Formula për shumën e një progresion aritmetik në rënie. Progresioni aritmetik

Matematika ka bukurinë e vet, ashtu si piktura dhe poezia.

Shkencëtari rus, mekanik N.E. Zhukovsky

Detyrat shumë të zakonshme në testet hyrëse në matematikë janë detyra që lidhen me konceptin e një progresion aritmetik. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, është e nevojshme të njihen mirë vetitë e një progresion aritmetik dhe të ketë aftësi të caktuara në zbatimin e tyre.

Le të kujtojmë fillimisht vetitë kryesore të një progresion aritmetik dhe të paraqesim formulat më të rëndësishme, lidhur me këtë koncept.

Përkufizimi. Sekuenca numerike, në të cilin çdo term i mëpasshëm ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër, quhet progresion aritmetik. Në të njëjtën kohë, numriquhet dallimi i progresionit.

Për një progresion aritmetik, formulat janë të vlefshme

, (1)

Ku . Formula (1) quhet formula e termit të përbashkët të një progresion aritmetik, dhe formula (2) është vetia kryesore e një progresion aritmetik: çdo anëtar i progresionit përkon me mesataren aritmetike të anëtarëve të tij fqinjë dhe .

Vini re se është pikërisht për shkak të kësaj vetie që progresioni në shqyrtim quhet "aritmetik".

Formulat (1) dhe (2) më sipër janë përmbledhur si më poshtë:

(3)

Për të llogaritur shumën së pari anëtarët e një progresion aritmetikzakonisht përdoret formula

(5) ku dhe .

Nëse marrim parasysh formulën (1), atëherë formula (5) nënkupton

Nëse caktojmë

Ku . Meqenëse , atëherë formulat (7) dhe (8) janë një përgjithësim i formulave përkatëse (5) dhe (6).

Veçanërisht , nga formula (5) rrjedh, Çfarë

Ndër gjërat pak të njohura për shumicën e studentëve është vetia e një progresion aritmetik, të formuluar me anë të teoremës së mëposhtme.

Teorema. Nese atehere

Dëshmi. Nese atehere

Teorema është vërtetuar.

Për shembull , duke përdorur teoremën, mund të tregohet se

Le të kalojmë në shqyrtimin e shembujve tipikë të zgjidhjes së problemeve në temën "Progresioni aritmetik".

Shembulli 1 Le dhe . Gjej .

Zgjidhje. Duke aplikuar formulën (6), marrim . Që dhe , atëherë ose .

Shembulli 2 Lëreni tre herë më shumë, dhe kur pjesëtohet me në herës, del 2 dhe mbetja është 8. Përcaktoni dhe.

Zgjidhje. Sistemi i ekuacioneve rrjedh nga gjendja e shembullit

Meqenëse , , dhe , atëherë nga sistemi i ekuacioneve (10) marrim

Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh janë dhe .

Shembulli 3 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Sipas formulës (5), kemi ose . Megjithatë, duke përdorur pronën (9), marrim .

Që dhe , pastaj nga barazia vijon ekuacioni ose .

Shembulli 4 Gjeni nëse.

Zgjidhje.Me formulën (5) kemi

Megjithatë, duke përdorur teoremën, mund të shkruhet

Nga këtu dhe nga formula (11) marrim .

Shembulli 5. Jepet: . Gjej .

Zgjidhje. Që atëherë. Megjithatë, prandaj.

Shembulli 6 Le , dhe . Gjej .

Zgjidhje. Duke përdorur formulën (9), marrim . Prandaj, nëse , atëherë ose .

Që nga dhe atëherë këtu kemi një sistem ekuacionesh

Duke zgjidhur cilin, marrim dhe .

Rrënja natyrore e ekuacionitështë .

Shembulli 7 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Meqenëse sipas formulës (3) kemi atë , atëherë sistemi i ekuacioneve rrjedh nga gjendja e problemit

Nëse e zëvendësojmë shprehjennë ekuacionin e dytë të sistemit, atëherë marrim ose .

Rrënjët e ekuacionit kuadratik janë Dhe .

Le të shqyrtojmë dy raste.

1. Le , atëherë . Që dhe atëherë.

Në këtë rast, sipas formulës (6), kemi

2. Nëse , atëherë , dhe

Përgjigje: dhe.

Shembulli 8 Dihet se dhe Gjej .

Zgjidhje. Duke marrë parasysh formulën (5) dhe gjendjen e shembullit, shkruajmë dhe .

Kjo nënkupton sistemin e ekuacioneve

Nëse e shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me 2, dhe pastaj e shtojmë atë në ekuacionin e dytë, marrim

Sipas formulës (9), kemi. Në lidhje me këtë, nga (12) vijon ose .

Që dhe atëherë.

Përgjigje:.

Shembulli 9 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Që , dhe sipas kushtit , atëherë ose .

Nga formula (5) dihet, Çfarë . Që atëherë.

Prandaj , këtu kemi një sistem ekuacionesh lineare

Nga këtu marrim dhe . Duke marrë parasysh formulën (8), shkruajmë .

Shembulli 10 Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje. Nga ekuacioni i dhënë vijon se . Le të supozojmë se , , dhe . Në këtë rast .

Sipas formulës (1), mund të shkruajmë ose .

Meqenëse, ekuacioni (13) ka një rrënjë unike të përshtatshme.

Shembulli 11. Gjeni vlerën maksimale me kusht që dhe .

Zgjidhje. Që nga , konsiderohet progresion aritmetikështë në rënie. Në këtë drejtim, shprehja merr një vlerë maksimale kur është numri i anëtarit minimal pozitiv të progresionit.

Ne përdorim formulën (1) dhe faktin, e cila dhe . Pastaj marrim atë ose .

Sepse, atëherë ose . Megjithatë, në këtë pabarazinumri më i madh natyror, Kjo është arsyeja pse.

Nëse vlerat dhe zëvendësohen në formulën (6), atëherë marrim .

Përgjigje:.

Shembulli 12. Gjeni shumën e të gjithë numrave natyrorë dyshifrorë që, kur pjesëtohet me 6, kanë një mbetje prej 5.

Zgjidhje. Shënoni me bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë me dy vlera, d.m.th. . Më pas, ne ndërtojmë një nëngrup të përbërë nga ata elementë (numra) të grupit që, kur ndahet me numrin 6, japin një mbetje prej 5.

Lehtë për t'u instaluar, Çfarë . padyshim, që elementet e grupitformojnë një progresion aritmetik, në të cilën dhe .

Për të përcaktuar kardinalitetin (numrin e elementeve) të grupit, supozojmë se . Meqenëse dhe , atëherë formula (1) nënkupton ose . Duke marrë parasysh formulën (5), marrim .

Shembujt e mësipërm të zgjidhjes së problemeve nuk mund të pretendojnë aspak se janë shterues. Ky artikull bazohet në analizë metoda moderne zgjidhjen e problemeve tipike për një temë të caktuar. Për një studim më të thellë të metodave për zgjidhjen e problemeve që lidhen me progresionin aritmetik, këshillohet t'i referoheni listës së literaturës së rekomanduar.

1. Mbledhja e detyrave në matematikë për aplikantët në universitetet teknike / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Bota dhe arsimi, 2013. - 608 f.

2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: seksione shtesë të kurrikulës shkollore. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 f.

3. Medynsky M.M. Një kurs i plotë i matematikës elementare në detyra dhe ushtrime. Libri 2: Sekuencat e numrave dhe përparimet. – M.: Editus, 2015. - 208 f.

A keni ndonjë pyetje?

Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Ose aritmetike - ky është një lloj sekuence numerike e renditur, vetitë e së cilës studiohen në një kurs algjebër shkollore. Ky artikull diskuton në detaje pyetjen se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik.

Cili është ky progresion?

Para se të vazhdoni me shqyrtimin e pyetjes (si të gjeni shumën e një progresion aritmetik), ia vlen të kuptoni se çfarë do të diskutohet.

Çdo sekuencë numra realë, i cili fitohet duke shtuar (zbritur) ndonjë vlerë nga çdo numër i mëparshëm, quhet progresion algjebrik (aritmetik). Ky përkufizim, i përkthyer në gjuhën e matematikës, merr formën:

Këtu i është numri rendor i elementit të serisë a i. Kështu, duke ditur vetëm një numër fillestar, mund ta rivendosni lehtësisht të gjithë serinë. Parametri d në formulë quhet ndryshim i progresionit.

Mund të tregohet lehtësisht se barazia e mëposhtme vlen për serinë e numrave në shqyrtim:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Kjo do të thotë, për të gjetur vlerën e elementit të n-të me radhë, shtoni ndryshimin d në elementin e parë a 1 n-1 herë.

Sa është shuma e një progresion aritmetik: formula

Para se të jepni formulën për shumën e treguar, ia vlen të merret parasysh një rast i thjeshtë i veçantë. Duke pasur parasysh një progresion të numrave natyrorë nga 1 në 10, ju duhet të gjeni shumën e tyre. Meqenëse ka pak terma në progresion (10), është e mundur të zgjidhet problemi kokë më kokë, domethënë të mblidhen të gjithë elementët në rend.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vlen të merret në konsideratë një gjë interesante: meqenëse çdo term ndryshon nga tjetri me të njëjtën vlerë d \u003d 1, atëherë përmbledhja në çift e të parit me të dhjetën, të dytën me të nëntën, e kështu me radhë do të japë të njëjtin rezultat . Vërtet:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Siç mund ta shihni, ka vetëm 5 nga këto shuma, domethënë saktësisht dy herë më pak se numri i elementeve në seri. Më pas duke shumëzuar numrin e shumave (5) me rezultatin e secilës shumë (11), do të vini në rezultatin e marrë në shembullin e parë.

Nëse i përgjithësojmë këto argumente, mund të shkruajmë shprehjen e mëposhtme:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Kjo shprehje tregon se nuk është aspak e nevojshme të mblidhen të gjithë elementët në një rresht, mjafton të dihet vlera e të parit a 1 dhe të fundit a n, si dhe numri i përgjithshëm i termave n.

Besohet se Gauss-i mendoi për herë të parë për këtë barazi kur ai po kërkonte një zgjidhje për problemin e vendosur nga mësuesi i tij i shkollës: të përmbledhë 100 numrat e parë të plotë.

Shuma e elementeve nga m në n: formula

Formula e dhënë në paragrafin e mëparshëm i përgjigjet pyetjes se si të gjendet shuma e një progresion aritmetik (të elementëve të parë), por shpesh në detyra është e nevojshme të përmblidhet një seri numrash në mes të progresionit. Si ta bëjmë atë?

Mënyra më e lehtë për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje është duke shqyrtuar shembullin e mëposhtëm: le të jetë e nevojshme të gjendet shuma e termave nga mth në n-të. Për të zgjidhur problemin, një segment i caktuar nga m në n i progresionit duhet të përfaqësohet si një seri e re numrash. Në të tilla përfaqësim m-të termi a m do të jetë i pari, dhe një n do të numërohet n-(m-1). Në këtë rast, duke zbatuar formulën standarde për shumën, do të merret shprehja e mëposhtme:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Shembull i përdorimit të formulave

Duke ditur se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik, ia vlen të merret parasysh një shembull i thjeshtë i përdorimit të formulave të mësipërme.

Më poshtë është një sekuencë numerike, duhet të gjeni shumën e anëtarëve të saj, duke filluar nga e 5-ta dhe duke përfunduar me të 12-tën:

Numrat e dhënë tregojnë se diferenca d është e barabartë me 3. Duke përdorur shprehjen për elementin e n-të, mund të gjeni vlerat e anëtarëve të 5-të dhe të 12-të të progresionit. Doli qe:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Duke ditur vlerat e numrave në skajet e progresionit algjebrik në shqyrtim, dhe gjithashtu duke ditur se cilët numra në serinë zënë, mund të përdorni formulën për shumën e marrë në paragrafin e mëparshëm. Marr:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vlen të përmendet se kjo vlerë mund të merret ndryshe: së pari, gjeni shumën e 12 elementëve të parë duke përdorur formulën standarde, më pas llogaritni shumën e 4 elementëve të parë duke përdorur të njëjtën formulë dhe më pas zbrisni të dytin nga shuma e parë. .


Po, po: përparimi aritmetik nuk është një lodër për ju :)

Epo, miq, nëse po e lexoni këtë tekst, atëherë provat e brendshme të kapakëve më thonë se ju ende nuk e dini se çfarë është një progresion aritmetik, por ju vërtet (jo, si kjo: SOOOOO!) dëshironi të dini. Prandaj, nuk do t'ju mundoj me prezantime të gjata dhe menjëherë do t'i drejtohem biznesit.

Për të filluar, disa shembuj. Konsideroni disa grupe numrash:

  • 1; 2; 3; 4; ...
  • 15; 20; 25; 30; ...
  • $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Çfarë kanë të përbashkët të gjitha këto grupe? Në pamje të parë, asgjë. Por në fakt ka diçka. Gjegjësisht: çdo element tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër.

Gjykojeni vetë. Seti i parë është vetëm numra të njëpasnjëshëm, secili më shumë se ai i mëparshmi. Në rastin e dytë, ndryshimi midis numrave ngjitur tashmë është i barabartë me pesë, por ky ndryshim është ende konstant. Në rastin e tretë, ka rrënjë në përgjithësi. Megjithatë, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ndërsa $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, d.m.th. në të cilin rast çdo element tjetër thjesht rritet me $\sqrt(2)$ (dhe mos kini frikë se ky numër është irracional).

Pra: të gjitha sekuencat e tilla quhen thjesht progresione aritmetike. Le të japim një përkufizim të rreptë:

Përkufizimi. Një sekuencë numrash në të cilat secili tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me saktësisht të njëjtën sasi quhet progresion aritmetik. Vetë shuma me të cilën ndryshojnë numrat quhet ndryshim i progresionit dhe më së shpeshti shënohet me shkronjën $d$.

Shënim: $\left(((a)_(n)) \djathtas)$ është vetë progresioni, $d$ është ndryshimi i tij.

Dhe vetëm disa vërejtje të rëndësishme. Së pari, progresi konsiderohet vetëm i rregullt sekuenca e numrave: ato lejohen të lexohen në mënyrë rigoroze sipas rendit në të cilin janë shkruar - dhe asgjë tjetër. Ju nuk mund të riorganizoni ose ndërroni numrat.

Së dyti, sekuenca në vetvete mund të jetë ose e fundme ose e pafundme. Për shembull, grupi (1; 2; 3) është padyshim një progresion aritmetik i fundëm. Por nëse shkruani diçka si (1; 2; 3; 4; ...) - ky është tashmë një përparim i pafund. Elipsi pas katër, si të thuash, lë të kuptohet se shumë numra shkojnë më tej. Pafundësisht shumë, për shembull. :)

Dua të theksoj gjithashtu se progresionet po rriten dhe po zvogëlohen. Ne kemi parë tashmë ato në rritje - të njëjtin grup (1; 2; 3; 4; ...). Këtu janë shembuj të progresioneve në rënie:

  • 49; 41; 33; 25; 17; ...
  • 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
  • $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Mirë, në rregull: shembulli i fundit mund të duket tepër i ndërlikuar. Por pjesa tjetër, mendoj, ju e kuptoni. Prandaj, ne prezantojmë përkufizime të reja:

Përkufizimi. Një progresion aritmetik quhet:

  1. duke u rritur nëse çdo element tjetër është më i madh se ai i mëparshmi;
  2. në rënie, nëse, përkundrazi, çdo element pasues është më i vogël se ai i mëparshmi.

Përveç kësaj, ekzistojnë të ashtuquajturat sekuenca "stacionare" - ato përbëhen nga i njëjti numër përsëritës. Për shembull, (3; 3; 3; ...).

Mbetet vetëm një pyetje: si të dallojmë një progresion në rritje nga një në rënie? Për fat të mirë, gjithçka këtu varet vetëm nga shenja e numrit $d$, d.m.th. Dallimet e progresionit:

  1. Nëse $d \gt 0$, atëherë progresioni po rritet;
  2. Nëse $d \lt 0$, atëherë progresioni është dukshëm në rënie;
  3. Së fundi, ekziston rasti $d=0$ — në këtë rast i gjithë progresioni reduktohet në një sekuencë stacionare të numrave identikë: (1; 1; 1; 1; ...), etj.

Le të përpiqemi të llogarisim ndryshimin $d$ për tre progresionet në rënie të mësipërme. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh dy elementë ngjitur (për shembull, i pari dhe i dyti) dhe të zbresësh nga numri në të djathtë, numri në të majtë. Do të duket kështu:

  • 41−49=−8;
  • 12−17,5=−5,5;
  • $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Siç mund ta shihni, në të tre rastet diferenca doli vërtet negative. Dhe tani që pak a shumë i kemi kuptuar përkufizimet, është koha të kuptojmë se si përshkruhen progresionet dhe cilat veçori kanë ato.

Anëtarët e progresionit dhe formulës së përsëritur

Meqenëse elementët e sekuencave tona nuk mund të ndërrohen, ato mund të numërohen:

\[\majtas(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \djathtas\)\]

Elementet individuale të këtij grupi quhen anëtarë të progresionit. Ato tregohen në këtë mënyrë me ndihmën e një numri: anëtari i parë, anëtari i dytë etj.

Për më tepër, siç e dimë tashmë, anëtarët fqinjë të progresionit lidhen me formulën:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Djathtas ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Shkurtimisht, për të gjetur termin $n$th të progresionit, duhet të dini termin $n-1$th dhe ndryshimin $d$. Një formulë e tillë quhet e përsëritur, sepse me ndihmën e saj mund të gjeni çdo numër, duke ditur vetëm atë të mëparshëm (dhe në fakt, të gjithë të mëparshmit). Kjo është shumë e papërshtatshme, kështu që ekziston një formulë më e ndërlikuar që redukton çdo llogaritje në termin e parë dhe ndryshimin:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d\]

Ju ndoshta keni hasur në këtë formulë më parë. Atyre u pëlqen ta japin në të gjitha llojet e librave referues dhe reshebnikëve. Dhe në çdo tekst të arsyeshëm të matematikës, ai është një nga të parët.

Megjithatë, ju sugjeroj të praktikoni pak.

Detyra numër 1. Shkruani tre termat e parë të progresionit aritmetik $\left((a)_(n)) \djathtas)$ nëse $((a)_(1))=8,d=-5$.

Zgjidhje. Pra, ne e dimë termin e parë $((a)_(1))=8$ dhe ndryshimin e progresionit $d=-5$. Le të përdorim formulën e sapo dhënë dhe të zëvendësojmë $n=1$, $n=2$ dhe $n=3$:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d; \\ & ((a)_(1))=(a)_(1))+\majtas(1-1 \djathtas)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\majtas(2-1 \djathtas)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+\majtas(3-1 \djathtas)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: (8; 3; -2)

Kjo eshte e gjitha! Vini re se progresi ynë është në rënie.

Natyrisht, $n=1$ nuk mund të zëvendësohej - ne tashmë e dimë termin e parë. Megjithatë, duke zëvendësuar njësinë, u siguruam që edhe për mandatin e parë formula jonë të funksionojë. Në raste të tjera, gjithçka zbriste në aritmetikë banale.

Detyra numër 2. Shkruani tre termat e parë të një progresion aritmetik nëse mandati i shtatë është −40 dhe ai i shtatëmbëdhjetë është −50.

Zgjidhje. Ne shkruajmë gjendjen e problemit në termat e zakonshëm:

\[((a)_(7))=-40;\katër ((a)_(17))=-50.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(7))=(a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \fund (radhis) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \fund (radhis) \drejtë.\]

Unë kam vënë shenjën e sistemit sepse këto kërkesa duhet të plotësohen njëkohësisht. Dhe tani vërejmë se nëse zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i dytë (ne kemi të drejtë ta bëjmë këtë, sepse kemi një sistem), marrim këtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(1))+16d-\majtas(((a)_(1))+6d \djathtas)=-50-\majtas(-40 \djathtas); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \fund (radhis)\]

Ashtu si kjo, ne gjetëm ndryshimin e progresionit! Mbetet për të zëvendësuar numrin e gjetur në cilindo nga ekuacionet e sistemit. Për shembull, në të parën:

\[\fillimi(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Poshtë \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fund (matricë)\]

Tani, duke ditur termin e parë dhe ndryshimin, mbetet të gjejmë termat e dytë dhe të tretë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(2))=(a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fund (radhis)\]

Gati! Problemi u zgjidh.

Përgjigje: (-34; -35; -36)

Vini re një veçori kurioze të progresionit që zbuluam: nëse marrim termat $n$th dhe $m$th dhe i zbresim nga njëri-tjetri, marrim diferencën e progresionit të shumëzuar me numrin $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \majtas(n-m \djathtas)\]

E thjeshtë por shumë veti e dobishme, të cilën patjetër duhet ta dini - me ndihmën e saj mund të shpejtoni ndjeshëm zgjidhjen e shumë problemeve në progresione. Këtu është një shembull kryesor i kësaj:

Detyra numër 3. Termi i pestë i progresionit aritmetik është 8.4, dhe termi i tij i dhjetë është 14.4. Gjeni termin e pesëmbëdhjetë të këtij progresioni.

Zgjidhje. Meqenëse $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ dhe ne duhet të gjejmë $((a)_(15))$, shënojmë sa vijon:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fund (radhis)\]

Por sipas kushtit $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, pra $5d=6$, prej nga kemi:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: 20.4

Kjo eshte e gjitha! Ne nuk kishim nevojë të krijonim asnjë sistem ekuacioni dhe të llogarisnim termin e parë dhe ndryshimin - gjithçka u vendos në vetëm disa rreshta.

Tani le të shqyrtojmë një lloj tjetër problemi - kërkimin e anëtarëve negativë dhe pozitivë të progresionit. Nuk është sekret që nëse përparimi rritet, ndërsa termi i tij i parë është negativ, atëherë herët a vonë termat pozitivë do të shfaqen në të. Dhe anasjelltas: kushtet e një progresion në rënie herët a vonë do të bëhen negative.

Në të njëjtën kohë, nuk është gjithmonë e mundur të gjesh këtë moment "në ballë", duke renditur në mënyrë sekuenciale elementët. Shpesh, problemet janë krijuar në atë mënyrë që pa i ditur formulat, llogaritjet do të merrnin disa fletë - thjesht do të binim në gjumë derisa të gjenim përgjigjen. Prandaj, ne do të përpiqemi t'i zgjidhim këto probleme në një mënyrë më të shpejtë.

Detyra numër 4. Sa terma negativë në një progresion aritmetik -38,5; -35,8; …?

Zgjidhje. Pra, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, nga e cila gjejmë menjëherë ndryshimin:

Vini re se ndryshimi është pozitiv, kështu që progresi po rritet. Termi i parë është negativ, kështu që në një moment do të ngecim te numrat pozitivë. Pyetja e vetme është se kur do të ndodhë kjo.

Le të përpiqemi të zbulojmë: sa kohë (d.m.th., deri në cilin numër natyror $n$) ruhet negativiteti i termave:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n)) \lt 0\Djathtas shigjetë ((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d \lt 0; \\ & -38.5+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 2.7 \lt 0;\katër \majtas| \cdot 10 \djathtas. \\ & -385+27\cdot \majtas(n-1 \djathtas) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Djathtas shigjete ((n)_(\max ))=15. \\ \fund (radhis)\]

Rreshti i fundit kërkon sqarim. Pra, ne e dimë se $n \lt 15\frac(7)(27)$. Nga ana tjetër, vetëm vlerat e numrit të plotë do të na përshtaten (për më tepër: $n\in \mathbb(N)$), kështu që numri më i madh i lejuar është saktësisht $n=15$, dhe në asnjë rast 16.

Detyra numër 5. Në progresionin aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Gjeni numrin e termit të parë pozitiv të këtij progresioni.

Ky do të ishte saktësisht i njëjti problem si ai i mëparshmi, por ne nuk e dimë $((a)_(1))$. Por termat fqinjë janë të njohur: $((a)_(5))$ dhe $((a)_(6))$, kështu që ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

Për më tepër, le të përpiqemi të shprehim termin e pestë për sa i përket të parës dhe ndryshimit duke përdorur formulën standarde:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=(a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cpika 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fund (radhis)\]

Tani vazhdojmë në analogji me problemin e mëparshëm. Zbulojmë se në cilën pikë të sekuencës sonë do të shfaqen numrat pozitivë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=-162+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Djathtas ((n)_(\min ))=56. \\ \fund (radhis)\]

Zgjidhja minimale e numrit të plotë të kësaj pabarazie është numri 56.

Ju lutemi vini re se në detyrën e fundit gjithçka u reduktua në pabarazi strikte, kështu që opsioni $n=55$ nuk do të na përshtatet.

Tani që kemi mësuar se si të zgjidhim probleme të thjeshta, le të kalojmë në ato më komplekse. Por së pari, le të mësojmë një veçori tjetër shumë të dobishme të progresioneve aritmetike, e cila do të na kursejë shumë kohë dhe qeliza të pabarabarta në të ardhmen. :)

Mesatarja aritmetike dhe dhëmbëzimi i barabartë

Konsideroni disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik në rritje $\left(((a)_(n)) \right)$. Le të përpiqemi t'i shënojmë ato në një rresht numerik:

Anëtarët e progresionit aritmetik në vijën numerike

Vura re në mënyrë specifike anëtarët arbitrarë $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dhe jo ndonjë $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etj. Sepse rregulli, që do t'ju them tani, funksionon njësoj për çdo "segment".

Dhe rregulli është shumë i thjeshtë. Le të kujtojmë formulën rekursive dhe ta shkruajmë atë për të gjithë anëtarët e shënuar:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fund (radhis)\]

Megjithatë, këto barazi mund të rishkruhen ndryshe:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=(a)_(n))+3d; \\ \fund (radhis)\]

Epo, çfarë? Por fakti që termat $((a)_(n-1))$ dhe $((a)_(n+1))$ qëndrojnë në të njëjtën distancë nga $((a)_(n)) $ . Dhe kjo distancë është e barabartë me $d$. E njëjta gjë mund të thuhet për termat $((a)_(n-2))$ dhe $((a)_(n+2))$ - ato janë hequr gjithashtu nga $((a)_(n) )$ me të njëjtën distancë të barabartë me $2d$. Mund të vazhdoni pafundësisht, por fotografia ilustron mirë kuptimin


Anëtarët e progresionit shtrihen në të njëjtën distancë nga qendra

Çfarë do të thotë kjo për ne? Kjo do të thotë që ju mund të gjeni $((a)_(n))$ nëse dihen numrat fqinjë:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ne kemi nxjerrë një deklaratë madhështore: çdo anëtar i një progresion aritmetik është i barabartë me mesataren aritmetike të anëtarëve fqinjë! Për më tepër, ne mund të devijojmë nga $(a)_(n))$-ja jonë majtas dhe djathtas jo me një hap, por me hapa $k$ - dhe prapëseprapë formula do të jetë e saktë:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ato. ne mund të gjejmë lehtësisht disa $((a)_(150))$ nëse dimë $((a)_(100))$ dhe $((a)_(200))$, sepse $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Në pamje të parë, mund të duket se ky fakt nuk na jep asgjë të dobishme. Megjithatë, në praktikë, shumë detyra janë "mprehur" në mënyrë specifike për përdorimin e mesatares aritmetike. Hidhi nje sy:

Detyra numër 6. Gjeni të gjitha vlerat e $x$ në mënyrë që numrat $-6((x)^(2))$, $x+1$ dhe $14+4((x)^(2))$ të jenë anëtarë të njëpasnjëshëm të një progresion aritmetik (në rend të caktuar).

Zgjidhje. Meqenëse këta numra janë anëtarë të një progresioni, kushti mesatar aritmetik është i plotësuar për ta: elementi qendror $x+1$ mund të shprehet në terma të elementeve fqinjë:

\[\filloj(rreshtoj) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fund (radhis)\]

Rezultati është një ekuacion kuadratik klasik. Rrënjët e tij: $x=2$ dhe $x=-3$ janë përgjigjet.

Përgjigje: -3; 2.

Detyra numër 7. Gjeni vlerat e $$ të tilla që numrat $-1;4-3;(()^(2))+1$ të formojnë një progresion aritmetik (në atë renditje).

Zgjidhje. Përsëri, ne shprehim termin e mesëm në termat e mesatares aritmetike të termave fqinjë:

\[\fillim(lidhoj) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\katër \majtas| \cdot 2\djathtas.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fund (radhis)\]

Një tjetër ekuacion kuadratik. Dhe përsëri dy rrënjë: $x=6$ dhe $x=1$.

Përgjigje: 1; 6.

Nëse në procesin e zgjidhjes së një problemi merrni disa numra brutalë, ose nuk jeni plotësisht të sigurt për saktësinë e përgjigjeve të gjetura, atëherë ekziston një mashtrim i mrekullueshëm që ju lejon të kontrolloni: a e zgjidhëm problemin saktë?

Le të themi se në problemin 6 morëm përgjigjet -3 dhe 2. Si mund të kontrollojmë që këto përgjigje janë të sakta? Le t'i lidhim ato në gjendjen origjinale dhe të shohim se çfarë ndodh. Më lejoni t'ju kujtoj se kemi tre numra ($-6(()^(2))$, $+1$ dhe $14+4(()^(2))$), të cilët duhet të formojnë një progresion aritmetik. Zëvendësoni $x=-3$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=-3\Djathtas \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fund (radhis)\]

Morëm numrat -54; −2; 50 që ndryshojnë me 52 është padyshim një progresion aritmetik. E njëjta gjë ndodh për $x=2$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=2\Djathtas shigjetë \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fund (radhis)\]

Përsëri një progresion, por me një diferencë prej 27. Kështu, problemi zgjidhet saktë. Ata që dëshirojnë mund ta kontrollojnë vetë detyrën e dytë, por unë do të them menjëherë: gjithçka është e saktë edhe atje.

Në përgjithësi, gjatë zgjidhjes së detyrave të fundit, ne u përplasëm me një tjetër fakt interesant, e cila gjithashtu duhet të mbahet mend:

Nëse tre numra janë të tillë që i dyti është mesatarja e të parit dhe të fundit, atëherë këta numra formojnë një progresion aritmetik.

Në të ardhmen, kuptimi i kësaj deklarate do të na lejojë të "ndërtojmë" fjalë për fjalë përparimet e nevojshme bazuar në gjendjen e problemit. Por, përpara se të përfshihemi në një "ndërtim" të tillë, duhet t'i kushtojmë vëmendje edhe një fakti, i cili rrjedh drejtpërdrejt nga ajo që tashmë është konsideruar.

Grupimi dhe shuma e elementeve

Le të kthehemi përsëri në rreshtin numerik. Vëmë re atje disa anëtarë të progresionit, midis të cilëve, ndoshta. vlen për shumë anëtarë të tjerë:

6 elementë të shënuar në vijën numerike

Le të përpiqemi të shprehim "bishtin e majtë" në termat e $((a)_(n))$ dhe $d$, dhe "bishtin e djathtë" në termat e $((a)_(k))$ dhe $ d$. Është shumë e thjeshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fund (radhis)\]

Tani vini re se shumat e mëposhtme janë të barabarta:

\[\fillim(radhis) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fund (radhis)\]

E thënë thjesht, nëse konsiderojmë si fillim dy elementë të progresionit, të cilët në total janë të barabartë me një numër $S$, dhe më pas fillojmë të shkojmë nga këta elementë në drejtime të kundërta (drejt njëri-tjetrit ose anasjelltas për t'u larguar), pastaj do të jenë të barabarta edhe shumat e elementeve mbi të cilat do të pengohemi$S$. Kjo mund të paraqitet më së miri grafikisht:


Të njëjtat pika japin shuma të barabarta

Kuptimi i këtij fakti do të na lejojë të zgjidhim probleme të një niveli kompleksiteti thelbësisht më të lartë se ato që kemi konsideruar më lart. Për shembull, këto:

Detyra numër 8. Përcaktoni ndryshimin e një progresioni aritmetik në të cilin termi i parë është 66, dhe prodhimi i termit të dytë dhe të dymbëdhjetë është më i vogli i mundshëm.

Zgjidhje. Le të shkruajmë gjithçka që dimë:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \fund (radhis)\]

Pra, ne nuk e dimë ndryshimin e progresionit $d$. Në fakt, e gjithë zgjidhja do të ndërtohet rreth ndryshimit, pasi produkti $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=(a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\majtas(66+d \djathtas)\cdot \majtas(66+11d \djathtas)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \djathtas)\cdot \left(d+6 \djathtas). \fund (radhis)\]

Për ata në rezervuar: Unë kam hequr faktorin e përbashkët 11 nga kllapa e dytë. Kështu, produkti i dëshiruar është një funksion kuadratik në lidhje me variablin $d$. Prandaj, merrni parasysh funksionin $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiku i tij do të jetë një parabolë me degë lart, sepse nëse hapim kllapat, marrim:

\[\fillim(rreshtoj) & f\left(d \djathtas)=11\majtas(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \djathtas)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cpika 72d+11\cpika 66\cpika 6 \fund(radhis)\]

Siç mund ta shihni, koeficienti me termin më të lartë është 11 - ky është një numër pozitiv, kështu që vërtet kemi të bëjmë me një parabolë me degë lart:


grafiku i një funksioni kuadratik - parabolë

Ju lutemi vini re: kjo parabolë merr vlerën e saj minimale në kulmin e saj me abshissa $((d)_(0))$. Sigurisht, ne mund ta llogarisim këtë abshisë sipas skemës standarde (ekziston një formulë $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), por do të ishte shumë më e arsyeshme të vini re se kulmi i dëshiruar shtrihet në simetrinë e boshtit të parabolës, kështu që pika $((d)_(0))$ është e barabartë nga rrënjët e ekuacionit $f\left(d \right)=0$:

\[\fillim(rreshtoj) & f\majtas(d\djathtas)=0; \\ & 11\cdot \majtas(d+66 \djathtas)\cdot \majtas(d+6 \djathtas)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\katër ((d)_(2))=-6. \\ \fund (radhis)\]

Kjo është arsyeja pse nuk nxitova të hapja kllapat: në formën origjinale, rrënjët ishin shumë, shumë të lehta për t'u gjetur. Prandaj, abshisa është e barabartë me mesataren aritmetike të numrave −66 dhe −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Çfarë na jep numrin e zbuluar? Me të, produkti i kërkuar merr vlerën më të vogël (nga rruga, ne nuk kemi llogaritur $((y)_(\min ))$ - kjo nuk kërkohet nga ne). Në të njëjtën kohë, ky numër është diferenca e progresionit fillestar, d.m.th. gjetëm përgjigjen. :)

Përgjigje: -36

Detyra numër 9. Fusni tre numra midis numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac(1)(6)$ në mënyrë që së bashku me numrat e dhënë të formojnë një progresion aritmetik.

Zgjidhje. Në fakt, ne duhet të bëjmë një sekuencë prej pesë numrash, me numrin e parë dhe të fundit të njohur tashmë. Shënoni numrat që mungojnë me variablat $x$, $y$ dhe $z$:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \djathtas\ )\]

Vini re se numri $y$ është "mesi" i sekuencës sonë - është i barabartë nga numrat $x$ dhe $z$, dhe nga numrat $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac (1)(6)$. Dhe nëse për momentin nuk mund të marrim $y$ nga numrat $x$ dhe $z$, atëherë situata është e ndryshme me skajet e progresionit. Mos harroni mesataren aritmetike:

Tani, duke ditur $y$, do të gjejmë numrat e mbetur. Vini re se $x$ ndodhet midis $-\frac(1)(2)$ dhe $y=-\frac(1)(3)$ që sapo u gjetën. Kjo është arsyeja pse

Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, gjejmë numrin e mbetur:

Gati! I gjetëm të tre numrat. Le t'i shkruajmë në përgjigje sipas radhës në të cilën duhet të futen midis numrave origjinalë.

Përgjigje: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Detyra numër 10. Ndërmjet numrave 2 dhe 42, futni disa numra që së bashku me numrat e dhënë formojnë një progresion aritmetik, nëse dihet se shuma e numrave të parë, të dytë dhe të fundit është 56.

Zgjidhje. Një detyrë edhe më e vështirë, e cila, megjithatë, zgjidhet në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme - përmes mesatares aritmetike. Problemi është se ne nuk e dimë saktësisht se sa numra duhet të fusim. Prandaj, për saktësi, supozojmë se pas futjes do të ketë saktësisht numra $n$, dhe i pari prej tyre është 2, dhe i fundit është 42. Në këtë rast, progresioni i dëshiruar aritmetik mund të përfaqësohet si:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \djathtas\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56\]

Megjithatë, vini re se numrat $((a)_(2))$ dhe $((a)_(n-1))$ janë marrë nga numrat 2 dhe 42 që qëndrojnë në skajet me një hap drejt njëri-tjetrit. , dmth. në qendër të sekuencës. Dhe kjo do të thotë se

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Por atëherë shprehja e mësipërme mund të rishkruhet si kjo:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \djathtas)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fund (radhis)\]

Duke ditur $((a)_(3))$ dhe $((a)_(1))$, ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\majtas(3-1 \djathtas)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Djathtas shigjetë d=5. \\ \fund (radhis)\]

Mbetet vetëm për të gjetur anëtarët e mbetur:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cpika 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cpika 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cpika 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cpika 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cpika 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cpika 5=42; \\ \fund (radhis)\]

Kështu, tashmë në hapin e 9-të do të vijmë në skajin e majtë të sekuencës - numri 42. Në total, vetëm 7 numra duhej të futeshin: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Përgjigje: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Detyrat e tekstit me përparime

Si përfundim, do të doja të shqyrtoja disa probleme relativisht të thjeshta. Epo, kaq të thjeshta: për shumicën e studentëve që studiojnë matematikë në shkollë dhe nuk kanë lexuar atë që është shkruar më sipër, këto detyra mund të duken si një gjest. Sidoqoftë, janë pikërisht detyra të tilla që hasen në OGE dhe USE në matematikë, kështu që ju rekomandoj që të njiheni me to.

Detyra numër 11. Ekipi prodhoi 62 pjesë në janar, dhe në çdo muaj pasardhës ata prodhoi 14 pjesë më shumë se në atë të mëparshëm. Sa pjesë prodhoi brigada në nëntor?

Zgjidhje. Natyrisht, numri i pjesëve, të pikturuara sipas muajve, do të jetë një progresion aritmetik në rritje. Dhe:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=62;\katër d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 14. \\ \fund (rreshtoj)\]

Nëntori është muaji i 11-të i vitit, kështu që ne duhet të gjejmë $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cpika 14=202\]

Prandaj, 202 pjesë do të prodhohen në nëntor.

Detyra numër 12. Punëtoria e libërlidhjes lidhi 216 libra në janar dhe çdo muaj lidhte 4 libra më shumë se muajin e kaluar. Sa libra lidhi seminari në dhjetor?

Zgjidhje. Te gjitha njesoj:

$\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 4. \\ \fund (rreshtoj)$

Dhjetori është muaji i fundit, i 12-të i vitit, kështu që ne po kërkojmë për $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Kjo është përgjigja - 260 libra do të lidhen në dhjetor.

Epo, nëse keni lexuar deri këtu, unë nxitoj t'ju përgëzoj: ju keni përfunduar me sukses "kursin e luftëtarëve të rinj" në përparimet aritmetike. Mund të kalojmë me siguri në mësimin tjetër, ku do të studiojmë formulën e shumës së progresionit, si dhe pasojat e rëndësishme dhe shumë të dobishme prej saj.

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni (në rastin tonë, ata). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca numerike
Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik vetëm për një numër të sekuencës. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri -të) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:

Le të themi se kemi një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.
Për shembull:

etj.
Një sekuencë e tillë numerike quhet progresion aritmetik.
Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius qysh në shekullin e 6-të dhe u kuptua në një kuptim më të gjerë si një sekuencë numerike e pafund. Emri "aritmetikë" u transferua nga teoria e përmasave të vazhdueshme, në të cilën ishin angazhuar grekët e lashtë.

Ky është një sekuencë numerike, secili anëtar i të cilit është i barabartë me atë të mëparshëm, i shtuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet diferencë e një progresion aritmetik dhe shënohet.

Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion aritmetik dhe cilat jo:

a)
b)
c)
d)

E kuptova? Krahasoni përgjigjet tona:
Është progresion aritmetik - b, c.
Nuk eshte progresion aritmetik - a, d.

Le të kthehemi në progresionin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e anëtarit të tij. ekziston dy mënyrë për ta gjetur.

1. Metoda

Ne mund t'i shtojmë vlerës së mëparshme të numrit të progresionit derisa të arrijmë termin e th të progresionit. Është mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:

Pra, anëtari i -të i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.

2. Mënyra

Po sikur të na duhej të gjenim vlerën e termit të th të progresionit? Mbledhja do të na kishte marrë më shumë se një orë dhe nuk është fakt që nuk do të kishim bërë gabime kur mblidhnim numrat.
Natyrisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën nuk keni nevojë të shtoni ndryshimin e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme. Shikoni nga afër foton e vizatuar ... Me siguri tashmë keni vënë re një model të caktuar, përkatësisht:

Për shembull, le të shohim se çfarë përbën vlerën e anëtarit -të të këtij progresioni aritmetik:


Me fjale te tjera:

Mundohuni të gjeni në mënyrë të pavarur në këtë mënyrë vlerën e një anëtari të këtij progresioni aritmetik.

E llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:

Kushtojini vëmendje që morët saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur i shtuam me radhë anëtarët e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - le ta sjellim atë formë e përgjithshme dhe merrni:

Ekuacioni i progresionit aritmetik.

Progresionet aritmetike janë ose në rritje ose në rënie.

Në rritje- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e madhe se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Duke zbritur- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e vogël se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Formula e prejardhur përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në ulje të një progresion aritmetik.
Le ta kontrollojmë në praktikë.
Na jepet një progresion aritmetik i përbërë nga numrat e mëposhtëm:


Që atëherë:

Kështu, ne ishim të bindur se formula funksionon si në zvogëlimin ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Përpiquni të gjeni vetë anëtarët -të dhe -të të këtij progresioni aritmetik.

Le të krahasojmë rezultatet:

Vetia e progresionit aritmetik

Le ta komplikojmë detyrën - ne nxjerrim vetinë e një progresion aritmetik.
Supozoni se na jepet kushti i mëposhtëm:
- progresion aritmetik, gjeni vlerën.
Është e lehtë, thoni ju, dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:

Le të, a, atëherë:

Absolutisht e drejtë. Rezulton se ne fillimisht e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që kërkojmë. Nëse progresioni përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të, por çka nëse na jepen numra në kusht? Pajtohem, ekziston mundësia për të bërë gabime në llogaritjet.
Tani mendoni, a është e mundur të zgjidhet ky problem në një hap duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht, po, dhe ne do të përpiqemi ta nxjerrim atë tani.

Le të shënojmë termin e dëshiruar të progresionit aritmetik si, ne e dimë formulën për gjetjen e tij - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, Pastaj:

  • anëtari i mëparshëm i progresionit është:
  • termi tjetër i progresionit është:

Le të përmbledhim anëtarët e mëparshëm dhe të ardhshëm të progresionit:

Rezulton se shuma e anëtarëve të mëparshëm dhe të mëpasshëm të progresionit është dyfishi i vlerës së anëtarit të progresionit që ndodhet midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e një anëtari progresion me vlera të njohura të mëparshme dhe të njëpasnjëshme, është e nevojshme t'i mblidhni ato dhe të ndani me.

Është e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të rregullojmë materialin. Llogaritni vetë vlerën për progresionin, sepse nuk është aspak e vështirë.

Te lumte! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet për të zbuluar vetëm një formulë, të cilën, sipas legjendës, një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - ​​Karl Gauss, e konkludoi lehtësisht për veten e tij ...

Kur Carl Gauss ishte 9 vjeç, mësuesi, i zënë duke kontrolluar punën e nxënësve nga klasa të tjera, kërkoi detyrën e mëposhtme në mësim: "Llogaritni shumën e të gjithë numrave natyrorë nga deri në (sipas burimeve të tjera deri në) përfshirëse. " Cila ishte habia e mësuesit kur një nga nxënësit e tij (ishte Karl Gauss) pas një minute i dha përgjigjen e saktë detyrës, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit pas llogaritjeve të gjata morën rezultatin e gabuar ...

I riu Carl Gauss vuri re një model që mund ta vëreni lehtësisht.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga anëtarë -ti: Duhet të gjejmë shumën e anëtarëve të dhënë të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund t'i përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çka nëse na duhet të gjejmë shumën e termave të saj në detyrë, siç po kërkonte Gauss?

Le të përshkruajmë përparimin që na është dhënë. Shikoni nga afër numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta.


Provuar? Çfarë keni vënë re? E drejtë! Shumat e tyre janë të barabarta


Tani përgjigjuni, sa çifte të tilla do të ketë në progresionin që na është dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Bazuar në faktin se shuma e dy termave të një progresion aritmetik është e barabartë dhe çifte të ngjashme të barabarta, marrim se shuma totale është e barabartë me:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Në disa probleme, ne nuk e dimë termin e th, por dimë ndryshimin e progresionit. Përpiquni të zëvendësoni në formulën e shumës, formulën e anëtarit të th.
Çfarë more?

Te lumte! Tani le t'i kthehemi problemit që iu dha Karl Gausit: llogarisni vetë sa është shuma e numrave që fillojnë nga -ta dhe sa është shuma e numrave që fillojnë nga -ta.

Sa keni marrë?
Gauss doli se shuma e termave është e barabartë, dhe shuma e termave. Kështu vendosët?

Në fakt, formula për shumën e anëtarëve të një progresion aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3-të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar përdorën vetitë e një progresion aritmetik me fuqi dhe kryesore.
Për shembull, imagjinoni Egjipti i lashte dhe kantieri më i madh i ndërtimit të asaj kohe - ndërtimi i një piramide ... Figura tregon njërën anë të saj.

Ku është përparimi këtu ju thoni? Shikoni me kujdes dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në çdo rresht të murit të piramidës.


Pse jo një progresion aritmetik? Numëroni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse tullat e bllokut vendosen në bazë. Shpresoj se nuk do të numëroni duke lëvizur gishtin nëpër monitor, a ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë për progresionin aritmetik?

Në këtë rast, përparimi duket si ky:
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i anëtarëve të një progresion aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (ne numërojmë numrin e blloqeve në 2 mënyra).

Metoda 1.

Metoda 2.

Dhe tani mund të llogaritni edhe në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. A ishte dakord? Bravo, ju keni zotëruar shumën e termave të th të një progresion aritmetik.
Sigurisht, nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
A ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:

Trajnimi

Detyrat:

  1. Masha po bëhet në formë për verën. Çdo ditë ajo rrit numrin e squats me. Sa herë do të ulej Masha në javë nëse ajo bën squats në stërvitjen e parë.
  2. Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
  3. Kur ruajnë trungje, druvarët i vendosin ato në mënyrë të tillë që çdo shtresë e sipërme të përmbajë një trung më pak se ajo e mëparshme. Sa trungje ka në një muraturë, nëse baza e muraturës është trungje.

Përgjigjet:

  1. Le të përcaktojmë parametrat e progresionit aritmetik. Në këtë rast
    (javë = ditë).

    Përgjigje: Në dy javë, Masha duhet të ulet një herë në ditë.

  2. Numri i parë tek, numri i fundit.
    Diferenca e progresionit aritmetik.
    Numri i numrave tek në gjysmë, megjithatë, kontrolloni këtë fakt duke përdorur formulën për gjetjen e anëtarit -të të një progresion aritmetik:

    Numrat përmbajnë numra tek.
    Ne zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:

    Përgjigje: Shuma e të gjithë numrave tek të përfshirë është e barabartë me.

  3. Kujtoni problemin rreth piramidave. Për rastin tonë, a , meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, ka vetëm një grup shtresash, domethënë.
    Zëvendësoni të dhënat në formulë:

    Përgjigje: Në muraturë ka trungje.

Duke përmbledhur

  1. - një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Ajo është në rritje dhe në rënie.
  2. Gjetja e formulës Anëtari i th i një progresioni aritmetik shkruhet me formulën - , ku është numri i numrave në progresion.
  3. Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik- - ku - numri i numrave në progresion.
  4. Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:

    , ku është numri i vlerave.

PROGRESIONI ARITHMETIK. NIVELI MESATAR

Sekuenca numerike

Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Mund të shkruani çdo numër dhe mund të ketë sa të doni. Por ju gjithmonë mund të dalloni se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë, domethënë, ne mund t'i numërojmë ato. Ky është një shembull i një sekuence numrash.

Sekuenca numerikeështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Me fjalë të tjera, çdo numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror, dhe vetëm një. Dhe ne nuk do ta caktojmë këtë numër në asnjë numër tjetër nga ky grup.

Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Është shumë i përshtatshëm nëse anëtari --të i sekuencës mund të jepet me ndonjë formulë. Për shembull, formula

vendos sekuencën:

Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:

Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë dhe diferenca). Ose (, dallimi).

formula e termit të ntë

Ne e quajmë rekurente një formulë në të cilën, për të gjetur termin -të, duhet të njihni ato të mëparshme ose disa të mëparshme:

Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur një formulë të tillë, duhet të llogarisim nëntën e mëparshme. Për shembull, le. Pastaj:

Epo, tani është e qartë se cila është formula?

Në çdo rresht, ne i shtojmë, shumëzuar me një numër. Per cfare? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:

Shumë më rehat tani, apo jo? Ne kontrollojmë:

Vendosni vetë:

Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e n-të dhe gjeni termin e qindtë.

Zgjidhja:

Anëtari i parë është i barabartë. Dhe cili është ndryshimi? Dhe ja çfarë:

(në fund të fundit, quhet ndryshim sepse është i barabartë me diferencën e anëtarëve të njëpasnjëshëm të progresionit).

Pra formula është:

Atëherë termi i njëqindtë është:

Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga deri në?

Sipas legjendës, matematikani i madh Carl Gauss, duke qenë një djalë 9-vjeçar, e llogariti këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e numrit të parë dhe të fundit është e barabartë, shuma e të dytit dhe të parafundit është e njëjtë, shuma e të tretit dhe të 3-të nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa çifte të tilla ka? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Kështu që,

Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Shembull:
Gjeni shumën e të gjithë shumëfishave dyshifrorë.

Zgjidhja:

Numri i parë i tillë është ky. Secili tjetër fitohet duke i shtuar një numër atij të mëparshëm. Kështu, numrat me interes për ne formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe diferencën.

Formula për termin e th për këtë progresion është:

Sa terma janë në progresion nëse duhet të jenë të gjithë dyshifrorë?

Shumë e lehtë: .

Afati i fundit i progresionit do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:

Përgjigje:.

Tani vendosni vetë:

  1. Çdo ditë atleti vrapon 1 m më shumë se një ditë më parë. Sa kilometra do të vrapojë në javë nëse ka vrapuar km m në ditën e parë?
  2. Një çiklist udhëton më shumë kilometra çdo ditë se ai i mëparshmi. Ditën e parë ai udhëtoi km. Sa ditë duhet të kalojë me makinë për të kaluar një kilometër? Sa kilometra do të udhëtojë në ditën e fundit të udhëtimit?
  3. Çmimi i një frigoriferi në dyqan ulet me të njëjtën shumë çdo vit. Përcaktoni se sa u ul çmimi i një frigoriferi çdo vit nëse, i vendosur në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë ai shitet për rubla.

Përgjigjet:

  1. Gjëja më e rëndësishme këtu është njohja e progresionit aritmetik dhe përcaktimi i parametrave të tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e termave të parë të këtij progresi:
    .
    Përgjigje:
  2. Këtu është dhënë:, është e nevojshme për të gjetur.
    Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë të shumës si në problemin e mëparshëm:
    .
    Zëvendësoni vlerat:

    Rrënja padyshim nuk përshtatet, kështu që përgjigja.
    Le të llogarisim distancën e udhëtuar gjatë ditës së fundit duke përdorur formulën e termit -të:
    (km).
    Përgjigje:

  3. Jepet: . Gjej: .
    Nuk bëhet më e lehtë:
    (fshij).
    Përgjigje:

PROGRESIONI ARITHMETIK. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Kjo është një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Progresioni aritmetik është në rritje () dhe në rënie ().

Për shembull:

Formula për gjetjen e anëtarit n të një progresion aritmetik

shkruhet si formulë, ku është numri i numrave në progresion.

Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik

E bën të lehtë gjetjen e një anëtari të progresionit nëse dihen anëtarët fqinjë - ku është numri i numrave në progresion.

Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik

Ka dy mënyra për të gjetur shumën:

Ku është numri i vlerave.

Ku është numri i vlerave.

2/3 ARTIKUJT E MBETUR JANË TË DISPONUESHME VETËM PËR STUDENTET JUCLEVER!

Bëhuni student i YouClever,

Përgatituni për OGE ose PËRDORIM në matematikë me çmimin "një filxhan kafe në muaj",

Dhe gjithashtu merrni akses të pakufizuar në tekstin shkollor "YouClever", programi përgatitor "100gia" (rechebnik), i pakufizuar provim prove dhe OGE, 6000 detyra me analiza zgjidhjesh dhe shërbime të tjera YouClever dhe 100gia.

Dikush e trajton fjalën "përparim" me kujdes, si një term shumë kompleks nga seksionet e matematikës së lartë. Ndërkaq, progresioni më i thjeshtë aritmetik është puna e sportelit të taksive (ku mbeten ende). Dhe për të kuptuar thelbin (dhe në matematikë nuk ka asgjë më të rëndësishme se "të kuptosh thelbin") e një sekuence aritmetike nuk është aq e vështirë, pasi të kemi analizuar disa koncepte elementare.

Sekuenca matematikore e numrave

Është e zakonshme të quash një sekuencë numerike një seri numrash, secila prej të cilëve ka numrin e vet.

dhe 1 është anëtari i parë i sekuencës;

dhe 2 është anëtari i dytë i sekuencës;

dhe 7 është anëtari i shtatë i sekuencës;

dhe n është anëtari i n-të i sekuencës;

Megjithatë, asnjë grup arbitrar shifrash dhe numrash nuk na intereson. Ne do të përqendrojmë vëmendjen tonë në një sekuencë numerike në të cilën vlera e anëtarit të n-të lidhet me numrin e tij rendor nga një varësi që mund të formulohet qartë në mënyrë matematikore. Me fjalë të tjera: vlera numerike e numrit n-të është një funksion i n-së.

a - vlera e një anëtari të sekuencës numerike;

n është numri i tij serial;

f(n) është një funksion ku rendorja në sekuencën numerike n është argumenti.

Përkufizimi

Një progresion aritmetik zakonisht quhet një sekuencë numerike në të cilën çdo term pasues është më i madh (më i vogël) se ai i mëparshmi me të njëjtin numër. Formula për anëtarin e n-të të një sekuence aritmetike është si më poshtë:

a n - vlera e anëtarit aktual të progresionit aritmetik;

a n+1 - formula e numrit të ardhshëm;

d - ndryshim (një numër i caktuar).

Është e lehtë të përcaktohet se nëse diferenca është pozitive (d>0), atëherë çdo anëtar pasues i serisë në shqyrtim do të jetë më i madh se ai i mëparshmi dhe një progresion i tillë aritmetik do të rritet.

Në grafikun e mëposhtëm, është e lehtë të shihet pse sekuenca e numrave quhet "rritje".

Në rastet kur diferenca është negative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vlera e anëtarit të specifikuar

Ndonjëherë është e nevojshme të përcaktohet vlera e ndonjë termi arbitrar a n të një progresion aritmetik. Ju mund ta bëni këtë duke llogaritur në mënyrë të njëpasnjëshme vlerat e të gjithë anëtarëve të progresionit aritmetik, nga i pari në atë të dëshiruar. Megjithatë, kjo mënyrë nuk është gjithmonë e pranueshme nëse, për shembull, është e nevojshme të gjendet vlera e termit pesëmijë ose tetëmilionësh. Llogaritja tradicionale do të marrë shumë kohë. Sidoqoftë, një progresion specifik aritmetik mund të hetohet duke përdorur formula të caktuara. Ekziston gjithashtu një formulë për termin e n-të: vlera e çdo anëtari të një progresioni aritmetik mund të përcaktohet si shuma e anëtarit të parë të progresionit me diferencën e progresionit, shumëzuar me numrin e anëtarit të dëshiruar, minus një. .

Formula është universale për rritjen dhe uljen e progresionit.

Një shembull i llogaritjes së vlerës së një anëtari të caktuar

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm të gjetjes së vlerës së anëtarit n të një progresion aritmetik.

Kushti: ka një progresion aritmetik me parametra:

Anëtari i parë i sekuencës është 3;

Diferenca në serinë e numrave është 1.2.

Detyrë: është e nevojshme të gjendet vlera e 214 termave

Zgjidhja: për të përcaktuar vlerën e një anëtari të caktuar, ne përdorim formulën:

a(n) = a1 + d(n-1)

Duke zëvendësuar të dhënat nga deklarata e problemit në shprehje, kemi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Përgjigje: Anëtari i 214-të i sekuencës është i barabartë me 258.6.

Përparësitë e kësaj metode llogaritëse janë të dukshme - e gjithë zgjidhja merr jo më shumë se 2 rreshta.

Shuma e një numri të caktuar anëtarësh

Shumë shpesh, në një seri të caktuar aritmetike, kërkohet të përcaktohet shuma e vlerave të disa segmenteve të saj. Gjithashtu nuk ka nevojë të llogarisë vlerat e secilit term dhe pastaj t'i përmbledhë ato. Kjo metodë është e zbatueshme nëse numri i termave shuma e të cilëve duhet gjetur është i vogël. Në raste të tjera, është më i përshtatshëm të përdorni formulën e mëposhtme.

Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik nga 1 në n është e barabartë me shumën e anëtarëve të parë dhe të n-të, shumëzuar me numrin e anëtarit n dhe pjesëtuar me dy. Nëse në formulë vlera e anëtarit të n-të zëvendësohet me shprehjen nga paragrafi i mëparshëm i artikullit, marrim:

Shembull i llogaritjes

Për shembull, le të zgjidhim një problem me kushtet e mëposhtme:

Termi i parë i sekuencës është zero;

Diferenca është 0.5.

Në problem, kërkohet të përcaktohet shuma e termave të serisë nga 56 në 101.

Zgjidhje. Le të përdorim formulën për përcaktimin e shumës së progresionit:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Së pari, ne përcaktojmë shumën e vlerave të 101 anëtarëve të progresionit duke zëvendësuar kushtet e dhëna të problemit tonë në formulën:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Natyrisht, për të gjetur shumën e termave të progresionit nga 56-ta në 101, është e nevojshme të zbritet S 55 nga S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Pra, shuma e progresionit aritmetik për këtë shembull është:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Shembull i zbatimit praktik të progresionit aritmetik

Në fund të artikullit, le të kthehemi te shembulli i sekuencës aritmetike të dhënë në paragrafin e parë - një taksimetër (matësi i makinës taksi). Le të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Hyrja në një taksi (e cila përfshin 3 km) kushton 50 rubla. Çdo kilometër pasues paguhet në masën 22 rubla / km. Distanca e udhëtimit 30 km. Llogaritni koston e udhëtimit.

1. Të hedhim 3 km të para, çmimi i të cilave është përfshirë në koston e uljes.

30 - 3 = 27 km.

2. Llogaritja e mëtejshme nuk është gjë tjetër veçse analizimi i një serie numrash aritmetike.

Numri i anëtarëve është numri i kilometrave të përshkuar (minus tre të parat).

Vlera e anëtarit është shuma.

Termi i parë në këtë problem do të jetë i barabartë me 1 = 50 rubla.

Diferenca e progresionit d = 22 p.

numri i interesit për ne - vlera e anëtarit (27 + 1) të progresionit aritmetik - leximi i njehsorit në fund të kilometrit të 27-të - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Llogaritjet e të dhënave kalendarike për një periudhë arbitrare të gjatë bazohen në formula që përshkruajnë sekuenca të caktuara numerike. Në astronomi, gjatësia e orbitës varet gjeometrikisht nga distanca e trupit qiellor nga dritarja. Përveç kësaj, seri të ndryshme numerike përdoren me sukses në statistika dhe degë të tjera të aplikuara të matematikës.

Një lloj tjetër i sekuencës së numrave është gjeometrik

Një progresion gjeometrik karakterizohet nga një shkallë e madhe ndryshimi, krahasuar me një aritmetike. Nuk është rastësi që në politikë, sociologji, mjekësi, shpesh, për të treguar shpejtësinë e madhe të përhapjes së një dukurie të caktuar, për shembull, një sëmundje gjatë një epidemie, thonë se procesi zhvillohet në mënyrë eksponenciale.

Anëtari N-të i serisë së numrave gjeometrikë ndryshon nga ai i mëparshmi në atë që shumëzohet me një numër konstant - emëruesi, për shembull, anëtari i parë është 1, emëruesi është 2, përkatësisht, pastaj:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vlera e anëtarit aktual të progresionit gjeometrik;

b n+1 - formula e anëtarit të ardhshëm të progresionit gjeometrik;

q është emëruesi i një progresion gjeometrik (numër konstant).

Nëse grafiku i një progresion aritmetik është një vijë e drejtë, atëherë ai gjeometrik vizaton një pamje paksa të ndryshme:

Ashtu si në rastin e aritmetikës, një progresion gjeometrik ka një formulë për vlerën e një anëtari arbitrar. Çdo term i n-të i një progresioni gjeometrik është i barabartë me produktin e termit të parë dhe emëruesin e progresionit në fuqinë e n reduktuar me një:

Shembull. Kemi një progresion gjeometrik me termin e parë të barabartë me 3 dhe emëruesin e progresionit të barabartë me 1.5. Gjeni termin e 5-të të progresionit

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Shuma e një numri të caktuar anëtarësh llogaritet gjithashtu duke përdorur një formulë të veçantë. Shuma e n anëtarëve të parë të një progresioni gjeometrik është e barabartë me diferencën midis prodhimit të anëtarit të n-të të progresionit dhe emëruesit të tij dhe anëtarit të parë të progresionit, pjesëtuar me emëruesin e reduktuar me një:

Nëse b n zëvendësohet duke përdorur formulën e diskutuar më sipër, vlera e shumës së n anëtarëve të parë të serisë së numrave të konsideruar do të marrë formën:

Shembull. Progresioni gjeometrik fillon me termin e parë të barabartë me 1. Emëruesi vendoset i barabartë me 3. Le të gjejmë shumën e tetë anëtarëve të parë.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ndani: