ev » Göz hastalıkları » Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplama formülü. Koordinat yöntemi (bir nokta ile bir düzlem arasındaki, düz çizgiler arasındaki mesafe)

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplama formülü. Koordinat yöntemi (bir nokta ile bir düzlem arasındaki, düz çizgiler arasındaki mesafe)

Farklı geometrik nesneler arasındaki mesafeyi bulma yeteneği, şekillerin yüzey alanını ve hacimlerini hesaplarken önemlidir. Bu yazımızda uzayda ve düzlemde bir noktanın düz bir doğruya olan uzaklığı nasıl bulunur sorusunu ele alacağız.

Düz bir çizginin matematiksel açıklaması

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi nasıl bulacağınızı anlamak için, bu geometrik nesnelerin matematiksel özellikleri sorusuyla ilgilenmelisiniz.

Her şey bir nokta ile basittir, sayısı uzayın boyutuna karşılık gelen bir dizi koordinat ile tanımlanır. Örneğin, bir düzlemde bunlar üç boyutlu uzayda iki koordinattır - üç.

Tek boyutlu bir nesneye gelince - düz bir çizgi, onu tanımlamak için çeşitli denklem türleri kullanılır. Bunlardan sadece ikisini ele alalım.

Birinci türe vektör denklemi denir. Aşağıda üç boyutlu ve iki boyutlu uzayda doğrular için ifadeler verilmiştir:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Bu ifadelerde, sıfır indeksli koordinatlar, verilen doğrunun geçtiği noktayı tanımlar, (a; b; c) ve (a; b) koordinatları, karşılık gelen doğru için yön vektörleridir, α bir herhangi bir gerçek değeri alabilen parametre.

Vektör denklemi, koordinatları farklı geometrik nesnelerin, örneğin iki düz çizginin paralellik veya diklik problemlerinin çözümünde kullanılabilen düz çizginin yön vektörünü açıkça içermesi anlamında uygundur.

Düz bir çizgi için ele alacağımız ikinci tür denkleme genel denklem denir. Uzayda bu form iki düzlemin genel denklemleri ile verilir. Bir uçakta, aşağıdaki forma sahiptir:

A × x + B × y + C = 0

Çizim yapıldığında, genellikle x / y'ye bağlı olarak yazılır, yani:

y = -A / B × x +(-C / B)

Burada, serbest terim -C / B, çizginin y ekseni ile kesişiminin koordinatına karşılık gelir ve -A / B katsayısı, çizginin x eksenine açısı ile ilgilidir.

Bir çizgi ve bir nokta arasındaki mesafe kavramı

Denklemlerle uğraştıktan sonra, bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi nasıl bulacağınız sorusunun cevabına doğrudan ilerleyebilirsiniz. 7. sınıfta okullar uygun değeri belirleyerek bu konuyu ele almaya başlar.

Bir doğru ile bir nokta arasındaki uzaklık, söz konusu noktadan çıkarılmış olan bu doğruya dik olan parçanın uzunluğudur. Aşağıdaki şekil r doğrusunu ve A noktasını göstermektedir. Mavi çizgi r doğrusuna dik olan parçayı göstermektedir. Uzunluğu gerekli mesafedir.

Burada 2B durum gösterilmektedir, ancak bu mesafe tanımı 3B problemi için de geçerlidir.

Gerekli Formüller

Düz bir doğrunun denkleminin yazıldığı forma ve problemin hangi uzayda çözüldüğüne bağlı olarak, doğru ile nokta arasındaki uzaklığın nasıl bulunacağı sorusuna cevap veren iki temel formül verilebilir.

Bilinen noktayı P 2 sembolü ile gösteriniz. Düz bir çizginin denklemi vektör biçiminde verilirse, söz konusu nesneler arasındaki d mesafesi için formül geçerlidir:

g = || / |v¯|

Yani, d'yi belirlemek için, doğrudan v¯ vektörünün vektör ürününün modülünü ve başlangıcı çizgi üzerinde herhangi bir P 1 noktasında bulunan P 1 P 2 ¯ vektörünü hesaplamalı ve bitiş P 2 noktasında, bu modülü v ¯ uzunluğuna bölün. Bu formül, düz ve üç boyutlu uzay için evrenseldir.

Problem xy koordinat sisteminde bir düzlemde ele alınırsa ve düz bir çizginin denklemi genel bir biçimde verilirse, aşağıdaki formül düz bir çizgiden bir noktaya olan mesafeyi aşağıdaki gibi bulmanızı sağlar:

Düz çizgi: A × x + B × y + C = 0;
Nokta: P2 (x 2; y 2; z 2);
Mesafe: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Yukarıdaki formül oldukça basittir, ancak kullanımı yukarıda belirtilen koşullarla sınırlıdır.

Düz bir çizgi ve mesafe üzerindeki bir noktanın izdüşümünün koordinatları

Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafenin nasıl bulunacağı sorusuna yukarıdaki formülleri ezberlemeyi gerektirmeyen başka bir şekilde de cevap verebilirsiniz. Bu yöntem, orijinal noktanın izdüşümü olan düz bir çizgi üzerinde bir noktanın belirlenmesinden oluşur.

Bir M noktası ve bir r doğrusu olduğunu varsayalım. M noktasının r üzerindeki izdüşümü bir Mı noktasına karşılık gelir. M'den r'ye olan mesafe, MM 1 ¯ vektörünün uzunluğuna eşittir.

M 1 koordinatları nasıl bulunur? Çok basit. V¯ çizgi vektörünün MM 1 ¯'ye dik olacağını, yani skaler çarpımlarının sıfıra eşit olması gerektiğini hatırlamak yeterlidir. Bu koşula, M1 koordinatlarının r düz çizgisinin denklemini sağlaması gerektiği gerçeğini ekleyerek, basit bir lineer denklemler sistemi elde ederiz. Çözümünün bir sonucu olarak, M noktasının r üzerine izdüşümünün koordinatları elde edilir.

Bir doğrunun bir noktaya olan uzaklığını bulmak için bu paragrafta açıklanan yöntem, düzlem ve uzay için kullanılabilir, ancak uygulanması doğru için vektör denklemi bilgisini gerektirir.

Uçakta görev

Şimdi, gerçek problemleri çözmek için sunulan matematiksel aparatın nasıl kullanılacağını gösterme zamanı. Düzlemde bir M(-4; 5) noktası verildiğini varsayalım. Genel bir denklemle açıklanan M noktasından düz çizgiye olan mesafeyi bulmak gerekir:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Yani M bir çizgi üzerinde yatmaz.

Düz bir çizginin denklemi genel bir biçimde verilmediğinden, karşılık gelen formülü kullanabilmek için onu böyle bir şekle indirgedik:

y = 3 × x + 6
3 x x - y + 6 = 0

Artık bilinen sayıları d formülünde yerine koyabilirsiniz:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =
= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

Uzayda görev

Şimdi uzaydaki durumu düşünün. Düz çizgi aşağıdaki denklemle açıklansın:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

M(0; 2; -3) noktasına olan uzaklığı nedir?

Önceki durumda olduğu gibi, M'nin belirli bir doğruya ait olup olmadığını kontrol ediyoruz. Bunu yapmak için, koordinatları denklemde yerine koyarız ve açıkça yeniden yazarız:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;
y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Farklı parametreler α elde edildiğinden, M bu doğru üzerinde bulunmaz. Şimdi ondan düz çizgiye olan mesafeyi hesaplıyoruz.

d formülünü kullanmak için, doğru üzerinde rastgele bir nokta alın, örneğin P(1; -1; 0), sonra:

PM¯ ile v¯ doğrusu arasındaki çapraz ürünü hesaplayalım. Alırız:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Şimdi bulunan vektörün modüllerini ve v¯ vektörünü d formülünde yerine koyarız, şunu elde ederiz:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Bu cevap, bir lineer denklem sisteminin çözülmesini içeren, yukarıda açıklanan yöntem kullanılarak elde edilebilir. Bu ve önceki problemlerde, çizgiden noktaya olan mesafenin hesaplanan değerleri, ilgili koordinat sisteminin birimlerinde sunulur.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, noktadan çizgiye dik olanın uzunluğudur. Tanımlayıcı geometride aşağıdaki algoritmaya göre grafiksel olarak belirlenir.

algoritma

Düz çizgi, herhangi bir projeksiyon düzlemine paralel olacağı bir konuma aktarılır. Bunu yapmak için, ortogonal projeksiyonların dönüşüm yöntemlerini uygulayın.
Bir noktadan bir doğruya bir dik çizin. Bu yapı, dik açı izdüşüm teoremine dayanmaktadır.
Bir dikmenin uzunluğu, izdüşümlerini dönüştürerek veya dik üçgen yöntemini kullanarak belirlenir.

Aşağıdaki şekil, CD doğru parçası tarafından tanımlanan M noktasının ve b satırının karmaşık bir çizimini göstermektedir. Aralarındaki mesafeyi bulmanız gerekiyor.

Algoritmamıza göre yapılacak ilk şey, çizgiyi izdüşüm düzlemine paralel bir konuma taşımaktır. Dönüşümlerden sonra nokta ile çizgi arasındaki gerçek mesafenin değişmemesi gerektiğini anlamak önemlidir. Bu nedenle uzayda hareketli figürler içermeyen uçak değiştirme yöntemini burada kullanmakta fayda var.

İnşaatların ilk aşamasının sonuçları aşağıda gösterilmiştir. Şekil, ek bir ön düzlemin P 4'ün b'ye paralel olarak nasıl yerleştirildiğini göstermektedir. Yeni sistemde (P 1 , P 4) C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 noktaları, X 1 ekseninden C"", D"", M"" ile aynı uzaklıkta bulunmaktadır. eksen x.

Algoritmanın ikinci bölümünü gerçekleştirerek, M"" 1'den M"" 1 N"" 1 dikini b"" 1 çizgisine indiriyoruz, çünkü b ve MN arasındaki dik MND açısı P 4 düzlemine yansıtılıyor. tam boy. İletişim hattı boyunca N" noktasının konumunu belirleriz ve MN segmentinin M"N" projeksiyonunu çizeriz.

Son aşamada, MN segmentinin değerini M"N" ve M"" 1 N"" 1 projeksiyonları ile belirlemek gerekir. Bunu yapmak için, dik açılı bir üçgen oluşturuyoruz M "" 1 N "" 1 N 0 , burada N "" 1 N 0, M noktalarının çıkarılmasının farkına (YM 1 - YN 1) eşittir. X 1 ekseninden "ve N". M"" 1 N"" 1 N 0 üçgeninin M"" 1 N 0 hipotenüsünün uzunluğu, M'den b'ye istenen mesafeye karşılık gelir.

Çözmenin ikinci yolu

CD'ye paralel olarak yeni bir ön düzlem П 4 sunuyoruz. X 1 ekseni boyunca P 1 ve X 1 ∥C"D" ile kesişir. Düzlemleri değiştirme yöntemine göre, şekilde gösterildiği gibi C "" 1, D"" 1 ve M"" 1 noktalarının izdüşümlerini belirliyoruz.
C "" 1 D "" 1'e dik olarak, üzerinde b düz çizgisinin C" 2 \u003d b" 2 noktasına yansıtıldığı ek bir yatay düzlem P 5 inşa ediyoruz.
M noktası ile b düz çizgisi arasındaki mesafe, kırmızı ile işaretlenmiş M "2 C" 2 parçasının uzunluğu ile belirlenir.

İlgili görevler:

Bir örnek çözerken, bir düzlemde belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye olan mesafeyi bulmak için analiz edilen yöntemlerin uygulamasını düşünün.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun:

Öncelikle sorunu ilk yoldan çözelim.

Problemin durumunda, bize formun a düz çizgisinin genel denklemi verilir:

Doğruya dik verilen bir noktadan geçen b doğrusu için genel denklemi bulalım:

b doğrusu a doğrusuna dik olduğundan, b hattının yön vektörü verilen doğrunun normal vektörüdür:

yani b çizgisinin yön vektörü koordinatlara sahiptir. Şimdi b düz çizgisinin kanonik denklemini düzlemde yazabiliriz, çünkü b düz çizgisinin geçtiği M1 noktasının koordinatlarını ve b düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını biliyoruz:

Düz çizgi b'nin elde edilen kanonik denkleminden, düz çizginin genel denklemine geçiyoruz:

Şimdi a ve b doğrularının genel denklemlerinden oluşan denklem sistemini çözerek a ve b doğrularının kesişme noktasının koordinatlarını bulalım (bunu H 1 olarak gösterelim) (gerekirse makale çözme sistemlerine bakın) lineer denklemler):

Böylece, H 1 noktasının koordinatları vardır.

Noktalar arasındaki mesafe olarak M 1 noktasından düz çizgi a'ya istenen mesafeyi hesaplamak için kalır ve:

Sorunu çözmenin ikinci yolu.

Verilen doğrunun normal denklemini elde ederiz. Bunu yapmak için, normalleştirme faktörünün değerini hesaplar ve düz çizginin orijinal genel denkleminin her iki bölümünü de onunla çarparız:

(Bundan düz bir çizginin genel denkleminin normal forma getirilmesiyle ilgili bölümde bahsetmiştik).

Normalleştirme faktörü eşittir

o zaman düz çizginin normal denklemi şu şekildedir:

Şimdi düz çizginin elde edilen normal denkleminin sol tarafındaki ifadeyi alıyoruz ve değerini şu şekilde hesaplıyoruz:

Belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye istenen mesafe:

alınan değerin mutlak değerine eşittir, yani beş ().

noktadan çizgiye mesafe:

Açıkça, düz bir çizginin normal denkleminin kullanımına dayalı olarak, bir düzlemde bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulma yönteminin avantajı, nispeten daha az miktarda hesaplama işidir. Buna karşılık, bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulmanın ilk yolu sezgiseldir ve tutarlılık ve mantık ile ayırt edilir.

Düzlemde bir dikdörtgen koordinat sistemi Oxy sabitlenir, bir nokta ve bir düz çizgi verilir:

Belirli bir noktadan belirli bir doğruya olan mesafeyi bulun.

İlk yol.

Eğimi olan bir düz çizginin verilen denkleminden bu düz çizginin genel denklemine gidebilir ve yukarıda tartışılan örnekte olduğu gibi ilerleyebilirsiniz.

Ama bunu farklı şekilde yapabilirsiniz.

Dikey doğruların eğimlerinin çarpımının 1'e eşit olduğunu biliyoruz (doğruların dikliği, doğruların dikliği makalesine bakın). Bu nedenle, verilen bir doğruya dik olan bir doğrunun eğimi:

2'ye eşittir. O halde, verilen bir doğruya dik olan ve bir noktadan geçen bir doğrunun denklemi şu şekildedir:

Şimdi H 1 noktasının koordinatlarını bulalım - doğruların kesişme noktası:

Böylece, bir noktadan düz bir çizgiye istenen mesafe:

noktalar arasındaki mesafeye eşittir ve:

İkinci yol.

Eğimi olan bir doğrunun verilen denkleminden bu doğrunun normal denklemine geçelim:

normalleştirme faktörü şuna eşittir:

bu nedenle, belirli bir düz çizginin normal denklemi şu şekildedir:

Şimdi noktadan çizgiye gerekli mesafeyi hesaplıyoruz:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplayın:

ve düz çizgiye:

Düz çizginin normal denklemini elde ederiz:

Şimdi noktadan çizgiye olan mesafeyi hesaplayın:

Düz bir çizgi denklemi için normalleştirme faktörü:

1'e eşittir. O zaman bu doğrunun normal denklemi şu şekildedir:

Şimdi bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplayabiliriz:

eşittir.

Cevap: ve 5.

Sonuç olarak, düzlemin belirli bir noktasından Ox ve Oy koordinat çizgilerine olan mesafenin nasıl bulunduğunu ayrı ayrı ele alacağız.

Dikdörtgen koordinat sistemi Oxy'de, Oy koordinat çizgisi x=0 çizgisinin tamamlanmamış genel denklemi ile, Ox koordinat çizgisi ise y=0 denklemi ile verilir. Bu denklemler, Oy ve Ox çizgilerinin normal denklemleridir, bu nedenle, bir noktadan bu çizgilere olan mesafe aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

sırasıyla.

Şekil 5

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi Oxy tanıtılır. Noktadan koordinat çizgilerine olan mesafeleri bulun.

Verilen M 1 noktasından Ox koordinat çizgisine olan mesafe (y = 0 denklemi ile verilir), M 1 noktasının koordinatının modülüne eşittir, yani .

Verilen M 1 noktasından Oy koordinat çizgisine olan mesafe (x = 0 denklemine karşılık gelir), M1 noktasının apsisinin mutlak değerine eşittir: .

Cevap: M 1 noktasından Ox çizgisine olan mesafe 6'dır ve verilen noktadan Oy koordinat çizgisine olan mesafe eşittir.

Bu makalede, geometrideki birçok problemi basit aritmetiğe indirgemenizi sağlayacak bir "sihirli değnek" hakkında bir tartışmaya başlayacağız. Bu "asa", özellikle mekansal figürler, bölümler vb. oluştururken kendinizi güvensiz hissettiğinizde hayatınızı çok daha kolaylaştırabilir. Bütün bunlar belirli bir hayal gücü ve pratik beceriler gerektirir. Burada ele almaya başlayacağımız yöntem, her türlü geometrik yapıdan ve akıl yürütmeden neredeyse tamamen soyutlamanıza izin verecektir. Yöntem denir "koordinat yöntemi". Bu yazıda aşağıdaki soruları ele alacağız:

Koordinat uçağı
Uçaktaki noktalar ve vektörler
İki noktadan vektör oluşturma
Vektör uzunluğu (iki nokta arasındaki mesafe)
orta nokta koordinatları
Vektörlerin nokta çarpımı
iki vektör arasındaki açı

Sanırım koordinat yönteminin neden böyle adlandırıldığını tahmin ettiniz mi? Geometrik nesnelerle değil, sayısal özellikleriyle (koordinatları) çalıştığı için böyle bir isim aldığı doğrudur. Ve geometriden cebire geçmeyi mümkün kılan dönüşümün kendisi, bir koordinat sisteminin tanıtılmasından ibarettir. Orijinal şekil düzse, koordinatlar iki boyutludur ve şekil üç boyutluysa, koordinatlar üç boyutludur. Bu yazıda sadece iki boyutlu durumu ele alacağız. Ve makalenin ana amacı, size koordinat yönteminin bazı temel tekniklerini nasıl kullanacağınızı öğretmektir (Birleşik Devlet Sınavının B bölümünde planimetrideki problemleri çözerken bazen faydalı oldukları ortaya çıkar). Bu konuyla ilgili aşağıdaki iki bölüm, C2 problemlerini (stereometri problemi) çözme yöntemlerinin tartışılmasına ayrılmıştır.

Koordinat yöntemini tartışmaya nereden başlamak mantıklı olur? Muhtemelen bir koordinat sistemi konseptiyle. Onunla ilk tanıştığın zamanı hatırla. Bana öyle geliyor ki 7. sınıfta, örneğin doğrusal bir fonksiyonun varlığını öğrendiğinizde. Nokta nokta inşa ettiğinizi hatırlatmama izin verin. Hatırlıyor musun? Rastgele bir sayı seçtiniz, onu formüle yerleştirdiniz ve bu şekilde hesapladınız. Örneğin, eğer, o zaman, eğer, o zaman, vb. Sonuç olarak ne elde ettiniz? Ve koordinatları olan puanlar aldınız: ve. Daha sonra bir “çapraz” (koordinat sistemi) çizdiniz, üzerinde bir ölçek seçtiniz (tek parça olarak kaç hücreniz olacak) ve aldığınız noktaları üzerine işaretlediniz, ardından düz bir çizgi ile birleştirdiniz, ortaya çıkan çizgi fonksiyonun grafiğidir.

Size biraz daha ayrıntılı olarak açıklanması gereken birkaç şey var:

1. Kolaylık sağlamak için tek bir segment seçersiniz, böylece her şey resme güzel ve kompakt bir şekilde sığar

2. Eksenin soldan sağa, eksenin aşağıdan yukarıya gittiği varsayılır.

3. Dik açıyla kesişirler ve kesişme noktalarına orijin denir. Bir harf ile işaretlenmiştir.

4. Bir noktanın koordinat kaydında, örneğin, parantez içinde solda, eksen boyunca ve sağda, eksen boyunca noktanın koordinatı bulunur. Özellikle, basitçe şu anlama gelir:

5. Koordinat ekseninde herhangi bir noktayı ayarlamak için koordinatlarını belirtmeniz gerekir (2 sayı)

6. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta için,

7. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta için,

8. Eksene x ekseni denir

9. Eksene y ekseni denir

Şimdi sizinle bir sonraki adımı atalım: iki noktayı işaretleyin. Bu iki noktayı bir çizgi ile birleştirin. Ve oku bir noktadan noktaya çiziyormuş gibi koyalım: yani segmentimizi yönlendirilmiş hale getireceğiz!

Yönlendirilmiş bir segment için başka bir adın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu doğru, buna vektör denir!

Böylece, bir noktayı bir noktaya bağlarsak, ve başlangıç A noktası olacak ve son B noktası olacak, sonra bir vektör elde ederiz. Bu inşaatı 8. sınıfta da yapmıştın, hatırladın mı?

Noktalar gibi vektörlerin iki sayı ile gösterilebileceği ortaya çıktı: bu sayılara vektörün koordinatları denir. Soru: Vektörün koordinatlarını bulmak için başlangıç ve bitiş koordinatlarını bilmemiz sizce yeterli mi? Görünüşe göre evet! Ve bunu yapmak çok kolay:

Böylece, vektörde nokta başlangıç ve bitiş olduğundan, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Örneğin, eğer, o zaman vektörün koordinatları

Şimdi tersini yapalım, vektörün koordinatlarını bulalım. Bunun için neyi değiştirmemiz gerekiyor? Evet, başlangıcı ve bitişi değiştirmelisiniz: şimdi vektörün başlangıcı bir noktada ve bitiş bir noktada olacaktır. O zamanlar:

Yakından bakın, vektörler ve arasındaki fark nedir? Tek farkları koordinatlardaki işaretlerdir. Onlar zıt. Bu gerçek şöyle yazılmıştır:

Bazen, hangi noktanın vektörün başlangıcı ve hangisinin son olduğu özellikle belirtilmemişse, vektörler iki büyük harfle değil, bir küçük harfle gösterilir, örneğin:, vb.

şimdi biraz uygulama ve aşağıdaki vektörlerin koordinatlarını bulun:

muayene:

Şimdi sorunu biraz daha zor çözün:

Bir noktada hurda üzerinde olan bir vektör simit sizinle birlikte veya di-üzerindedir. Bul-di-te abs-cis-su noktaları.

Hepsi aynı, oldukça sıkıcı: Noktanın koordinatları olsun. O zamanlar

Bir vektörün koordinatlarının ne olduğunu belirleyerek sistemi derledim. O zaman noktanın koordinatları vardır. Apsis ile ilgileniyoruz. O zamanlar

Yanıt vermek:

Vektörlerle başka neler yapabilirsiniz? Evet, hemen hemen her şey sıradan sayılarla aynıdır (bölemezsiniz, ancak iki şekilde çarpabilirsiniz, bunlardan birini biraz sonra tartışacağız)

Vektörler birbirleriyle istiflenebilir
Vektörler birbirinden çıkarılabilir
Vektörler keyfi sıfır olmayan bir sayı ile çarpılabilir (veya bölünebilir)
Vektörler birbirleriyle çarpılabilir

Tüm bu işlemler oldukça görsel bir geometrik temsile sahiptir. Örneğin, toplama ve çıkarma için üçgen (veya paralelkenar) kuralı:

Bir vektör, bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde uzar veya küçülür veya yön değiştirir:

Ancak burada koordinatlara ne olduğu sorusuyla ilgileneceğiz.

1. İki vektörü eklerken (çıkarırken), koordinatlarını eleman eleman ekleriz (çıkarırız). yani:

2. Bir vektörü bir sayı ile çarparken (bölerken), tüm koordinatları bu sayı ile çarpılır (bölünür):

Örneğin:

· Yüzyıldan-raya ko-or-di-nat toplamını bul.

Önce vektörlerin her birinin koordinatlarını bulalım. Her ikisinin de kökeni aynıdır - başlangıç noktası. Onların sonları farklıdır. O zamanlar, . Şimdi vektörün koordinatlarını hesaplıyoruz Sonra ortaya çıkan vektörün koordinatlarının toplamı eşittir.

Yanıt vermek:

Şimdi aşağıdaki sorunu kendiniz çözün:

· Vektörün koordinatlarının toplamını bulun

Kontrol ediyoruz:

Şimdi aşağıdaki problemi ele alalım: koordinat düzleminde iki noktamız var. Aralarındaki mesafe nasıl bulunur? İlk nokta ve ikincisi olsun. Aralarındaki mesafeyi olarak gösterelim. Netlik için aşağıdaki çizimi yapalım:

Ne yaptım? Önce noktaları birleştirdim ve ayrıca noktadan eksene paralel bir doğru çizdim ve noktadan eksene paralel bir doğru çizdim. Bir noktada kesişerek harika bir figür mü oluşturdular? O neden harika? Evet, sen ve ben bir dik üçgen hakkında neredeyse her şeyi biliyoruz. Pekala, Pisagor teoremi, kesinlikle. İstenen segment bu üçgenin hipotenüsü ve segmentler bacaklardır. Noktanın koordinatları nelerdir? Evet, resimden bulmak kolaydır: Segmentler eksenlere paralel olduğundan ve sırasıyla uzunluklarını bulmak kolaydır: sırasıyla segmentlerin uzunluklarını belirtirsek, o zaman

Şimdi Pisagor teoremini kullanalım. Bacakların uzunluklarını biliyoruz, hipotenüsü bulacağız:

Böylece, iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlardan karesi alınmış farkların kök toplamıdır. Veya - iki nokta arasındaki mesafe, onları birleştiren parçanın uzunluğudur. Noktalar arasındaki mesafenin yöne bağlı olmadığını görmek kolaydır. O zamanlar:

Bundan üç sonuç çıkarıyoruz:

İki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama konusunda biraz pratik yapalım:

Örneğin, eğer, o zaman ve arasındaki mesafe

Ya da farklı gidelim: vektörün koordinatlarını bulun

Ve vektörün uzunluğunu bulun:

Gördüğünüz gibi, aynı!

Şimdi kendi başınıza biraz pratik yapın:

Görev: verilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

Kontrol ediyoruz:

Kulağa biraz farklı gelse de, aynı formül için birkaç problem daha var:

1. Göz kapağı-ra uzunluğunun karesini bulun.

2. Nai-di-te kare göz kapağı uzunluğu-ra

Sanırım bunlarla kolayca başa çıkabilirsin? Kontrol ediyoruz:

1. Ve bu dikkat için) Daha önce vektörlerin koordinatlarını bulduk: . O zaman vektörün koordinatları vardır. Uzunluğunun karesi şöyle olacaktır:

2. Vektörün koordinatlarını bulun

O halde uzunluğunun karesi

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Basit aritmetik, başka bir şey değil.

Aşağıdaki bulmacalar açık bir şekilde sınıflandırılamaz, daha çok genel bilgi ve basit resimler çizme yeteneği içindir.

1. Kesimden-klon-on-on-on açının sinüsünü bulun, apsis ekseni ile n'inci noktayı birleştirin.

Burada nasıl yapacağız? Aradaki açının sinüsünü ve ekseni bulmanız gerekir. Ve sinüsü nerede arayabiliriz? Bu doğru, bir dik üçgende. Peki ne yapmamız gerekiyor? Bu üçgeni oluşturun!

Noktanın koordinatları ve daha sonra segment eşit olduğundan ve segment. Açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Size hatırlatmama izin verin, sinüs karşı bacağın hipotenüse oranıdır, o zaman

Yapacak ne kaldı? Hipotenüsü bulun. Bunu iki şekilde yapabilirsiniz: Pisagor teoremi (bacaklar biliniyor!) veya iki nokta arasındaki mesafe formülüyle (aslında ilk yöntemle aynı!). Ben ikinci yoldan gideceğim:

Yanıt vermek:

Bir sonraki görev size daha da kolay gelecek. O - noktanın koordinatlarında.

Görev 2. Noktadan, per-pen-di-ku-lar, abs-ciss eksenine indirilir. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir çizim yapalım:

Dikin tabanı x eksenini (ekseni) kestiği noktadır benim için bu bir noktadır. Şekil, koordinatlara sahip olduğunu gösterir: . Apsis ile ilgileniyoruz - yani "X" bileşeni. O eşittir.

Yanıt vermek: .

Görev 3.Önceki problemin koşulları altında, noktadan koordinat eksenlerine olan mesafelerin toplamını bulun.

Bir noktadan eksenlere olan mesafenin ne olduğunu biliyorsanız, görev genellikle temeldir. Biliyorsun? Umarım, ama yine de size hatırlatırım:

Yani, biraz daha yüksekte bulunan çizimimde, zaten böyle bir dik tasvir ettim mi? Hangi eksen? eksene. Ve o zaman uzunluğu nedir? O eşittir. Şimdi eksene bir dik çizin ve uzunluğunu bulun. Eşit olacak, değil mi? O zaman toplamları eşittir.

Yanıt vermek: .

Görev 4. 2. problemin koşullarında, x ekseni etrafındaki noktaya simetrik olan noktanın ordinatını bulun.

Simetrinin ne olduğunu sezgisel olarak anladığınızı düşünüyorum? Pek çok nesne buna sahiptir: birçok bina, masa, düzlem, birçok geometrik şekil: bir top, bir silindir, bir kare, bir eşkenar dörtgen, vb. Kabaca söylemek gerekirse, simetri şu şekilde anlaşılabilir: bir şekil iki (veya daha fazla) oluşur. özdeş yarılar. Bu simetriye eksenel denir. O zaman eksen nedir? Bu tam olarak, şeklin göreceli olarak aynı yarılara "kesilebileceği" çizgidir (bu resimde simetri ekseni düzdür):

Şimdi görevimize geri dönelim. Eksene göre simetrik olan bir nokta aradığımızı biliyoruz. O halde bu eksen simetri eksenidir. Yani, eksenin parçayı iki eşit parçaya ayırması için bir noktayı işaretlememiz gerekiyor. Böyle bir noktayı kendiniz işaretlemeye çalışın. Şimdi benim çözümümle karşılaştırın:

Sen de aynısını yaptın mı? İyi! Bulunan noktada, ordinatla ilgileniyoruz. o eşittir

Yanıt vermek:

Şimdi söyle bana, bir saniye düşündükten sonra, y eksenine göre A noktasına simetrik olan noktanın apsisi ne olacak? Cevabınız nedir? Doğru cevap: .

Genel olarak, kural şu şekilde yazılabilir:

x ekseni etrafında bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatları:

Y ekseni etrafında bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatları vardır:

Şimdi gerçekten korkutucu. bir görev: Bir noktaya simetrik olan bir noktanın orijine göre koordinatlarını bulun. Önce kendin düşün, sonra çizimime bak!

Yanıt vermek:

Şimdi paralelkenar sorunu:

Görev 5: Puanlar ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma'dır. Dee-te veya dee-on-tu noktalarını bulun.

Bu sorunu iki şekilde çözebilirsiniz: mantık ve koordinat yöntemi. Önce koordinat yöntemini uygulayacağım, sonra size nasıl farklı şekilde karar verebileceğinizi anlatacağım.

Noktanın apsisinin eşit olduğu oldukça açıktır. (noktadan x eksenine çizilen dikme üzerinde bulunur). Ordinatı bulmamız gerekiyor. Figürümüzün bir paralelkenar olduğu gerçeğinden yararlanalım, bu şu anlama geliyor. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak parçanın uzunluğunu bulun:

Noktayı eksene bağlayan dikeyi indiriyoruz. Kavşak noktası bir harf ile gösterilir.

Segmentin uzunluğu eşittir. (bu anı tartıştığımız sorunu kendiniz bulun), o zaman Pisagor teoremini kullanarak segmentin uzunluğunu bulacağız:

Parçanın uzunluğu, koordinatıyla tamamen aynıdır.

Yanıt vermek: .

Başka bir çözüm (sadece onu gösteren bir resim sağlayacağım)

Çözüm ilerlemesi:

1. Harcama

2. Nokta koordinatlarını ve uzunluğunu bulun

3. Bunu kanıtlayın.

Bir tane daha kesme uzunluğu sorunu:

Noktalar-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-açı-no-ka. Orta hattının uzunluğunu bulun, par-ral-lel-noy.

Bir üçgenin orta çizgisinin ne olduğunu hatırlıyor musunuz? O zaman sizin için bu görev temeldir. Hatırlamıyorsanız, size hatırlatacağım: Bir üçgenin orta çizgisi, karşıt kenarların orta noktalarını birleştiren bir çizgidir. Tabana paralel ve yarısına eşittir.

Baz bir segmenttir. Daha önce uzunluğunu aramak zorunda kaldık, eşittir. O zaman orta çizginin uzunluğu yarısı kadar uzun ve eşittir.

Yanıt vermek: .

Yorum: Bu sorun, biraz sonra döneceğimiz başka bir şekilde çözülebilir.

Bu arada, işte size birkaç görev, üzerinde çalışın, oldukça basitler, ancak koordinat yöntemini kullanarak “elinizi çekmenize” yardımcı oluyorlar!

1. Noktalar görünüyor-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Orta hattının uzunluğunu bulun.

2. Puanlar ve yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Dee-te veya dee-on-tu noktalarını bulun.

3. Kesimden uzunluğu bulun, ikinci noktayı bağlayın ve

4. Ko-or-di-nat-noy düzleminde kırmızı-shen-noy figürü için alanı bulun.

5. na-cha-le ko-or-di-nat merkezli bir daire bir noktadan geçiyor. Bıyığını bul.

6. Nai-di-te ra-di-us daire-no-sti, sağ-açı-no-ka yakınında tarif-san-noy, bir şey-ro-go'nun üstleri-shi-ny'si ortak-ya da - di-na-sen-yanıttan-ama

Çözümler:

1. Bir yamuğun orta çizgisinin, tabanlarının toplamının yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Taban eşittir, ancak taban. O zamanlar

Yanıt vermek:

2. Bu sorunu çözmenin en kolay yolu şunu fark etmektir (paralelkenar kuralı). Vektörlerin koordinatlarını hesaplayın ve zor değil: . Vektörler eklenirken koordinatlar eklenir. Sonra koordinatları var. Nokta aynı koordinatlara sahiptir, çünkü vektörün başlangıcı koordinatları olan bir noktadır. Ordinatla ilgileniyoruz. O eşittir.

Yanıt vermek:

3. İki nokta arasındaki uzaklık formülüne göre hemen hareket ediyoruz:

Yanıt vermek:

4. Resme bakın ve taralı alan hangi iki şekil arasında “sıkıştırılıyor”? İki kare arasına sıkıştırılmıştır. Daha sonra istenen şeklin alanı, büyük karenin alanından küçük karenin alanının çıkarılmasına eşittir. Küçük karenin kenarı, noktaları birleştiren bir parçadır ve uzunluğu

O halde küçük karenin alanı

Aynı şeyi büyük bir kare ile yapıyoruz: kenarı noktaları birleştiren bir segment ve uzunluğu eşittir

O halde büyük karenin alanı

İstenilen şeklin alanı şu formülle bulunur:

Yanıt vermek:

5. Dairenin merkezi orijine sahipse ve bir noktadan geçiyorsa, yarıçapı tam olarak doğru parçasının uzunluğuna eşit olacaktır (çizim yapın ve bunun neden açık olduğunu anlayacaksınız). Bu parçanın uzunluğunu bulun:

Yanıt vermek:

6. Bir dikdörtgenin çevresinde çevrelenen bir dairenin yarıçapının, köşegeninin yarısına eşit olduğu bilinmektedir. İki köşegenin herhangi birinin uzunluğunu bulalım (sonuçta bir dikdörtgende eşittirler!)

Yanıt vermek:

Peki, her şeyi başardın mı? Bunu anlamak o kadar da zor olmadı, değil mi? Burada tek bir kural var - görsel bir resim yapabilmek ve ondan tüm verileri basitçe “okumak”.

Çok az kaldı. Aslında tartışmak istediğim iki nokta daha var.

Bu basit sorunu çözmeye çalışalım. İki puan verilsin. Parçanın ortasının koordinatlarını bulun. Bu sorunun çözümü şu şekildedir: noktanın istenen orta olmasına izin verin, sonra koordinatları vardır:

yani: parçanın ortasının koordinatları = parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının aritmetik ortalaması.

Bu kural çok basittir ve genellikle öğrenciler için zorluk yaratmaz. Bakalım hangi problemlerde ve nasıl kullanılıyor:

1. Kesimden-di-te veya-di-na-tu se-re-di-us, connect-nya-yu-th-th noktasından ve

2. Puanlar yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Dia-go-on-lei'sinin yeniden-se-che-niya'sının di-te veya-di-na-tu noktalarını bulun.

3. Dairenin merkezinin abs-cis-su'sunu bulun, dikdörtgenin yakınında san-noy'u tanımlayın-no-ka, üstler-shi-bir şey-ro-go-ko-veya-di- na-siz-ve-stvenno-ama.

Çözümler:

1. İlk görev sadece bir klasik. Segmentin orta noktasını belirleyerek hemen harekete geçiyoruz. Koordinatları var. Ordinat eşittir.

Yanıt vermek:

2. Verilen dörtgenin bir paralelkenar (hatta bir eşkenar dörtgen!) olduğunu görmek kolaydır. Kenar uzunluklarını hesaplayarak ve birbirleriyle karşılaştırarak bunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Paralelkenar hakkında ne biliyorum? Köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünmüştür! Aha! Öyleyse köşegenlerin kesişme noktası nedir? Bu köşegenlerden herhangi birinin ortasıdır! Özellikle köşegeni seçeceğim. O zaman noktanın koordinatları vardır.Noktanın ordinatı eşittir.

Yanıt vermek:

3. Dikdörtgenin çevrelediği dairenin merkezi nedir? Köşegenlerinin kesişme noktası ile çakışır. Bir dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsun? Eşittirler ve kesişme noktası ikiye bölünmüştür. Görev bir öncekine düşürüldü. Örneğin, köşegeni alın. O zaman, çevrelenmiş dairenin merkezi ise, o zaman ortasıdır. Koordinatları arıyorum: Apsis eşittir.

Yanıt vermek:

Şimdi biraz kendi başınıza pratik yapın, kendinizi kontrol edebilmeniz için her sorunun cevabını vereceğim.

1. Nai-di-te ra-di-us daire-no-sti, tarif-san-noy üçgeninin yakınında-no-ka, birisi-ro-go'nun üstlerinde ko-or-di -hayır baylar var

2. Dairenin merkezini bulun veya bulun

3. Apsis eksenine değmesi için bir noktada merkezi olan bir daire nasıl bir ra-di-y-sa olmalıdır?

4. Eksenin yeniden-se-che-ing'inin o noktasında-di-te veya-di-on-kesiminden, connect-nya-yu-th-noktasından ve

Yanıtlar:

Her şey yoluna girdi mi? Bunu gerçekten umuyorum! Şimdi - son itme. Şimdi özellikle dikkatli olun. Şimdi açıklayacağım malzeme sadece Kısım B'deki basit koordinat yöntemi problemleriyle ilgili değil, aynı zamanda problem C2'de de bulunuyor.

Hangi sözlerimi henüz tutmadım? Vektörler üzerinde hangi işlemleri tanıtmaya söz verdiğimi ve sonunda hangilerini tanıttığımı hatırlıyor musunuz? Hiçbir şey unutmadığıma emin miyim? Unutmuş olmak! Vektörlerin çarpımının ne anlama geldiğini açıklamayı unuttum.

Bir vektörü bir vektörle çarpmanın iki yolu vardır. Seçilen yönteme bağlı olarak, farklı nitelikte nesneler elde edeceğiz:

Vektör ürünü oldukça zor. Nasıl yapılır ve neden gereklidir, bir sonraki makalede sizinle tartışacağız. Ve bunda skaler ürüne odaklanacağız.

Bunu hesaplamamıza izin veren iki yol var:

Tahmin ettiğiniz gibi, sonuç aynı olmalı! O halde önce ilk yola bakalım:

Koordinatlar aracılığıyla nokta çarpımı

Bul: - nokta çarpımı için ortak gösterim

Hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

Yani nokta çarpım = vektörlerin koordinatlarının çarpımlarının toplamı!

Örnek vermek:

Bul-dee-te

Çözüm:

Vektörlerin her birinin koordinatlarını bulun:

Skaler ürünü aşağıdaki formülle hesaplıyoruz:

Yanıt vermek:

Görüyorsun, kesinlikle karmaşık bir şey yok!

Peki, şimdi kendin dene:

Bul-di-te skaler-noe yanlısı-ve-de-nie yüzyıldan hendeğe ve

Becerebildin mi? Belki küçük bir numara fark etmiştir? Hadi kontrol edelim:

Vektör koordinatları, önceki görevde olduğu gibi! Yanıt vermek: .

Koordinata ek olarak, vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsü aracılığıyla skaler ürünü hesaplamanın başka bir yolu daha vardır:

ve vektörleri arasındaki açıyı belirtir.

Yani, skaler ürün, vektörlerin uzunluklarının ürününe ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

Neden bu ikinci formüle ihtiyacımız var, eğer birincisine sahipsek, ki bu çok daha basit, en azından içinde kosinüs yok. Ve buna ihtiyacımız var, böylece birinci ve ikinci formüllerden vektörler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı çıkarabiliriz!

O zaman bir vektörün uzunluk formülünü hatırlayalım!

Sonra bu verileri nokta çarpım formülüne eklersem şunu elde ederim:

Ama başka bir şekilde:

Peki elimizde ne var? Artık iki vektör arasındaki açıyı hesaplamak için bir formülümüz var! Bazen, kısaca, şu şekilde de yazılır:

Yani, vektörler arasındaki açıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir:

Skaler ürünü koordinatlarla hesaplıyoruz
Vektörlerin uzunluklarını bulun ve çarpın
1. noktanın sonucunu 2. noktanın sonucuna bölün

Örneklerle pratik yapalım:

1. Göz kapakları-ra-mi ve arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

2. Önceki problemin koşulları altında, vektörler arasındaki kosinüsü bulun.

Şunu yapalım: İlk problemi çözmene yardım edeceğim ve ikincisini kendin yapmaya çalışacağım! Kabul etmek? O zaman başlayalım!

1. Bu vektörler eski dostlarımızdır. Onların skaler çarpımını zaten düşündük ve bu eşitti. Koordinatları: , . Sonra uzunluklarını buluruz:

Sonra vektörler arasındaki kosinüsü arıyoruz:

açının kosinüsü nedir? Burası köşe.

Yanıt vermek:

Peki, şimdi ikinci sorunu kendin çöz ve sonra karşılaştır! Sadece çok kısa bir çözüm vereceğim:

2. koordinatları vardır, koordinatları vardır.

Vektörler arasındaki açı olsun ve sonra

Yanıt vermek:

Sınav kağıdının B bölümündeki doğrudan vektörler ve koordinat yöntemi üzerindeki görevlerin oldukça nadir olduğuna dikkat edilmelidir. Bununla birlikte, C2 problemlerinin büyük çoğunluğu bir koordinat sistemi tanıtılarak kolayca çözülebilir. Bu nedenle, bu makaleyi, temelinde karmaşık sorunları çözmek için ihtiyaç duyacağımız oldukça zor yapılar yapacağımız bir temel olarak düşünebilirsiniz.

KOORDİNATLAR VE VEKTÖRLER. ORTA DÜZEY

Sen ve ben koordinat yöntemini incelemeye devam ediyoruz. Son bölümde, aşağıdakilere izin veren bir dizi önemli formül türettik:

Vektör koordinatlarını bulun
Bir vektörün uzunluğunu bulun (alternatif olarak: iki nokta arasındaki mesafe)
Vektörleri ekleyin, çıkarın. Onları gerçek bir sayı ile çarpın
Bir segmentin orta noktasını bulun
Vektörlerin nokta çarpımını hesaplayın
Vektörler arasındaki açıyı bulun

Elbette tüm koordinat yöntemi bu 6 noktaya sığmaz. Üniversitede tanışacağınız analitik geometri gibi bir bilimin temelini oluşturur. Sadece sorunları tek bir eyalette çözmenize izin verecek bir temel oluşturmak istiyorum. sınav. B bölümünün görevlerini çözdük Şimdi niteliksel olarak yeni bir seviyeye geçme zamanı! Bu makale, koordinat yöntemine geçmenin makul olacağı bu C2 problemlerini çözme yöntemine ayrılacaktır. Bu makullük, problemde bulunması gereken ve verilen rakam tarafından belirlenir. Bu nedenle, sorular şuysa koordinat yöntemini kullanırdım:

İki düzlem arasındaki açıyı bulun
Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun
İki çizgi arasındaki açıyı bulun
Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun
Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun
Düz bir çizgiden bir düzleme olan mesafeyi bulun
İki çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Problemin durumunda verilen şekil bir dönüş cismi ise (bilye, silindir, koni...)

Koordinat yöntemi için uygun rakamlar şunlardır:

küboid
Piramit (üçgen, dörtgen, altıgen)

ayrıca benim tecrübemde için koordinat yöntemini kullanmak uygun değildir.:

Bölümlerin alanlarını bulma
Vücut hacimlerinin hesaplanması

Bununla birlikte, koordinat yöntemi için üç “olumsuz” durumun pratikte oldukça nadir olduğu hemen belirtilmelidir. Çoğu görevde, özellikle üç boyutlu yapılarda (bazen oldukça karmaşık olan) çok güçlü değilseniz, kurtarıcınız olabilir.

Yukarıda listelediğim tüm rakamlar nelerdir? Artık kare, üçgen, daire gibi düz değil, hacimlidirler! Buna göre, iki boyutlu değil, üç boyutlu bir koordinat sistemi düşünmemiz gerekiyor. Oldukça kolay inşa edilir: Apsis ve koordinatlara ek olarak, başka bir eksen, uygulama ekseni tanıtacağız. Şekil, göreceli konumlarını şematik olarak göstermektedir:

Hepsi birbirine diktir, orijin diyeceğimiz bir noktada kesişir. Apsis ekseni, daha önce olduğu gibi, ordinat ekseni - ve tanıtılan uygulama ekseni - ile gösterilecektir.

Daha önce düzlemdeki her nokta iki sayı ile karakterize edildiyse - apsis ve ordinat, o zaman uzaydaki her nokta zaten üç sayı ile tanımlanır - apsis, ordinat, uygulama. Örneğin:

Buna göre noktanın apsisi eşittir, ordinat 'dir ve uygulama 'dir.

Bazen bir noktanın apsisi, noktanın apsis eksenine izdüşümü olarak da adlandırılır, ordinat noktanın y eksenine izdüşümüdür ve aplikasyon, noktanın aplikasyon eksenine izdüşümüdür. Buna göre, bir nokta verilirse, koordinatları olan bir nokta:

bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü denir

Doğal bir soru ortaya çıkıyor: iki boyutlu durum için türetilen tüm formüller uzayda geçerli mi? Cevap evet, onlar sadece ve aynı görünüme sahipler. Küçük bir detay için. Sanırım hangisi olduğunu zaten tahmin ettiniz. Tüm formüllerde, uygulama ekseninden sorumlu bir terim daha eklemek zorunda kalacağız. Yani.

1. İki nokta verilirse: , o zaman:

Vektör koordinatları:
İki nokta arasındaki mesafe (veya vektör uzunluğu)
Segmentin ortasında koordinatlar var

2. İki vektör verilirse: ve, o zaman:

Nokta çarpımı:
Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Ancak, uzay o kadar basit değil. Anladığınız gibi, bir koordinatın daha eklenmesi, bu uzayda "yaşayan" figürlerin yelpazesinde önemli bir çeşitlilik getirir. Ve daha fazla anlatım için, kabaca konuşursak, düz çizginin bazı "genellemelerini" tanıtmam gerekiyor. Bu "genelleme" bir düzlem olacaktır. Uçak hakkında ne biliyorsun? Soruyu cevaplamaya çalışın, uçak nedir? Söylemesi çok zor. Ancak, hepimiz sezgisel olarak neye benzediğini hayal ederiz:

Kabaca söylemek gerekirse, bu bir tür sonsuz "yaprak" uzaya itilir. "Sonsuz", düzlemin her yöne uzandığı, yani alanının sonsuzluğa eşit olduğu anlaşılmalıdır. Ancak "parmaklardaki" bu açıklama, uçağın yapısı hakkında en ufak bir fikir vermemektedir. Ve onunla ilgileneceğiz.

Geometrinin temel aksiyomlarından birini hatırlayalım:

Düz bir çizgi, bir düzlemde iki farklı noktadan geçer, ayrıca yalnızca bir noktadan geçer:

Veya uzaydaki analogu:

Elbette, verilen iki noktadan düz bir çizginin denklemini nasıl türeteceğinizi hatırlıyorsunuz, bu hiç de zor değil: ilk noktanın koordinatları varsa: ve ikincisi, o zaman düz çizginin denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

Bunu 7. sınıfta yaşadın. Uzayda, düz bir çizginin denklemi şöyle görünür: koordinatları olan iki noktamız olsun: , o zaman onlardan geçen düz bir çizginin denklemi şu şekilde olur:

Örneğin, bir çizgi noktalardan geçer:

Bu nasıl anlaşılmalı? Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: koordinatları aşağıdaki sistemi sağlıyorsa bir nokta bir çizgi üzerindedir:

Düz bir çizginin denklemiyle pek ilgilenmeyeceğiz, ancak çok önemli bir düz çizginin yönlendirici vektörü kavramına dikkat etmemiz gerekiyor. - belirli bir doğru üzerinde veya ona paralel uzanan sıfır olmayan herhangi bir vektör.

Örneğin, her iki vektör de düz bir çizginin yön vektörleridir. Düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta olsun ve yönlendirici vektörü olsun. Daha sonra düz bir çizginin denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Bir kez daha, düz bir çizginin denklemi ile pek ilgilenmeyeceğim, ancak bir yön vektörünün ne olduğunu hatırlamanıza gerçekten ihtiyacım var! Yine: bir doğru üzerinde veya ona paralel olan HERHANGİ sıfır olmayan bir vektördür.

Geri çekilmek bir düzlemin üç noktalı denklemi artık o kadar önemsiz değil ve genellikle bir lise kursunda yer almıyor. Ama boşuna! Bu teknik, karmaşık problemleri çözmek için koordinat yöntemine başvurduğumuzda hayati önem taşır. Ancak, yeni bir şey öğrenme arzusuyla dolu olduğunuzu varsayıyorum? Ayrıca, genellikle analitik geometri dersinde çalışılan tekniği nasıl kullanacağınızı zaten bildiğiniz ortaya çıktığında, üniversitedeki öğretmeninizi etkileyebileceksiniz. O halde başlayalım.

Bir düzlemin denklemi, bir düzlemdeki düz bir çizginin denkleminden çok farklı değildir, yani şu şekle sahiptir:

bazı sayılar (hepsi sıfıra eşit değildir), ancak değişkenler, örneğin: vb. Gördüğünüz gibi, bir düzlemin denklemi düz bir çizginin denkleminden (doğrusal fonksiyon) çok farklı değildir. Ancak, seninle ne tartıştığımızı hatırlıyor musun? Bir doğru üzerinde yer almayan üç noktamız varsa, o zaman düzlemin denkleminin onlardan benzersiz bir şekilde geri yüklendiğini söyledik. Ama nasıl? Sana açıklamaya çalışacağım.

Düzlem denklemi olduğundan:

Ve noktalar bu düzleme aittir, o zaman her noktanın koordinatlarını düzlemin denkleminde yerine koyarken, doğru kimliği elde etmeliyiz:

Bu nedenle, zaten bilinmeyenleri olan üç denklemi çözmeye ihtiyaç var! İkilem! Ancak, bunu her zaman varsayabiliriz (bunun için bölmemiz gerekir). Böylece, üç bilinmeyenli üç denklem elde ederiz:

Ancak böyle bir sistemi çözmeyeceğiz, ondan çıkan şifreli ifadeyi yazacağız:

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(dizi)) \sağ| = 0\]

Durmak! Bu başka nedir? Çok sıra dışı bir modül! Ancak önünüzde gördüğünüz cismin modülle alakası yok. Bu nesneye üçüncü dereceden determinant denir. Şu andan itibaren, bir düzlemde koordinat yöntemiyle uğraşırken, bu belirleyicilerle sık sık karşılaşacaksınız. Üçüncü dereceden bir determinant nedir? İşin garibi, bu sadece bir sayı. Belirleyici ile hangi belirli sayıyı karşılaştıracağımızı anlamak için kalır.

Önce üçüncü dereceden determinantı daha genel bir biçimde yazalım:

Bazı sayılar nerede. Ayrıca, ilk dizin ile satır numarasını ve dizin ile - sütun numarasını kastediyoruz. Örneğin, verilen sayının ikinci satır ile üçüncü sütunun kesişim noktasında olduğu anlamına gelir. Şu soruyu soralım: Böyle bir determinantı tam olarak nasıl hesaplayacağız? Yani, hangi belirli sayı ile karşılaştıracağız? Kesin olarak üçüncü mertebenin determinantı için bir buluşsal (görsel) üçgen kuralı vardır, şöyle görünür:

Ana köşegenin elemanlarının çarpımı (sol üstten sağ alta) Birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ana köşegene "dik" ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı Ana köşegene "dik" diyagonal
İkincil köşegen elemanlarının çarpımı (sağ üstten sol alta) birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikinci köşegene "dik" ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikincil köşegen
Daha sonra determinant, adımda elde edilen değerler arasındaki farka eşittir ve

Tüm bunları sayılarla yazarsak, aşağıdaki ifadeyi alırız:

Bununla birlikte, bu formdaki hesaplama yöntemini ezberlemenize gerek yoktur, sadece üçgenleri kafanızda tutmanız ve neyin neye eklendiği ve neyin daha sonra neyin çıkarıldığı fikrini tutmanız yeterlidir).

Üçgen yöntemini bir örnekle açıklayalım:

1. Determinantı hesaplayın:

Ne eklediğimizi ve neyi çıkardığımızı bulalım:

"Artı" ile gelen terimler:

Bu ana köşegendir: elemanların çarpımı

İlk üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı

İkinci üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı

Üç sayı ekliyoruz:

"Eksi" ile gelen terimler

Bu bir yan köşegendir: elemanların çarpımı

Birinci üçgen, "ikincil köşegene dik: elemanların çarpımı

İkinci üçgen, "ikincil köşegene dik: elemanların çarpımı

Üç sayı ekliyoruz:

Geriye kalan tek şey, artı terimlerin toplamından eksi terimlerin toplamını çıkarmaktır:

Böylece,

Gördüğünüz gibi, üçüncü dereceden belirleyicilerin hesaplanmasında karmaşık ve doğaüstü hiçbir şey yoktur. Sadece üçgenleri hatırlamak ve aritmetik hatalar yapmamak önemlidir. Şimdi kendiniz hesaplamaya çalışın:

Kontrol ediyoruz:

Ana köşegene dik olan ilk üçgen:
Ana köşegene dik olan ikinci üçgen:
Artı terimlerin toplamı:
Kenar köşegenine dik olan ilk üçgen:
Yan köşegenine dik olan ikinci üçgen:
Eksi ile terimlerin toplamı:
Artı terimlerin toplamı eksi eksi terimlerin toplamı:

İşte size birkaç belirleyici daha, değerlerini kendiniz hesaplayın ve cevaplarla karşılaştırın:

Yanıtlar:

Peki, her şey uyumlu muydu? Harika, o zaman devam edebilirsin! Zorluklar varsa, o zaman benim tavsiyem şudur: İnternette determinantı çevrimiçi olarak hesaplamak için bir sürü program var. Tek ihtiyacınız olan kendi determinantınızı bulmak, bunu kendiniz hesaplamak ve sonra onu programın hesapladığıyla karşılaştırmak. Ve böylece sonuçlar eşleşmeye başlayana kadar. Bu anın gelmesi uzun sürmeyecek eminim!

Şimdi, verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denkleminden bahsettiğimde yazdığım determinanta dönelim:

Tek yapmanız gereken, değerini doğrudan (üçgen yöntemini kullanarak) hesaplamak ve sonucu sıfıra eşitlemek. Doğal olarak, değişkenler oldukları için onlara bağlı bazı ifadeler elde edeceksiniz. Bir doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi bu ifade olacaktır!

Bunu basit bir örnekle açıklayalım:

1. Noktalardan geçen düzlemin denklemini kurunuz.

Bu üç nokta için bir determinant oluşturuyoruz:

Basitleştirme:

Şimdi doğrudan üçgen kuralına göre hesaplıyoruz:

\[(\left| (\begin(dizi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(dizi)) \ sağ| = \left((x + 3) \sağ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \sağ) + \left((y - 2) \sağ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Böylece noktalardan geçen düzlemin denklemi şu şekildedir:

Şimdi bir sorunu kendiniz çözmeye çalışın, sonra onu tartışacağız:

2. Noktalardan geçen düzlemin denklemini bulunuz.

Peki, şimdi çözümü tartışalım:

Bir determinant yapıyoruz:

Ve değerini hesaplayın:

O zaman düzlemin denklemi şu şekildedir:

Veya azaltarak şunu elde ederiz:

Şimdi kendi kendini kontrol etmek için iki görev:

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun:

Yanıtlar:

Her şey eşleşti mi? Yine, bazı zorluklar varsa, o zaman benim tavsiyem şudur: kafanızdan üç puan alın (yüksek olasılıkla tek bir düz çizgide uzanmazlar), üzerlerine bir uçak inşa edin. Ve sonra çevrimiçi olarak kendinizi kontrol edin. Örneğin, sitede:

Ancak determinantların yardımıyla sadece düzlemin denklemini oluşturmayacağız. Unutma, sana vektörler için sadece nokta çarpım tanımlanmadığını söylemiştim. Karışık bir ürünün yanı sıra bir vektör de vardır. Ve eğer iki vektörün skaler çarpımı bir sayı olacaksa, o zaman iki vektörün vektör çarpımı bir vektör olacak ve bu vektör verilenlere dik olacaktır:

Ayrıca, modülü ve vektörleri üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşit olacaktır. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için bu vektöre ihtiyacımız olacak. Vektörlerin çapraz çarpımını nasıl hesaplayabiliriz ve eğer koordinatları verilirse? Üçüncü mertebenin determinantı yine yardımımıza geliyor. Ancak, çapraz çarpımı hesaplamak için algoritmaya geçmeden önce, küçük bir lirik arasöz yapmak zorundayım.

Bu digresyon, temel vektörlerle ilgilidir.

Şematik olarak şekilde gösterilmiştir:

Sizce neden temel olarak adlandırılıyorlar? Gerçek şu ki :

Veya resimde:

Bu formülün geçerliliği açıktır, çünkü:

vektör ürün

Şimdi çapraz ürünü tanıtmaya başlayabilirim:

İki vektörün vektör çarpımı, aşağıdaki kurala göre hesaplanan bir vektördür:

Şimdi çapraz çarpım hesaplamaya bazı örnekler verelim:

Örnek 1: Vektörlerin çapraz çarpımını bulun:

Çözüm: Bir determinant yapıyorum:

Ve hesaplıyorum:

Şimdi, temel vektörler aracılığıyla yazmaktan normal vektör gösterimine döneceğim:

Böylece:

Şimdi dene.

Hazır? Kontrol ediyoruz:

ve geleneksel olarak iki kontrol edilecek görevler:

Aşağıdaki vektörlerin çarpımını bulun:
Aşağıdaki vektörlerin çarpımını bulun:

Yanıtlar:

Üç vektörün karışık çarpımı

İhtiyacım olan son yapı, üç vektörün karışık çarpımı. Bir skaler gibi, bir sayıdır. Bunu hesaplamanın iki yolu vardır. - determinant aracılığıyla, - karışık ürün aracılığıyla.

Yani, diyelim ki üç vektörümüz var:

Daha sonra ile gösterilen üç vektörün karışık ürünü şu şekilde hesaplanabilir:

1. - yani, karışık ürün bir vektörün skaler çarpımı ve diğer iki vektörün vektör çarpımıdır.

Örneğin, üç vektörün karışık ürünü:

Vektör çarpımını kullanarak kendiniz hesaplamaya çalışın ve sonuçların eşleştiğinden emin olun!

Ve yine - bağımsız bir çözüm için iki örnek:

Yanıtlar:

Koordinat sistemi seçimi

Pekala, şimdi geometrideki karmaşık stereometrik problemleri çözmek için gerekli tüm bilgi temeline sahibiz. Ancak, bunları çözmek için doğrudan örneklere ve algoritmalara geçmeden önce şu soru üzerinde durmanın faydalı olacağına inanıyorum: tam olarak nasıl? belirli bir şekil için bir koordinat sistemi seçin. Sonuçta, hesaplamaların ne kadar hantal olacağını nihai olarak belirleyecek olan koordinat sisteminin göreli konumunun ve uzaydaki şeklin seçimidir.

Bu bölümde aşağıdaki rakamları dikkate aldığımızı hatırlatırım:

küboid
Düz prizma (üçgen, altıgen…)
Piramit (üçgen, dörtgen)
Dörtyüzlü (üçgen piramit ile aynı)

Bir küboid veya küp için aşağıdaki yapıyı öneririm:

Yani, figürü “köşeye” yerleştireceğim. Küp ve kutu çok iyi rakamlar. Onlar için köşelerinin koordinatlarını her zaman kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, eğer (resimde gösterildiği gibi)

o zaman köşe koordinatları:

Tabii ki, bunu hatırlamanıza gerek yok, ancak bir küpün veya dikdörtgen bir kutunun en iyi nasıl yerleştirileceğini hatırlamak arzu edilir.

düz prizma

Prizma daha zararlı bir figürdür. Uzayda farklı şekillerde düzenleyebilirsiniz. Ancak, aşağıdakilerin en iyi seçenek olduğunu düşünüyorum:

Üçgen prizma:

Yani, üçgenin kenarlarından birini tamamen eksene koyarız ve köşelerden biri orijine denk gelir.

Altıgen prizma:

Yani, köşelerden biri orijine denk gelir ve kenarlardan biri eksen üzerinde bulunur.

Dörtgen ve altıgen piramit:

Küpe benzer bir durum: Tabanın iki tarafını koordinat eksenleriyle birleştiririz, köşelerden birini orijiyle birleştiririz. Tek küçük zorluk, noktanın koordinatlarını hesaplamak olacaktır.

Altıgen bir piramit için - altıgen bir prizma ile aynı. Ana görev yine tepe noktasının koordinatlarını bulmak olacaktır.

Dörtyüzlü (üçgen piramit)

Durum üçgen prizma için verdiğime çok benziyor: bir köşe orijine denk geliyor, bir taraf koordinat ekseninde yatıyor.

Pekala, şimdi sen ve ben nihayet sorunları çözmeye başladık. Makalenin en başında söylediklerimden şu sonucu çıkarabilirsiniz: C2 problemlerinin çoğu 2 kategoriye ayrılır: açı problemleri ve mesafe problemleri. İlk olarak, bir açı bulma problemlerini ele alacağız. Sırasıyla aşağıdaki kategorilere ayrılırlar (karmaşıklık arttıkça):

Köşe bulma sorunları

İki doğru arasındaki açıyı bulma
İki düzlem arasındaki açıyı bulma

Bu sorunları sırayla ele alalım: iki düz çizgi arasındaki açıyı bularak başlayalım. Hadi ama hatırla, sen ve ben daha önce buna benzer örnekleri çözmüş müydük? Hatırlarsınız, çünkü zaten benzer bir şeyimiz vardı... İki vektör arasında bir açı arıyorduk. Size hatırlatırım, eğer iki vektör verilirse: ve aralarındaki açı bağıntıdan bulunur:

Şimdi bir hedefimiz var - iki düz çizgi arasındaki açıyı bulmak. "Düz resme" dönelim:

İki doğru kesiştiğinde kaç açı elde ederiz? Zaten şeyler. Doğru, sadece ikisi eşit değil, diğerleri ise onlara dikey (ve bu nedenle onlarla çakışıyor). Öyleyse iki düz çizgi arasındaki açıyı hangi açı olarak düşünmeliyiz: veya? İşte kural: iki düz çizgi arasındaki açı her zaman dereceden fazla değildir. Yani iki açıdan her zaman derece ölçüsü en küçük olan açıyı seçeceğiz. Yani bu resimde iki doğru arasındaki açı eşittir. Her seferinde iki açıdan en küçüğünü bulmakla uğraşmamak için kurnaz matematikçiler modülü kullanmayı önerdiler. Böylece, iki düz çizgi arasındaki açı şu formülle belirlenir:

Dikkatli bir okuyucu olarak sizin bir sorunuz olmalı: Aslında, bir açının kosinüsünü hesaplamak için ihtiyaç duyduğumuz bu sayıları nereden alıyoruz? Cevap: Onları doğruların yön vektörlerinden alacağız! Böylece, iki çizgi arasındaki açıyı bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

Formül 1'i uyguluyoruz.

Veya daha ayrıntılı olarak:

İlk düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
İkinci satırın yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz.
Skaler çarpımlarının modülünü hesaplayın
İlk vektörün uzunluğunu arıyoruz
İkinci vektörün uzunluğunu arıyoruz
4. noktanın sonuçlarını 5. noktanın sonuçlarıyla çarpın
3. noktanın sonucunu 6. noktanın sonucuna böleriz. Doğrular arasındaki açının kosinüsünü elde ederiz.
Bu sonuç açıyı tam olarak hesaplamamıza izin veriyorsa, onu ararız.
Aksi takdirde, arkkosinüs aracılığıyla yazarız

Pekala, şimdi görevlere geçme zamanı: İlk ikisinin çözümünü ayrıntılı olarak göstereceğim, diğerinin çözümünü kısaca sunacağım ve sadece son iki görevin cevaplarını vereceğim, yapmanız gerekenler onlar için tüm hesaplamaları kendin yap.

Görevler:

1. Sağ tet-ra-ed-re'de, tet-ra-ed-ra ile me-di-a-noy bo-ko-how tarafı arasındaki açıyı bulun.

2. Sağ ileri altı kömür-pi-ra-mi-de, yüz-ro-na-os-no-va-niya bir şekilde eşittir ve yan kaburgalar eşittir, düz arasındaki açıyı bulun çizgiler ve.

3. Sağ elini kullanan dört-sen-kömür-noy pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun ve pi-ra-mi-dy'den re-zok - sen-so-bu verilmişse, nokta onun bo-ko-th kaburgasında se-re-di-dir

4. Küpün kenarında bir noktadan-me-che-den düz çizgiler arasındaki açıyı bul-di-te ve

5. Nokta - se-re-di-küpün kenarlarında Nai-di-te düz çizgiler ve arasındaki açı.

Görevleri bu sıraya koymam tesadüf değil. Koordinat yönteminde gezinmeye başlamak için henüz zamanınız olmasa da, kendim en “sorunlu” rakamları analiz edeceğim ve sizi en basit küple uğraşmaya bırakacağım! Yavaş yavaş tüm rakamlarla nasıl çalışılacağını öğrenmelisin, konuların karmaşıklığını konudan konuya artıracağım.

Sorunları çözmeye başlayalım:

1. Bir tetrahedron çizin, daha önce önerdiğim gibi koordinat sistemine yerleştirin. Tetrahedron düzenli olduğundan, tüm yüzleri (taban dahil) düzgün üçgenlerdir. Kenarın uzunluğu bize verilmediği için eşit alabilirim. Sanırım açının gerçekten tetrahedronumuzun ne kadar "gerileceğine" bağlı olmayacağını anlıyorsunuz? Ayrıca tetrahedrondaki yüksekliği ve medyanı çizeceğim. Yol boyunca tabanını çizeceğim (bizim için de kullanışlı olacak).

ve arasındaki açıyı bulmam gerekiyor. Biz ne biliyoruz? Sadece noktanın koordinatını biliyoruz. Yani, noktaların daha fazla koordinatını bulmamız gerekiyor. Şimdi düşünüyoruz: bir nokta, bir üçgenin yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya medyanlarının) kesişme noktasıdır. Nokta yükseltilmiş bir noktadır. Nokta, segmentin orta noktasıdır. O zaman nihayet bulmamız gerekiyor: noktaların koordinatları: .

En basitinden başlayalım: nokta koordinatları. Şekle bakın: Bir noktanın uygulamasının sıfıra eşit olduğu açıktır (nokta bir düzlem üzerindedir). Ordinatı eşittir (çünkü ortancadır). Onun apsisini bulmak daha zordur. Ancak bu, Pisagor teoremi temelinde kolayca yapılabilir: Bir üçgen düşünün. Hipotenüsü eşittir ve bacaklardan biri eşittir O zaman:

Sonunda elimizde:

Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Aplikasyonunun yine sıfıra eşit olduğu ve ordinatının bir noktanınkiyle aynı olduğu açıktır, yani. Onun apsisini bulalım. Bunu hatırlarsanız, bu oldukça önemsiz bir şekilde yapılır. bir eşkenar üçgenin yükseklikleri, orantıdaki kesişme noktasına bölünür tepeden saymak. Çünkü:, o zaman, parçanın uzunluğuna eşit olan noktanın istenen apsisi, şuna eşittir:. Böylece, noktanın koordinatları:

Noktanın koordinatlarını bulalım. Apsis ve ordinatının noktanın apsisi ve ordinatıyla örtüştüğü açıktır. Ve aplike, segmentin uzunluğuna eşittir. - bu üçgenin bacaklarından biri. Bir üçgenin hipotenüsü bir segmenttir - bir bacak. Kalın harflerle vurguladığım sebepler aranıyor:

Nokta, segmentin orta noktasıdır. O zaman segmentin ortasının koordinatları için formülü hatırlamamız gerekiyor:

İşte bu, şimdi yön vektörlerinin koordinatlarını arayabiliriz:

Her şey hazır: tüm verileri formüle yerleştiriyoruz:

Böylece,

Yanıt vermek:

Bu tür "korkunç" yanıtlardan korkmamalısınız: C2 sorunları için bu yaygın bir uygulamadır. Bu bölümdeki "güzel" cevaba şaşırmayı tercih ederim. Ayrıca, belirttiğiniz gibi, pratikte Pisagor teoremi ve bir eşkenar üçgenin yüksekliklerinin özelliğinden başka bir şeye başvurmadım. Yani, stereometrik sorunu çözmek için en düşük stereometriyi kullandım. Buradaki kazanç, oldukça hantal hesaplamalarla kısmen "söndü". Ama oldukça algoritmikler!

2. Koordinat sistemi ve tabanıyla birlikte düzenli bir altıgen piramit çizin:

Çizgiler arasındaki açıyı bulmamız gerekiyor ve. Böylece, görevimiz noktaların koordinatlarını bulmaya indirgenir: . Küçük çizimden son üçün koordinatlarını bulacağız ve noktanın koordinatından tepenin koordinatını bulacağız. Çok iş var, ama başlamam gerek!

a) Koordinat: Aplikasyonu ve ordinatının sıfır olduğu açıktır. Absisi bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün. Ne yazık ki, içinde sadece eşit olan hipotenüsü biliyoruz. Bacağı bulmaya çalışacağız (çünkü bacağın iki katının bize noktanın apsisini vereceği açıktır). Onu nasıl arayabiliriz? Piramidin tabanında nasıl bir figürümüz olduğunu hatırlayalım mı? Bu normal bir altıgen. Bunun anlamı ne? Bu, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu anlamına gelir. Böyle bir köşe bulmalıyız. Herhangi bir fikir? Birçok fikir var, ancak bir formül var:

Düzgün bir n-genin açılarının toplamı .

Yani düzgün altıgenin açıları toplamı derecedir. O zaman açıların her biri şuna eşittir:

Şimdi resme tekrar bakalım. Segmentin açının açıortay olduğu açıktır. O zaman açı derecedir. O zamanlar:

Sonra nereye.

yani koordinatları var

b) Şimdi noktanın koordinatını kolayca bulabiliriz: .

c) Noktanın koordinatlarını bulunuz. Apsisi segmentin uzunluğuna denk geldiği için eşittir. Ordinatı bulmak da çok zor değil: noktaları birleştirirsek ve çizginin kesişme noktasını belirtirsek, diyelim ki için. (kendin yap basit inşaat). O halde B noktasının ordinatı, doğru parçalarının uzunluklarının toplamına eşittir. Şimdi üçgene tekrar bakalım. O zamanlar

O zamandan beri noktanın koordinatları var

d) Şimdi noktanın koordinatlarını bulun. Bir dikdörtgen düşünün ve bunu kanıtlayın. Böylece, noktanın koordinatları:

e) Köşenin koordinatlarını bulmak için kalır. Apsis ve ordinatının noktanın apsisi ve ordinatıyla örtüştüğü açıktır. Bir uygulama bulalım. O zamandan beri. Bir dik üçgen düşünün. Sorunun durumuna göre, yan kenar. Bu benim üçgenimin hipotenüsü. O zaman piramidin yüksekliği bacaktır.

O zaman noktanın koordinatları vardır:

İşte bu, ilgimi çeken tüm noktaların koordinatlarına sahibim. Düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin koordinatlarını arıyorum:

Bu vektörler arasındaki açıyı arıyoruz:

Yanıt vermek:

Yine, bu problemi çözerken, normal bir n-genin açılarının toplamı formülü ve bir dik üçgenin kosinüs ve sinüsünün tanımı dışında herhangi bir karmaşık numara kullanmadım.

3. Piramidin kenarlarının uzunlukları yine bize verilmediği için onları bire eşit sayacağım. Böylece, sadece yanlar değil, TÜM kenarlar birbirine eşit olduğundan, piramidin tabanında ve ben bir kare bulunur ve yan yüzler düzgün üçgenlerdir. Problem metninde verilen tüm verileri işaretleyerek böyle bir piramidin yanı sıra bir düzlemdeki tabanını gösterelim:

ve arasındaki açıyı arıyoruz. Noktaların koordinatlarını ararken çok kısa hesaplar yapacağım. Bunları "şifresini çözmeniz" gerekecek:

b) - segmentin ortası. Koordinatları:

c) Bir üçgende Pisagor teoremini kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulacağım. Pisagor teoremiyle bir üçgende bulacağım.

Koordinatlar:

d) - segmentin ortası. Koordinatları

e) Vektör koordinatları

f) Vektör koordinatları

g) Bir açı aramak:

Küp en basit şekildir. Eminim kendi başına çözebilirsin. 4. ve 5. soruların cevapları aşağıdaki gibidir:

Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma

Eh, basit bulmacaların zamanı bitti! Şimdi örnekler daha da zor olacak. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulmak için aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz:

Üç nokta kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz
,
üçüncü dereceden bir determinant kullanarak.
İki nokta ile düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını arıyoruz:
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı hesaplamak için formülü uygularız:

Gördüğünüz gibi, bu formül iki doğru arasındaki açıları bulmak için kullandığımız formüle çok benziyor. Sağ tarafın yapısı tamamen aynıdır ve solda şimdi eskisi gibi bir kosinüs değil, bir sinüs arıyoruz. Pekala, kötü bir eylem eklendi - uçağın denkleminin aranması.

rafa kaldırmayalım çözme örnekleri:

1. Os-no-va-ni-em düz-benim ödülüm-biz-la-et-xia eşit-ama-fakir-ren-ny üçgeni-sizi-bu-ödül-biz-eşitiz. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

2. Batı Nai-di-te'den dikdörtgen bir pa-ral-le-le-pi-pe-de'de düz çizgi ile düzlem arasındaki açı

3. Sağ elini kullanan altı kömürlü prizmada tüm kenarlar eşittir. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

4. Sağ üçgen pi-ra-mi-de, kaburganın batısından os-but-va-ni-em ile Nai-di-te açısı, os'nin ob-ra-zo-van -ny düzlemi -no-va-niya ve düz-my, kaburgaların se-re-di-na'sından geçerek ve

5. Sağdaki dörtgen pi-ra-mi-dy'nin üst kısmı ile tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Nokta pi-ra-mi-dy'nin bo-ko-in-inci kenarında se-re-di- ise, düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

Yine ilk iki problemi detaylı, üçüncüsünü kısaca çözeceğim ve son ikisini kendi başınıza çözmeniz için size bırakıyorum. Ek olarak, zaten üçgen ve dörtgen piramitler ile uğraşmak zorunda kaldınız, ancak henüz prizmalarla uğraşmadınız.

Çözümler:

1. Tabanının yanı sıra bir prizma çizin. Bunu koordinat sistemi ile birleştirelim ve problem ifadesinde verilen tüm verileri işaretleyelim:

Bazı oranlara uyulmadığı için özür dilerim, ancak sorunu çözmek için bu aslında o kadar önemli değil. Uçak sadece prizmamın "arka duvarı". Böyle bir düzlemin denkleminin şu şekilde olduğunu tahmin etmek yeterlidir:

Ancak, bu doğrudan da gösterilebilir:

Bu düzlemde rastgele üç nokta seçiyoruz: örneğin, .

Düzlemin denklemini yapalım:

Sizin için egzersiz yapın: Bu determinantı kendiniz hesaplayın. Başardın mı? O zaman düzlemin denklemi şu şekildedir:

Ya da sadece

Böylece,

Örneği çözmek için doğrunun yönlendirici vektörünün koordinatlarını bulmam gerekiyor. Nokta orijin ile çakıştığı için vektörün koordinatları basitçe noktanın koordinatlarıyla çakışacaktır.Bunu yapmak için önce noktanın koordinatlarını buluyoruz.

Bunu yapmak için bir üçgen düşünün. Yukarıdan bir yükseklik çizelim (aynı zamanda bir medyan ve bir açıortaydır). O zamandan beri, noktanın ordinatı eşittir. Bu noktanın apsisini bulmak için doğru parçasının uzunluğunu hesaplamamız gerekir. Pisagor teoremi ile elimizde:

O zaman noktanın koordinatları vardır:

Nokta, noktadaki "yükseltilmiş" bir noktadır:

Sonra vektörün koordinatları:

Yanıt vermek:

Gördüğünüz gibi, bu tür sorunları çözmede temelde zor bir şey yoktur. Aslında prizma gibi bir figürün “düzlüğü” süreci biraz daha kolaylaştırıyor. Şimdi bir sonraki örneğe geçelim:

2. Paralel uçlu bir çizgi çiziyoruz, içine bir düzlem ve düz bir çizgi çiziyoruz ve ayrıca alt tabanını ayrı ayrı çiziyoruz:

İlk olarak, düzlemin denklemini buluyoruz: İçinde yatan üç noktanın koordinatları:

(ilk iki koordinat bariz bir şekilde elde edilir ve noktadan son koordinatı resimden kolayca bulabilirsiniz). Sonra düzlemin denklemini oluştururuz:

Hesaplıyoruz:

Yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz: Koordinatlarının noktanın koordinatlarıyla çakıştığı açık değil mi? Koordinatlar nasıl bulunur? Bunlar, aplikasyon ekseni boyunca birer birer yükseltilmiş noktanın koordinatlarıdır! . Sonra istenen açıyı arıyoruz:

Yanıt vermek:

3. Düzenli bir altıgen piramit çizin ve ardından içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin.

Burada bir düzlem çizmek bile sorunlu, bu sorunun çözümünden bahsetmiyorum bile, ancak koordinat yönteminin umurunda değil! Ana avantajı çok yönlülüğünde yatmaktadır!

Uçak üç noktadan geçer: . Koordinatlarını arıyoruz:

1) . Son iki noktanın koordinatlarını kendiniz görüntüleyin. Bunun için altıgen bir piramit ile problemi çözmeniz gerekecek!

2) Uçağın denklemini oluşturuyoruz:

Vektörün koordinatlarını arıyoruz: . (Üçgen piramit problemine tekrar bakın!)

3) Bir açı arıyoruz:

Yanıt vermek:

Gördüğünüz gibi, bu görevlerde doğaüstü zor bir şey yok. Sadece köklere çok dikkat etmeniz gerekiyor. Son iki soruna sadece cevap vereceğim:

Gördüğünüz gibi, problem çözme tekniği her yerde aynıdır: asıl görev, köşelerin koordinatlarını bulmak ve bunları bazı formüllerde değiştirmek. Geriye, açıları hesaplamak için bir başka problem sınıfını düşünmek kalıyor, yani:

İki düzlem arasındaki açıları hesaplama

Çözüm algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

Üç nokta için birinci düzlemin denklemini arıyoruz:
Diğer üç nokta için ikinci düzlemin denklemini arıyoruz:
Formülü uyguluyoruz:

Gördüğünüz gibi, formül, düz çizgiler arasında ve düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıları aradığımız önceki ikisine çok benzer. Bu yüzden bunu hatırlamak sizin için zor olmayacak. Hemen soruna geçelim:

1. Yüz-ro-sağ üçgen prizma temelinde eşittir ve yan yüzün köşegeni eşittir. Ödül tabanının düzlemi ile düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. Sağda dört-sen-kömür-noy pi-ra-mi-de, birinin tüm kenarları eşittir, düzlem ile Ko-Stu düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun, içinden geçen başına-pen-di-ku-lyar-ama düz-benim noktası.

3. Düzenli bir dört kömürlü prizmada, os-no-van-nia'nın kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Kenarda-me-che-noktasına öyle ki. Düzlemler arasındaki açıyı bulun ve

4. Sağdaki dörtgen prizmada tabanların kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Kenarda-me-che-bir noktaya yani düzlemler arasındaki açıyı bulun ve.

5. Küpte, düzlemler arasındaki açının ko-si-nus'unu bulun ve

Sorun çözümleri:

1. Düzenli (tabanda - bir eşkenar üçgen) üçgen prizma çiziyorum ve üzerinde problem durumunda görünen düzlemleri işaretliyorum:

İki düzlemin denklemlerini bulmamız gerekiyor: Temel denklem önemsiz bir şekilde elde edilir: karşılık gelen determinantı üç nokta için yapabilirsiniz, ancak denklemi hemen yapacağım:

Şimdi noktanın koordinatları olan denklemi bulalım Nokta - Ortanca ve üçgenin yüksekliği olduğundan, bir üçgende Pisagor teoremi ile bulmak kolaydır. O zaman noktanın koordinatları vardır: Noktanın uygulamasını bulun Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün

Sonra aşağıdaki koordinatları elde ederiz: Düzlemin denklemini oluşturuyoruz.

Uçaklar arasındaki açıyı hesaplıyoruz:

Yanıt vermek:

2. Çizim yapmak:

En zor şey, bir noktadan dik olarak geçen, nasıl bir gizemli düzlem olduğunu anlamaktır. Peki, asıl mesele nedir? Ana şey dikkat! Doğrusu, çizgi diktir. Çizgi de diktir. Daha sonra bu iki çizgiden geçen düzlem çizgiye dik olacak ve bu arada noktadan geçecektir. Bu uçak aynı zamanda piramidin tepesinden de geçer. Sonra istenen uçak - Ve uçak zaten bize verildi. Noktaların koordinatlarını arıyoruz.

Noktadan geçen noktanın koordinatını buluruz. Küçük bir çizimden noktanın koordinatlarının aşağıdaki gibi olacağını çıkarmak kolaydır: Piramidin tepesinin koordinatlarını bulmak için şimdi ne kaldı? Hala yüksekliğini hesaplamanız gerekiyor. Bu, aynı Pisagor teoremi kullanılarak yapılır: ilk önce, bunu kanıtlayın (önemsiz bir şekilde, tabanda bir kare oluşturan küçük üçgenlerden). Koşul gereği, elimizde:

Artık her şey hazır: köşe koordinatları:

Uçağın denklemini oluşturuyoruz:

Belirleyicileri hesaplama konusunda zaten bir uzmansınız. Kolayca alacaksınız:

Veya aksi halde (eğer iki parçayı da ikinin köküyle çarparsak)

Şimdi düzlemin denklemini bulalım:

(Uçağın denklemini nasıl elde ettiğimizi unutmadın, değil mi? Bu eksi birin nereden geldiğini anlamadıysan, o zaman düzlemin denkleminin tanımına geri dön! uçak orijine aitti!)

Determinantı hesaplıyoruz:

(Uçağın denkleminin noktalardan geçen doğrunun denklemiyle çakıştığını fark etmişsinizdir ve! Nedenini bir düşünün!)

Şimdi açıyı hesaplıyoruz:

Sinüs'ü bulmamız gerekiyor:

Yanıt vermek:

3. Zor bir soru: Dikdörtgen prizma nedir, ne düşünüyorsunuz? Bu sadece sizin için iyi bilinen bir paralelyüz! Hemen çiz! Tabanı ayrı ayrı tasvir bile edemezsiniz, burada çok az kullanımı vardır:

Uçak, daha önce belirttiğimiz gibi bir denklem olarak yazılır:

Şimdi bir uçak yapıyoruz

Hemen uçağın denklemini oluşturuyoruz:

bir açı arıyorum

Şimdi son iki sorunun cevapları:

Pekala, şimdi ara verme zamanı, çünkü sen ve ben harikayız ve harika bir iş çıkardık!

Koordinatlar ve vektörler. İleri düzey

Bu yazıda, koordinat yöntemi kullanılarak çözülebilecek başka bir problem sınıfını sizinle tartışacağız: uzaklık problemleri. Yani, aşağıdaki durumları ele alacağız:

Eğri çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplama.

Verilen görevleri karmaşıklıkları arttıkça sıraladım. En kolayı bulmak noktadan düzleme uzaklık ve en zor kısmı bulmak kesişen çizgiler arasındaki mesafe. Tabii ki, hiçbir şey imkansız olmasa da! Ertelemeyelim ve hemen birinci sınıf problemlerin değerlendirmesine geçelim:

Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplama

Bu sorunu çözmek için neye ihtiyacımız var?

1. Nokta koordinatları

Bu nedenle, gerekli tüm verileri alır almaz formülü uygularız:

Son bölümde analiz ettiğim önceki problemlerden uçağın denklemini nasıl oluşturduğumuzu zaten biliyor olmalısınız. Hemen işe başlayalım. Şema şu şekildedir: 1, 2 - Karar vermenize yardımcı oluyorum ve biraz ayrıntılı olarak, 3, 4 - sadece cevap, kararı kendiniz veriyorsunuz ve karşılaştırıyorsunuz. Başladı!

Görevler:

1. Bir küp verildi. Küpün kenar uzunluğu Kesimden düze se-re-di-ny'den bul-te mesafesi

2. Sağ-vil-naya verilen dört-sen-rekh-kömür-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kenar yüz-ro-on os-no-van-nia eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan bu mesafeleri bulun - burada - kenarlarda yeniden-di.

3. Os-but-va-ni-em ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de, diğer kenar eşittir ve yüz-ro-on os-no-vaniya eşittir. Tepeden düzleme olan mesafeleri bulun.

4. Sağ elini kullanan altı kömürlü prizmada tüm kenarlar eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan uzaklıkları bulun.

Çözümler:

1. Tek kenarlı bir küp çizin, bir parça ve bir düzlem oluşturun, parçanın ortasını harfle belirtin

İlk önce kolay olanla başlayalım: bir noktanın koordinatlarını bulun. O zamandan beri (parçanın ortasının koordinatlarını hatırla!)

Şimdi uçağın denklemini üç noktada oluşturuyoruz

\[\sol| (\begin(dizi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(dizi)) \sağ| = 0\]

Şimdi mesafeyi bulmaya başlayabilirim:

2. Tüm verileri işaretlediğimiz bir çizimle tekrar başlıyoruz!

Bir piramit için tabanını ayrı ayrı çizmek faydalı olacaktır.

Tavuk pençesi gibi çizmem bile bu sorunu kolayca çözmemize engel olmayacak!

Artık bir noktanın koordinatlarını bulmak çok kolay

Noktanın koordinatları olduğundan

2. a noktasının koordinatları doğru parçasının ortası olduğuna göre

Düzlemde iki noktanın daha koordinatlarını kolayca bulabiliriz, düzlemin denklemini oluşturur ve sadeleştiririz:

\[\sol| (\left| (\begin(dizi)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(dizi)) \sağ|) \sağ| = 0\]

Noktanın koordinatları: olduğundan, mesafeyi hesaplarız:

Cevap (çok nadir!):

Peki anladın mı? Bana öyle geliyor ki, buradaki her şey, önceki bölümde sizinle birlikte ele aldığımız örneklerdeki kadar teknik. Bu nedenle, bu materyalde ustalaştıysanız, kalan iki sorunu çözmenizin zor olmayacağından eminim. Sadece cevapları vereceğim:

Bir Doğrudan Bir Düzleme Mesafeyi Hesaplama

Aslında burada yeni bir şey yok. Bir doğru ve bir düzlem birbirine göre nasıl yerleştirilebilir? Tüm olanaklara sahipler: kesişmek veya düz bir çizgi düzleme paralel. Sizce doğrunun, verilen doğrunun kesiştiği düzleme olan uzaklığı nedir? Bana öyle geliyor ki, böyle bir mesafenin sıfıra eşit olduğu açık. İlginç bir durum.

İkinci durum daha zor: burada mesafe zaten sıfır değil. Ancak doğru düzleme paralel olduğundan, doğrunun her noktası bu düzlemden eşit uzaklıktadır:

Böylece:

Ve bu, görevimin bir öncekine indirgendiği anlamına geliyor: çizgideki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz, düzlemin denklemini arıyoruz, noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. Aslında, sınavdaki bu tür görevler son derece nadirdir. Sadece bir sorun bulmayı başardım ve içindeki veriler öyleydi ki koordinat yöntemi ona pek uygulanabilir değildi!

Şimdi çok daha önemli başka bir problem sınıfına geçelim:

Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığını Hesaplama

Neye ihtiyacımız olacak?

1. Uzaklığı aradığımız noktanın koordinatları:

2. Düz bir çizgi üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları

3. Düz doğrunun yön vektör koordinatları

Hangi formülü kullanıyoruz?

Bu kesrin paydası sizin için ne anlama geliyor ve bu yüzden açık olmalı: bu, doğrunun yönlendirici vektörünün uzunluğudur. İşte çok zor bir numara! İfade, vektörlerin vektör ürününün modülü (uzunluğu) anlamına gelir ve çalışmanın önceki bölümünde incelediğimiz vektör ürünü nasıl hesaplanır. Bilginizi tazeleyin, şimdi bizim için çok faydalı olacak!

Böylece, problem çözme algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Uzaklığı aradığımız noktanın koordinatlarını arıyoruz:

2. Mesafeyi aradığımız doğru üzerinde herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz:

3. Bir vektör oluşturma

4. Düz çizginin yön vektörünü oluşturuyoruz

5. Çapraz çarpımı hesaplayın

6. Elde edilen vektörün uzunluğunu arıyoruz:

7. Mesafeyi hesaplayın:

Çok işimiz var ve örnekler oldukça karmaşık olacak! O halde şimdi tüm dikkatinizi odaklayın!

1. Dana, tepe noktası olan sağ elini kullanan bir üçgen pi-ra-mi-da'dır. Yüz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy eşittir, sen-so-ta eşittir. Bo-ko-th kenarının se-re-di-ny'sinden düz çizgiye kadar olan mesafeleri bulun-di- bu mesafeler ve noktaların ve kaburgaların yeniden-di-ny'si olduğu -stven-ama.

2. Kaburgaların uzunlukları ve dik açı-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sırasıyla eşittir ve top-shi-ny'den düz-my'ye Find-di-te mesafesi

3. Sağ altı-kömür prizmasında, bir sürünün tüm kenarları, bir noktadan düz bir çizgiye olan uzaklığı bul-di-eşittir

Çözümler:

1. Tüm verileri işaretlediğimiz temiz bir çizim yapıyoruz:

Senin için çok işimiz var! Öncelikle neyi ve hangi sırayla arayacağımızı kelimelerle açıklamak istiyorum:

1. Noktaların koordinatları ve

2. Nokta koordinatları

3. Noktaların koordinatları ve

4. Vektörlerin koordinatları ve

5. Çapraz çarpımı

6. Vektör uzunluğu

7. Vektör ürününün uzunluğu

8. Uzaklık

Pekala, yapacak çok işimiz var! Haydi kolları sıvayalım!

1. Piramidin yüksekliğinin koordinatlarını bulmak için noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekir, uygulaması sıfırdır ve ordinat apsisine eşittir. Sonunda koordinatları aldık:

nokta koordinatları

2. - segmentin ortası

3. - segmentin ortası

orta nokta

4. Koordinatlar

vektör koordinatları

5. Vektör çarpımını hesaplayın:

6. Vektörün uzunluğu: en kolay yol, parçayı üçgenin orta çizgisi, yani tabanın yarısına eşit olacak şekilde değiştirmektir. Böyle.

7. Vektör ürününün uzunluğunu dikkate alıyoruz:

8. Son olarak, mesafeyi bulun:

Vay, hepsi bu! Dürüst olmak gerekirse, size söyleyeceğim: Bu sorunu geleneksel yöntemlerle (yapılar yoluyla) çözmek çok daha hızlı olacaktır. Ama burada her şeyi hazır bir algoritmaya indirdim! Çözüm algoritmasının sizin için açık olduğunu düşünüyorum? Bu nedenle, kalan iki sorunu kendi başınıza çözmenizi isteyeceğim. Cevapları karşılaştır?

Yine tekrar ediyorum: Bu sorunları, koordinat yöntemine başvurmak yerine yapılar aracılığıyla çözmek daha kolay (daha hızlı). Bu çözüm yolunu, yalnızca size "hiçbir şeyi tamamlamamanızı" sağlayan evrensel bir yöntem göstermek için gösterdim.

Son olarak, son problem sınıfını düşünün:

Eğri çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplama

Burada problem çözme algoritması öncekine benzer olacaktır. Neyimiz var:

3. Birinci ve ikinci çizgilerin noktalarını birleştiren herhangi bir vektör:

Çizgiler arasındaki mesafeyi nasıl buluruz?

Formül:

Pay, karışık ürünün modülüdür (önceki bölümde tanıttık) ve payda - önceki formülde olduğu gibi (çizgilerin yönlendirici vektörlerinin vektör ürününün modülü, aradığımız mesafe için).

sana bunu hatırlatacağım

sonra uzaklık formülü şu şekilde yeniden yazılabilir::

Bu determinantı determinanta bölün! Dürüst olmak gerekirse, burada şaka havamda değilim! Bu formül aslında çok hantaldır ve oldukça karmaşık hesaplamalara yol açar. Yerinde olsam bunu sadece son çare olarak kullanırdım!

Yukarıdaki yöntemi kullanarak birkaç sorunu çözmeye çalışalım:

1. Sağ üçgen prizmada, tüm kenarlar bir şekilde eşittir, düz çizgiler ve arasındaki mesafeyi bulun.

2. Sağ ön şekilli bir üçgen prizma verildiğinde, birinin os-no-va-niya'sının tüm kenarları Se-che-tion'a eşittir, diğer kaburgadan geçer ve se-re-di-nu kaburgaları yav-la-et-sya square-ra-tom. Düz-we-mi ve arasinda dis-sto-I-nie bul

İlkine ben karar veririm ve ona göre ikincisine sen karar verirsin!

1. Bir prizma çiziyorum ve çizgileri işaretliyorum ve

C noktası koordinatları: sonra

nokta koordinatları

vektör koordinatları

nokta koordinatları

vektör koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \sağ) = \left| (\begin(dizi)(*(20)(l))(\begin(dizi)(*(20)(c))0&1&0\end(dizi))\\(\begin(dizi)(*(20) (c))0&0&1\end(dizi))\\(\begin(dizi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(dizi))\end(dizi)) \sağ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vektörler arasındaki çapraz ürünü dikkate alıyoruz ve

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(dizi)(l)\begin(dizi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(dizi)\\\begin(dizi )(*(20)(c))0&0&1\end(dizi)\\\begin(dizi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(dizi)\end(dizi) \sağ| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Şimdi uzunluğunu düşünüyoruz:

Yanıt vermek:

Şimdi ikinci görevi dikkatlice tamamlamaya çalışın. Buna verilecek cevap:.

Koordinatlar ve vektörler. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir vektör, yönlendirilmiş bir segmenttir. - vektörün başlangıcı, - vektörün sonu.
Vektör veya ile gösterilir.

Mutlak değer vektör - vektörü temsil eden parçanın uzunluğu. olarak belirlenmiştir.

Vektör koordinatları:

,
\displaystyle a vektörünün uçları nerede?

Vektörlerin toplamı: .

Vektörlerin çarpımı:

Vektörlerin nokta çarpımı:

Vektörlerin skaler ürünü, mutlak değerlerinin ürününe ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir:

KALAN 2/3 MAKALELER SADECE SİZ ZEKİ ÖĞRENCİLERE ULAŞABİLİR!

YouClever'ın öğrencisi olun,

"Ayda bir fincan kahve" fiyatına matematikte OGE veya USE için hazırlanın,

Ayrıca "YouClever" ders kitabına, "100gia" eğitim programına (çözüm kitabı), sınırsız deneme USE ve OGE'ye, çözümlerin analizi ile 6000 göreve ve diğer YouClever ve 100gia hizmetlerine sınırsız erişim elde edin.

Oh-oh-oh-oh-oh ... peki, sanki cümleyi kendi kendine okumuş gibisin =) Ancak, özellikle bugün uygun aksesuarlar aldığım için rahatlama yardımcı olacaktır. Bu nedenle, ilk bölüme geçelim, umarım makalenin sonunda neşeli bir ruh hali tutacağım.

İki düz çizginin karşılıklı düzenlenmesi

Salonun koro halinde şarkı söylediği durum. iki satır olabilir:

1) maç;

2) paralel olun: ;

3) veya tek bir noktada kesişir: .

aptallar için yardım : lütfen kavşağın matematiksel işaretini hatırlayın, çok sık meydana gelecektir. Giriş, çizginin noktada çizgiyle kesiştiği anlamına gelir.

İki çizginin göreli konumu nasıl belirlenir?

İlk vakayla başlayalım:

İki çizgi, ancak ve ancak ilgili katsayıları orantılıysa çakışır. yani öyle bir "lambda" sayısı var ki eşitlikler

Düz çizgiler düşünelim ve karşılık gelen katsayılardan üç denklem oluşturalım: . Her denklemden, bu nedenle, bu satırların çakıştığı sonucu çıkar.

Gerçekten de, eğer denklemin tüm katsayıları -1 ile çarpın (işaretleri değiştirin) ve denklemin tüm katsayılarını 2 ile azaltın, aynı denklemi elde edersiniz: .

Çizgilerin paralel olduğu ikinci durum:

İki doğru, ancak ve ancak değişkenlerdeki katsayıları orantılıysa paraleldir: , fakat.

Örnek olarak, iki düz çizgi düşünün. Değişkenler için karşılık gelen katsayıların orantılılığını kontrol ediyoruz:

Ancak, olduğu açıktır.

Ve üçüncü durum, çizgiler kesiştiğinde:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlerin katsayıları orantılı DEĞİLSE kesişir. yani eşitliklerin sağlandığı böyle bir "lambda" değeri YOKTUR.

Böylece, düz çizgiler için bir sistem oluşturacağız:

İlk denklemden şu sonucu çıkar ve ikinci denklemden: , dolayısıyla, sistem tutarsız(çözüm yok). Dolayısıyla değişkenlerdeki katsayılar orantılı değildir.

Sonuç: çizgiler kesişiyor

Pratik problemlerde, az önce ele alınan çözüm şeması kullanılabilir. Bu arada, derste ele aldığımız vektörleri doğrusallık için kontrol etme algoritmasına çok benzer. Vektörlerin lineer (non) bağımlılığı kavramı. vektör tabanı. Ama daha medeni bir paket var:

örnek 1

Çizgilerin göreli konumunu öğrenin:

Çözüm düz çizgilerin vektörlerini yönlendirme çalışmasına dayanarak:

a) Denklemlerden doğruların yön vektörlerini buluruz: .

, bu nedenle vektörler eşdoğrusal değildir ve doğrular kesişir.

Her ihtimale karşı, yol ayrımına işaretçili bir taş koyacağım:

Geri kalanlar taşın üzerinden atlarlar ve doğrudan Ölümsüz Kashchei'ye doğru devam ederler =)

b) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Doğrular aynı yön vektörüne sahiptir, yani ya paraleldirler ya da aynıdırlar. Burada determinant gerekli değildir.

Açıkçası, bilinmeyenlerin katsayıları orantılıdır, .

Eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim:

Böylece,

c) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
, bu nedenle, yön vektörleri eşdoğrusaldır. Çizgiler ya paraleldir ya da çakışmaktadır.

Orantılılık faktörü "lambda", doğrudan doğruya yön vektörlerinin oranından kolayca görülebilir. Ancak, denklemlerin kendi katsayıları aracılığıyla da bulunabilir: .

Şimdi eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim. Her iki serbest terim de sıfırdır, yani:

Ortaya çıkan değer bu denklemi karşılar (herhangi bir sayı genellikle onu karşılar).

Böylece çizgiler örtüşür.

Yanıt vermek:

Çok yakında, söz konusu sorunu birkaç saniye içinde kelimenin tam anlamıyla sözlü olarak çözmeyi öğreneceksiniz (hatta daha önce öğrenmiş olacaksınız). Bu bağlamda, bağımsız bir çözüm için bir şey önermek için hiçbir neden göremiyorum, geometrik temele bir tane daha önemli tuğla koymak daha iyidir:

Belirli bir çizgiye paralel bir çizgi nasıl çizilir?

Bu en basit görevin cehaleti için, Hırsız Bülbül ciddi şekilde cezalandırır.

Örnek 2

Düz çizgi denklem tarafından verilir. Noktadan geçen paralel bir doğru için bir denklem yazın.

Çözüm: Bilinmeyen satırı harfle belirtin . Durum bu konuda ne diyor? Çizgi noktadan geçer. Ve eğer çizgiler paralel ise, o zaman "ce" çizgisinin yönlendirici vektörünün de "te" çizgisini oluşturmak için uygun olduğu açıktır.

Yön vektörünü denklemden çıkarıyoruz:

Yanıt vermek:

Örneğin geometrisi basit görünüyor:

Analitik doğrulama aşağıdaki adımlardan oluşur:

1) Doğruların aynı yön vektörüne sahip olduğunu kontrol ederiz (doğrunun denklemi düzgün bir şekilde basitleştirilmemişse, vektörler eşdoğrusal olacaktır).

2) Noktanın elde edilen denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

Çoğu durumda analitik doğrulamanın sözlü olarak gerçekleştirilmesi kolaydır. İki denkleme bakın ve birçoğunuz herhangi bir çizim yapmadan çizgilerin nasıl paralel olduğunu çabucak anlayacaksınız.

Bugün kendi kendine çözme örnekleri yaratıcı olacaktır. Çünkü hala Baba Yaga ile rekabet etmek zorundasın ve o, bilirsin, her türlü bilmecenin sevgilisidir.

Örnek 3

Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Çözümün rasyonel ve çok rasyonel olmayan bir yolu var. En kısa yol dersin sonundadır.

Paralel çizgilerle biraz çalıştık ve onlara daha sonra döneceğiz. Çakışan çizgiler durumu pek ilgi çekici değil, bu yüzden okul müfredatından sizin için iyi bilinen bir sorunu ele alalım:

İki doğrunun kesiştiği nokta nasıl bulunur?

düz ise noktada kesişirse, çözüm koordinatlarıdır. lineer denklem sistemleri

Çizgilerin kesişme noktası nasıl bulunur? Sistemi çözün.

İşte senin için iki bilinmeyenli iki lineer denklem sisteminin geometrik anlamı bir düzlemde kesişen (çoğunlukla) iki düz çizgidir.

Örnek 4

Çizgilerin kesişme noktasını bulun

Çözüm: Çözmenin iki yolu vardır - grafiksel ve analitik.

Grafiksel yol, verilen çizgileri basitçe çizmek ve doğrudan çizimden kesişme noktasını bulmaktır:

İşte konumuz: . Kontrol etmek için, koordinatlarını düz bir çizginin her denkleminde değiştirmelisiniz, hem oraya hem de oraya sığmalıdırlar. Başka bir deyişle, bir noktanın koordinatları sistemin çözümüdür. Aslında, çözmenin grafiksel bir yolunu düşündük lineer denklem sistemleri iki denklemli, iki bilinmeyenli.

Grafiksel yöntem elbette fena değil, ancak gözle görülür dezavantajlar var. Hayır, mesele yedinci sınıfların bu şekilde karar vermesi değil, mesele şu ki, doğru ve TAM bir çizim yapmak zaman alacak. Ek olarak, bazı çizgilerin oluşturulması o kadar kolay değildir ve kesişme noktasının kendisi, defter sayfasının dışındaki otuzuncu krallıkta bir yerde olabilir.

Bu nedenle kesişim noktasının analitik yöntemle aranması daha uygundur. Sistemi çözelim:

Sistemi çözmek için denklemlerin terimsel olarak toplanması yöntemi kullanılmıştır. İlgili becerileri geliştirmek için dersi ziyaret edin Bir denklem sistemi nasıl çözülür?

Yanıt vermek:

Doğrulama önemsizdir - kesişme noktasının koordinatları sistemin her bir denklemini sağlamalıdır.

Örnek 5

Kesişiyorlarsa doğruların kesişme noktasını bulun.

Bu kendin yap örneğidir. Sorunu birkaç aşamaya bölmek uygundur. Durumun analizi, bunun gerekli olduğunu göstermektedir:
1) Bir doğrunun denklemini yazınız.
2) Bir doğrunun denklemini yazın.
3) Çizgilerin göreli konumunu bulun.
4) Doğrular kesişiyorsa, kesişme noktasını bulun.

Bir eylem algoritmasının geliştirilmesi, birçok geometrik problem için tipiktir ve tekrar tekrar buna odaklanacağım.

Eğitimin sonunda tam çözüm ve cevap:

Dersin ikinci bölümüne geldiğimiz için bir çift ayakkabı henüz eskimemiştir:

Dikey çizgiler. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
çizgiler arasındaki açı

Tipik ve çok önemli bir görevle başlayalım. İlk bölümde verilene paralel düz bir çizgi yapmayı öğrendik ve şimdi tavuk budundaki kulübe 90 derece dönecek:

Belirli bir çizgiye dik bir çizgi nasıl çizilir?

Örnek 6

Düz çizgi denklem tarafından verilir. Bir noktadan geçen dik bir doğru için bir denklem yazın.

Çözüm: Varsayımla bilinir . Doğrunun yön vektörünü bulmak güzel olurdu. Çizgiler dik olduğundan, hile basittir:

Denklemden, düz çizginin yönlendirici vektörü olacak olan normal vektörü “çıkarıyoruz”.

Düz bir çizginin denklemini bir nokta ve bir yönlendirme vektörü ile oluşturuyoruz:

Yanıt vermek:

Geometrik çizimi açalım:

Hmmm... Turuncu gökyüzü, turuncu deniz, turuncu deve.

Çözümün analitik doğrulaması:

1) Yön vektörlerini denklemlerden çıkarın ve yardımı ile vektörlerin nokta çarpımıçizgilerin gerçekten dik olduğu sonucuna varıyoruz: .

Bu arada, normal vektörleri kullanabilirsiniz, bu daha da kolay.

2) Noktanın elde edilen denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edin .

Doğrulamayı yine sözlü olarak gerçekleştirmek kolaydır.

Örnek 7

Denklem biliniyorsa, dik doğruların kesişme noktasını bulun ve nokta.

Bu kendin yap örneğidir. Görevde birkaç eylem vardır, bu nedenle çözümü nokta nokta düzenlemek uygundur.

Heyecan verici yolculuğumuz devam ediyor:

Noktadan çizgiye uzaklık

Önümüzde düz bir nehir şeridi var ve görevimiz ona en kısa yoldan ulaşmak. Hiçbir engel yoktur ve en uygun yol dikey boyunca hareket olacaktır. Yani bir noktadan bir doğruya olan uzaklık, dik doğru parçasının uzunluğudur.

Geometride mesafe geleneksel olarak Yunanca "ro" harfiyle gösterilir, örneğin: - "em" noktasından "de" düz çizgisine olan mesafe.

Noktadan çizgiye uzaklık formül ile ifade edilir

Örnek 8

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun

Çözüm: tek ihtiyacınız olan sayıları formüle dikkatlice yerleştirmek ve hesaplamaları yapmak:

Yanıt vermek:

Çizimi uygulayalım:

Noktadan çizgiye kadar bulunan mesafe tam olarak kırmızı parçanın uzunluğudur. Kareli kağıda 1 birim ölçeğinde çizim yaparsanız. \u003d 1 cm (2 hücre), ardından mesafe sıradan bir cetvelle ölçülebilir.

Aynı çizime göre başka bir görev düşünün:

Görev, doğruya göre noktaya simetrik olan noktanın koordinatlarını bulmaktır. . Eylemleri kendi başınıza gerçekleştirmeyi öneriyorum, ancak çözüm algoritmasını ara sonuçlarla özetleyeceğim:

1) Bir doğruya dik olan bir doğru bulun.

2) Doğruların kesişme noktasını bulun: .

Her iki eylem de bu derste ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

3) Nokta, parçanın orta noktasıdır. Ortanın ve uçlardan birinin koordinatlarını biliyoruz. İle segmentin ortasının koordinatları için formüller bulmak .

Mesafenin de 2,2 birime eşit olduğunu kontrol etmek gereksiz olmayacaktır.

Burada hesaplamalarda zorluklar ortaya çıkabilir, ancak kulede bir mikro hesap makinesi çok yardımcı olur ve sıradan kesirleri saymanıza izin verir. Birçok kez tavsiyede bulundum ve tekrar tavsiye edeceğim.

İki paralel doğru arasındaki mesafe nasıl bulunur?

Örnek 9

İki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için başka bir örnektir. Küçük bir ipucu: Çözmenin sonsuz sayıda yolu var. Dersin sonunda bilgi almak, ama kendin tahmin etmeye çalışsan iyi olur, bence yaratıcılığını iyi dağıtmayı başardın.

İki çizgi arasındaki açı

Köşe ne olursa olsun, o zaman pervaz:

Geometride, iki düz çizgi arasındaki açı, geniş olamayacağını otomatik olarak takip ettiği KÜÇÜK açı olarak alınır. Şekilde kırmızı yay ile gösterilen açı, kesişen doğrular arasındaki açı olarak kabul edilmemektedir. Ve onun “yeşil” komşusu veya zıt yönlü kızıl köşe.

Doğrular dik ise, aralarındaki açı olarak 4 açıdan herhangi biri alınabilir.

açılar nasıl farklı? Oryantasyon. İlk olarak, köşeyi "kaydırma" yönü temelde önemlidir. İkinci olarak, eksi işaretiyle negatif yönlü bir açı yazılır, örneğin if .

Bunu neden söyledim? Görünen o ki, her zamanki açı kavramıyla idare edebilirsiniz. Gerçek şu ki, açıları bulacağımız formüllerde kolayca olumsuz bir sonuç elde edilebilir ve bu sizi şaşırtmamalıdır. Eksi işaretli bir açı daha kötü değildir ve çok özel bir geometrik anlamı vardır. Negatif bir açı için çizimde, yönünü (saat yönünde) bir okla belirtmek zorunludur.

İki doğru arasındaki açı nasıl bulunur?İki çalışma formülü vardır:

Örnek 10

Çizgiler arasındaki açıyı bulun

Çözüm Ve Birinci yöntem

Genel formda denklemlerle verilen iki düz çizgiyi düşünün:

düz ise dik değil, sonra odaklı aralarındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Paydaya çok dikkat edelim - bu tam olarak skaler ürün düz doğruların yön vektörleri:

ise, formülün paydası kaybolur ve vektörler dik, doğrular dik olur. Bu nedenle formülasyonda çizgilerin dik olmaması konusunda çekince yapılmıştır.

Yukarıdakilere dayanarak, çözüm uygun bir şekilde iki adımda resmileştirilir:

1) Düz doğruların yön vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayın:
yani çizgiler dik değil.

2) Çizgiler arasındaki açıyı şu formülle buluruz:

Ters fonksiyonu kullanarak açının kendisini bulmak kolaydır. Bu durumda ark tanjantının tuhaflığını kullanırız (bkz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri):

Yanıt vermek:

Cevapta, bir hesap makinesi kullanılarak hesaplanan tam değeri ve yaklaşık değeri (tercihen hem derece hem de radyan cinsinden) belirtiyoruz.

Şey, eksi, yani eksi, sorun değil. İşte geometrik bir örnek:

Açının negatif yönde olması şaşırtıcı değildir, çünkü problem durumunda ilk sayı düz bir çizgidir ve açının “bükülmesi” tam olarak ondan başlamıştır.

Gerçekten pozitif bir açı elde etmek istiyorsanız, düz çizgileri değiştirmeniz, yani ikinci denklemden katsayıları almanız gerekir. ve ilk denklemden katsayıları alın. Kısacası, doğrudan başlamanız gerekir. .