda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi bo'ladi!

Buni oddiy misol bilan tushuntiramiz:

1. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Ushbu uch nuqta uchun determinant tuzamiz:

Soddalash:

Endi biz uni to'g'ridan-to'g'ri uchburchaklar qoidasiga ko'ra hisoblaymiz:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ o'ng| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \o'ng) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Shunday qilib, nuqtalardan o'tadigan tekislikning tenglamasi:

Endi bitta muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, keyin biz buni muhokama qilamiz:

2. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

Keling, endi yechimni muhokama qilaylik:

Biz determinant qilamiz:

Va uning qiymatini hisoblang:

Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki kamaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Endi o'z-o'zini nazorat qilish uchun ikkita vazifa:

1. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:

Javoblar:

Hammasi mos keldimi? Shunga qaramay, agar ma'lum qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, mening maslahatim shunday: siz boshingizdan uchta nuqtani olasiz (ular bitta to'g'ri chiziqda yotmaslik ehtimoli yuqori), ularning ustiga samolyot qurasiz. Va keyin o'zingizni onlayn tekshiring. Masalan, saytda:

Biroq, determinantlar yordamida biz nafaqat tekislikning tenglamasini tuzamiz. Esingizda bo'lsin, men sizga vektorlar uchun faqat nuqta mahsuloti aniqlanmaganligini aytdim. Bundan tashqari, vektor, shuningdek, aralash mahsulot mavjud. Va agar ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi son bo'lsa, u holda ikkita vektorning vektor mahsuloti vektor bo'ladi va bu vektor berilganlarga perpendikulyar bo'ladi:

Bundan tashqari, uning moduli vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoniga teng bo'ladi. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun bizga bu vektor kerak bo'ladi. Vektorlarning kesishgan mahsulotini qanday hisoblashimiz mumkin va agar ularning koordinatalari berilgan bo'lsa? Uchinchi tartibning determinanti yana yordamimizga keladi. Biroq, ko'ndalang mahsulotni hisoblash algoritmiga o'tishdan oldin, men kichik lirik digressiya qilishim kerak.

Ushbu cheklash asosiy vektorlarga tegishli.

Sxematik ravishda ular rasmda ko'rsatilgan:

Nima uchun ular asosiy deb ataladi deb o'ylaysiz? Gap shundaki :

Yoki rasmda:

Ushbu formulaning to'g'riligi aniq, chunki:

vektor mahsuloti

Endi men o'zaro faoliyat mahsulotini kiritishni boshlashim mumkin:

Ikki vektorning vektor mahsuloti vektor bo'lib, quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

Keling, ko'ndalang mahsulotni hisoblashning ba'zi misollarini keltiramiz:

1-misol: Vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasini toping:

Yechim: Men determinant qilaman:

Va men buni hisoblayman:

Endi, asosiy vektorlar orqali yozishdan boshlab, men odatiy vektor yozuviga qaytaman:

Shunday qilib:

Endi urinib ko'ring.

Tayyormisiz? Biz tekshiramiz:

Va an'anaviy ravishda ikkita nazorat qilish vazifalari:

1. Quyidagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasini toping:
2. Quyidagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasini toping:

Javoblar:

Uch vektorning aralash mahsuloti

Menga kerak bo'lgan oxirgi qurilish uchta vektorning aralash mahsulotidir. Bu, xuddi skaler kabi, raqam. Uni hisoblashning ikki yo'li mavjud. - aniqlovchi orqali, - aralash mahsulot orqali.

Aytaylik, bizda uchta vektor bor:

Shu bilan belgilangan uchta vektorning aralash mahsulotini quyidagicha hisoblash mumkin:

1. - ya'ni aralash mahsulot vektorning skalyar ko'paytmasi va boshqa ikkita vektorning vektor ko'paytmasidir.

Masalan, uchta vektorning aralash mahsuloti:

Vektor mahsuloti yordamida uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling va natijalar mos kelishiga ishonch hosil qiling!

Va yana - mustaqil yechim uchun ikkita misol:

Javoblar:

Koordinatalar tizimini tanlash

Xo'sh, endi biz geometriyadagi murakkab stereometrik muammolarni hal qilish uchun barcha kerakli bilimlarga egamiz. Biroq, to'g'ridan-to'g'ri misollar va ularni hal qilish algoritmlariga o'tishdan oldin, men quyidagi savolga to'xtalib o'tish foydali bo'ladi deb o'ylayman: qanday qilib aniq ma'lum bir raqam uchun koordinatalar tizimini tanlang. Axir, koordinatalar tizimining nisbiy o'rnini va kosmosdagi raqamni tanlash, oxir-oqibat hisob-kitoblar qanchalik og'ir bo'lishini aniqlaydi.

Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limda biz quyidagi shakllarni ko'rib chiqamiz:

1. kubsimon
2. To'g'ri prizma (uchburchak, olti burchakli ...)
3. Piramida (uchburchak, to'rtburchak)
4. Tetraedr (uchburchak piramida bilan bir xil)

Kuboid yoki kub uchun men quyidagi qurilishni tavsiya qilaman:

Ya'ni, men raqamni "burchakda" joylashtiraman. Kub va quti juda yaxshi raqamlar. Ular uchun siz har doim uning cho'qqilarining koordinatalarini osongina topishingiz mumkin. Masalan, agar (rasmda ko'rsatilganidek)

u holda tepalik koordinatalari:

Albatta, buni eslab qolishning hojati yo'q, lekin kub yoki to'rtburchaklar qutini qanday joylashtirishni eslab qolish maqsadga muvofiqdir.

to'g'ri prizma

Prizma ko'proq zararli raqam. Siz uni kosmosda turli yo'llar bilan tartibga solishingiz mumkin. Biroq, menimcha, quyidagi eng yaxshi variant:

Uchburchak prizma:

Ya'ni, biz uchburchakning bir tomonini to'liq o'qga qo'yamiz va tepaliklardan biri koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi.

Olti burchakli prizma:

Ya'ni, cho'qqilardan biri koordinataga to'g'ri keladi va tomonlardan biri o'qda yotadi.

To'rtburchak va olti burchakli piramida:

Kubga o'xshash vaziyat: biz asosning ikki tomonini koordinata o'qlari bilan birlashtiramiz, biz tepaliklardan birini kelib chiqishi bilan birlashtiramiz. Faqatgina kichik qiyinchilik nuqtaning koordinatalarini hisoblash bo'ladi.

Olti burchakli piramida uchun - olti burchakli prizma bilan bir xil. Asosiy vazifa yana tepaning koordinatalarini topishda bo'ladi.

Tetraedr (uchburchak piramida)

Vaziyat men uchburchak prizma uchun bergan holatga juda o'xshaydi: bir cho'qqi koordinata o'qiga to'g'ri keladi, bir tomoni koordinata o'qida yotadi.

Xo'sh, endi siz va men muammolarni hal qilishni boshlashga yaqinmiz. Maqolaning boshida aytganlarimdan siz quyidagi xulosaga kelishingiz mumkin: ko'pchilik C2 muammolari 2 toifaga bo'linadi: burchak muammolari va masofa uchun muammolar. Birinchidan, burchakni topish uchun muammolarni ko'rib chiqamiz. Ular, o'z navbatida, quyidagi toifalarga bo'linadi (murakkablik ortishi bilan):

Burchaklarni topish bilan bog'liq muammolar

1. Ikki chiziq orasidagi burchakni topish
2. Ikki tekislik orasidagi burchakni topish

Keling, bu masalalarni ketma-ket ko'rib chiqaylik: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdan boshlaylik. Xo'sh, esingizdami, siz va men ilgari shunga o'xshash misollarni hal qilganmiz? Esingizdami, bizda allaqachon shunga o'xshash narsa bor edi ... Biz ikkita vektor orasidagi burchakni qidirdik. Sizga eslatib o'taman, agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, ular orasidagi burchak munosabatlardan topiladi:

Endi bizda maqsad bor - ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish. Keling, "tekis rasm" ga murojaat qilaylik:

Ikki chiziq kesishganda nechta burchak hosil qilamiz? Allaqachon narsalar. To'g'ri, ulardan faqat ikkitasi teng emas, boshqalari esa ularga vertikal (va shuning uchun ular bilan mos keladi). Xo'sh, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qaysi burchakni hisobga olishimiz kerak: yoki? Bu erda qoida: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak har doim gradusdan oshmaydi. Ya'ni, ikkita burchakdan biz har doim eng kichik daraja o'lchovi bilan burchakni tanlaymiz. Ya'ni, bu rasmda ikkita chiziq orasidagi burchak teng. Har safar ikkita burchakning eng kichigini topish bilan ovora bo'lmaslik uchun ayyor matematiklar moduldan foydalanishni taklif qilishdi. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Diqqatli o'quvchi sifatida sizda savol tug'ilishi kerak edi: burchakning kosinusini hisoblashimiz kerak bo'lgan bu raqamlarni qaerdan olamiz? Javob: biz ularni chiziqlarning yo'nalish vektorlaridan olamiz! Shunday qilib, ikkita chiziq orasidagi burchakni topish algoritmi quyidagicha:

1. Biz 1-formulani qo'llaymiz.

Yoki batafsilroq:

1. Biz birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
2. Biz ikkinchi chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
3. Ularning skalyar mahsulotining modulini hisoblang
4. Biz birinchi vektorning uzunligini qidiramiz
5. Biz ikkinchi vektorning uzunligini qidiramiz
6. 4-band natijalarini 5-band natijalariga ko'paytiring
7. 3-nuqta natijasini 6-nuqta natijasiga ajratamiz. Chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini olamiz.
8. Agar bu natija burchakni aniq hisoblash imkonini beradigan bo'lsa, biz uni qidiramiz
9. Aks holda, arkkosinus orqali yozamiz

Xo'sh, endi vazifalarga o'tish vaqti keldi: men birinchi ikkitasining echimini batafsil ko'rsataman, boshqasining echimini taqdim etaman. xulosa, va oxirgi ikkita muammoga men faqat javob beraman, ular uchun barcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajarishingiz kerak.

Vazifalar:

1. To'g'ri tet-ra-ed-reda siz-shunday tet-ra-ed-ra va me-di-a-noy bo-ko-how tomoni orasidagi burchakni-di-te toping.

2. O'ngga oltita-ko'mir-pi-ra-mi-de, yuz-ro-na-os-no-va-niya qandaydir tarzda teng va yon qovurg'alar teng, to'g'ri orasidagi burchakni toping. chiziqlar va.

3. O'ng qo'lli to'rt-you-rech-ko'mir-noy pi-ra-mi-dyning barcha qirralarining uzunligi bir-biriga teng. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va agar from-re-zok - you-so-bu berilgan pi-ra-mi-dy, nuqta uning bo-ko- th qovurg'asida se-re-di-da bo'ladi.

4. Kubning chetida-me-che-dan nuqtaga qadar to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping-di-te.

5. Nuqta - kubning chetlarida se-re-di-to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni Nai-di-te va.

Vazifalarni shunday tartibda joylashtirganim bejiz emas. Koordinata usulida harakat qilishni boshlashga hali vaqtingiz bo'lmagan bo'lsa-da, men o'zim eng "muammoli" raqamlarni tahlil qilaman va sizni eng oddiy kub bilan shug'ullanish uchun qoldiraman! Asta-sekin siz barcha raqamlar bilan ishlashni o'rganishingiz kerak, men mavzudan mavzuga vazifalarning murakkabligini oshiraman.

Keling, muammolarni hal qilishni boshlaylik:

1. Tetraedrni chizing, uni ilgari taklif qilganimdek koordinatalar tizimiga joylashtiring. Tetraedr muntazam bo'lganligi sababli, uning barcha yuzlari (shu jumladan asos) muntazam uchburchaklardir. Bizga tomonning uzunligi berilmaganligi sababli, men uni teng qabul qila olaman. O'ylaymanki, burchak bizning tetraedrimiz qanchalik "cho'zilgan"ligiga bog'liq emasligini tushunasizmi? Tetraedrda balandlik va medianani ham chizaman. Yo'lda men uning asosini chizaman (u biz uchun ham foydali bo'ladi).

va orasidagi burchakni topishim kerak. Biz nimani bilamiz? Biz faqat nuqtaning koordinatasini bilamiz. Shunday qilib, biz nuqtalarning ko'proq koordinatalarini topishimiz kerak. Endi biz o'ylaymiz: nuqta - bu uchburchakning balandliklari (yoki bissektrisalari yoki medianlari) kesishish nuqtasi. Nuqta ko'tarilgan nuqtadir. Nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Keyin nihoyat topishimiz kerak: nuqtalarning koordinatalarini: .

Eng oddiyidan boshlaylik: nuqta koordinatalari. Rasmga qarang: nuqtaning ilovasi nolga teng ekanligi aniq (nuqta tekislikda yotadi). Uning ordinatasi teng (chunki u mediana). Uning abscissasini topish qiyinroq. Biroq, bu Pifagor teoremasi asosida osonlik bilan amalga oshiriladi: uchburchakni ko'rib chiqing. Uning gipotenuzasi teng va oyoqlaridan biri teng bo'lsa:

Nihoyat bizda:

Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning qo'llanilishi yana nolga teng va uning ordinatasi nuqta bilan bir xil, ya'ni. Keling, uning absissasini topamiz. Agar kimdir buni eslasa, bu juda ahamiyatsiz tarzda amalga oshiriladi teng tomonli uchburchakning balandliklari kesishish nuqtasiga nisbatda bo'linadi yuqoridan hisoblash. Chunki:, u holda segment uzunligiga teng nuqtaning kerakli absissasi: ga teng. Shunday qilib, nuqtaning koordinatalari:

Nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Va applikatsiya segmentning uzunligiga teng. - bu uchburchakning oyoqlaridan biri. Uchburchakning gipotenuzasi segment - oyoqdir. Men qalin harf bilan ta'kidlagan sabablar uchun qidiriladi:

Nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Keyin segmentning o'rtasi koordinatalari uchun formulani eslab qolishimiz kerak:

Mana, endi biz yo'nalish vektorlarining koordinatalarini izlashimiz mumkin:

Xo'sh, hamma narsa tayyor: biz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib,

Javob:

Bunday "dahshatli" javoblardan qo'rqmaslik kerak: C2 muammolari uchun bu odatiy amaliyotdir. Men bu qismdagi "chiroyli" javobdan hayratda qolgan bo'lardim. Bundan tashqari, siz ta'kidlaganingizdek, men amalda Pifagor teoremasi va teng qirrali uchburchakning balandliklari xususiyatidan boshqa hech narsaga murojaat qilmadim. Ya'ni, stereometrik muammoni hal qilish uchun men eng minimal stereometriyadan foydalandim. Bu boradagi daromad ancha mashaqqatli hisob-kitoblar bilan qisman "o'chiriladi". Ammo ular juda algoritmik!

2. Muntazam olti burchakli piramidani koordinatalar sistemasi, shuningdek uning asosi bilan birga chizing:

Biz va chiziqlar orasidagi burchakni topishimiz kerak. Shunday qilib, bizning vazifamiz nuqtalarning koordinatalarini topishga qisqartiriladi: . Kichik chizmadan oxirgi uchtasining koordinatalarini topamiz va nuqta koordinatasi orqali tepaning koordinatasini topamiz. Ko'p ish, lekin boshlash kerak!

a) Koordinata: uning ilovasi va ordinatasi nolga teng ekanligi aniq. Keling, abtsissani topamiz. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Afsuski, unda biz faqat teng bo'lgan gipotenuzani bilamiz. Biz oyoqni topishga harakat qilamiz (chunki oyoqning ikki barobar uzunligi bizga nuqtaning abscissasini berishi aniq). Uni qanday izlashimiz mumkin? Keling, piramidaning tagida qanday shakl borligini eslaylik? Bu oddiy olti burchakli. Bu nima degani? Bu barcha tomonlar va barcha burchaklar teng ekanligini anglatadi. Biz shunday burchakni topishimiz kerak. Har qanday fikr bormi? Ko'p fikrlar bor, lekin formula bor:

Muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi .

Shunday qilib, muntazam olti burchakli burchaklar yig'indisi darajaga teng. Keyin burchaklarning har biri teng bo'ladi:

Keling, rasmga yana qaraylik. Segment burchakning bissektrisasi ekanligi aniq. Keyin burchak gradus bo'ladi. Keyin:

Keyin qayerda.

Shunday qilib, uning koordinatalari bor

b) Endi nuqtaning koordinatasini bemalol topamiz: .

v) nuqtaning koordinatalarini toping. Uning abscissasi segment uzunligiga to'g'ri kelganligi sababli, u tengdir. Ordinatani topish ham unchalik qiyin emas: agar biz nuqtalarni birlashtirsak va chiziqning kesishish nuqtasini belgilasak, deylik. (oddiy qurilishni o'zingiz bajaring). Shunday qilib, B nuqtaning ordinatasi segmentlar uzunliklarining yig'indisiga teng. Keling, yana uchburchakni ko'rib chiqaylik. Keyin

O'shandan beri nuqta koordinatalariga ega

d) Endi nuqtaning koordinatalarini toping. To'g'ri to'rtburchakni ko'rib chiqing va nuqta koordinatalari quyidagicha ekanligini isbotlang:

e) Tepaning koordinatalarini topish qoladi. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Keling, ilova topamiz. O'shandan beri. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing. Muammoning shartiga ko'ra, lateral chekka. Bu mening uchburchakning gipotenuzasi. Keyin piramidaning balandligi oyoqdir.

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Hammasi, meni qiziqtirgan barcha nuqtalarning koordinatalari bor. Men to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining koordinatalarini qidiryapman:

Ushbu vektorlar orasidagi burchakni qidiramiz:

Javob:

Shunga qaramay, bu masalani hal qilishda men oddiy n-burchak burchaklarining yig'indisi formulasidan, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning kosinus va sinusini aniqlashdan tashqari, hech qanday murakkab hiyla ishlatmadim.

3. Bizga yana piramidada qirralarning uzunliklari berilmagani uchun ularni bittaga teng deb hisoblayman. Shunday qilib, nafaqat yon tomonlari, balki HAMMA qirralari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, piramida va men poydevorida kvadrat yotadi va yon yuzlari muntazam uchburchaklardir. Keling, masalaning matnida keltirilgan barcha ma'lumotlarni belgilab, bunday piramidani, shuningdek uning asosini tekislikda tasvirlaylik:

Biz va orasidagi burchakni qidiramiz. Men nuqtalar koordinatalarini qidirayotganda juda qisqa hisob-kitoblarni amalga oshiraman. Ularni "shifrini ochish" kerak bo'ladi:

b) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari:

c) uchburchakda Pifagor teoremasidan foydalanib segment uzunligini topaman. Men uchburchakda Pifagor teoremasi orqali topaman.

Koordinatalar:

d) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari

e) Vektor koordinatalari

f) Vektor koordinatalari

g) burchakni izlash:

Kub eng oddiy figuradir. Ishonchim komilki, siz buni o'zingiz aniqlay olasiz. 4 va 5-masalalarning javoblari quyidagicha:

Chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish

Xo'sh, oddiy jumboqlarning vaqti tugadi! Endi misollar yanada qiyinroq bo'ladi. Chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

1. Uch nuqtadan foydalanib, biz tekislikning tenglamasini tuzamiz
   ,
   uchinchi tartibli determinant yordamida.
2. Ikki nuqta orqali biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini qidiramiz:
3. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ikkita chiziq orasidagi burchaklarni topish uchun ishlatgan formulaga juda o'xshaydi. O'ng tomonning tuzilishi xuddi shunday va chap tomonda biz avvalgidek kosinus emas, balki sinusni qidirmoqdamiz. Xo'sh, bitta jirkanch harakat qo'shildi - samolyot tenglamasini qidirish.

To'xtamaylik Yechish misollari:

1. Os-no-va-ni-em to'g'ridan-to'g'ri mening sovrinim-biz-la-et-xia teng-lekin-kambag'al-ren-ny uchburchak-nik siz-o'sha sovrin-biz tengmiz. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping

2. G'arbiy Nai-di-tedan to'rtburchak pa-ral-le-le-pi-pe-de to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak.

3. O'ng qo'lli oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

4. To'g'ri uchburchakli pi-ra-mi-de bilan os-but-va-ni-em g'arbiy tomondan qovurg'a Nai-di-te burchak, osning ob-ra-zo-van -ny tekisligi. -no-va-niya va to'g'ri-my, qovurg'alarning se-re-di-nasidan o'tib va

5. O'ng to'rtburchak pi-ra-mi-dy yuqori bilan barcha qirralarning uzunliklari bir-biriga teng. Agar nuqta pi-ra-mi-dyning bo-ko-in-chi chetida se-re-di-bo'lsa, to'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

Shunga qaramay, men birinchi ikkita muammoni batafsil hal qilaman, uchinchisini - qisqacha va oxirgi ikkitasini o'zingiz hal qilishingiz uchun qoldiraman. Bundan tashqari, siz allaqachon uchburchak va bilan shug'ullanishingiz kerak edi to'rtburchak piramidalar, lekin prizmalar bilan - hali emas.

Yechimlar:

1. Prizmani, shuningdek uning asosini chizing. Keling, uni koordinatalar tizimi bilan birlashtiramiz va muammo bayonida berilgan barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Men mutanosibliklarga rioya qilmaslik uchun uzr so'rayman, lekin muammoni hal qilish uchun bu, aslida, unchalik muhim emas. Samolyot mening prizmaning "orqa devori" dir. Bunday tekislikning tenglamasi quyidagi shaklga ega ekanligini taxmin qilish kifoya:

Biroq, bu to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilishi mumkin:

Biz bu tekislikda ixtiyoriy uchta nuqtani tanlaymiz: masalan, .

Samolyot tenglamasini tuzamiz:

Siz uchun mashq: bu determinantni o'zingiz hisoblang. Muvaffaqiyatga erishdingizmi? Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki oddiygina

Shunday qilib,

Misolni hal qilish uchun men to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini topishim kerak. Nuqta koordinata boshiga to'g'ri kelganligi sababli vektorning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan oddiygina mos tushadi.Buning uchun avvalo nuqtaning koordinatalarini topamiz.

Buning uchun uchburchakni ko'rib chiqing. Yuqoridan balandlikni (u ham mediana va bissektrisa) chizamiz. Chunki, u holda nuqtaning ordinatasi teng bo'ladi. Ushbu nuqtaning abssissasini topish uchun biz segmentning uzunligini hisoblashimiz kerak. Pifagor teoremasi bo'yicha bizda:

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Nuqta - bu nuqta ustidagi "ko'tarilgan":

Keyin vektorning koordinatalari:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bunday muammolarni hal qilishda tubdan qiyin narsa yo'q. Aslida, prizma kabi raqamning "to'g'riligi" jarayonni biroz soddalashtiradi. Endi keyingi misolga o'tamiz:

2. Biz parallelepiped chizamiz, unga tekislik va to'g'ri chiziq chizamiz, shuningdek, uning pastki asosini alohida chizamiz:

Birinchidan, biz tekislikning tenglamasini topamiz: undagi uchta nuqtaning koordinatalari:

(birinchi ikkita koordinata aniq tarzda olinadi va siz nuqtadan rasmdan oxirgi koordinatani osongina topishingiz mumkin). Keyin tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Biz hisoblaymiz:

Biz yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz: uning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan mos kelishi aniq, shunday emasmi? Koordinatalarni qanday topish mumkin? Bular ilova o'qi bo'ylab bittaga ko'tarilgan nuqtaning koordinatalari! . Keyin biz kerakli burchakni qidiramiz:

Javob:

3. Muntazam olti burchakli piramida chizing, so‘ngra unga tekislik va to‘g‘ri chiziq chizing.

Bu erda hatto tekislikni chizish muammoli, bu muammoni hal qilish haqida gapirmasa ham, koordinata usuli ahamiyat bermaydi! Uning asosiy afzalligi uning ko'p qirraliligidadir!

Samolyot uchta nuqtadan o'tadi: . Biz ularning koordinatalarini qidiramiz:

biri). Oxirgi ikki nuqtaning koordinatalarini o'zingiz ko'rsating. Buning uchun muammoni olti burchakli piramida bilan hal qilishingiz kerak bo'ladi!

2) Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Biz vektorning koordinatalarini qidiramiz: . (Yana uchburchak piramida muammosiga qarang!)

3) Biz burchakni qidiramiz:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bu vazifalarda g'ayritabiiy qiyin narsa yo'q. Siz faqat ildizlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Oxirgi ikkita muammoga men faqat javob beraman:

Ko'rib turganingizdek, masalalarni yechish texnikasi hamma joyda bir xil: asosiy vazifa cho'qqilarning koordinatalarini topish va ularni ba'zi formulalarga almashtirishdir. Burchaklarni hisoblash uchun muammolarning yana bir sinfini ko'rib chiqish biz uchun qoladi, xususan:

Ikki tekislik orasidagi burchaklarni hisoblash

Yechim algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Uch nuqta uchun biz birinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
2. Qolgan uchta nuqta uchun biz ikkinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
3. Biz formulani qo'llaymiz:

Ko'rib turganingizdek, formula oldingi ikkitasiga juda o'xshaydi, uning yordamida biz to'g'ri chiziqlar orasidagi va to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni qidirdik. Shuning uchun buni eslab qolish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Keling, darhol muammoga o'taylik:

1. To'g'ri uchburchak prizma asosidagi yuz-ro- teng, yon yuzining dia-go-nali esa teng. Sovrin asosining tekisligi va tekisligi orasidagi burchakni toping.

2. O'ngga to'rt-you-re-ko'mir-noy pi-ra-mi-de, birovning barcha qirralari teng, tekislik bilan Ko-Stu tekisligi orasidagi burchakning sinusini toping, orqali o'ting. per-pen-di-ku-lyar-lekin to'g'ri-my nuqtasi.

3. Muntazam to'rtta ko'mir prizmasida os-no-va-niyaning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Chetda dan-me-che-nuqta shunday qilib. va tekisliklari orasidagi burchakni toping

4. To'g'ri to'rtburchak prizmada asoslarning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Chekkada dan-me-che-nuqtaga shunday tekisliklar orasidagi burchakni toping va.

5. Kubda va tekisliklar orasidagi burchakning ko-si-nusini toping

Muammoni hal qilish usullari:

1. Muntazam (poyasida - teng qirrali uchburchak) uchburchak prizma chizaman va unga masala shartida paydo bo'ladigan tekisliklarni belgilayman:

Biz ikkita tekislikning tenglamalarini topishimiz kerak: Asosiy tenglama arzimas tarzda olinadi: siz uchta nuqta uchun mos determinantni yaratishingiz mumkin, lekin men darhol tenglamani tuzaman:

Endi tenglamani topamiz. Nuqtaning koordinatalari bor. Nuqta - chunki - uchburchakning medianasi va balandligi, uni uchburchakda Pifagor teoremasi orqali topish oson. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi: Nuqtaning ilovasini toping Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing

Keyin quyidagi koordinatalarni olamiz: Tekislik tenglamasini tuzamiz.

Biz tekisliklar orasidagi burchakni hisoblaymiz:

Javob:

2. Chizma yasash:

Eng qiyin narsa, perpendikulyar nuqtadan o'tadigan qanday sirli tekislik ekanligini tushunishdir. Xo'sh, asosiy narsa - bu nima? Asosiysi, diqqat! Darhaqiqat, chiziq perpendikulyar. Chiziq ham perpendikulyar. Keyin bu ikki chiziqdan o'tuvchi tekislik chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va, aytmoqchi, nuqtadan o'tadi. Bu tekislik ham piramidaning tepasidan o'tadi. Keyin kerakli samolyot - Va samolyot allaqachon bizga berilgan. Biz nuqtalarning koordinatalarini qidiramiz.

Nuqta orqali nuqtaning koordinatasini topamiz. Nuqta koordinatalari quyidagicha bo'lishini kichik chizmadan xulosa qilish oson: Piramida tepasining koordinatalarini topish uchun endi nimani topish kerak? Hali ham uning balandligini hisoblash kerak. Bu xuddi shu Pifagor teoremasi yordamida amalga oshiriladi: birinchidan, buni isbotlang (poydevorda kvadrat hosil qiluvchi kichik uchburchaklardan). Shartga ko'ra, bizda:

Endi hamma narsa tayyor: vertex koordinatalari:

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Siz allaqachon determinantlarni hisoblash bo'yicha mutaxassissiz. Siz osongina olasiz:

Yoki aks holda (agar ikkala qismni ikkitaning ildiziga ko'paytirsak)

Endi tekislikning tenglamasini topamiz:

(Samolyot tenglamasini qanday olishimizni unutmadingiz, to'g'rimi? Agar bu minus qaerdan kelganini tushunmasangiz, unda tekislik tenglamasining ta'rifiga qayting! Bu har doim undan oldin bo'lgan. mening samolyotim kelib chiqishiga tegishli edi!)

Determinantni hisoblaymiz:

(Samolyot tenglamasi nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasiga toʻgʻri kelganini payqadingiz va nima uchun oʻylab koʻring!)

Endi burchakni hisoblaymiz:

Biz sinusni topishimiz kerak:

Javob:

3. Qiyin savol: to'rtburchaklar prizma nima, sizning fikringiz qanday? Bu sizga shunchaki taniqli parallelepiped! Darhol chizish! Siz hatto bazani alohida tasvirlay olmaysiz, bu erda undan kam foyda bor:

Samolyot, yuqorida aytib o'tganimizdek, tenglama sifatida yozilgan:

Endi biz samolyot qilamiz

Biz darhol tekislik tenglamasini tuzamiz:

Burchak qidirmoqda

Endi oxirgi ikkita muammoga javoblar:

Xo'sh, dam olish vaqti keldi, chunki siz va men ajoyibmiz va ajoyib ish qildik!

Koordinatalar va vektorlar. Yuqori daraja

Ushbu maqolada biz siz bilan koordinata usuli yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan yana bir toifadagi masalalarni muhokama qilamiz: masofaviy masalalar. Ya'ni, biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

1. Egri chiziqlar orasidagi masofani hisoblash.

Berilgan vazifalarni ularning murakkabligi oshgani sayin buyurtma qildim. Eng oson - topish tekislik masofasiga ishora va eng qiyin qismi topishdir kesishgan chiziqlar orasidagi masofa. Garchi, albatta, imkonsiz narsa yo'q! Keling, kechiktirmaylik va darhol birinchi sinf muammolarini ko'rib chiqishga o'tamiz:

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bu muammoni hal qilish uchun bizga nima kerak?

1. Nuqta koordinatalari

Shunday qilib, barcha kerakli ma'lumotlarni olishimiz bilan biz formulani qo'llaymiz:

Oxirgi qismda tahlil qilgan oldingi muammolardan samolyot tenglamasini qanday qurishimizni allaqachon bilishingiz kerak. Keling, darhol ishga kirishaylik. Sxema quyidagicha: 1, 2 - men sizga qaror qabul qilishda yordam beraman va ba'zi tafsilotlarda 3, 4 - faqat javob, siz qarorni o'zingiz qabul qilasiz va solishtirasiz. Boshlandi!

Vazifalar:

1. Kub berilgan. Kubning chetining uzunligi Se-re-di-ny dan kesikdan tekisgacha bo'lgan masofani toping

2. Berilgan o'ng-vil-naya to'rt-you-rekh-ko'mir-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe chekka yuz-ro-on os-no-va-nia teng. Bir nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping, bu erda - qirralarning se-re-di-da.

3. Os-but-va-ni-em bilan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-de, boshqa chekka teng, yuz-ro-on os-no-vaniya teng. Yuqoridan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping.

4. O'ng qo'lli oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping.

Yechimlar:

1. Yagona qirrali kub chizing, segment va tekislikni quring, segmentning o'rtasini harf bilan belgilang.

.

Birinchidan, oson narsadan boshlaylik: nuqta koordinatalarini toping. O'shandan beri (segmentning o'rtasi koordinatalarini eslang!)

Endi biz uch nuqtada tekislik tenglamasini tuzamiz

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \o'ng| = 0\]

Endi masofani topishni boshlashim mumkin:

2. Biz yana chizilgan rasm bilan boshlaymiz, unda biz barcha ma'lumotlarni belgilaymiz!

Piramida uchun uning asosini alohida chizish foydali bo'ladi.

Tovuq panjasi kabi chizishim ham bu muammoni osonlikcha hal qilishimizga to'sqinlik qilmaydi!

Endi nuqtaning koordinatalarini topish oson

Nuqtaning koordinatalari beri

2. A nuqtaning koordinatalari segmentning o'rtasi bo'lgani uchun, u holda

Tekislikdagi yana ikkita nuqtaning koordinatalarini osongina topamiz.Teklik tenglamasini tuzamiz va uni soddalashtiramiz:

\[\chap| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nuqta koordinatalariga ega bo'lgani uchun: , u holda biz masofani hisoblaymiz:

Javob (juda kamdan-kam!):

Xo'sh, tushundingizmi? Menimcha, bu erda hamma narsa avvalgi qismda siz bilan ko'rib chiqqan misollardagi kabi texnikdir. Shuning uchun ishonchim komilki, agar siz ushbu materialni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qolgan ikkita muammoni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Men sizga faqat javoblarni beraman:

Chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q. Chiziq va tekislikni bir-biriga nisbatan qanday joylashtirish mumkin? Ularda barcha imkoniyatlar mavjud: kesishish yoki tekislikka parallel bo'lgan to'g'ri chiziq. Sizningcha, berilgan chiziq kesishgan chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofa qancha? Menimcha, bunday masofa nolga teng ekanligi aniq. Qiziqarsiz holat.

Ikkinchi holat qiyinroq: bu erda masofa allaqachon nolga teng. Biroq, chiziq tekislikka parallel bo'lganligi sababli, chiziqning har bir nuqtasi ushbu tekislikdan teng masofada joylashgan:

Shunday qilib:

Va bu mening vazifam avvalgisiga qisqartirilganligini anglatadi: biz chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz, biz tekislik tenglamasini qidiramiz, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. Aslida, imtihonda bunday vazifalar juda kam uchraydi. Men faqat bitta muammoni topishga muvaffaq bo'ldim va undagi ma'lumotlar shunday ediki, koordinata usuli unga unchalik mos kelmadi!

Endi muammolarning boshqa, ancha muhim sinfiga o'tamiz:

Nuqtadan chiziqqa masofani hisoblash

Bizga nima kerak bo'ladi?

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalari:

2. To'g'ri chiziqda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari

3. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektor koordinatalari

Biz qanday formuladan foydalanamiz?

Ushbu kasrning maxraji siz uchun nimani anglatadi va shuning uchun aniq bo'lishi kerak: bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining uzunligi. Mana juda qiyin hisoblagich! Ifoda vektorlarning vektor mahsulotining moduli (uzunligi) degan ma'noni anglatadi va vektor mahsulotini qanday hisoblash mumkin, biz ishning oldingi qismida o'rganib chiqdik. Bilimingizni yangilang, bu hozir biz uchun juda foydali bo'ladi!

Shunday qilib, muammolarni hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

2. Biz masofani izlayotgan chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

3. Vektorni qurish

4. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini quramiz

5. Ko‘paytmani hisoblang

6. Olingan vektor uzunligini qidiramiz:

7. Masofani hisoblang:

Bizda juda ko'p ish bor va misollar juda murakkab bo'ladi! Shunday qilib, endi barcha e'tiboringizni qarating!

1. Dana - o'ng qo'lli uchburchak pi-ra-mi-da, uchi bor. Bir yuz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy teng, siz-so-ta teng. Bo-ko-chi qirraning se-re-di-nysidan to to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofalarni toping, bu erda va nuqtalar qovurg'a va ko'p- vetning se-re-di-ny bo'ladi. -stven-lekin.

2. Qovurg'alarning uzunliklari va to'g'ri burchakli-no-para-ral-le-le-pi-pe-da mos ravishda teng va top-shi-ny dan to'g'ri-mygacha bo'lgan masofani toping-di-te.

3. To'g'ri oltita ko'mir prizmasida to'daning barcha qirralari nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Biz chiroyli chizilgan chizamiz, unda biz barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Siz uchun juda ko'p ishimiz bor! Men birinchi navbatda nimani va qanday tartibda izlashimizni so'z bilan tasvirlab bermoqchiman:

1. Nuqtalarning koordinatalari va

2. Nuqta koordinatalari

3. Nuqtalarning koordinatalari va

4. Vektorlarning koordinatalari va

5. Ularning o‘zaro ko‘paytmasi

6. Vektor uzunligi

7. Vektor mahsulotining uzunligi

8. dan gacha bo'lgan masofa

Xo'sh, bizda juda ko'p ish bor! Keling, yeng shimalaylik!

1. Piramida balandligining koordinatalarini topish uchun nuqtaning koordinatalarini bilishimiz kerak.Uning ilovasi nolga teng, ordinatasi esa abssissasiga teng. Nihoyat, biz koordinatalarni oldik:

Nuqta koordinatalari

2. - segmentning o'rtasi

3. - segmentning o'rtasi

o'rta nuqta

4. Koordinatalar

Vektor koordinatalari

5. Vektor mahsulotini hisoblang:

6. Vektorning uzunligi: eng oson yo'li - segment uchburchakning o'rta chizig'i ekanligini almashtirish, ya'ni u asosning yarmiga teng. Shunday qilib.

7. Vektor mahsulotining uzunligini ko'rib chiqamiz:

8. Nihoyat, masofani toping:

Voy, hammasi shu! Men sizga rostini aytaman: bu muammoni hal qilish an'anaviy usullar(qurilish orqali) ancha tezroq bo'lar edi. Lekin bu erda men hamma narsani tayyor algoritmga qisqartirdim! Menimcha, yechim algoritmi siz uchun tushunarlimi? Shuning uchun qolgan ikkita muammoni o'zingiz hal qilishingizni so'rayman. Javoblarni solishtiring?

Yana takror aytaman: bu muammolarni koordinata usuliga murojaat qilishdan ko'ra, konstruktsiyalar orqali hal qilish osonroq (tezroq). Men ushbu hal qilish usulini faqat sizga "hech narsani tugatmaslik" imkonini beradigan universal usulni ko'rsatish uchun ko'rsatdim.

Va nihoyat, muammolarning oxirgi sinfini ko'rib chiqing:

Egri chiziqlar orasidagi masofani hisoblash

Bu erda muammolarni hal qilish algoritmi avvalgisiga o'xshash bo'ladi. Bizda nima bor:

3. Birinchi va ikkinchi chiziqlar nuqtalarini tutashtiruvchi har qanday vektor:

Chiziqlar orasidagi masofani qanday topamiz?

Formula quyidagicha:

Numerator aralash mahsulotning moduli (biz uni avvalgi qismda kiritganmiz) va maxraj - oldingi formulada bo'lgani kabi (chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining vektor mahsulotining moduli, biz ko'rib turgan masofa). uchun).

Men buni sizga eslataman

keyin masofa formulasi sifatida qayta yozilishi mumkin:

Bu aniqlovchini aniqlovchiga bo'ling! Rostini aytsam, bu yerda hazilga moyil emasman! Bu formula, aslida, juda og'ir va juda murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar men sizning o'rningizda bo'lganimda, men buni faqat oxirgi chora sifatida ishlatardim!

Keling, yuqoridagi usul yordamida bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

1. To'g'ri uchburchak prizmada barcha qirralar qandaydir tarzda teng, to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping va.

2. To‘g‘ri old shaklidagi uchburchak prizma berilgan bo‘lsa, birovning os-no-va-niyasining barcha qirralari Se-che-tionga teng bo‘lib, boshqa qovurg‘adan o‘tib, se-re-di-nu qovurg‘a bo‘ladi. yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie to'g'ridan-to'g'ri-we-mi va

Men birinchisini hal qilaman, shunga asoslanib, ikkinchisini siz hal qilasiz!

1. Prizma chizaman va chiziqlarni belgilayman va

C nuqtasi koordinatalari: keyin

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalari

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \o'ng) = \left| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \o'ng| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Biz vektorlar orasidagi o'zaro ko'paytmani ko'rib chiqamiz

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \chap| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \o'ng| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Endi biz uning uzunligini ko'rib chiqamiz:

Javob:

Endi ikkinchi vazifani diqqat bilan bajarishga harakat qiling. Bunga javob quyidagicha bo'ladi:.

Koordinatalar va vektorlar. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Vektor yo'naltirilgan segmentdir. - vektorning boshi, - vektorning oxiri.
Vektor yoki bilan belgilanadi.

Mutlaq qiymat vektor - vektorni ifodalovchi segment uzunligi. Sifatida belgilangan.

Vektor koordinatalari:

,
\displaystyle a vektorining uchlari qayerda.

Vektorlar yig'indisi: .

Vektorlarning mahsuloti:

Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Vektorlarning skalyar mahsuloti ularning mutlaq qiymatlari va ular orasidagi burchakning kosinuslari mahsulotiga teng:

QOGAN 2/3 MAQOLALAR FAQAT SIZLARGA MUMKIN!

YouClever talabasi bo'ling,

OGE ga tayyorlaning yoki matematikada "oyiga bir chashka qahva" narxida foydalaning,

Shuningdek, "YouClever" darsligiga, "100gia" tayyorgarlik dasturiga (rechebnik), cheksiz kirish huquqiga ega bo'ling. sinov imtihoni va OGE, yechimlar tahlili bilan 6000 ta vazifa va boshqa YouClever va 100gia xizmatlari.

Oh-oh-oh-oh-oh ... mayli, xuddi jumlani o'zingiz o'qiganingizdek, bu tinny =) Biroq, keyin dam olish yordam beradi, ayniqsa bugun men mos aksessuarlar sotib oldim. Shuning uchun, keling, birinchi bo'limga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirigacha men quvnoq kayfiyatni saqlab qolaman.

Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro joylashishi

Zal xorda qo'shiq kuylaganda. Ikki qator mumkin:

1) mos kelish;

2) parallel bo'lsin: ;

3) yoki bitta nuqtada kesishadi: .

Dummies uchun yordam : iltimos, kesishishning matematik belgisini eslang, u juda tez-tez sodir bo'ladi. Kirish chiziqning nuqtadagi chiziq bilan kesishishini bildiradi.

Ikki chiziqning nisbiy o'rnini qanday aniqlash mumkin?

Birinchi holatdan boshlaylik:

Ikki chiziq mos keladi, agar ularning koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni tengliklari shunday "lambda" soni bor

To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz va mos keladigan koeffitsientlardan uchta tenglama tuzamiz: . Har bir tenglamadan kelib chiqadiki, shuning uchun bu chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Haqiqatan ham, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari bo'lsa -1 ga ko'paytiring (belgilarni o'zgartiring) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini 2 ga kamaytiring, siz bir xil tenglamani olasiz: .

Chiziqlar parallel bo'lgan ikkinchi holat:

Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar ularning o'zgaruvchilardagi koeffitsientlari proportsional bo'lsa: , lekin.

Misol tariqasida ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz:

Biroq, bu aniq.

Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:

Ikki chiziq kesishadi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lmasa, ya'ni tenglik bajariladigan "lambda" ning bunday qiymati YO'Q

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizim tuzamiz:

Birinchi tenglamadan , ikkinchi tenglamadan esa shunday chiqadi: , demak, tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilardagi koeffitsientlar proportsional emas.

Xulosa: chiziqlar kesishadi

Amaliy masalalarda hozirgina ko'rib chiqilgan yechim sxemasidan foydalanish mumkin. Aytgancha, bu biz darsda ko'rib chiqqan vektorlarni kollinearlik uchun tekshirish algoritmiga juda o'xshaydi. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi tushunchasi. Vektor asosi. Ammo yanada madaniyatli paket mavjud:

1-misol

Chiziqlarning nisbiy o'rnini toping:

Yechim to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarini o'rganishga asoslangan:

a) Tenglamalardan biz chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: .

, shuning uchun vektorlar kollinear emas va chiziqlar kesishadi.

Har holda, men chorrahaga ko'rsatgichli tosh qo'yaman:

Qolganlari toshdan sakrab, to'g'ridan-to'g'ri O'limsiz Kashcheyga ergashadilar =)

b) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega, ya'ni ular parallel yoki bir xil. Bu erda determinant kerak emas.

Shubhasiz, noma'lumlarning koeffitsientlari proportsional bo'lsa, .

Keling, tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik:

Shunday qilib,

c) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, shuning uchun yo'nalish vektorlari kollineardir. Chiziqlar parallel yoki mos tushadi.

"Lambda" proportsionallik faktorini to'g'ridan-to'g'ri kollinear yo'nalish vektorlari nisbatidan ko'rish oson. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: .

Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:

Olingan qiymat bu tenglamani qondiradi (har qanday raqam odatda uni qondiradi).

Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Javob:

Tez orada siz ko'rib chiqilayotgan muammoni bir necha soniya ichida og'zaki hal qilishni o'rganasiz (hatto allaqachon o'rgangansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil yechim uchun biror narsa taklif qilish uchun hech qanday sabab ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'isht qo'yish yaxshiroqdir:

Berilgan chiziqqa parallel chiziqni qanday chizish mumkin?

Bu eng oddiy vazifani bilmaslik uchun Qaroqchi Bulbul qattiq jazolaydi.

2-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziq tenglamasini yozing.

Yechim: Noma'lum qatorni harf bilan belgilang. Shart bu haqda nima deydi? Chiziq nuqtadan o'tadi. Va agar chiziqlar parallel bo'lsa, unda "ce" chizig'ining yo'naltiruvchi vektori "te" chizig'ini qurish uchun ham mos kelishi aniq.

Tenglamadan yo'nalish vektorini chiqaramiz:

Javob:

Misolning geometriyasi oddiy ko'rinadi:

Analitik tekshirish quyidagi bosqichlardan iborat:

1) Biz chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega ekanligini tekshiramiz (agar chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmagan bo'lsa, u holda vektorlar kollinear bo'ladi).

2) nuqta hosil bo'lgan tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.

Aksariyat hollarda analitik tekshirishni og'zaki bajarish oson. Ikki tenglamaga qarang va ko'pchiligingiz hech qanday chizmasiz chiziqlar qanday parallel ekanligini tezda aniqlaydi.

Bugungi kunda o'z-o'zini hal qilish uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak va u, bilasizmi, har xil topishmoqlarni yaxshi ko'radi.

3-misol

Agar chiziqqa parallel nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini yozing

Yechishning oqilona va unchalik oqilona bo'lmagan usuli mavjud. Eng qisqa yo'l - dars oxirida.

Biz parallel chiziqlar bilan bir oz ish qildik va ularga keyinroq qaytamiz. Bir-biriga to'g'ri keladigan chiziqlar masalasi unchalik qiziq emas, shuning uchun maktab o'quv dasturidan sizga yaxshi ma'lum bo'lgan muammoni ko'rib chiqaylik:

Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?

To'g'ri bo'lsa nuqtada kesishsa, u holda uning koordinatalari yechim hisoblanadi chiziqli tenglamalar tizimlari

Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.

Mana sizga ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining geometrik ma'nosi tekislikdagi ikkita kesishuvchi (ko'pincha) to'g'ri chiziq.

4-misol

Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping

Yechim: Yechishning ikkita usuli bor - grafik va analitik.

Grafik usul oddiygina berilgan chiziqlarni chizish va kesishish nuqtasini to'g'ridan-to'g'ri chizmadan topishdir:

Mana bizning fikrimiz: . Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini to'g'ri chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular u erda ham, u erda ham mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqtaning koordinatalari tizimning yechimidir. Aslida, biz hal qilishning grafik usulini ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.

Grafik usul, albatta, yomon emas, lekin sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo‘q, gap yettinchi sinf o‘quvchilari shunday qaror qilishlarida emas, gap shundaki, to‘g‘ri va ANIQ rasm chizish uchun vaqt kerak bo‘ladi. Bundan tashqari, ba'zi chiziqlarni qurish unchalik oson emas va kesishish nuqtasi o'zi daftar varag'idan tashqarida o'ttizinchi shohlikning bir joyida bo'lishi mumkin.

Shuning uchun kesishish nuqtasini izlash maqsadga muvofiqdir analitik usul. Keling, tizimni hal qilaylik:

Tizimni yechish uchun tenglamalarni termin bo'yicha qo'shish usuli qo'llanildi. Tegishli ko'nikmalarni rivojlantirish uchun darsga tashrif buyuring Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin?

Javob:

Tekshirish ahamiyatsiz - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimning har bir tenglamasini qondirishi kerak.

5-misol

Chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Vazifani qulay tarzda bir necha bosqichlarga bo'lish mumkin. Vaziyatni tahlil qilish zarurligini ko'rsatadi:
1) To'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
2) To‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
3) Chiziqlarning nisbiy holatini aniqlang.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.

Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'pgina geometrik masalalar uchun xosdir va men bunga qayta-qayta e'tibor qarataman.

Qo'llanma oxirida to'liq yechim va javob:

Bir juft poyabzal hali eskirgani yo'q, chunki biz darsning ikkinchi qismiga keldik:

Perpendikulyar chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
Chiziqlar orasidagi burchak

Oddiy va juda muhim vazifadan boshlaylik. Birinchi qismda biz berilgan chiziqqa parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq qurishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlaridagi kulba 90 darajaga aylanadi:

Berilgan chiziqqa perpendikulyar qanday chiziladi?

6-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o`tuvchi perpendikulyar chiziq tenglamasini yozing.

Yechim: Bu faraz bilan ma'lumki. To'g'ri chiziqning yo'nalishi vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lgani uchun hiyla oddiy:

Tenglamadan normal vektorni "olib tashlaymiz": , bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.

Biz nuqta va yo'naltiruvchi vektor bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Javob:

Keling, geometrik eskizni ochamiz:

Hm... To'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.

Yechimni analitik tekshirish:

1) Tenglamalardan yo'nalish vektorlarini ajratib oling va yordami bilan vektorlarning nuqta mahsuloti chiziqlar chindan ham perpendikulyar degan xulosaga kelamiz:.

Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bu yanada osonroq.

2) nuqta hosil bo'lgan tenglamani qanoatlantirishini tekshiring .

Tekshirish, yana, og'zaki amalga oshirish oson.

7-misol

Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping va nuqta.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Vazifada bir nechta harakatlar mavjud, shuning uchun yechimni nuqta bilan tartibga solish qulay.

Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Bizning oldimizda daryoning tekis chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan erishishdir. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "ro" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa formula bilan ifodalanadi

8-misol

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping

Yechim: sizga kerak bo'lgan yagona narsa raqamlarni formulaga ehtiyotkorlik bilan kiritish va hisob-kitoblarni bajarishdir:

Javob:

Keling, chizmani bajaramiz:

Nuqtadan chiziqgacha topilgan masofa aynan qizil segmentning uzunligiga teng. Agar siz katak qog'ozga 1 birlik masshtabda chizilgan bo'lsangiz. \u003d 1 sm (2 hujayra), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.

Xuddi shu rasmga muvofiq boshqa vazifani ko'rib chiqing:

Vazifa chiziqqa nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir. . Men harakatlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, ammo men oraliq natijalar bilan hal qilish algoritmini tasvirlab beraman:

1) Chiziqga perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.

2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: .

Ushbu darsda ikkala harakat ham batafsil muhokama qilinadi.

3) nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Biz o'rta va uchlaridan birining koordinatalarini bilamiz. tomonidan segmentning o'rtasi koordinatalari uchun formulalar toping.

Masofa ham 2,2 birlikka teng ekanligini tekshirish ortiqcha bo'lmaydi.

Bu erda hisob-kitoblarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo minorada mikrokalkulyator sizga hisoblash imkonini beruvchi ko'p yordam beradi. oddiy kasrlar. Ko'p marta maslahat berdim va yana tavsiya qilaman.

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani qanday topish mumkin?

9-misol

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani toping

Bu mustaqil yechim uchun yana bir misol. Bir oz maslahat: hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida brifing, lekin yaxshiroq o'zingiz taxmin qilishga harakat qiling, menimcha, siz o'z zukkoligingizni yaxshi tarqatishga muvaffaq bo'ldingiz.

Ikki chiziq orasidagi burchak

Qanday burchak bo'lishidan qat'iy nazar, keyin jamb:


Geometriyada ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak KICHIK burchak sifatida qabul qilinadi, undan avtomatik ravishda u to'g'ri bo'lishi mumkin emas degan xulosaga keladi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan chiziqlar orasidagi burchak deb hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan qip-qizil burchak.

Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak sifatida 4 ta burchakdan istalgan birini olish mumkin.

Burchaklar qanday farqlanadi? Orientatsiya. Birinchidan, burchakni "aylantirish" yo'nalishi printsipial jihatdan muhimdir. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar .

Nega men buni aytdim? Ko'rinib turibdiki, siz odatiy burchak tushunchasi bilan shug'ullanishingiz mumkin. Gap shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalarda salbiy natijani osongina olish mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak bundan ham yomon emas va juda aniq geometrik ma'noga ega. Salbiy burchak uchun chizmada uning yo'nalishini (soat yo'nalishi bo'yicha) o'q bilan ko'rsatish kerak.

Ikki chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:

10-misol

Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Yechim va Birinchi usul

Ikki qatorni ko'rib chiqing tenglamalar bilan berilgan umuman:

To'g'ri bo'lsa perpendikulyar emas, keyin yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, maxrajga diqqat bilan qaraymiz - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari:

Agar bo'lsa, formulaning maxraji yo'qoladi va vektorlar ortogonal, chiziqlar esa perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formuladagi chiziqlarning perpendikulyar emasligi haqida rezervatsiya qilingan.

Yuqorida aytilganlarga asoslanib, yechim ikki bosqichda qulay tarzda rasmiylashtiriladi:

1) To'g'ri chiziqlar yo'naltiruvchi vektorlarining skalyar ko'paytmasini hisoblang:
shuning uchun chiziqlar perpendikulyar emas.

2) Chiziqlar orasidagi burchakni quyidagi formula bo'yicha topamiz:

Teskari funktsiyadan foydalanib, burchakning o'zini topish oson. Bunday holda, biz yoy tangensining g'alatiligidan foydalanamiz (2-rasmga qarang). Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari):

Javob:

Javobda biz aniq qiymatni, shuningdek kalkulyator yordamida hisoblangan taxminiy qiymatni (afzal ham darajalarda, ham radianlarda) ko'rsatamiz.

Xo'sh, minus, shuning uchun minus, hammasi joyida. Mana geometrik rasm:

Burchakning salbiy yo'nalishga ega bo'lishi ajablanarli emas, chunki masala sharoitida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "burilishi" aynan undan boshlangan.

Agar siz haqiqatan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, to'g'ri chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling. , va birinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling. Muxtasar qilib aytganda, siz to'g'ridan-to'g'ri boshlashingiz kerak .