წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გამოთვლის ფორმულა. კოორდინაციის მეთოდი (მანძილი წერტილსა და სიბრტყეს შორის, სწორ ხაზებს შორის)

სხვადასხვა გეომეტრიულ ობიექტებს შორის მანძილის პოვნის შესაძლებლობა მნიშვნელოვანია ფიგურების ზედაპირის ფართობისა და მათი მოცულობების გაანგარიშებისას. ამ სტატიაში განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე სივრცეში და სიბრტყეზე.

სწორი ხაზის მათემატიკური აღწერა

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ ამ გეომეტრიული ობიექტების მათემატიკური სპეციფიკაციის საკითხს.

წერტილით ყველაფერი მარტივია, ის აღწერილია კოორდინატების სიმრავლით, რომელთა რაოდენობა შეესაბამება სივრცის განზომილებას. მაგალითად, თვითმფრინავზე ეს არის ორი კოორდინატი, სამგანზომილებიან სივრცეში - სამი.

რაც შეეხება ერთგანზომილებიან ობიექტს - სწორ ხაზს, მის აღსაწერად გამოიყენება რამდენიმე ტიპის განტოლება. განვიხილოთ მხოლოდ ორი მათგანი.

პირველ ტიპს ვექტორული განტოლება ეწოდება. ქვემოთ მოცემულია ხაზების გამონათქვამები სამგანზომილებიან და ორგანზომილებიან სივრცეში:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

ამ გამონათქვამებში კოორდინატები ნულოვანი ინდექსებით აღწერენ წერტილს, რომლითაც გადის მოცემული წრფე, კოორდინატების სიმრავლე (a; b; c) და (a; b) არის ეგრეთ წოდებული მიმართულების ვექტორები შესაბამისი ხაზისთვის, α არის a. პარამეტრი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა.

ვექტორული განტოლება მოსახერხებელია იმ გაგებით, რომ იგი ცალსახად შეიცავს სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორს, რომლის კოორდინატები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა გეომეტრიული ობიექტების პარალელურობის ან პერპენდიკულარობის ამოცანების გადასაჭრელად, მაგალითად, ორი სწორი ხაზის.

მეორე ტიპის განტოლებას, რომელსაც განვიხილავთ სწორი ხაზისთვის, ეწოდება ზოგადი. სივრცეში ეს ფორმა მოცემულია ორი სიბრტყის ზოგადი განტოლებით. თვითმფრინავში მას აქვს შემდეგი ფორმა:

A × x + B × y + C = 0

შედგენისას ის ხშირად იწერება, როგორც დამოკიდებულება x/y-ზე, ანუ:

y = -A / B × x +(-C / B)

აქ თავისუფალი ტერმინი -C/B შეესაბამება წრფის y ღერძთან გადაკვეთის კოორდინატს, ხოლო კოეფიციენტი -A/B დაკავშირებულია წრფის კუთხესთან x ღერძთან.

ხაზსა და წერტილს შორის მანძილის კონცეფცია

განტოლებების განხილვის შემდეგ, შეგიძლიათ პირდაპირ გააგრძელოთ პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე. მე-7 კლასში სკოლები იწყებენ ამ საკითხის განხილვას შესაბამისი ღირებულების განსაზღვრით.

წრფესა და წერტილს შორის მანძილი არის ამ ხაზის პერპენდიკულარული მონაკვეთის სიგრძე, რომელიც გამოტოვებულია განსახილველი წერტილიდან. ქვემოთ მოყვანილ სურათზე ნაჩვენებია წრფე r და წერტილი A. ლურჯი ხაზი გვიჩვენებს r წრფის პერპენდიკულარულ მონაკვეთს. მისი სიგრძე არის სასურველი მანძილი.

თუმცა აქ არის 2D შემთხვევა ამ განმარტებასმანძილი ასევე მოქმედებს სამგანზომილებიანი პრობლემისთვის.

საჭირო ფორმულები

იმის მიხედვით, თუ რა ფორმით არის დაწერილი სწორი ხაზის განტოლება და რა სივრცეში წყდება პრობლემა, შეიძლება მივცეთ ორი ძირითადი ფორმულა, რომლებიც პასუხობენ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ მანძილი სწორ ხაზსა და წერტილს შორის.

აღნიშნეთ ცნობილი წერტილი სიმბოლო P 2-ით. თუ სწორი ხაზის განტოლება მოცემულია ვექტორული სახით, მაშინ განხილულ ობიექტებს შორის d მანძილისთვის მოქმედებს ფორმულა:

d = || / |v¯|

ანუ, d-ს დასადგენად, უნდა გამოვთვალოთ v¯ პირდაპირი ვექტორის ვექტორული ნამრავლის მოდული და ვექტორი P 1 P 2 ¯, რომლის დასაწყისი მდგომარეობს წრფის თვითნებურ წერტილზე P 1, და დასასრული არის. P 2 წერტილში, შემდეგ გაყავით ეს მოდული v ¯ სიგრძით. ეს ფორმულა უნივერსალურია ბრტყელი და სამგანზომილებიანი სივრცისთვის.

თუ პრობლემა განიხილება სიბრტყეზე xy კოორდინატულ სისტემაში და სწორი ხაზის განტოლება მოცემულია ზოგადი ხედი, შემდეგ სწორი ხაზიდან წერტილამდე მანძილის საპოვნელად შემდეგი ფორმულა საშუალებას გაძლევთ:

სწორი ხაზი: A × x + B × y + C = 0;

წერტილი: P 2 (x 2; y 2; z 2);

მანძილი: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

ზემოაღნიშნული ფორმულა საკმაოდ მარტივია, მაგრამ მისი გამოყენება შეზღუდულია ზემოთ აღნიშნული პირობებით.

წერტილის პროექციის კოორდინატები სწორ ხაზზე და მანძილზე

თქვენ ასევე შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე სხვა გზით, რომელიც არ გულისხმობს ზემოაღნიშნული ფორმულების დამახსოვრებას. ეს მეთოდი მოიცავს სწორ ხაზზე წერტილის განსაზღვრას, რომელიც არის საწყისი წერტილის პროექცია.

დავუშვათ, არის წერტილი M და წრფე r. M წერტილის r-ზე პროექცია შეესაბამება რაღაც M 1 წერტილს. მანძილი M-დან r-მდე უდრის ვექტორის MM 1 ¯ სიგრძეს.

როგორ მოვძებნოთ M 1-ის კოორდინატები? Ძალიან მარტივი. საკმარისია გავიხსენოთ, რომ წრფის ვექტორი v¯ იქნება MM 1 ¯ პერპენდიკულარული, ანუ მათი სკალარული ნამრავლი უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამ პირობას დაემატა ის ფაქტი, რომ M 1 კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს r სწორი წრფის განტოლებას, მივიღებთ მარტივი წრფივი განტოლებების სისტემას. მისი ამოხსნის შედეგად მიიღება M წერტილის r-ზე პროექციის კოორდინატები.

ამ პუნქტში აღწერილი მეთოდი ხაზიდან წერტილამდე მანძილის საპოვნელად შეიძლება გამოყენებულ იქნას სიბრტყისთვის და სივრცისთვის, მაგრამ მისი გამოყენება მოითხოვს წრფის ვექტორული განტოლების ცოდნას.

დავალება თვითმფრინავში

ახლა დროა ვაჩვენოთ როგორ გამოვიყენოთ წარმოდგენილი მათემატიკური აპარატი რეალური ამოცანების გადასაჭრელად. დავუშვათ, რომ სიბრტყეზე მოცემულია წერტილი M(-4; 5). აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი M წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომელიც აღწერილია ზოგადი განტოლებით:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

ანუ M არ წევს ხაზზე.

ვინაიდან სწორი ხაზის განტოლება არ არის მოცემული ზოგადი ფორმით, ჩვენ ვამცირებთ მას ისე, რომ შევძლოთ გამოვიყენოთ შესაბამისი ფორმულა, გვაქვს:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ცნობილი რიცხვები d-ის ფორმულაში:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

დავალება სივრცეში

ახლა განიხილეთ საქმე სივრცეში. მოდით, სწორი ხაზი იყოს აღწერილი შემდეგი განტოლებით:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

რა მანძილია მისგან M(0; 2; -3) წერტილამდე?

ისევე, როგორც წინა შემთხვევაში, ვამოწმებთ, ეკუთვნის თუ არა M მოცემულ ხაზს. ამისათვის ჩვენ კოორდინატებს ვცვლით განტოლებაში და ცალსახად ვწერთ მას:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

ვინაიდან სხვადასხვა პარამეტრი მიიღება α, მაშინ M არ დევს ამ ხაზზე. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს მისგან სწორ ხაზამდე.

d-ის ფორმულის გამოსაყენებლად, აიღეთ თვითნებური წერტილი წრფეზე, მაგალითად P(1; -1; 0), შემდეგ:

მოდით გამოვთვალოთ ჯვრის ნამრავლი PM¯ და v¯ ხაზს შორის. ჩვენ ვიღებთ:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

ახლა ჩვენ შევცვლით ნაპოვნი ვექტორის და ვექტორის v¯ მოდულებს d-ის ფორმულაში, მივიღებთ:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

ამ პასუხის მიღება შესაძლებელია ზემოთ აღწერილი მეთოდის გამოყენებით, რომელიც გულისხმობს წრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნას. ამ და წინა ამოცანებში, ხაზიდან წერტილამდე მანძილის გამოთვლილი მნიშვნელობები წარმოდგენილია შესაბამისი კოორდინატთა სისტემის ერთეულებში.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარის სიგრძე წერტილიდან ხაზამდე. აღწერილ გეომეტრიაში იგი გრაფიკულად განისაზღვრება ქვემოთ მოცემული ალგორითმის მიხედვით.

ალგორითმი

1. სწორი ხაზი გადადის ისეთ პოზიციაზე, რომელშიც ის პარალელურად იქნება ნებისმიერი პროექციის სიბრტყის. ამისათვის გამოიყენეთ ორთოგონალური პროგნოზების ტრანსფორმაციის მეთოდები.
2. დახაზეთ პერპენდიკულარი წერტილიდან ხაზამდე. ეს კონსტრუქცია ეფუძნება სწორი კუთხის პროექციის თეორემას.
3. პერპენდიკულარის სიგრძე განისაზღვრება მისი პროგნოზების გარდაქმნით ან მართკუთხა სამკუთხედის მეთოდის გამოყენებით.

შემდეგი სურათი გვიჩვენებს რთული ნახაზიწერტილი M და წრფე b მოცემულია CD სეგმენტით. თქვენ უნდა იპოვოთ მანძილი მათ შორის.

ჩვენი ალგორითმის მიხედვით, პირველი რაც უნდა გავაკეთოთ არის ხაზის გადატანა პროექციის სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ გარდაქმნების შემდეგ, წერტილისა და ხაზს შორის ფაქტობრივი მანძილი არ უნდა შეიცვალოს. ამიტომ აქ მოსახერხებელია თვითმფრინავის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება, რომელიც არ გულისხმობს სივრცეში ფიგურების გადაადგილებას.

მშენებლობის პირველი ეტაპის შედეგები ნაჩვენებია ქვემოთ. ნახაზი გვიჩვენებს, თუ როგორ არის შემოტანილი დამატებითი ფრონტალური სიბრტყე P 4 b-ის პარალელურად. AT ახალი სისტემა(P 1 , P 4) წერტილები C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 X 1 ღერძიდან იმავე მანძილზეა, როგორც C"", D"", M"" X ღერძიდან.

ალგორითმის მეორე ნაწილის შესრულებისას, M"" 1-დან ჩვენ ვამცირებთ პერპენდიკულარულ M"" 1 N"" 1 წრფეზე b"" 1, რადგან სწორი კუთხე MND b და MN-ს შორის არის დაპროექტებული სიბრტყეზე P 4 in. სრული ზომა. ვადგენთ N" წერტილის პოზიციას საკომუნიკაციო ხაზის გასწვრივ და ვხატავთ MN სეგმენტის M"N" პროექციას.

Ზე დასკვნითი ეტაპიაუცილებელია MN სეგმენტის მნიშვნელობის განსაზღვრა მისი პროგნოზებით M"N" და M"" 1 N"" 1 . ამისათვის ჩვენ ვაშენებთ მართკუთხა სამკუთხედს M "" 1 N "" 1 N 0 , რომელშიც ფეხი N "" 1 N 0 უდრის M წერტილების მოხსნის სხვაობას (Y M 1 - Y N 1). "და N" X 1 ღერძიდან. M"" 1 N 0 სამკუთხედის M"" 1 N"" 1 N 0 ჰიპოტენუზის სიგრძე შეესაბამება M-დან b-მდე სასურველ მანძილს.

გადაჭრის მეორე გზა

• პარალელურად, CD წარუდგენს ახალს ფრონტალური თვითმფრინავი P 4 . ის კვეთს P 1-ს X 1 ღერძის გასწვრივ და X 1 ∥C"D". თვითმფრინავების ჩანაცვლების მეთოდის შესაბამისად, ჩვენ განვსაზღვრავთ C"" 1, D"" 1 და M"" 1 წერტილების პროგნოზებს, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე.
• C "" 1 D "" 1-ის პერპენდიკულურად ვაშენებთ დამატებით ჰორიზონტალურ სიბრტყეს P 5, რომელზედაც სწორი ხაზი b არის დაპროექტებული C" 2 \u003d b" 2 წერტილამდე.
• მანძილი M წერტილსა და b სწორ ხაზს შორის განისაზღვრება წითლად მონიშნული M "2 C" 2 სეგმენტის სიგრძით.

დაკავშირებული ამოცანები:

მაგალითის ამოხსნისას განვიხილოთ გაანალიზებული მეთოდების გამოყენება სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილის დასადგენად.

იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

პირველ რიგში, მოდით გადავჭრათ პრობლემა პირველი გზით.

ამოცანის პირობაში მოცემულია ფორმის a სწორი წრფის ზოგადი განტოლება:

ვიპოვოთ b წრფის ზოგადი განტოლება, რომელიც გადის წრფის პერპენდიკულარულ მოცემულ წერტილში:

ვინაიდან b წრფე პერპენდიკულარულია a წრფეზე, b წრფის მიმართულების ვექტორი არის მოცემული წრფის ნორმალური ვექტორი:

ანუ b წრფის მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ b წრფის კანონიკური განტოლება სიბრტყეზე, რადგან ვიცით M 1 წერტილის კოორდინატები, რომლითაც გადის წრფე b და b წრფის მიმართული ვექტორის კოორდინატები:

b სწორი წრფის მიღებული კანონიკური განტოლებიდან გადავდივართ სწორი წრფის ზოგად განტოლებაზე:

ახლა ვიპოვოთ a და b წრფეების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები (აღვნიშნოთ ის H 1) a და b წრფეების ზოგადი განტოლებებისაგან შემდგარი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატიების ამოხსნის სისტემები. წრფივი განტოლებები):

ამრიგად, H 1 წერტილს აქვს კოორდინატები.

რჩება სასურველი მანძილის გამოთვლა M 1 წერტილიდან a სწორ ხაზამდე, როგორც მანძილი წერტილებს შორის და:

პრობლემის გადაჭრის მეორე გზა.

ვიღებთ მოცემული წრფის ნორმალურ განტოლებას. ამისათვის ჩვენ გამოვთვლით ნორმალიზების ფაქტორის მნიშვნელობას და ვამრავლებთ მასზე სწორი ხაზის საწყისი ზოგადი განტოლების ორივე ნაწილს:

(სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ნორმალურ ფორმამდე მიყვანის განყოფილებაში ვისაუბრეთ).

ნორმალიზების ფაქტორი უდრის

მაშინ სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს სწორხაზოვანი ნორმალური განტოლების მარცხენა მხარეს და ვიანგარიშებთ მის მნიშვნელობას:

სასურველი მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე:

უდრის მიღებული მნიშვნელობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ანუ ხუთს ().

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

ცხადია, სიბრტყეში წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის მეთოდის უპირატესობა, სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების გამოყენებაზე დაყრდნობით, არის გამოთვლითი სამუშაოს შედარებით მცირე რაოდენობა. თავის მხრივ, წერტილიდან ხაზამდე მანძილის პოვნის პირველი გზა ინტუიციურია და გამოირჩევა თანმიმდევრულობითა და ლოგიკით.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy ფიქსირდება სიბრტყეზე, მოცემულია წერტილი და სწორი ხაზი:

იპოვეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ ხაზამდე.

პირველი გზა.

თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ დახრილობის მქონე სწორი ხაზის მოცემული განტოლებიდან ამ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებამდე და გააგრძელოთ ისე, როგორც ზემოთ განხილულ მაგალითში.

მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ ამის გაკეთება სხვაგვარად.

ვიცით, რომ პერპენდიკულარული წრფეების ფერდობების ნამრავლი უდრის 1-ს (იხ. სტატია პერპენდიკულარული ხაზები, წრფეების პერპენდიკულარულობა). მაშასადამე, წრფის დახრილობა, რომელიც მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია:

უდრის 2-ს. მაშინ მოცემულ სწორ წრფეზე პერპენდიკულარული და წერტილის გავლით სწორი წრფის განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ვიპოვოთ H 1 წერტილის კოორდინატები - წრფეების გადაკვეთის წერტილი:

ამრიგად, სასურველი მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე:

უდრის წერტილებს შორის მანძილს და:

მეორე გზა.

მოდით გადავიდეთ დახრილობის მქონე სწორი ხაზის მოცემული განტოლებიდან ამ სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებაზე:

ნორმალიზების ფაქტორი უდრის:

ამრიგად, მოცემული სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ საჭირო მანძილს წერტილიდან ხაზამდე:

გამოთვალეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

და სწორი ხაზისკენ:

ვიღებთ სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას:

ახლა გამოთვალეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

ნორმალიზებადი ფაქტორი სწორი ხაზის განტოლებისთვის:

უდრის 1. მაშინ ამ წრფის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

ის თანაბარია.

პასუხი: და 5.

დასასრულს, ჩვენ ცალკე განვიხილავთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი სიბრტყის მოცემული წერტილიდან მანძილი Ox და Oy კოორდინატთა ხაზებამდე.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxy კოორდინატთა წრფე Oy მოცემულია x=0 წრფის არასრული ზოგადი განტოლებით, ხოლო კოორდინატთა წრფე Ox – y=0 განტოლებით. ეს განტოლებები არის Oy და Ox წრფეების ნორმალური განტოლებები, ამიტომ მანძილი წერტილიდან ამ ხაზებამდე გამოითვლება ფორმულებით:

შესაბამისად.

სურათი 5

თვითმფრინავზე შემოყვანილია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy. იპოვეთ მანძილი წერტილიდან კოორდინატთა ხაზებამდე.

მანძილი მოცემული M 1 წერტილიდან Ox კოორდინატთა წრფემდე (იგი მოცემულია y=0 განტოლებით) უდრის M 1 წერტილის ორდინატის მოდულს, ანუ .

მანძილი მოცემული M 1 წერტილიდან Oy კოორდინატთა წრფემდე (ეს შეესაბამება x=0 განტოლებას) უდრის M 1 წერტილის აბსცისის აბსოლუტურ მნიშვნელობას: .

პასუხი: მანძილი M 1 წერტილიდან Ox წრფემდე არის 6, ხოლო მანძილი მოცემული წერტილიდან Oy კოორდინატამდე ტოლია.

ამ სტატიაში მე და თქვენ დავიწყებთ განხილვას ერთი "ჯადოსნური ჯოხის" შესახებ, რომელიც საშუალებას მოგცემთ შეამციროთ მრავალი პრობლემა გეომეტრიაში მარტივ არითმეტიკამდე. ამ „კვერთხს“ შეუძლია თქვენი ცხოვრება ბევრად გაადვილოს, განსაკუთრებით მაშინ, როცა თავს დაუცველად გრძნობთ სივრცითი ფიგურების, სექციების აშენებისას და ა.შ. ეს ყველაფერი გარკვეულ ფანტაზიას და პრაქტიკულ უნარებს მოითხოვს. მეთოდი, რომლის განხილვასაც აქ დავიწყებთ, საშუალებას მოგცემთ თითქმის მთლიანად აბსტრაქცია ყველა სახის გეომეტრიული კონსტრუქციებისა და მსჯელობისგან. მეთოდს ე.წ "კოორდინაციის მეთოდი". ამ სტატიაში განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. საკოორდინაციო თვითმფრინავი
2. წერტილები და ვექტორები სიბრტყეზე
3. ვექტორის აგება ორი წერტილიდან
4. ვექტორის სიგრძე (მანძილი ორ წერტილს შორის).
5. შუა წერტილის კოორდინატები
6. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი
7. კუთხე ორ ვექტორს შორის

მგონი უკვე მიხვდით, რატომ ჰქვია ასე კოორდინატულ მეთოდს? მართალია, ასეთი სახელი მიიღო, ვინაიდან გეომეტრიულ ობიექტებთან კი არ მოქმედებს, არამედ მათი რიცხვითი მახასიათებლებით (კოორდინატებით). ხოლო თავად ტრანსფორმაცია, რომელიც შესაძლებელს ხდის გეომეტრიიდან ალგებრაზე გადასვლას, მოიცავს კოორდინატთა სისტემის შემოღებას. თუ თავდაპირველი ფიგურა ბრტყელია, მაშინ კოორდინატები ორგანზომილებიანია, ხოლო თუ ფიგურა სამგანზომილებიანია, მაშინ კოორდინატები სამგანზომილებიანია. ამ სტატიაში განვიხილავთ მხოლოდ ორგანზომილებიან შემთხვევას. და სტატიის მთავარი მიზანია გასწავლოთ, თუ როგორ გამოიყენოთ კოორდინატთა მეთოდის რამდენიმე ძირითადი ტექნიკა (ისინი ზოგჯერ გამოსადეგი აღმოჩნდება პლანიმეტრიაში პრობლემების გადაჭრისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის B ნაწილში). ამ თემაზე შემდეგი ორი განყოფილება ეთმობა C2 ამოცანების გადაჭრის მეთოდების განხილვას (სტერეომეტრიის პრობლემა).

სად იქნება ლოგიკური კოორდინატთა მეთოდის განხილვის დაწყება? ალბათ კოორდინატთა სისტემის კონცეფციით. გაიხსენეთ, როდესაც პირველად შეხვდით მას. მეჩვენება, რომ მე-7 კლასში, როცა შეიტყვეთ წრფივი ფუნქციის არსებობის შესახებ, მაგალითად. ნება მომეცით შეგახსენოთ, რომ თქვენ ააგეთ იგი წერტილი-პუნქტით. Გახსოვს? თქვენ აირჩიეთ თვითნებური რიცხვი, ჩაანაცვლეთ იგი ფორმულაში და გამოითვალეთ ამ გზით. მაგალითად, თუ, მაშინ, თუ, მაშინ და ა.შ. რა მიიღეთ შედეგად? და მიიღეთ ქულები კოორდინატებით: და. შემდეგ დახატეთ „ჯვარი“ (კოორდინატთა სისტემა), შეარჩიეთ მასზე სკალა (რამდენი უჯრედი გექნებათ ერთ სეგმენტად) და მონიშნეთ მასზე მიღებული წერტილები, რომლებიც შემდეგ დააკავშირეთ სწორი ხაზით, შედეგად მიღებული ხაზი. არის ფუნქციის გრაფიკი.

არის რამდენიმე რამ, რაც ცოტა უფრო დეტალურად უნდა აგიხსნათ:

1. მოხერხებულობის გამო ირჩევთ ერთ სეგმენტს, რათა ყველაფერი ლამაზად და კომპაქტურად მოერგოს სურათს

2. ვარაუდობენ, რომ ღერძი მიდის მარცხნიდან მარჯვნივ, ხოლო ღერძი ქვემოდან ზევით

3. ისინი იკვეთებიან სწორი კუთხით და მათი გადაკვეთის წერტილს საწყისს უწოდებენ. იგი აღინიშნება ასოთი.

4. წერტილის კოორდინატის ჩანაწერში, მაგალითად, ფრჩხილებში მარცხნივ არის წერტილის კოორდინატი ღერძის გასწვრივ, ხოლო მარჯვნივ, ღერძის გასწვრივ. კერძოდ, უბრალოდ ნიშნავს, რომ წერტილი

5. კოორდინატთა ღერძზე ნებისმიერი წერტილის დასაყენებლად საჭიროა მისი კოორდინატების მითითება (2 ნომერი)

6. ღერძზე მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის,

7. ღერძზე მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის,

8. ღერძს x-ღერძი ეწოდება

9. ღერძს y-ღერძი ეწოდება

ახლა თქვენთან ერთად გადავდგათ შემდეგი ნაბიჯი: მონიშნეთ ორი წერტილი. დააკავშირეთ ეს ორი წერტილი ხაზით. და დავდოთ ისარი ისე, თითქოს ვხატავთ სეგმენტს წერტილიდან წერტილამდე: ანუ ჩვენს სეგმენტს მივაქცევთ მიმართულს!

დაიმახსოვრეთ რა არის სხვა სახელი მიმართული სეგმენტისთვის? მართალია, ამას ვექტორი ჰქვია!

ამრიგად, თუ წერტილს დავუკავშირებთ წერტილს, და დასაწყისი იქნება წერტილი A, დასასრული იქნება წერტილი B,შემდეგ ვიღებთ ვექტორს. ეს მშენებლობაც მე-8 კლასში გააკეთე, გახსოვს?

გამოდის, რომ ვექტორები, წერტილების მსგავსად, შეიძლება აღინიშნოს ორი რიცხვით: ამ რიცხვებს ვექტორის კოორდინატები ეწოდება. კითხვა: როგორ ფიქრობთ, საკმარისია ჩვენთვის ვიცოდეთ ვექტორის დასაწყისისა და დასასრულის კოორდინატები, რომ ვიპოვოთ მისი კოორდინატები? გამოდის, რომ დიახ! და ამის გაკეთება ძალიან მარტივია:

ამრიგად, ვინაიდან ვექტორში წერტილი არის დასაწყისი და დასასრული, ვექტორს აქვს შემდეგი კოორდინატები:

მაგალითად, თუ, მაშინ ვექტორის კოორდინატები

ახლა გავაკეთოთ პირიქით, ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები. რა უნდა შევცვალოთ ამისთვის? დიახ, თქვენ უნდა შეცვალოთ დასაწყისი და დასასრული: ახლა ვექტორის დასაწყისი იქნება წერტილში, დასასრული კი წერტილში. შემდეგ:

დააკვირდით, რა განსხვავებაა ვექტორებსა და? მათი განსხვავება მხოლოდ კოორდინატებში ნიშნებია. ისინი საპირისპიროა. ეს ფაქტი ასე წერია:

ზოგჯერ, თუ კონკრეტულად არ არის მითითებული, რომელი წერტილია ვექტორის დასაწყისი და რომელი დასასრული, მაშინ ვექტორები აღინიშნება არა ორი დიდი ასოებით, არამედ ერთი პატარა ასოთი, მაგალითად: და ა.შ.

ახლა ცოტა პრაქტიკადა იპოვეთ შემდეგი ვექტორების კოორდინატები:

გამოცდა:

ახლა მოაგვარეთ პრობლემა ცოტა უფრო რთული:

ვექტორულ ტორს on-cha-scrap-ით წერტილში აქვს co-or-di-on-you. Find-di-te abs-cis-su წერტილები.

ერთი და იგივე საკმაოდ პროზაულია: მოდით იყოს წერტილის კოორდინატები. მერე

მე შევადგინე სისტემა ვექტორის კოორდინატების განსაზღვრით. შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები. ჩვენ გვაინტერესებს აბსცისი. მერე

პასუხი:

კიდევ რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ვექტორებთან? დიახ, თითქმის ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ რიცხვებში (გარდა იმისა, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა, მაგრამ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი გზით, რომელთაგან ერთს აქ ცოტა მოგვიანებით განვიხილავთ)

1. ვექტორები შეიძლება დაწყობილი იყოს ერთმანეთთან
2. ვექტორები შეიძლება გამოკლდეს ერთმანეთს
3. ვექტორები შეიძლება გამრავლდეს (ან გაიყოს) თვითნებური არანულოვანი რიცხვით
4. ვექტორები შეიძლება გამრავლდეს ერთმანეთთან

ყველა ამ ოპერაციას აქვს საკმაოდ ვიზუალური გეომეტრიული წარმოდგენა. მაგალითად, სამკუთხედის (ან პარალელოგრამის) წესი შეკრებისა და გამოკლებისთვის:

ვექტორი იჭიმება ან იკუმშება ან იცვლის მიმართულებას რიცხვზე გამრავლებისას ან გაყოფისას:

თუმცა, აქ ჩვენ დავინტერესდებით, რა ემართება კოორდინატებს.

1. ორი ვექტორის შეკრებისას (გამოკლებისას) ელემენტ-ელემენტს ვამატებთ (ვაკლებთ) მათ კოორდინატებს. ანუ:

2. ვექტორის რიცხვზე გამრავლების (გაყოფისას) მისი ყველა კოორდინატი მრავლდება (იყოფა) ამ რიცხვზე:

Მაგალითად:

· იპოვე-დი-კო-ორ-დი-ნატ საუკუნე-რა-ს ჯამი.

ჯერ ვიპოვოთ თითოეული ვექტორის კოორდინატები. ორივე მათგანს ერთი და იგივე წარმოშობა აქვს - საწყისი წერტილი. მათი ბოლოები განსხვავებულია. შემდეგ,. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ვექტორის კოორდინატებს მაშინ მიღებული ვექტორის კოორდინატების ჯამი უდრის.

პასუხი:

ახლა თავად მოაგვარეთ შემდეგი პრობლემა:

· იპოვეთ ვექტორის კოორდინატების ჯამი

ჩვენ ვამოწმებთ:

ახლა განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა: გვაქვს ორი წერტილი კოორდინატულ სიბრტყეზე. როგორ მოვძებნოთ მანძილი მათ შორის? დაე, პირველი წერტილი იყოს და მეორე. ავღნიშნოთ მათ შორის მანძილი როგორც . მოდით გავაკეთოთ შემდეგი ნახაზი სიცხადისთვის:

Რა გავაკეთე? პირველად დავაკავშირე ქულები და, აასევე წერტილიდან ღერძის პარალელური ხაზი და წერტილიდან ღერძის პარალელური ხაზი. გადაიკვეთა ისინი ერთ წერტილში და ქმნიან მშვენიერ ფიგურას? რატომ არის ის მშვენიერი? დიახ, მე და შენ თითქმის ყველაფერი ვიცით მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ. კარგად, პითაგორას თეორემა, რა თქმა უნდა. სასურველი სეგმენტი არის ამ სამკუთხედის ჰიპოტენუზა, ხოლო სეგმენტები არის ფეხები. რა არის წერტილის კოორდინატები? დიახ, მათი პოვნა ადვილია სურათიდან: ვინაიდან სეგმენტები ღერძების პარალელურია და, შესაბამისად, მათი სიგრძეც ადვილი საპოვნელია: თუ სეგმენტების სიგრძეებს აღვნიშნავთ, შესაბამისად, მეშვეობით, მაშინ

ახლა გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა. ჩვენ ვიცით ფეხების სიგრძე, ვიპოვით ჰიპოტენუზას:

ასე რომ, მანძილი ორ წერტილს შორის არის კოორდინატებისგან განსხვავებების კვადრატული ჯამი. ან - ორ წერტილს შორის მანძილი არის მათი დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე. ადვილი მისახვედრია, რომ წერტილებს შორის მანძილი არ არის დამოკიდებული მიმართულებაზე. შემდეგ:

აქედან გამოვიტანთ სამ დასკვნას:

მოდით ვივარჯიშოთ ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლაზე:

მაგალითად, თუ, მაშინ მანძილი და არის

ან სხვანაირად წავიდეთ: იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები

და იპოვნეთ ვექტორის სიგრძე:

როგორც ხედავთ, ეს იგივეა!

ახლა ცოტა ივარჯიშეთ საკუთარ თავზე:

დავალება: იპოვნეთ მანძილი მოცემულ წერტილებს შორის:

ჩვენ ვამოწმებთ:

აქ არის კიდევ რამდენიმე პრობლემა ერთი და იგივე ფორმულისთვის, თუმცა ისინი ოდნავ განსხვავებულად ჟღერს:

1. იპოვე-დი-ტე ქუთუთოს სიგრძის კვადრატი-მდე-რა.

2. ნაი-დი-ტე ქუთუთოს სიგრძის კვადრატი-რა

ვფიქრობ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ? ჩვენ ვამოწმებთ:

1. და ეს ყურადღებისთვის) ჩვენ უკვე ვიპოვეთ ვექტორების კოორდინატები: . მაშინ ვექტორს აქვს კოორდინატები. მისი სიგრძის კვადრატი იქნება:

2. იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები

მაშინ მისი სიგრძის კვადრატი არის

არაფერი რთული, არა? მარტივი არითმეტიკა, მეტი არაფერი.

შემდეგი თავსატეხები არ შეიძლება ცალსახად კლასიფიცირებული იყოს, ისინი უფრო ზოგადი ერუდიციისთვის და მარტივი სურათების დახატვისთვისაა განკუთვნილი.

1. იპოვეთ-დი-ის კუთხის სინუსები-დაახლოება-გაჭრილი-დან, შეაერთეთ-ერთი-n-მე-ე წერტილი, აბსცისის ღერძით.

და

როგორ ვაპირებთ ამის გაკეთებას აქ? თქვენ უნდა იპოვოთ ღერძი და კუთხის სინუსი. და სად ვეძიოთ სინუსი? მართალია, მართკუთხა სამკუთხედში. მაშ რა უნდა გავაკეთოთ? ააშენე ეს სამკუთხედი!

ვინაიდან წერტილის კოორდინატები და, მაშინ სეგმენტი ტოლია და სეგმენტი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კუთხის სინუსი. შეგახსენებთ, რომ სინუსი არის საპირისპირო ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მაშინ

რა დაგვრჩენია გავაკეთოთ? იპოვეთ ჰიპოტენუზა. ამის გაკეთება შეგიძლიათ ორი გზით: პითაგორას თეორემით (ფეხები ცნობილია!) ან ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულით (ფაქტობრივად იგივეა, რაც პირველი მეთოდი!). მე მეორე გზით წავალ:

პასუხი:

შემდეგი ამოცანა კიდევ უფრო ადვილი მოგეჩვენებათ. მან - წერტილის კოორდინატებზე.

დავალება 2.წერტილიდან პერ-პენ-დი-კუ-ლარი დაშვებულია აბს-ცისის ღერძზე. ნაი-დი-ტე აბს-სის-სუ ოს-ნო-ვა-ნია პერ-პენ-დი-კუ-ლა-რა.

მოდით დავხატოთ ნახატი:

პერპენდიკულარის ფუძე არის წერტილი, სადაც ის კვეთს x ღერძს (ღერძს) ჩემთვის ეს არის წერტილი. ნახაზი აჩვენებს, რომ მას აქვს კოორდინატები: . ჩვენ გვაინტერესებს აბსციზა – ანუ „X“ კომპონენტი. ის თანაბარია.

პასუხი: .

დავალება 3.წინა ამოცანის პირობებში იპოვეთ მანძილების ჯამი წერტილიდან კოორდინატთა ღერძებამდე.

ამოცანა ზოგადად ელემენტარულია, თუ იცით რა მანძილია წერტილიდან ღერძებამდე. Შენ იცი? იმედი მაქვს, მაგრამ მაინც შეგახსენებთ:

ასე რომ, ჩემს ნახატში, რომელიც მდებარეობს ოდნავ მაღლა, მე უკვე გამოვხატე ერთი ასეთი პერპენდიკულარული? რა ღერძია? ღერძამდე. და რა არის მისი სიგრძე მაშინ? ის თანაბარია. ახლა თავად დახაზეთ ღერძის პერპენდიკულარი და იპოვეთ მისი სიგრძე. თანაბარი იქნება, არა? მაშინ მათი ჯამი ტოლია.

პასუხი: .

დავალება 4.მე-2 ამოცანის პირობებში იპოვეთ წერტილის ორდინატი, რომელიც სიმეტრიულია x ღერძის გარშემო არსებული წერტილის მიმართ.

ვფიქრობ, თქვენ ინტუიციურად გესმით რა არის სიმეტრია? ძალიან ბევრ ობიექტს აქვს: ბევრი შენობა, მაგიდა, თვითმფრინავი, ბევრი გეომეტრიული ფიგურები: ბურთი, ცილინდრი, კვადრატი, რომბი და ა.შ. უხეშად რომ ვთქვათ, სიმეტრია ასე შეიძლება გავიგოთ: ფიგურა შედგება ორი (ან მეტი) იდენტური ნახევრისგან. ამ სიმეტრიას ღერძული ეწოდება. მაშინ რა არის ღერძი? ეს არის ზუსტად ის ხაზი, რომლის გასწვრივ ფიგურა შეიძლება, შედარებით რომ ვთქვათ, "გაიჭრას" იდენტურ ნახევრად (ამ სურათზე სიმეტრიის ღერძი სწორია):

ახლა დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას. ჩვენ ვიცით, რომ ვეძებთ წერტილს, რომელიც სიმეტრიულია ღერძის მიმართ. მაშინ ეს ღერძი არის სიმეტრიის ღერძი. ასე რომ, ჩვენ უნდა მოვნიშნოთ წერტილი ისე, რომ ღერძი გაჭრას სეგმენტი ორ თანაბარ ნაწილად. შეეცადეთ თავად მონიშნოთ ასეთი წერტილი. ახლა შეადარე ჩემს გადაწყვეტას:

შენც იგივე გააკეთე? კარგი! აღმოჩენილ წერტილში ჩვენ გვაინტერესებს ორდინატი. ის თანაბარია

პასუხი:

ახლა მითხარი, წამით ფიქრის შემდეგ როგორი იქნება A წერტილის სიმეტრიული წერტილის აბსციზა y ღერძის მიმართ? Რა არის შენი პასუხი? Სწორი პასუხი: .

ზოგადად, წესი შეიძლება დაიწეროს ასე:

სიმეტრიულ წერტილს x ღერძის გარშემო აქვს კოორდინატები:

y-ღერძის გარშემო წერტილის სიმეტრიულ წერტილს აქვს კოორდინატები:

ისე, ახლა მართლა საშინელებაა. დავალება: იპოვეთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც სიმეტრიულია წერტილის მიმართ, საწყისის მიმართ. ჯერ შენ თვითონ იფიქრე და მერე ჩემს ნახატს შეხედე!

პასუხი:

ახლა პარალელოგრამის პრობლემა:

დავალება 5: ქულები არის ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. იპოვნეთ-დე-ტე ან-დე-ონ-ტუ წერტილები.

ამ პრობლემის გადაჭრა შეგიძლიათ ორი გზით: ლოგიკით და კოორდინატთა მეთოდით. ჯერ გამოვიყენებ კოორდინატთა მეთოდს, შემდეგ კი გეტყვით, როგორ შეგიძლიათ სხვაგვარად გადაწყვიტოთ.

სავსებით ნათელია, რომ წერტილის აბსციზა ტოლია. (ის დევს წერტილიდან x-ღერძამდე დახატულ პერპენდიკულარზე). ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორდინატი. ვისარგებლოთ იმით, რომ ჩვენი ფიგურა პარალელოგრამია, რაც იმას ნიშნავს. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით:

ღერძთან წერტილის დამაკავშირებელ პერპენდიკულარს ვამცირებთ. გადაკვეთის წერტილი აღინიშნება ასოთი.

სეგმენტის სიგრძე ტოლია. (თვითონ იპოვნეთ პრობლემა, სადაც განვიხილეთ ეს მომენტი), შემდეგ ჩვენ ვიპოვით სეგმენტის სიგრძეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

სეგმენტის სიგრძე ზუსტად იგივეა, რაც მისი ორდინატი.

პასუხი: .

კიდევ ერთი გამოსავალი (მე უბრალოდ შემოგთავაზებთ სურათს, რომელიც ასახავს მას)

გადაწყვეტის პროგრესი:

1. გაატარეთ

2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები და სიგრძე

3. დაამტკიცე რომ.

Სხვა ჭრის სიგრძის პრობლემა:

წერტილები არის-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. იპოვეთ მისი შუა ხაზის სიგრძე, par-ral-lel-noy.

გახსოვთ რა არის სამკუთხედის შუა ხაზი? მაშინ თქვენთვის ეს ამოცანა ელემენტარულია. თუ არ გახსოვთ, მაშინ შეგახსენებთ: სამკუთხედის შუა ხაზი არის ხაზი, რომელიც აკავშირებს საპირისპირო გვერდების შუა წერტილებს. ის ფუძის პარალელურია და მისი ნახევრის ტოლია.

ბაზა არის სეგმენტი. მისი სიგრძე ადრე უნდა გვეძია, თანაბარია. მაშინ შუა ხაზის სიგრძე ნახევრად გრძელი და ტოლია.

პასუხი: .

კომენტარი: ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია სხვა გზით, რასაც ცოტა მოგვიანებით შევეხებით.

ამასობაში, აქ არის რამდენიმე დავალება თქვენთვის, ივარჯიშეთ მათზე, ისინი საკმაოდ მარტივია, მაგრამ ისინი ხელს უწყობენ „ხელის ავსებას“ კოორდინატთა მეთოდით!

1. წერტილები გამოჩნდება-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. იპოვეთ მისი შუა ხაზის სიგრძე.

2. წერტილები და იავ-ლა-იუტ-ქსია ვერ-ში-ნა-მი პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მა. იპოვნეთ-დე-ტე ან-დე-ონ-ტუ წერტილები.

3. იპოვეთ სიგრძე ჭრილიდან, დააკავშირეთ მეორე წერტილი და

4. იპოვე-დი-ტე ფართობი-წითელი-შენ-ნოი ფი-გუ-რი კო-ორ-დი-ნატ-ნოის სიბრტყეზე.

5. ნა-ჩა-ლე კო-ორ-დი-ნატზე ორიენტირებული წრე გადის წერტილს. იპოვე-დე-ტე მისი რა-დი-ულვაში.

6. ნაი-დი-ტე რა-დი-უს წრე-ნო-სტი, აღწერე-სან-ნოი მართკუთხა-ნო-კა-სთან ახლოს, რაღაც-რო-გოს ზედა-ში-ნი აქვს კო-ორ - di-na-you co-from-reply-მაგრამ

გადაწყვეტილებები:

1. ცნობილია, რომ ტრაპეციის შუა ხაზი უდრის მისი ფუძეების ჯამის ნახევარს. ბაზა თანაბარია, მაგრამ ბაზა. მერე

პასუხი:

2. ამ პრობლემის გადაჭრის უმარტივესი გზაა ამის შემჩნევა (პარალელოგრამის წესი). ვექტორების კოორდინატების გამოთვლა და არ არის რთული: . ვექტორების დამატებისას ემატება კოორდინატები. შემდეგ აქვს კოორდინატები. წერტილს აქვს იგივე კოორდინატები, რადგან ვექტორის დასაწყისი არის წერტილი კოორდინატებით. ჩვენ გვაინტერესებს ორდინატი. ის თანაბარია.

პასუხი:

3. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიმოქმედებთ ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

4. დააკვირდით სურათს და თქვით, რომელ ორ ფიგურას შორის არის დაჩრდილული უბანი? ის მოქცეულია ორ კვადრატს შორის. მაშინ სასურველი ფიგურის ფართობი უდრის დიდი კვადრატის ფართობს გამოკლებული პატარას ფართობი. პატარა კვადრატის მხარე არის წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი და მისი სიგრძე არის

მაშინ პატარა კვადრატის ფართობია

იგივე ვაკეთებთ დიდ კვადრატს: მისი გვერდი არის წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი და მისი სიგრძე ტოლია

მაშინ დიდი კვადრატის ფართობია

სასურველი ფიგურის ფართობი იპოვება ფორმულით:

პასუხი:

5. თუ წრეს აქვს საწყისი ცენტრი და გადის წერტილს, მაშინ მისი რადიუსი ზუსტად ტოლი იქნება მონაკვეთის სიგრძისა (გააკეთეთ ნახაზი და მიხვდებით, რატომ არის ეს აშკარა). იპოვეთ ამ სეგმენტის სიგრძე:

პასუხი:

6. ცნობილია, რომ ოთხკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი უდრის მისი დიაგონალის ნახევარს. მოდით ვიპოვოთ ორი დიაგონალიდან რომელიმეს სიგრძე (ბოლოს და ბოლოს, მართკუთხედში ისინი ტოლია!)

პასუხი:

აბა, ყველაფერი მოახერხე? არც ისე რთული იყო ამის გარკვევა, არა? აქ მხოლოდ ერთი წესია - შეძლოთ ვიზუალური სურათის გაკეთება და უბრალოდ მისგან ყველა მონაცემის „წაკითხვა“.

ძალიან ცოტა დაგვრჩა. ფაქტიურად არის კიდევ ორი ​​წერტილი, რომლებზეც მსურს განვიხილო.

შევეცადოთ გადავჭრათ ეს მარტივი პრობლემა. მოდით ორი ქულა და მიეცით. იპოვეთ სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები. ამ პრობლემის გადაწყვეტა შემდეგია: წერტილი იყოს სასურველი შუა, შემდეგ მას აქვს კოორდინატები:

ანუ: სეგმენტის შუა კოორდინატები = სეგმენტის ბოლოების შესაბამისი კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული.

ეს წესი ძალიან მარტივია და, როგორც წესი, არ უქმნის სირთულეებს სტუდენტებს. ვნახოთ რა პრობლემებში და როგორ გამოიყენება:

1. იპოვე-დი-ტე ან-დი-ნა-ტუ სე-რე-დი-ჩვენს ამოჭრა, შეაერთე-ნია-იუ-ე-ე წერტილი და

2. წერტილებია იავ-ლა-იუტ-ქსია ვერ-ში-ნა-მი-ჩე-იუ-რეჰ-ქვანახშირ-ნო-კა. იპოვნეთ-დი-ტე ან-დი-ნა-ტუ წერტილები მისი დია-გო-ონ-ლეის რე-რე-სე-ჩე-ნია.

3. წრის ცენტრის იპოვეთ-დი-ტე აბს-ცის-სუ, აღწერეთ-სან-ნოი მართკუთხედთან-ნო-კა, ზედა-ში-გვაქვს რაღაც-რო-გო კო-ორ-დი- na-you co-from-vet-stvenno-but.

გადაწყვეტილებები:

1. პირველი დავალება უბრალოდ კლასიკაა. ჩვენ ვიმოქმედებთ დაუყოვნებლივ სეგმენტის შუა წერტილის დადგენით. მას აქვს კოორდინატები. ორდინატი ტოლია.

პასუხი:

2. ადვილი მისახვედრია, რომ მოცემული ოთხკუთხედი პარალელოგრამია (თუნდაც რომბი!). ამის დამტკიცება თავად შეგიძლიათ გვერდების სიგრძის გამოთვლით და ერთმანეთთან შედარებით. რა ვიცი პარალელოგრამის შესახებ? მისი დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით! აჰა! რა არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი? ეს არის ნებისმიერი დიაგონალის შუა! მე ვირჩევ, კერძოდ, დიაგონალს. მაშინ წერტილს აქვს კოორდინატები.წერტილის ორდინატი უდრის.

პასუხი:

3. რა არის მართკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი? იგი ემთხვევა მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს. რა იცით მართკუთხედის დიაგონალების შესახებ? ისინი ტოლია და გადაკვეთის წერტილი გაყოფილია შუაზე. დავალება შემცირდა წინაზე. აიღეთ, მაგალითად, დიაგონალი. მაშინ თუ არის შემოხაზული წრის ცენტრი, მაშინ არის შუა. ვეძებ კოორდინატებს: აბსციზა ტოლია.

პასუხი:

ახლა ცოტა ივარჯიშე საკუთარ თავზე, მე მხოლოდ თითოეულ პრობლემაზე გავცემ პასუხს, რათა თავად შეამოწმო.

1. ნაი-დი-ტე რა-დი-უს წრე-ნო-სტი, აღწერე-სან-ნოი სამკუთხედის მახლობლად-ნო-კა, ზევით ვინმე-რო-გო აქვს კო-ორ-დი -არა მისტერები.

2. იპოვე-დი-ტე ან-დი-ნა-ტუ წრის ცენტრი, აღწერე სან-ნოი სამკუთხედთან-ნო-კა, მწვერვალები-ში-გვაქვს რაღაც-რო-გო კოორდინატები.

3. როგორი რა-დი-ი-სა უნდა იყოს წრე, რომლის ცენტრია წერტილში ისე, რომ ის ეხებოდეს აბს-ცისის ღერძს?

4. იპოვნეთ-დი-ტე ან-დი-ზე-ის ღერძის ხელახალი სე-ჩე-ინგის წერტილი და ამოჭრა, შეაერთეთ-ნია-იუ-ე-ე წერტილი და

პასუხები:

ყველაფერი გამოვიდა? მე ნამდვილად ამის იმედი მაქვს! ახლა - ბოლო ბიძგი. ახლა განსაკუთრებით ფრთხილად იყავით. მასალა, რომლის ახსნასაც ახლა ვაპირებ, ეხება არა მხოლოდ B ნაწილის მარტივი კოორდინატთა მეთოდის ამოცანებს, არამედ ყველგან არის C2 ამოცანაში.

ჩემი რომელი დაპირება ჯერ არ შემისრულებია? გახსოვთ, ვექტორებზე რომელ ოპერაციებს დავპირდი შემოღებას და რომელი შევიტანე საბოლოოდ? დარწმუნებული ვარ, რომ არაფერი დამავიწყდა? Დაავიწყდა! დამავიწყდა აეხსნა რას ნიშნავს ვექტორების გამრავლება.

ვექტორის ვექტორზე გამრავლების ორი გზა არსებობს. არჩეული მეთოდიდან გამომდინარე, მივიღებთ განსხვავებული ხასიათის ობიექტებს:

ვექტორული პროდუქტი საკმაოდ რთულია. როგორ გავაკეთოთ ეს და რატომ არის საჭირო, თქვენთან ერთად განვიხილავთ შემდეგ სტატიაში. და ამაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სკალარულ პროდუქტზე.

უკვე არსებობს ორი გზა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ იგი:

როგორც მიხვდით, შედეგი იგივე უნდა იყოს! ასე რომ, ჯერ პირველ გზას გადავხედოთ:

წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატების მეშვეობით

იპოვეთ: - საერთო აღნიშვნა წერტილოვანი პროდუქტისთვის

გაანგარიშების ფორმულა შემდეგია:

ანუ წერტილოვანი ნამრავლი = ვექტორების კოორდინატების ნამრავლების ჯამი!

მაგალითი:

იპოვე-დე-ტე

გამოსავალი:

იპოვეთ თითოეული ვექტორის კოორდინატები:

ჩვენ ვიანგარიშებთ სკალარულ პროდუქტს ფორმულით:

პასუხი:

ხედავთ, აბსოლუტურად არაფერია რთული!

აბა, ახლა თავად სცადე:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie საუკუნემდე-თხრილამდე და

მოახერხე? იქნებ მან შენიშნა პატარა ხრიკი? მოდით შევამოწმოთ:

ვექტორული კოორდინატები, როგორც წინა ამოცანაში! პასუხი:.

კოორდინატის გარდა, არსებობს სკალარული ნამრავლის გამოთვლის კიდევ ერთი გზა, კერძოდ, ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის მეშვეობით:

აღნიშნავს კუთხეს ვექტორებს შორის და.

ანუ სკალარული ნამრავლი უდრის ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლს.

რატომ გვჭირდება ეს მეორე ფორმულა, თუ გვაქვს პირველი, რომელიც გაცილებით მარტივია, ყოველ შემთხვევაში მასში კოსინუსები არ არის. და ჩვენ გვჭირდება ისე, რომ პირველი და მეორე ფორმულებიდან გამოვიტანოთ როგორ ვიპოვოთ კუთხე ვექტორებს შორის!

მოდით დაიმახსოვროთ ვექტორის სიგრძის ფორმულა!

თუ ამ მონაცემებს შევაერთებ წერტილოვანი პროდუქტის ფორმულაში, მივიღებ:

მაგრამ მეორე მხარეს:

მაშ რა გვაქვს? ჩვენ ახლა გვაქვს ფორმულა ორ ვექტორს შორის კუთხის გამოსათვლელად! ხანდახან, მოკლედ, ასეც წერია:

ანუ ვექტორებს შორის კუთხის გამოთვლის ალგორითმი შემდეგია:

1. ჩვენ ვიანგარიშებთ სკალარული ნამრავლს კოორდინატების მეშვეობით
2. იპოვეთ ვექტორების სიგრძეები და გაამრავლეთ ისინი
3. 1 პუნქტის შედეგი გავყოთ მე-2 პუნქტის შედეგზე

ვივარჯიშოთ მაგალითებით:

1. იპოვეთ კუთხე ქუთუთოებს შორის-რა-მი და. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

2. წინა ამოცანის პირობებში იპოვეთ კოსინუსი ვექტორებს შორის

მოდით ასე მოვიქცეთ: მე დაგეხმარებით პირველი პრობლემის გადაჭრაში, მეორე კი თავად სცადეთ! Ვეთანხმები? მაშინ დავიწყოთ!

1. ეს ვექტორები ჩვენი ძველი მეგობრები არიან. ჩვენ უკვე განვიხილეთ მათი სკალარული ნამრავლი და ის თანაბარი იყო. მათი კოორდინატებია: , . შემდეგ ვიპოვით მათ სიგრძეებს:

შემდეგ ვეძებთ კოსინუსს ვექტორებს შორის:

რა არის კუთხის კოსინუსი? ეს არის კუთხე.

პასუხი:

აბა, ახლა თვითონ მოაგვარე მეორე პრობლემა და მერე შეადარე! მე მხოლოდ ძალიან მოკლე გამოსავალს მოგცემთ:

2. აქვს კოორდინატები, აქვს კოორდინატები.

მოდით იყოს კუთხე ვექტორებს შორის და, შემდეგ

პასუხი:

აღსანიშნავია, რომ საგამოცდო ნაშრომის B ნაწილში უშუალოდ ვექტორებზე ამოცანები და კოორდინატების მეთოდი საკმაოდ იშვიათია. თუმცა, C2 ამოცანების დიდი უმრავლესობა ადვილად გადაიჭრება კოორდინატთა სისტემის შემოღებით. ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ ეს სტატია განიხილოთ როგორც საძირკველი, რომლის საფუძველზეც გავაკეთებთ საკმაოდ რთულ კონსტრუქციებს, რომლებიც დაგვჭირდება რთული პრობლემების გადასაჭრელად.

კოორდინატები და ვექტორები. ᲨᲣᲐᲚᲔᲓᲣᲠᲘ ᲓᲝᲜᲔ

მე და შენ ვაგრძელებთ კოორდინატების მეთოდის შესწავლას. ბოლო ნაწილში ჩვენ მივიღეთ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ფორმულა, რომელიც საშუალებას იძლევა:

1. იპოვნეთ ვექტორული კოორდინატები
2. იპოვეთ ვექტორის სიგრძე (ალტერნატიულად: მანძილი ორ წერტილს შორის)
3. ვექტორების დამატება, გამოკლება. გაამრავლეთ ისინი რეალურ რიცხვზე
4. იპოვეთ სეგმენტის შუა წერტილი
5. გამოთვალეთ ვექტორების წერტილის ნამრავლი
6. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის

რა თქმა უნდა, მთელი კოორდინატთა მეთოდი არ ჯდება ამ 6 პუნქტში. ის უდევს საფუძვლად ისეთ მეცნიერებას, როგორიც არის ანალიტიკური გეომეტრია, რომელსაც უნივერსიტეტში გაეცნობით. მე უბრალოდ მინდა ავაშენო საძირკველი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ გადაჭრათ პრობლემები ერთ სახელმწიფოში. გამოცდა. ჩვენ გავარკვიეთ B ნაწილის ამოცანები ახლა დროა გადავიდეთ ხარისხობრივად ახალ დონეზე! ეს სტატია დაეთმობა C2 ამოცანების გადაჭრის მეთოდს, რომლებშიც გონივრული იქნება კოორდინატულ მეთოდზე გადასვლა. ეს გონივრულობა განისაზღვრება იმით, თუ რა უნდა მოიძებნოს პრობლემაში და რა ფიგურაა მოცემული. ასე რომ, მე გამოვიყენებდი კოორდინატთა მეთოდს, თუ კითხვებია:

1. იპოვეთ კუთხე ორ სიბრტყეს შორის
2. იპოვეთ კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის
3. იპოვეთ კუთხე ორ წრფეს შორის
4. იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე
5. იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე
6. იპოვეთ მანძილი სწორი ხაზიდან სიბრტყემდე
7. იპოვნეთ მანძილი ორ ხაზს შორის

თუ პრობლემის მდგომარეობაში მოცემული ფიგურა არის რევოლუციის სხეული (ბურთი, ცილინდრი, კონუსი ...)

კოორდინატთა მეთოდისთვის შესაფერისი ფიგურებია:

1. კუბოიდური
2. პირამიდა (სამკუთხა, ოთხკუთხა, ექვსკუთხა)

ასევე ჩემი გამოცდილებით ამისთვის კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება შეუსაბამოა:

1. მონაკვეთების არეების მოძიება
2. სხეულების მოცულობის გამოთვლები

თუმცა, დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ კოორდინატთა მეთოდისთვის სამი „არახელსაყრელი“ სიტუაცია პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია. უმეტეს ამოცანებში ის შეიძლება გახდეს თქვენი მხსნელი, განსაკუთრებით თუ არ ხართ ძალიან ძლიერი სამგანზომილებიანი კონსტრუქციებით (რომლებიც ზოგჯერ საკმაოდ რთულია).

რა არის ყველა ის ფიგურა, რომელიც მე ზემოთ ჩამოვთვალე? ისინი აღარ არიან ბრტყელი, როგორიცაა კვადრატი, სამკუთხედი, წრე, მაგრამ მოცულობითი! შესაბამისად, უნდა განვიხილოთ არა ორგანზომილებიანი, არამედ სამგანზომილებიანი კოორდინატთა სისტემა. იგი აგებულია საკმაოდ მარტივად: უბრალოდ, აბსცისა და ორდინატების გარდა, შემოგთავაზებთ კიდევ ერთ ღერძს, აპლიკაციურ ღერძს. ნახაზი სქემატურად გვიჩვენებს მათ შედარებით პოზიციას:

ყველა მათგანი ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, იკვეთება ერთ წერტილში, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ საწყისს. აბსცისის ღერძი, როგორც ადრე, აღინიშნა, ორდინატთა ღერძი - , ხოლო შემოღებული აპლიკაციური ღერძი - .

თუ ადრე სიბრტყის თითოეულ წერტილს ახასიათებდა ორი რიცხვი - აბსცისა და ორდინატი, მაშინ სივრცეში თითოეული წერტილი უკვე აღწერილია სამი რიცხვით - აბსციზა, ორდინატი, აპლიკატი. Მაგალითად:

შესაბამისად, წერტილის აბსციზა ტოლია, ორდინატი არის , ხოლო აპლიციტი არის .

ზოგჯერ წერტილის აბსცისს ასევე უწოდებენ წერტილის პროექციას აბსცისის ღერძზე, ორდინატი არის წერტილის პროექცია y-ღერძზე, ხოლო აპლიკატი არის წერტილის პროექცია აპლიკაციურ ღერძზე. შესაბამისად, თუ წერტილი მოცემულია მაშინ, წერტილი კოორდინატებით:

ეწოდება წერტილის პროექცია სიბრტყეზე

ეწოდება წერტილის პროექცია სიბრტყეზე

ჩნდება ბუნებრივი კითხვა: მოქმედებს თუ არა სივრცეში ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის მიღებული ყველა ფორმულა? პასუხი არის დიახ, ისინი უბრალოდ არიან და აქვთ იგივე გარეგნობა. პატარა დეტალისთვის. მგონი უკვე მიხვდით რომელი. ყველა ფორმულაში ჩვენ უნდა დავამატოთ კიდევ ერთი ტერმინი, რომელიც პასუხისმგებელია აპლიკაციის ღერძზე. სახელდობრ.

1. თუ მოცემულია ორი ქულა: , მაშინ:

• ვექტორული კოორდინატები:
• მანძილი ორ წერტილს შორის (ან ვექტორის სიგრძე)
• სეგმენტის შუას აქვს კოორდინატები

2. თუ მოცემულია ორი ვექტორი: და, მაშინ:

• მათი წერტილოვანი პროდუქტია:
• ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი არის:

თუმცა სივრცე არც ისე მარტივია. როგორც გესმით, კიდევ ერთი კოორდინატის დამატება აჩენს მნიშვნელოვან მრავალფეროვნებას ამ სივრცეში „მოსახლე“ ფიგურების სპექტრში. შემდგომი თხრობისთვის კი, უნდა შემოვიტანო სწორი ხაზის, უხეშად რომ ვთქვათ, „განზოგადება“. ეს "განზოგადება" იქნება თვითმფრინავი. რა იცით თვითმფრინავის შესახებ? შეეცადეთ უპასუხოთ კითხვას, რა არის თვითმფრინავი? ძალიან ძნელი სათქმელია. თუმცა, ჩვენ ყველა ინტუიციურად წარმოვიდგენთ როგორ გამოიყურება:

უხეშად რომ ვთქვათ, ეს არის ერთგვარი გაუთავებელი "ფოთოლი" კოსმოსში. „უსასრულობა“ უნდა გვესმოდეს, რომ თვითმფრინავი ყველა მიმართულებით ვრცელდება, ანუ მისი ფართობი უსასრულობის ტოლია. თუმცა, ეს ახსნა „თითებზე“ არ იძლევა ოდნავი წარმოდგენას თვითმფრინავის აგებულების შესახებ. და ჩვენ დავინტერესდებით.

გავიხსენოთ გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი აქსიომა:

• სწორი ხაზი გადის სიბრტყის ორ სხვადასხვა წერტილში, უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი:

ან მისი ანალოგი სივრცეში:

რა თქმა უნდა, გახსოვთ, თუ როგორ უნდა გამოიტანოთ სწორი ხაზის განტოლება ორი მოცემული წერტილიდან, ეს სულაც არ არის რთული: თუ პირველ წერტილს აქვს კოორდინატები: და მეორეს, მაშინ სწორი ხაზის განტოლება იქნება შემდეგი:

თქვენ ეს გაიარეთ მე-7 კლასში. სივრცეში სწორი ხაზის განტოლება ასე გამოიყურება: მოდით, გვქონდეს ორი წერტილი კოორდინატებით: , მაშინ მათში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა:

მაგალითად, ხაზი გადის წერტილებს:

როგორ უნდა გავიგოთ ეს? ეს უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: წერტილი დევს წრფეზე, თუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს შემდეგ სისტემას:

ჩვენ დიდად არ დავინტერესდებით სწორი ხაზის განტოლებით, მაგრამ ყურადღება უნდა მივაქციოთ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის ძალიან მნიშვნელოვან კონცეფციას. - ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, რომელიც დევს მოცემულ წრფეზე ან მის პარალელურად.

მაგალითად, ორივე ვექტორი არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორები. იყოს წერტილი, რომელიც მდებარეობს სწორ ხაზზე და იყოს მისი მიმართული ვექტორი. მაშინ სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით:

კიდევ ერთხელ, მე დიდად არ დამაინტერესებს სწორი ხაზის განტოლება, მაგრამ მე ნამდვილად მჭირდება, რომ გახსოვდეთ, რა არის მიმართულების ვექტორი! ისევ: ეს არის ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, რომელიც დევს წრფეზე ან მის პარალელურად.

გაყვანა სიბრტყის სამპუნქტიანი განტოლებააღარ არის ისეთი ტრივიალური და, როგორც წესი, ეს საკითხი არ განიხილება კურსში უმაღლესი სკოლა. მაგრამ ამაოდ! ეს ტექნიკა სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია, როდესაც ჩვენ მივმართავთ კოორდინატულ მეთოდს რთული პრობლემების გადასაჭრელად. თუმცა, ვვარაუდობ, რომ თქვენ სავსე ხართ რაიმე ახლის სწავლის სურვილით? უფრო მეტიც, თქვენ შეძლებთ შთაბეჭდილება მოახდინოთ თქვენს მასწავლებელზე უნივერსიტეტში, როდესაც აღმოჩნდება, რომ თქვენ უკვე იცით როგორ გამოიყენოთ ტექნიკა, რომელიც ჩვეულებრივ სწავლობს ანალიტიკური გეომეტრიის კურსს. მოდით დავიწყოთ.

სიბრტყის განტოლება არც თუ ისე განსხვავდება სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებისგან, კერძოდ, მას აქვს ფორმა:

ზოგიერთი რიცხვი (ყველა არ არის ნულის ტოლი), მაგრამ ცვლადები, მაგალითად: და ა.შ. როგორც ხედავთ, სიბრტყის განტოლება დიდად არ განსხვავდება სწორი ხაზის განტოლებისგან (წრფივი ფუნქცია). თუმცა გახსოვს რა ვიკამათეთ? ჩვენ ვთქვით, რომ თუ გვაქვს სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე, მაშინ სიბრტყის განტოლება ცალსახად აღდგება მათგან. Მაგრამ როგორ? ვეცდები აგიხსნათ.

ვინაიდან სიბრტყის განტოლება არის:

და წერტილები ეკუთვნის ამ სიბრტყეს, მაშინ როდესაც თითოეული წერტილის კოორდინატები შევცვლით სიბრტყის განტოლებაში, უნდა მივიღოთ სწორი იდენტურობა:

ამრიგად, საჭიროა სამი განტოლების ამოხსნა უკვე უცნობით! დილემა! თუმცა, ყოველთვის შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ (ამისთვის უნდა გავყოთ). ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სამ განტოლებას სამი უცნობით:

ამასთან, ჩვენ არ მოვაგვარებთ ასეთ სისტემას, მაგრამ ჩამოვწერთ იდუმალ გამონათქვამს, რომელიც გამომდინარეობს მისგან:

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს

\[\მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(მასივი)) \right| = 0\]

გაჩერდი! ეს კიდევ რა არის? ძალიან უჩვეულო მოდული! თუმცა, ობიექტს, რომელსაც ხედავთ თქვენს წინაშე, არანაირი კავშირი არ აქვს მოდულთან. ამ ობიექტს მესამე რიგის განმსაზღვრელი ეწოდება. ამიერიდან, როცა სიბრტყეში კოორდინატების მეთოდს ეხებით, ხშირად წააწყდებით სწორედ ამ განმსაზღვრელ ფაქტორებს. რა არის მესამე რიგის განმსაზღვრელი? უცნაურად საკმარისია, ეს მხოლოდ რიცხვია. რჩება იმის გაგება, თუ რა კონკრეტულ რიცხვს შევადარებთ განმსაზღვრელს.

მოდით, ჯერ დავწეროთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი უფრო ზოგადი ფორმით:

სად არის რამდენიმე ნომერი. უფრო მეტიც, პირველ ინდექსში ვგულისხმობთ მწკრივის ნომერს, ხოლო ინდექსის მიხედვით - სვეტის ნომერს. მაგალითად, ეს ნიშნავს, რომ მოცემული რიცხვი არის მეორე რიგისა და მესამე სვეტის კვეთაზე. დავსვათ შემდეგი კითხვა: ზუსტად როგორ გამოვთვალოთ ასეთი დეტერმინანტი? ანუ კონკრეტულად რომელ რიცხვს შევადარებთ? ზუსტად მესამე რიგის განმსაზღვრელისთვის არსებობს ევრისტიკული (ვიზუალური) სამკუთხედის წესი, ის ასე გამოიყურება:

1. მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი (ზემოდან მარცხნიდან ქვედა მარჯვნივ) ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან პირველ სამკუთხედს "პერპენდიკულარულად" მთავარ დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან მეორე სამკუთხედს "პერპენდიკულარულად" მთავარ დიაგონალზე. დიაგონალი
2. მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი (ზემოდან მარჯვნიდან ქვედა მარცხნივ) ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან პირველ სამკუთხედს "პერპენდიკულარულ" მეორად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან მეორე სამკუთხედს "პერპენდიკულარულ" მეორადი დიაგონალი
3. მაშინ განმსაზღვრელი უდრის განსხვავებას საფეხურზე მიღებულ მნიშვნელობებს შორის და

თუ ამ ყველაფერს რიცხვებით დავწერთ, მაშინ მივიღებთ შემდეგ გამონათქვამს:

ამასთან, თქვენ არ გჭირდებათ ამ ფორმით გაანგარიშების მეთოდის დამახსოვრება, საკმარისია უბრალოდ შეინახოთ სამკუთხედები თქვენს თავში და თავად წარმოდგენა იმაზე, თუ რა ემატება რას და რას აკლდება მერე).

მოდი სამკუთხედის მეთოდი მაგალითით ავხსნათ:

1. გამოთვალეთ დეტერმინანტი:

მოდით გავარკვიოთ რას ვამატებთ და რას ვაკლებთ:

ტერმინები, რომლებიც მოყვება "პლუს":

ეს არის მთავარი დიაგონალი: ელემენტების პროდუქტი არის

პირველი სამკუთხედი, "მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლი არის

მეორე სამკუთხედი, "მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლი არის

ჩვენ ვამატებთ სამ რიცხვს:

ტერმინები, რომლებიც მოყვება "მინუსს"

ეს არის გვერდითი დიაგონალი: ელემენტების პროდუქტი არის

პირველი სამკუთხედი, „მეორადი დიაგონალის პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლია

მეორე სამკუთხედი, „მეორადი დიაგონალის პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლია

ჩვენ ვამატებთ სამ რიცხვს:

რაც რჩება გასაკეთებელი არის პლიუს წევრთა ჯამს გამოვაკლოთ მინუს წევრთა ჯამი:

Ამგვარად,

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული და ზებუნებრივი მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლაში. უბრალოდ მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ სამკუთხედები და არ დაუშვათ არითმეტიკული შეცდომები. ახლა შეეცადეთ გამოთვალოთ საკუთარი თავი:

ჩვენ ვამოწმებთ:

1. მთავარი დიაგონალის პერპენდიკულარული პირველი სამკუთხედი:
2. მეორე სამკუთხედი პერპენდიკულარული მთავარ დიაგონალზე:
3. პლუს პირობების ჯამი:
4. პირველი სამკუთხედი პერპენდიკულარული გვერდის დიაგონალზე:
5. მეორე სამკუთხედი, გვერდის დიაგონალზე პერპენდიკულარული:
6. ტერმინების ჯამი მინუსებით:
7. პლუს წევრთა ჯამი მინუს წევრთა ჯამი:

აქ არის კიდევ რამდენიმე განმსაზღვრელი თქვენთვის, გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები და შეადარეთ პასუხებს:

პასუხები:

ისე, ყველაფერი დაემთხვა? კარგია, მაშინ შეგიძლია გააგრძელო! თუ არსებობს სირთულეები, მაშინ ჩემი რჩევა ასეთია: ინტერნეტში არის უამრავი პროგრამა განმსაზღვრელი ინტერნეტით გამოსათვლელად. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის საკუთარი განმსაზღვრელი გამოთვალოთ, თავად გამოთვალოთ და შემდეგ შეადაროთ ის, რასაც პროგრამა ითვლის. და ასე შემდეგ, სანამ შედეგები არ დაემთხვევა. დარწმუნებული ვარ, ეს მომენტი დიდხანს არ მოვა!

ახლა დავუბრუნდეთ განმსაზღვრელს, რომელიც დავწერე, როდესაც ვსაუბრობდი თვითმფრინავის განტოლებაზე, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილში:

საკმარისია პირდაპირ გამოთვალოთ მისი მნიშვნელობა (სამკუთხედის მეთოდის გამოყენებით) და დააყენოთ შედეგი ნულის ტოლი. ბუნებრივია, რადგან ისინი ცვლადებია, თქვენ მიიღებთ მათზე დამოკიდებულ გამოხატულებას. სწორედ ეს გამონათქვამი იქნება სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე!

მოდი ილუსტრაციულად განვმარტოთ ეს მარტივი მაგალითით:

1. ააგეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება

ჩვენ ვადგენთ განმსაზღვრელს ამ სამი პუნქტისთვის:

გამარტივება:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ პირდაპირ სამკუთხედების წესის მიხედვით:

\[(\ მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\ბოლო(მაივი)) \ მარჯვენა| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \მარჯვნივ) + \left((y - 2) \მარჯვნივ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

ამრიგად, წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება არის:

ახლა შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ერთი პრობლემა და შემდეგ განვიხილავთ მას:

2. იპოვეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება

მოდით, ახლა ვისაუბროთ გამოსავალზე:

ჩვენ ვაკეთებთ განმსაზღვრელს:

და გამოთვალეთ მისი ღირებულება:

მაშინ თვითმფრინავის განტოლებას აქვს ფორმა:

ან, შემცირებით, მივიღებთ:

ახლა ორი ამოცანა თვითკონტროლისთვის:

1. შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ წერტილში:

პასუხები:

ყველაფერი დაემთხვა? ისევ თუ არის გარკვეული სირთულეები, მაშინ ჩემი რჩევა ასეთია: აიღე შენი თავიდან სამი ქულა (დიდი ალბათობით ისინი ერთ სწორ ხაზზე არ დაწვებიან), ააშენე თვითმფრინავი მათზე. და შემდეგ შეამოწმეთ საკუთარი თავი ონლაინ. მაგალითად, საიტზე:

თუმცა, დეტერმინანტების დახმარებით ჩვენ ავაშენებთ არა მხოლოდ სიბრტყის განტოლებას. დაიმახსოვრეთ, მე გითხარით, რომ ვექტორებისთვის მხოლოდ წერტილოვანი ნამრავლი არ არის განსაზღვრული. ასევე არსებობს ვექტორი, ასევე შერეული პროდუქტი. და თუ ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი იქნება რიცხვი, მაშინ ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი იქნება ვექტორი და ეს ვექტორი იქნება მოცემულის პერპენდიკულარული:

უფრო მეტიც, მისი მოდული იქნება ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობის ტოლი და. ეს ვექტორი დაგვჭირდება წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გამოსათვლელად. როგორ გამოვთვალოთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი და მოცემულია თუ არა მათი კოორდინატები? მესამე რიგის განმსაზღვრელი ისევ გვეხმარება. თუმცა, სანამ ჯვარედინი ნამრავლის გამოთვლის ალგორითმზე გადავალ, მცირე ლირიკული გადახრა უნდა გავაკეთო.

ეს გადახრა ეხება საბაზისო ვექტორებს.

სქემატურად ისინი ნაჩვენებია ფიგურაში:

როგორ ფიქრობთ, რატომ უწოდებენ მათ ძირითად? ფაქტია რომ:

ან სურათზე:

ამ ფორმულის მართებულობა აშკარაა, რადგან:

ვექტორული პროდუქტი

ახლა შემიძლია დავიწყო ჯვარედინი პროდუქტის დანერგვა:

ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესის მიხედვით:

ახლა მოდით მოვიყვანოთ ჯვარედინი პროდუქტის გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1: იპოვეთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი:

გამოსავალი: მე ვაკეთებ განმსაზღვრელს:

და ვიანგარიშებ:

ახლა, საბაზისო ვექტორების ჩაწერიდან, მე დავუბრუნდები ჩვეულებრივ ვექტორულ აღნიშვნას:

Ამგვარად:

ახლა სცადე.

მზადაა? ჩვენ ვამოწმებთ:

და ტრადიციულად ორი საკონტროლო ამოცანები:

1. იპოვეთ შემდეგი ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი:
2. იპოვეთ შემდეგი ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი:

პასუხები:

სამი ვექტორის შერეული პროდუქტი

ბოლო კონსტრუქცია, რომელიც მჭირდება, არის სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი. ის, როგორც სკალარი, არის რიცხვი. მისი გამოთვლის ორი გზა არსებობს. - დეტერმინანტის მეშვეობით, - შერეული პროდუქტის მეშვეობით.

კერძოდ, ვთქვათ, გვაქვს სამი ვექტორი:

შემდეგ სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი, რომელიც აღინიშნება, შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

1. - ანუ შერეული ნამრავლი არის ვექტორის სკალარული ნამრავლი და ორი სხვა ვექტორის ვექტორული ნამრავლი.

მაგალითად, სამი ვექტორის შერეული პროდუქტია:

შეეცადეთ გამოთვალოთ იგი ვექტორული პროდუქტის გამოყენებით და დარწმუნდით, რომ შედეგები ემთხვევა!

და კიდევ - ორი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად:

პასუხები:

კოორდინატთა სისტემის არჩევანი

ახლა ჩვენ გვაქვს ცოდნის ყველა საჭირო საფუძველი გეომეტრიაში რთული სტერეომეტრიული პრობლემების გადასაჭრელად. თუმცა, სანამ უშუალოდ გადავიდოდე მაგალითებზე და მათი ამოხსნის ალგორითმებზე, მიმაჩნია, რომ სასარგებლო იქნება შემდეგ კითხვაზე შეჩერება: ზუსტად როგორ აირჩიეთ კოორდინატთა სისტემა კონკრეტული ფიგურისთვის.ყოველივე ამის შემდეგ, ეს არის კოორდინატთა სისტემის ფარდობითი პოზიციის არჩევანი და ფიგურა სივრცეში, რომელიც საბოლოოდ განსაზღვრავს რამდენად რთული იქნება გამოთვლები.

შეგახსენებთ, რომ ამ განყოფილებაში განვიხილავთ შემდეგ ფორმებს:

1. კუბოიდური
2. სწორი პრიზმა (სამკუთხა, ექვსკუთხა...)
3. პირამიდა (სამკუთხა, ოთხკუთხა)
4. ტეტრაედონი (იგივე სამკუთხა პირამიდა)

კუბოიდისთვის ან კუბისთვის, მე გირჩევთ შემდეგ კონსტრუქციას:

ანუ ფიგურას „კუთხეში“ დავდებ. კუბი და ყუთი ძალიან კარგი ფიგურებია. მათთვის ყოველთვის შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი წვეროების კოორდინატები. მაგალითად, თუ (როგორც სურათზეა ნაჩვენები)

მაშინ წვეროს კოორდინატებია:

რა თქმა უნდა, ამის დამახსოვრება არ გჭირდებათ, მაგრამ გახსოვდეთ, თუ როგორ უნდა მოათავსოთ კუბი ან მართკუთხა ყუთი, სასურველია.

სწორი პრიზმა

პრიზმა უფრო მავნე ფიგურაა. მისი მოწყობა სივრცეში სხვადასხვა გზით შეგიძლიათ. თუმცა, მე ვფიქრობ, რომ შემდეგი არის საუკეთესო ვარიანტი:

Სამკუთხა პრიზმა:

ანუ სამკუთხედის ერთ-ერთ გვერდს მთლიანად ვდებთ ღერძზე და ერთ-ერთი წვერო ემთხვევა საწყისს.

ექვსკუთხა პრიზმა:

ანუ, ერთი წვერო ემთხვევა საწყისს, ხოლო ერთი მხარე ღერძზე დევს.

ოთხკუთხა და ექვსკუთხა პირამიდა:

კუბის მსგავსი სიტუაცია: ვაკავშირებთ ფუძის ორ მხარეს კოორდინატთა ღერძებთან, ვაერთებთ ერთ-ერთ წვეროს საწყისს. ერთადერთი მცირე სირთულე იქნება წერტილის კოორდინატების გამოთვლა.

ექვსკუთხა პირამიდისთვის - იგივეა, რაც ექვსკუთხა პრიზმისთვის. მთავარი ამოცანა კვლავ იქნება წვეროს კოორდინატების პოვნა.

ტეტრაედონი (სამკუთხა პირამიდა)

სიტუაცია ძალიან ჰგავს იმას, რაც მე მივიღე სამკუთხა პრიზმისთვის: ერთი წვერო ემთხვევა საწყისს, ერთი მხარე დევს კოორდინატთა ღერძზე.

ისე, ახლა მე და შენ საბოლოოდ ახლოს ვართ პრობლემების გადაჭრასთან. რაც სტატიის დასაწყისში ვთქვი, შეგიძლიათ შემდეგი დასკვნის გაკეთება: C2 ამოცანების უმეტესობა იყოფა 2 კატეგორიად: პრობლემები კუთხისთვის და პრობლემები დისტანციისთვის. პირველ რიგში განვიხილავთ კუთხის პოვნის პრობლემებს. ისინი, თავის მხრივ, იყოფა შემდეგ კატეგორიებად (სირთულის მატებასთან ერთად):

პრობლემები კუთხეების პოვნაში

1. კუთხის პოვნა ორ წრფეს შორის
2. კუთხის პოვნა ორ სიბრტყეს შორის

განვიხილოთ ეს პრობლემები თანმიმდევრულად: დავიწყოთ ორ სწორ წრფეს შორის კუთხის მოძიებით. მოდი, გაიხსენე, მე და შენ მსგავსი მაგალითები ადრე მოვაგვარეთ? გახსოვთ, რადგან ჩვენ უკვე გვქონდა მსგავსი... ჩვენ ვეძებდით კუთხეს ორ ვექტორს შორის. შეგახსენებთ, თუ მოცემულია ორი ვექტორი: და, მაშინ მათ შორის კუთხე იპოვება მიმართებიდან:

ახლა ჩვენ გვაქვს მიზანი - ვიპოვოთ კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის. მოდით მივმართოთ "ბრტყელ სურათს":

რამდენ კუთხეს მივიღებთ ორი წრფის გადაკვეთისას? უკვე რაღაცეები. მართალია, მხოლოდ ორი მათგანი არ არის ტოლი, ხოლო სხვები ვერტიკალურია მათზე (და, შესაბამისად, ემთხვევა მათ). რა კუთხე უნდა განვიხილოთ ორ სწორ ხაზს შორის: ან? აქ არის წესი: კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის ყოველთვის არაუმეტეს გრადუსია. ანუ ორი კუთხიდან ჩვენ ყოველთვის ვირჩევთ კუთხეს უმცირესი ხარისხის საზომით. ანუ ამ სურათზე კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის ტოლია. იმისთვის, რომ ყოველ ჯერზე ორი კუთხიდან უმცირესი კუთხიდან არ შეგაწუხოთ, ცბიერმა მათემატიკოსებმა შესთავაზეს მოდულის გამოყენება. ამრიგად, კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის განისაზღვრება ფორმულით:

თქვენ, როგორც ყურადღებიან მკითხველს, უნდა გქონოდათ შეკითხვა: რეალურად საიდან ვიღებთ სწორედ ამ რიცხვებს, რომლებიც გვჭირდება კუთხის კოსინუსის გამოსათვლელად? პასუხი: ავიღებთ მათ ხაზების მიმართულების ვექტორებიდან! ამრიგად, ორ ხაზს შორის კუთხის პოვნის ალგორითმი შემდეგია:

1. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას 1.

ან უფრო დეტალურად:

1. ჩვენ ვეძებთ პირველი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს
2. ჩვენ ვეძებთ მეორე ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს
3. გამოთვალეთ მათი სკალარული ნამრავლის მოდული
4. ჩვენ ვეძებთ პირველი ვექტორის სიგრძეს
5. ჩვენ ვეძებთ მეორე ვექტორის სიგრძეს
6. გავამრავლოთ მე-4 პუნქტის შედეგები მე-5 პუნქტის შედეგებზე
7. მე-3 წერტილის შედეგს ვყოფთ მე-6 წერტილის შედეგზე. ვიღებთ წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსს.
8. თუ ეს შედეგი საშუალებას მოგვცემს ზუსტად გამოვთვალოთ კუთხე, ჩვენ ვეძებთ მას
9. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ ვწერთ არკოზინის საშუალებით

კარგი, ახლა დროა გადავიდეთ ამოცანებზე: პირველი ორის ამოხსნის დემონსტრირებას გავაკეთებ დეტალურად, მეორის ამოხსნას წარმოგიდგენთ შემაჯამებელიდა ბოლო ორ პრობლემაზე მხოლოდ პასუხს გავცემ, ყველა გამოთვლა თავად უნდა განახორციელოთ.

Დავალებები:

1. მარჯვენა ტეტ-რა-ედ-რე-ში იპოვე-დი-ტე კუთხე შენს-ისე რომ ტეტ-რა-ედ-რა და მე-დი-ა-ნოი ბო-კო-ჰაუ მხარეს შორის.

2. წინ მარჯვნივ ექვს ქვანახშირში-პი-რა-მი-დე, ასეულ-რო-ნა-ოს-ნო-ვა-ნია რაღაცნაირად ტოლია და გვერდითი ნეკნები ტოლია, იპოვეთ კუთხე სწორს შორის. ხაზები და.

3. მარჯვნიანი ოთხი-იუ-რეჩ-ნახშირის პი-რა-მი-დი-ის ყველა კიდეების სიგრძე უდრის ერთმანეთს. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის და თუ from-re-zok - თქვენ-ისე, რომ მოცემულია პი-რა-მი-დი, წერტილი არის სე-რე-დი-მის ბო-კო-ე ნეკნზე.

4. კუბის კიდეზე-მე-ჩე- წერტილიდან ისე, რომ იპოვე-დი-ტე კუთხე სწორ ხაზებს შორის და

5. წერტილი - სე-რე-დი-კუბის კიდეებზე Nai-di-te კუთხე სწორ ხაზებს შორის და.

შემთხვევითი არ არის, რომ დავალებები ამ თანმიმდევრობით დავდე. მიუხედავად იმისა, რომ ჯერ არ გქონიათ დრო კოორდინატთა მეთოდით ნავიგაციის დასაწყებად, მე თვითონ გავაანალიზებ ყველაზე "პრობლემურ" ფიგურებს და გიტოვებთ უმარტივეს კუბთან გამკლავებას! ნელ-ნელა უნდა ისწავლო ყველა ფიგურასთან მუშაობა, დავალებათა სირთულეს თემიდან თემამდე გავზრდი.

დავიწყოთ პრობლემების გადაჭრა:

1. დახაზეთ ტეტრაედონი, მოათავსეთ ის კოორდინატთა სისტემაში, როგორც ადრე შემოგთავაზეთ. ვინაიდან ტეტრაედონი რეგულარულია, მაშინ მისი ყველა სახე (ფუძის ჩათვლით) რეგულარული სამკუთხედია. ვინაიდან გვერდის სიგრძე არ გვაქვს მოცემული, შემიძლია თანაბარი ავიღო. ვფიქრობ, გესმით, რომ კუთხე ნამდვილად არ იქნება დამოკიდებული იმაზე, თუ რამდენად "გაიწელება" ჩვენი ტეტრაედონი?. ასევე დავხატავ სიმაღლეს და მედიანას ტეტრაედრონში. გზაში მის ფუძეს დავხატავ (ისიც გამოგვადგება).

მე უნდა ვიპოვო კუთხე და-ს შორის. რა ვიცით? ჩვენ ვიცით მხოლოდ წერტილის კოორდინატი. ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ წერტილების მეტი კოორდინატი. ახლა ჩვენ ვფიქრობთ: წერტილი არის სამკუთხედის სიმაღლეების (ან ბისექტორების ან შუალედების) გადაკვეთის წერტილი. წერტილი არის ამაღლებული წერტილი. წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი. შემდეგ საბოლოოდ უნდა ვიპოვოთ: წერტილების კოორდინატები: .

დავიწყოთ უმარტივესით: წერტილის კოორდინატები. შეხედეთ ფიგურას: ცხადია, რომ წერტილის აპლიკაცია ნულის ტოლია (წერტილი დევს სიბრტყეზე). მისი ორდინატი ტოლია (რადგან მედიანაა). მისი აბსცისის პოვნა უფრო რთულია. თუმცა, ეს ადვილად კეთდება პითაგორას თეორემის საფუძველზე: განვიხილოთ სამკუთხედი. მისი ჰიპოტენუზა ტოლია და ერთი ფეხი ტოლია შემდეგ:

საბოლოოდ გვაქვს:

ახლა ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები. გასაგებია, რომ მისი აპლიკატი ისევ ნულის ტოლია და მისი ორდინატი იგივეა, რაც წერტილის, ანუ. ვიპოვოთ მისი აბსციზა. ეს კეთდება საკმაოდ ტრივიალურად, თუ ამას ახსოვს ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლეები იყოფა გადაკვეთის წერტილით პროპორციითზემოდან დათვლა. ვინაიდან:, მაშინ წერტილის სასურველი აბსციზა, სეგმენტის სიგრძის ტოლი, უდრის:. ამრიგად, წერტილის კოორდინატებია:

ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები. ცხადია, რომ მისი აბსცესი და ორდინატი ემთხვევა წერტილის აბსცისა და ორდინატს. და აპლიკაცია უდრის სეგმენტის სიგრძეს. - ეს სამკუთხედის ერთ-ერთი ფეხია. სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის სეგმენტი - ფეხი. იგი მოძებნილია იმ მიზეზების გამო, რომლებიც მე ხაზგასმით აღვნიშნე:

წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი. შემდეგ ჩვენ უნდა გვახსოვდეს ფორმულა შუა სეგმენტის კოორდინატებისთვის:

ესე იგი, ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვეძებოთ მიმართულების ვექტორების კოორდინატები:

კარგად, ყველაფერი მზად არის: ჩვენ ყველა მონაცემს ვცვლით ფორმულაში:

Ამგვარად,

პასუხი:

თქვენ არ უნდა შეგეშინდეთ ასეთი "საშინელი" პასუხების: C2 პრობლემებისთვის ეს ჩვეულებრივი პრაქტიკაა. მირჩევნია ამ ნაწილში "ლამაზი" პასუხით გამიკვირდეს. ასევე, როგორც თქვენ აღნიშნეთ, მე პრაქტიკულად არ მივმართავ სხვა რამეს, გარდა პითაგორას თეორემისა და ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლეების თვისებისა. ანუ სტერეომეტრიული პრობლემის გადასაჭრელად გამოვიყენე ძალიან მინიმალური სტერეომეტრია. ამაში მოგება ნაწილობრივ „ჩაქრება“ საკმაოდ შრომატევადი გათვლებით. მაგრამ ისინი საკმაოდ ალგორითმულია!

2. დახაზეთ რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა კოორდინატთა სისტემასთან ერთად, აგრეთვე მისი ფუძე:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კუთხე ხაზებს შორის და. ამრიგად, ჩვენი ამოცანა მცირდება წერტილების კოორდინატების პოვნამდე: . ბოლო სამის კოორდინატებს ვიპოვით პატარა ნახაზიდან, ხოლო წვეროს კოორდინატს ვიპოვით წერტილის კოორდინატიდან. ბევრი სამუშაოა, მაგრამ უნდა დაიწყოს!

ა) კოორდინატი: ცხადია, რომ მისი აპლიკაცია და ორდინატი ნულია. მოდი ვიპოვოთ აბსციზა. ამისათვის განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი. სამწუხაროდ, მასში მხოლოდ ჰიპოტენუზა ვიცით, რომელიც უდრის. ფეხის პოვნას ვეცდებით (რადგან ცხადია, რომ ფეხის ორმაგი სიგრძე წერტილის აბსციზას მოგვცემს). როგორ მოვიძიოთ იგი? გავიხსენოთ როგორი ფიგურა გვაქვს პირამიდის ძირში? ეს არის ჩვეულებრივი ექვსკუთხედი. Რას ნიშნავს? ეს ნიშნავს, რომ ყველა გვერდი და ყველა კუთხე თანაბარია. ჩვენ უნდა მოვძებნოთ ერთი ასეთი კუთხე. რაიმე იდეა? ბევრი იდეა არსებობს, მაგრამ არსებობს ფორმულა:

წესიერი n-გონების კუთხეების ჯამი არის .

ამრიგად, რეგულარული ექვსკუთხედის კუთხეების ჯამი არის გრადუსი. მაშინ თითოეული კუთხე უდრის:

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ სურათს. ნათელია, რომ სეგმენტი არის კუთხის ბისექტორი. მაშინ კუთხე არის გრადუსი. შემდეგ:

მერე სად.

ასე რომ, მას აქვს კოორდინატები

ბ) ახლა მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატი: .

გ) იპოვეთ წერტილის კოორდინატები. ვინაიდან მისი აბსციზა ემთხვევა სეგმენტის სიგრძეს, ის ტოლია. ორდინატის პოვნა არც ისე რთულია: თუ წერტილებს დავაკავშირებთ და წრფის გადაკვეთის წერტილს აღვნიშნავთ, ვთქვათ for. (გააკეთე ეს თავად მარტივი კონსტრუქცია). მაშინ ამგვარად, B წერტილის ორდინატი უდრის სეგმენტების სიგრძის ჯამს. მოდით კიდევ ერთხელ შევხედოთ სამკუთხედს. მერე

შემდეგ მას შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები

დ) ახლა იპოვნეთ წერტილის კოორდინატები. განვიხილოთ მართკუთხედი და დაამტკიცეთ, რომ ამგვარად, წერტილის კოორდინატებია:

ე) რჩება წვეროს კოორდინატების პოვნა. ცხადია, რომ მისი აბსცესი და ორდინატი ემთხვევა წერტილის აბსცისა და ორდინატს. მოდი ვიპოვოთ აპლიკაცია. Მას შემდეგ. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი. პრობლემის პირობით, გვერდითი კიდე. ეს არის ჩემი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. მაშინ პირამიდის სიმაღლე არის ფეხი.

შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები:

ესე იგი, ყველა ჩემთვის საინტერესო პუნქტის კოორდინატები მაქვს. მე ვეძებ სწორი ხაზების მიმართულ ვექტორების კოორდინატებს:

ჩვენ ვეძებთ კუთხეს ამ ვექტორებს შორის:

პასუხი:

კიდევ ერთხელ, ამ პრობლემის გადაჭრისას, მე არ გამომიყენებია რაიმე დახვეწილი ხრიკი, გარდა რეგულარული n-გონების კუთხეების ჯამის ფორმულისა, ისევე როგორც მართკუთხა სამკუთხედის კოსინუსისა და სინუსის განსაზღვრისა.

3. ვინაიდან პირამიდის კიდეების სიგრძე ისევ არ გვაქვს მოცემული, მე მათ ერთის ტოლად მივიჩნევ. ამრიგად, ვინაიდან ყველა კიდე და არა მხოლოდ გვერდითი, ერთმანეთის ტოლია, მაშინ პირამიდის ძირში მე და მე დევს კვადრატი, ხოლო გვერდითი სახეები არის რეგულარული სამკუთხედები. მოდით გამოვსახოთ ასეთი პირამიდა, ისევე როგორც მისი ბაზა სიბრტყეზე, აღვნიშნავთ პრობლემის ტექსტში მოცემულ ყველა მონაცემს:

ჩვენ ვეძებთ კუთხეს შორის და. ძალიან მოკლე გამოთვლებს გავაკეთებ, როცა პუნქტების კოორდინატებს ვეძებ. თქვენ დაგჭირდებათ მათი "გაშიფვრა":

ბ) - სეგმენტის შუა. მისი კოორდინატები:

გ) ვიპოვი მონაკვეთის სიგრძეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით სამკუთხედში. მე ვიპოვი პითაგორას თეორემით სამკუთხედში.

კოორდინატები:

დ) - სეგმენტის შუა. მისი კოორდინატებია

ე) ვექტორული კოორდინატები

ვ) ვექტორული კოორდინატები

ზ) კუთხის ძიება:

კუბი უმარტივესი ფიგურაა. დარწმუნებული ვარ, თქვენ თვითონ შეძლებთ ამის გარკვევას. მე-4 და მე-5 ამოცანებზე პასუხები შემდეგია:

წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნა

ისე, მარტივი თავსატეხების დრო დასრულდა! ახლა მაგალითები კიდევ უფრო რთული იქნება. წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის საპოვნელად ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად:

1. სამი წერტილის გამოყენებით ვაშენებთ სიბრტყის განტოლებას
   ,
   მესამე რიგის განმსაზღვრელი გამოყენებით.
2. ორი წერტილით ჩვენ ვეძებთ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატებს:
3. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის კუთხის გამოსათვლელად:

როგორც ხედავთ, ეს ფორმულა ძალიან ჰგავს იმ ფორმულას, რომელიც ჩვენ ვიყენებდით ორ წრფეს შორის კუთხეების საპოვნელად. მარჯვენა მხარის სტრუქტურა იგივეა და მარცხნივ ახლა ვეძებთ სინუსს და არა კოსინუსს, როგორც ადრე. ჰოდა, დაემატა ერთი საზიზღარი მოქმედება - თვითმფრინავის განტოლების ძიება.

თაროზე არ დავდოთ გადაჭრის მაგალითები:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia თანაბარი-მაგრამ ღარიბი-ren-ny სამკუთხედი-ნიკი თქვენ-იმ პრიზი-ჩვენ ტოლები ვართ. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის

2. დასავლეთიდან Nai-di-te მართკუთხა პა-რალ-ლე-ლე-პი-პე-დეში კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.

3. მარჯვენა ექვს ქვანახშირის პრიზმაში ყველა კიდე ტოლია. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.

4. მართკუთხა სამკუთხედში პი-რა-მი-დე ოს-ბუტ-ვა-ნი-ემ ნეკნის დასავლეთიდან ნაი-დი-ტე კუთხით, ობ-რა-ზო-ვან -ნი სიბრტყე ოს. -ნო-ვა-ნია და პირდაპირ-ჩემი, ნეკნების სე-რე-დი-ნას გავლით და

5. მარჯვენა ოთხკუთხა პი-რა-მი-დი-ის ყველა კიდეების სიგრძე ზევით ტოლია ერთმანეთის. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის, თუ წერტილი არის se-re-di-pi-ra-mi-dy-ის bo-ko-in-th კიდეზე.

ისევ დაწვრილებით მოვაგვარებ პირველ ორ პრობლემას, მესამეს - მოკლედ, ბოლო ორს კი დამოუკიდებლად ვტოვებ. გარდა ამისა, თქვენ უკვე მოგიწიათ სამკუთხა და ოთხკუთხა პირამიდები, მაგრამ პრიზმებით - ჯერ არა.

გადაწყვეტილებები:

1. დახაზეთ პრიზმა, ისევე როგორც მისი ფუძე. მოდით გავაერთიანოთ იგი კოორდინატთა სისტემასთან და აღვნიშნოთ ყველა მონაცემი, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში:

ბოდიშს ვიხდი პროპორციების დაუცველობისთვის, მაგრამ პრობლემის გადაჭრისთვის ეს, ფაქტობრივად, არც ისე მნიშვნელოვანია. თვითმფრინავი ჩემი პრიზმის მხოლოდ „უკანა კედელია“. საკმარისია უბრალოდ გამოვიცნოთ, რომ ასეთი სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა:

თუმცა, ეს ასევე შეიძლება პირდაპირ აჩვენოს:

ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ სამ წერტილს ამ სიბრტყეზე: მაგალითად, .

მოდით გავაკეთოთ სიბრტყის განტოლება:

ივარჯიშეთ თქვენთვის: თავად გამოთვალეთ ეს განმსაზღვრელი. მიაღწიეთ წარმატებას? მაშინ თვითმფრინავის განტოლებას აქვს ფორმა:

ან უბრალოდ

Ამგვარად,

მაგალითის ამოსახსნელად მე უნდა ვიპოვო სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები. ვინაიდან წერტილი დაემთხვა საწყისს, ვექტორის კოორდინატები უბრალოდ ემთხვევა წერტილის კოორდინატებს, ამისათვის ჯერ ვიპოვით წერტილის კოორდინატებს.

ამისათვის განიხილეთ სამკუთხედი. ზემოდან დავხატოთ სიმაღლე (ისიც არის მედიანა და ბისექტორი). ვინაიდან, მაშინ წერტილის ორდინატი ტოლია. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ წერტილის აბსციზა, უნდა გამოვთვალოთ სეგმენტის სიგრძე. პითაგორას თეორემით გვაქვს:

შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები:

წერტილი არის "ამაღლებული" წერტილზე:

შემდეგ ვექტორის კოორდინატები:

პასუხი:

როგორც ხედავთ, ასეთი პრობლემების გადაჭრაში ფუნდამენტურად რთული არაფერია. სინამდვილეში, ისეთი ფიგურის „სისწორე“, როგორიც არის პრიზმა, ამარტივებს პროცესს. ახლა გადავიდეთ შემდეგ მაგალითზე:

2. ვხატავთ პარალელეპიპედს, ვხატავთ მასში სიბრტყეს და სწორ ხაზს და ასევე ცალკე ვხატავთ მის ქვედა ფუძეს:

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ სიბრტყის განტოლებას: მასში მდებარე სამი წერტილის კოორდინატები:

(პირველი ორი კოორდინატი მიიღება აშკარად და თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ბოლო კოორდინატი სურათიდან წერტილიდან). შემდეგ ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას:

ჩვენ ვიანგარიშებთ:

ჩვენ ვეძებთ მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს: გასაგებია, რომ მისი კოორდინატები ემთხვევა წერტილის კოორდინატებს, არა? როგორ მოვძებნოთ კოორდინატები? ეს არის წერტილის კოორდინატები, რომლებიც ამაღლებულია აპლიკაციის ღერძის გასწვრივ ერთით! . შემდეგ ჩვენ ვეძებთ სასურველ კუთხეს:

პასუხი:

3. დახაზეთ რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა, შემდეგ დახაზეთ სიბრტყე და სწორი ხაზი მასში.

აქ თვითმფრინავის დახატვაც კი პრობლემურია, რომ აღარაფერი ვთქვათ ამ პრობლემის გადაჭრაზე, მაგრამ კოორდინატულ მეთოდს არ აინტერესებს! სწორედ მის მრავალფეროვნებაში მდგომარეობს მისი მთავარი უპირატესობა!

თვითმფრინავი გადის სამ წერტილს: . ჩვენ ვეძებთ მათ კოორდინატებს:

ერთი). თავად აჩვენე ბოლო ორი წერტილის კოორდინატები. ამისთვის დაგჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა ექვსკუთხა პირამიდით!

2) ჩვენ ვქმნით სიბრტყის განტოლებას:

ვეძებთ ვექტორის კოორდინატებს: . (კიდევ ერთხელ იხილეთ სამკუთხა პირამიდის პრობლემა!)

3) ჩვენ ვეძებთ კუთხეს:

პასუხი:

როგორც ხედავთ, ამ ამოცანებში ზებუნებრივად რთული არაფერია. უბრალოდ ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ ფესვებთან. ბოლო ორ პრობლემაზე მხოლოდ პასუხებს გავცემ:

როგორც ხედავთ, პრობლემების გადაჭრის ტექნიკა ყველგან ერთნაირია: მთავარი ამოცანაა წვეროების კოორდინატების პოვნა და მათი ჩანაცვლება ზოგიერთ ფორმულებში. ჩვენთვის რჩება კუთხის გამოთვლის პრობლემების კიდევ ერთი კლასი, კერძოდ:

კუთხეების გამოთვლა ორ სიბრტყეს შორის

გადაწყვეტის ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. სამი წერტილისთვის ჩვენ ვეძებთ პირველი სიბრტყის განტოლებას:
2. დანარჩენი სამი წერტილისთვის ჩვენ ვეძებთ მეორე სიბრტყის განტოლებას:
3. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

როგორც ხედავთ, ფორმულა ძალიან ჰგავს წინა ორს, რომლის დახმარებით ვეძებდით კუთხეებს სწორ ხაზებს შორის და სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის. ასე რომ, ამის დამახსოვრება არ გაგიჭირდებათ. მოდით გადავიდეთ პირდაპირ პრობლემაზე:

1. მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის საფუძველზე ასი-რო-ტოლია, ხოლო გვერდითი სახის დიაგონალი ტოლია. იპოვეთ კუთხე სიბრტყესა და პრიზის ფუძის სიბრტყეს შორის.

2. წინ მარჯვნივ ოთხი-თქვენ-რე-ნახშირის პი-რა-მი-დე, ვიღაცის ყველა კიდე ტოლია, იპოვეთ სიბრტყესა და სიბრტყეს Ko-Stu-ს შორის კუთხის სინუსი, რომელიც გადის. წერტილი პერ-კალამი-დი-კუ-ლიარ-მაგრამ პირდაპირ-ჩემი.

3. რეგულარულ ოთხნახშირიან პრიზმაში ოს-ნო-ვა-ნიას გვერდები ტოლია, ხოლო გვერდითი კიდეები ტოლია. კიდეზე-მე-ჩე-წერტილამდე ისე, რომ. იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის და

4. მარჯვენა ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძეების გვერდები ტოლია, ხოლო გვერდითი კიდეები ტოლია. ზღვარზე from-me-che-to წერტილი ისე, რომ იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის და.

5. კუბში იპოვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის co-si-nus და

პრობლემის გადაწყვეტილებები:

1. ვხატავ რეგულარულ (ძირში - ტოლგვერდა სამკუთხედი) სამკუთხა პრიზმას და მასზე ვნიშნავ სიბრტყეებს, რომლებიც ჩნდება ამოცანის მდგომარეობაში:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორი სიბრტყის განტოლება: საბაზისო განტოლება მიიღება ტრივიალურად: შეგიძლიათ გააკეთოთ შესაბამისი განმსაზღვრელი სამი წერტილისთვის, მაგრამ მე მაშინვე გავაკეთებ განტოლებას:

ახლა ვიპოვოთ განტოლება წერტილს აქვს კოორდინატები. წერტილი - ვინაიდან - სამკუთხედის მედიანა და სიმაღლე, ადვილია მისი პოვნა პითაგორას თეორემით სამკუთხედში. შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები: იპოვნეთ წერტილის აპლიკატი ამისათვის განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი

შემდეგ ვიღებთ შემდეგ კოორდინატებს: ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას.

ჩვენ ვიანგარიშებთ კუთხეს სიბრტყეებს შორის:

პასუხი:

2. ნახატის გაკეთება:

ყველაზე რთულია იმის გაგება, თუ როგორი იდუმალი თვითმფრინავია, რომელიც პერპენდიკულარულად გადის წერტილს. აბა, მთავარია რა არის? მთავარია ყურადღება! მართლაც, ხაზი პერპენდიკულარულია. ხაზი ასევე პერპენდიკულარულია. მაშინ ამ ორ წრფეზე გამავალი თვითმფრინავი წრფის პერპენდიკულარული იქნება და, სხვათა შორის, გაივლის წერტილს. ეს თვითმფრინავი ასევე გადის პირამიდის თავზე. შემდეგ სასურველი თვითმფრინავი - და თვითმფრინავი უკვე გვეძლევა. ჩვენ ვეძებთ წერტილების კოორდინატებს.

წერტილის კოორდინატს ვპოულობთ წერტილის გავლით. მცირე ნახატიდან ადვილია დავასკვნათ, რომ წერტილის კოორდინატები იქნება შემდეგი: რა რჩება ახლა, რათა ვიპოვოთ პირამიდის მწვერვალის კოორდინატები? ჯერ კიდევ საჭიროა მისი სიმაღლის გამოთვლა. ეს კეთდება იმავე პითაგორას თეორემის გამოყენებით: პირველი, დაამტკიცეთ, რომ (ტრივიალურად პატარა სამკუთხედებიდან, რომლებიც ქმნიან კვადრატს ბაზაზე). ვინაიდან პირობით ჩვენ გვაქვს:

ახლა ყველაფერი მზად არის: წვერო კოორდინატები:

ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას:

თქვენ უკვე ხართ დეტერმინანტების გამოთვლის ექსპერტი. მარტივად მიიღებთ:

ან სხვაგვარად (თუ ორივე ნაწილს გავამრავლებთ ორის ფესვზე)

ახლა ვიპოვოთ სიბრტყის განტოლება:

(არ დაგავიწყდათ, როგორ ვიღებთ თვითმფრინავის განტოლებას, არა? თუ ვერ ხვდებით, საიდან გაჩნდა ეს მინუს ერთი, მაშინ დაუბრუნდით სიბრტყის განტოლების განმარტებას! მანამდე ყოველთვის ასე იყო. რომ ჩემი თვითმფრინავი საწყისს ეკუთვნოდა!)

ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელს:

(შეიძლება შეამჩნიოთ, რომ სიბრტყის განტოლება დაემთხვა წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას და დაფიქრდით რატომ!)

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ კუთხეს:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ სინუსი:

პასუხი:

3. რთული კითხვა: რა არის მართკუთხა პრიზმა, როგორ ფიქრობთ? ეს მხოლოდ შენთვის კარგად ნაცნობი პარალელეპიპედია! ხატვა მაშინვე! თქვენ არ შეგიძლიათ ცალ-ცალკე ასახოთ ბაზა, მისგან მცირე გამოყენებაა აქ:

თვითმფრინავი, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, იწერება განტოლების სახით:

ახლა ჩვენ ვქმნით თვითმფრინავს

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვადგენთ თვითმფრინავის განტოლებას:

ეძებს კუთხეს

ახლა პასუხები ბოლო ორ პრობლემაზე:

კარგი, ახლა დასვენების დროა, რადგან მე და შენ მშვენივრები ვართ და დიდი საქმე გავაკეთეთ!

კოორდინატები და ვექტორები. მოწინავე დონე

ამ სტატიაში თქვენთან ერთად განვიხილავთ პრობლემების კიდევ ერთ კლასს, რომელიც შეიძლება გადაწყდეს კოორდინატთა მეთოდით: მანძილის ამოცანები. კერძოდ, განვიხილავთ შემდეგ შემთხვევებს:

1. დახრილ ხაზებს შორის მანძილის გამოთვლა.

მე შევუკვეთე მოცემული დავალებები მათი სირთულის მატებასთან ერთად. ყველაზე მარტივი პოვნაა მიუთითეთ თვითმფრინავის მანძილიდა ყველაზე რთული პოვნაა მანძილი გადაკვეთის ხაზებს შორის. თუმცა, რა თქმა უნდა, შეუძლებელი არაფერია! მოდით, არ გავაჭიანუროთ და დაუყოვნებლივ გადავიდეთ პირველი კლასის პრობლემების განხილვაზე:

წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოთვლა

რა გვჭირდება ამ პრობლემის მოსაგვარებლად?

1. წერტილის კოორდინატები

ასე რომ, როგორც კი მივიღებთ ყველა საჭირო მონაცემს, ვიყენებთ ფორმულას:

თქვენ უკვე უნდა იცოდეთ, როგორ ვაშენებთ სიბრტყის განტოლებას წინა ამოცანებიდან, რომლებიც გავაანალიზე ბოლო ნაწილში. მაშინვე საქმეს შევუდგეთ. სქემა ასეთია: 1, 2 - მე დაგეხმარები გადაწყვეტილების მიღებაში, და გარკვეულწილად, 3, 4 - მხოლოდ პასუხი, შენ თვითონ იღებ გადაწყვეტილებას და ადარებ. დაიწყო!

Დავალებები:

1. მოცემულია კუბი. კუბის კიდის სიგრძეა იპოვეთ-დი-ტე მანძილი სე-რე-დი-ნიდან ჭრიდან სიბრტყემდე

2. მოცემული მარჯვნივ-ვილ-ნაია ოთხ-შენ-რეხ-ნახშირ-ნაია პი-რა-მი-და ბო-კო-ვოე კიდე ას-რო-ზე ოს-ნო-ვა-ნია ტოლია. იპოვეთ-დი-ის მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე, სადაც - se-re-di-on კიდეებზე.

3. სწორ სამკუთხედში პი-რა-მი-დე ოს-ბუტ-ვა-ნი-ემთან, მეორე კიდე ტოლია და ას-რო-ონ ოს-ნო-ვა-ნია ტოლია. იპოვეთ ის მანძილი ზემოდან სიბრტყემდე.

4. მარჯვენა ექვსნახშირიან პრიზმაში ყველა კიდე ტოლია. იპოვნეთ ის მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

გადაწყვეტილებები:

1. დახაზეთ კუბი ცალი კიდეებით, ააგეთ სეგმენტი და სიბრტყე, ასოებით აღნიშნეთ სეგმენტის შუა ნაწილი.

.

პირველი, დავიწყოთ მარტივით: იპოვნეთ წერტილის კოორდინატები. მას შემდეგ (გაიხსენეთ სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები!)

ახლა ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას სამ წერტილზე

\[\მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(გ))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\ბოლო(მასივი)) \მარჯვნივ| = 0\]

ახლა შემიძლია დავიწყო მანძილის პოვნა:

2. ისევ ვიწყებთ ნახატით, რომელზედაც ვნიშნავთ ყველა მონაცემს!

პირამიდისთვის სასარგებლო იქნება მისი ბაზის ცალკე დახატვა.

თუნდაც ის, რომ ქათმის თათივით ვხატავ, ხელს არ შეგვიშლის ამ პრობლემის მარტივად გადაჭრაში!

ახლა ადვილია წერტილის კოორდინატების პოვნა

ვინაიდან წერტილის კოორდინატები

2. ვინაიდან a წერტილის კოორდინატები არის სეგმენტის შუა ნაწილი, მაშინ

სიბრტყეზე კიდევ ორი ​​წერტილის კოორდინატებს მარტივად ვიპოვით, სიბრტყის განტოლებას ვადგენთ და ვამარტივებთ:

\[\მარცხნივ| (\left| (\begin(მასივი)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(მასივი)) \right|) \right| = 0\]

ვინაიდან წერტილს აქვს კოორდინატები: , მაშინ ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს:

პასუხი (ძალიან იშვიათია!):

აბა, გაიგე? მეჩვენება, რომ აქ ყველაფერი ისეთივე ტექნიკურია, როგორც მაგალითებში, რომლებიც თქვენთან ერთად განვიხილეთ წინა ნაწილში. ასე რომ, დარწმუნებული ვარ, რომ თუ თქვენ აითვისეთ ეს მასალა, მაშინ არ გაგიჭირდებათ დარჩენილი ორი პრობლემის გადაჭრა. მე მხოლოდ პასუხებს მოგცემთ:

ხაზიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოთვლა

ფაქტობრივად, აქ ახალი არაფერია. როგორ შეიძლება იყოს ხაზი და თვითმფრინავი ერთმანეთთან შედარებით? მათ აქვთ ყველა შესაძლებლობა: გადაიკვეთონ, ან სწორი ხაზი იყოს სიბრტყის პარალელურად. როგორ ფიქრობთ, რა არის მანძილი წრფედან სიბრტყემდე, რომელთანაც იკვეთება მოცემული წრფე? მეჩვენება, რომ გასაგებია, რომ ასეთი მანძილი ნულის ტოლია. უინტერესო შემთხვევა.

მეორე შემთხვევა უფრო რთულია: აქ მანძილი უკვე ნულის ტოლია. თუმცა, ვინაიდან წრფე სიბრტყის პარალელურია, წრფის თითოეული წერტილი თანაბარი მანძილითაა დაშორებული ამ სიბრტყისგან:

Ამგვარად:

და ეს ნიშნავს, რომ ჩემი დავალება შემცირდა წინაზე: ჩვენ ვეძებთ წრფის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს, ვეძებთ სიბრტყის განტოლებას, ვიანგარიშებთ მანძილს წერტილიდან სიბრტყემდე. სინამდვილეში, ასეთი დავალებები გამოცდაზე ძალზე იშვიათია. მე მოვახერხე მხოლოდ ერთი პრობლემის პოვნა და მასში არსებული მონაცემები ისეთი იყო, რომ კოორდინატთა მეთოდი არ იყო მისთვის ძალიან გამოსაყენებელი!

ახლა გადავიდეთ პრობლემების სხვა, ბევრად უფრო მნიშვნელოვან კლასზე:

წერტილის მანძილის გამოთვლა ხაზამდე

რა დაგვჭირდება?

1. წერტილის კოორდინატები, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

2. სწორ ხაზზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები

3. სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორული კოორდინატები

რა ფორმულას ვიყენებთ?

რას ნიშნავს თქვენთვის ამ წილადის მნიშვნელი და ამიტომ გასაგები უნდა იყოს: ეს არის სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის სიგრძე. აქ არის ძალიან რთული მრიცხველი! გამოთქმა ნიშნავს ვექტორების ვექტორული ნამრავლის მოდულს (სიგრძეს) და როგორ გამოვთვალოთ ვექტორული ნამრავლი, ჩვენ შევისწავლეთ სამუშაოს წინა ნაწილში. განაახლეთ თქვენი ცოდნა, ის ახლა ძალიან გამოგვადგება!

ამრიგად, პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. ჩვენ ვეძებთ იმ წერტილის კოორდინატებს, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

2. ჩვენ ვეძებთ წრფის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

3. ვექტორის აგება

4. ვაშენებთ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორს

5. გამოთვალეთ ჯვარედინი ნამრავლი

6. ჩვენ ვეძებთ მიღებული ვექტორის სიგრძეს:

7. გამოთვალეთ მანძილი:

ბევრი სამუშაო გვაქვს და მაგალითები საკმაოდ რთული იქნება! ასე რომ, ახლა მთელი თქვენი ყურადღება გაამახვილეთ!

1. დანა არის მარჯვენა სამკუთხა პი-რა-მი-და წვერით. ას-რო-ონ ოს-ნო-ვა-ნია პი-რა-მი-დი ტოლია, შენ-სო-ტა ტოლია. იპოვეთ-დი-ის მანძილი ბო-კო-ე კიდის სე-რე-დი-ნადან სწორ ხაზამდე, სადაც წერტილები და არიან ნეკნების სე-რე-დი-ნა და თანა-გან-ვეტ. -სვენ-მაგრამ.

2. ნეკნების სიგრძე და მართკუთხა-no-para-ral-le-le-pi-pe-da ტოლია, შესაბამისად, და Find-di-te მანძილი ზედა-ში-ნი-დან პირდაპირ-ჩემამდე.

3. მარჯვენა ექვსნახშირიან პრიზმაში, გროვის ყველა კიდე ტოლია იპოვე-დი-ის მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე.

გადაწყვეტილებები:

1. ვაკეთებთ მოწესრიგებულ ნახატს, რომელზედაც აღვნიშნავთ ყველა მონაცემს:

ჩვენ ბევრი სამუშაო გვაქვს თქვენთვის! ჯერ სიტყვებით მინდა აღვწერო რას ვეძებთ და რა თანმიმდევრობით:

1. პუნქტების კოორდინატები და

2. წერტილის კოორდინატები

3. პუნქტების კოორდინატები და

4. ვექტორთა კოორდინატები და

5. მათი ჯვარედინი პროდუქტი

6. ვექტორის სიგრძე

7. ვექტორული ნამრავლის სიგრძე

8. მანძილი დან

ისე, ჩვენ ბევრი საქმე გვაქვს გასაკეთებელი! მოდი, ხელები გავიშალოთ!

1. პირამიდის სიმაღლის კოორდინატების საპოვნელად საჭიროა ვიცოდეთ წერტილის კოორდინატები, მისი აპლიკატი არის ნული, ორდინატი კი მისი აბსცისის ტოლია. ბოლოს მივიღეთ კოორდინატები:

წერტილის კოორდინატები

2. - სეგმენტის შუა

3. - სეგმენტის შუა

შუა წერტილი

4.კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

5. გამოთვალეთ ვექტორული ნამრავლი:

6. ვექტორის სიგრძე: უმარტივესი გზაა ჩანაცვლება, რომ სეგმენტი არის სამკუთხედის შუა ხაზი, რაც ნიშნავს, რომ ის უდრის ფუძის ნახევარს. Ასე რომ.

7. განვიხილავთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს:

8. ბოლოს იპოვეთ მანძილი:

ფუ, სულ ესაა! გულწრფელად გეტყვით: ამ პრობლემის გადაწყვეტა ტრადიციული მეთოდები(ნაგებობების საშუალებით) ბევრად უფრო სწრაფი იქნებოდა. მაგრამ აქ ყველაფერი მზა ალგორითმზე დავყვანე! ვფიქრობ, რომ ამოხსნის ალგორითმი თქვენთვის გასაგებია? ამიტომ მოგთხოვთ, დარჩენილი ორი პრობლემა თავად მოაგვაროთ. შეადარეთ პასუხები?

კიდევ ერთხელ ვიმეორებ: ამ პრობლემების გადაჭრა უფრო ადვილია (უფრო სწრაფი) კონსტრუქციების საშუალებით, ვიდრე კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება. მე ვაჩვენე გადაჭრის ეს გზა მხოლოდ იმისთვის, რომ გაჩვენოთ უნივერსალური მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ „არაფერი დაასრულოთ“.

და ბოლოს, განიხილეთ პრობლემების ბოლო კლასი:

დახრილ ხაზებს შორის მანძილის გამოთვლა

აქ პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი წინას მსგავსი იქნება. რაც გვაქვს:

3. პირველი და მეორე წრფის წერტილების დამაკავშირებელი ნებისმიერი ვექტორი:

როგორ ვიპოვოთ მანძილი ხაზებს შორის?

ფორმულა არის:

მრიცხველი არის შერეული ნამრავლის მოდული (ჩვენ შემოვიღეთ წინა ნაწილში), ხოლო მნიშვნელი - როგორც წინა ფორმულაში (ხაზების მიმართული ვექტორების ვექტორული ნამრავლის მოდული, რომელთა შორის მანძილი ჩვენ ვეძებთ. ამისთვის).

ამას შეგახსენებთ

მაშინ მანძილის ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს როგორც:

გაყავით ეს განმსაზღვრელი დეტერმინანტზე! თუმცა, მართალი გითხრათ, აქ ხუმრობის ხასიათზე არ ვარ! ეს ფორმულა, ფაქტობრივად, ძალიან შრომატევადია და საკმაოდ რთულ გამოთვლებამდე მივყავართ. მე რომ შენ ვყოფილიყავი, მხოლოდ ბოლო კურორტად გამოვიყენებდი!

შევეცადოთ გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა ზემოაღნიშნული მეთოდის გამოყენებით:

1. სწორ სამკუთხა პრიზმაში ყველა კიდე რაღაცნაირად თანაბარია, იპოვეთ მანძილი სწორ ხაზებს შორის და.

2. მარჯვენა წინა ფორმის სამკუთხა პრიზმის გათვალისწინებით, ვინმეს ოს-ნო-ვა-ნიას ყველა კიდე უდრის სე-ჩე-ტიონს, გადის მეორე ნეკნს და სე-რე-დი-ნუ ნეკნებს. იავ-ლა-ეტ-სია კვადრატ-რა-ტომ. Find-di-te dis-sto-I-nie-ს შორის სწორი-ვე-მი და

მე ვწყვეტ პირველს და მასზე დაყრდნობით თქვენ წყვეტთ მეორეს!

1. ვხატავ პრიზმას და ვნიშნავ ხაზებს და

C წერტილის კოორდინატები: მაშინ

წერტილის კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

წერტილის კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \მარჯვნივ) = \მარცხნივ| (\begin(მაივი)(*(20)(l))(\begin(მაივი)(*(20)(c))0&1&0\end(მაივი))\\(\begin(მაივი)(*(20) (c))0&0&1\end(მაივი))\\(\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\ბოლო(მასივი))\ბოლო(მასივი)) \მარჯვნივ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

განვიხილავთ ჯვარედინი ნამრავლს ვექტორებს შორის და

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \მარცხნივ| \begin(მასივი)(l)\begin(მაივი)(*(20)(c))(\overrightarrow i)&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(მაივი)\\\ დასაწყისი(მასივი )(*(20)(გ))0&0&1\ბოლო(მასივი)\\\ დასაწყისი(მაივი)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(მასივი)\end(მასივი) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

ახლა განვიხილავთ მის სიგრძეს:

პასუხი:

ახლა შეეცადეთ ყურადღებით დაასრულოთ მეორე დავალება. ამაზე პასუხი იქნება:.

კოორდინატები და ვექტორები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულები

ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი. - ვექტორის დასაწყისი, - ვექტორის დასასრული.
ვექტორი აღინიშნება ან.

აბსოლუტური ღირებულებავექტორი - ვექტორის გამომსახველი სეგმენტის სიგრძე. დანიშნული როგორც.

ვექტორული კოორდინატები:

,
სად არის ვექტორის ბოლოები \displaystyle a.

ვექტორთა ჯამი: .

ვექტორების ნამრავლი:

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი:

ვექტორების სკალარული ნამრავლი უდრის მათი აბსოლუტური მნიშვნელობების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის კოსინუსს:

დარჩენილი 2/3 სტატია ხელმისაწვდომია მხოლოდ YOUCLEVER სტუდენტებისთვის!

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ OGE-სთვის ან მათემატიკაში გამოყენებისთვის "თვეში ერთი ფინჯანი ყავის" ფასად.

ასევე მიიღეთ შეუზღუდავი წვდომა "YouClever" სახელმძღვანელოზე, "100gia" მოსამზადებელ პროგრამაზე (rechebnik), ულიმიტო. საცდელი გამოცდადა OGE, 6000 დავალება გადაწყვეტილებების ანალიზით და სხვა YouClever და 100gia სერვისებისთვის.

Oh-oh-oh-oh-oh ... კარგი, ეს თინაა, თითქოს შენთვის წაიკითხე წინადადება =) თუმცა, მაშინ დასვენება დაგეხმარებათ, მით უმეტეს, რომ დღეს ვიყიდე შესაფერისი აქსესუარები. ამიტომ, გადავიდეთ პირველ ნაწილზე, იმედი მაქვს, სტატიის ბოლომდე ხალისიან განწყობას შევინარჩუნებ.

ორი სწორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

შემთხვევა, როცა დარბაზი გუნდში მღერის. ორი ხაზი შეიძლება:

1) მატჩი;

2) იყოს პარალელური: ;

3) ან იკვეთება ერთ წერტილზე: .

დახმარება დუიმებისთვის : გთხოვთ დაიმახსოვროთ კვეთის მათემატიკური ნიშანი, ის ძალიან ხშირად მოხდება. ჩანაწერი ნიშნავს, რომ ხაზი კვეთს ხაზს წერტილში.

როგორ განვსაზღვროთ ორი ხაზის შედარებითი პოზიცია?

დავიწყოთ პირველი შემთხვევით:

ორი წრფე ემთხვევა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი შესაბამისი კოეფიციენტები პროპორციულია, ანუ არის ისეთი რიცხვი „ლამბდა“ რომ ტოლები

განვიხილოთ სწორი ხაზები და შევადგინოთ სამი განტოლება შესაბამისი კოეფიციენტებიდან: . თითოეული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ, შესაბამისად, ეს ხაზები ემთხვევა.

მართლაც, თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი გავამრავლოთ -1-ზე (შეცვალეთ ნიშნები) და შეამციროთ განტოლების ყველა კოეფიციენტი 2-ით, მიიღებთ იგივე განტოლებას: .

მეორე შემთხვევა, როდესაც ხაზები პარალელურია:

ორი წრფე პარალელურია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოეფიციენტები ცვლადებში პროპორციულია: , მაგრამ.

მაგალითად, განვიხილოთ ორი სწორი ხაზი. ჩვენ ვამოწმებთ შესაბამისი კოეფიციენტების პროპორციულობას ცვლადებისთვის:

თუმცა, ცხადია, რომ.

და მესამე შემთხვევა, როდესაც ხაზები იკვეთება:

ორი წრფე იკვეთება, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ცვლადების მათი კოეფიციენტები პროპორციული არ არის, ანუ არ არსებობს "ლამბდას" ისეთი მნიშვნელობა, რომ ტოლობები შესრულდეს

ასე რომ, სწორი ხაზებისთვის ჩვენ შევქმნით სისტემას:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , ხოლო მეორე განტოლებიდან: , მაშასადამე, სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ცვლადებში კოეფიციენტები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ხაზები იკვეთება

პრაქტიკულ პრობლემებში შეიძლება გამოყენებულ იქნას ახლად განხილული გადაწყვეტის სქემა. სხვათა შორის, ის ძალიან ჰგავს ვექტორების კოლინარობის შემოწმების ალგორითმს, რომელიც განვიხილეთ გაკვეთილზე. ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულების ცნება. ვექტორული საფუძველი. მაგრამ არსებობს უფრო ცივილიზებული პაკეტი:

მაგალითი 1

გაარკვიეთ ხაზების შედარებითი პოზიცია:

გამოსავალისწორი ხაზების მიმართული ვექტორების შესწავლის საფუძველზე:

ა) განტოლებიდან ვპოულობთ წრფეების მიმართულების ვექტორებს: .

, ასე რომ, ვექტორები არ არის ხაზოვანი და ხაზები იკვეთება.

ყოველი შემთხვევისთვის გზაჯვარედინზე დავდებ ქვას მითითებით:

დანარჩენები ახტებიან ქვას და მიჰყვებიან პირდაპირ კაშჩეის უკვდავებამდე =)

ბ) იპოვეთ წრფეების მიმართულების ვექტორები:

ხაზებს აქვთ იგივე მიმართულების ვექტორი, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ან პარალელურები არიან ან ერთნაირი. აქ განმსაზღვრელი არ არის საჭირო.

ცხადია, უცნობის კოეფიციენტები პროპორციულია, ხოლო .

მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა თანასწორობა ჭეშმარიტი:

Ამგვარად,

გ) იპოვეთ წრფეების მიმართულების ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან:
მაშასადამე, მიმართულების ვექტორები კოლინარულია. ხაზები ან პარალელურია ან ემთხვევა.

პროპორციულობის კოეფიციენტი „ლამბდა“ ადვილი შესამჩნევია პირდაპირ კოლინარული მიმართულების ვექტორების თანაფარდობიდან. თუმცა, ის ასევე შეიძლება მოიძებნოს თავად განტოლებების კოეფიციენტების საშუალებით: .

ახლა მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა თანასწორობა ჭეშმარიტი. ორივე უფასო ტერმინი ნულის ტოლია, ასე რომ:

მიღებული მნიშვნელობა აკმაყოფილებს ამ განტოლებას (ნებისმიერი რიცხვი ზოგადად აკმაყოფილებს მას).

ამრიგად, ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

უპასუხე:

ძალიან მალე ისწავლით (ან უკვე ისწავლეთ) განხილული პრობლემის სიტყვიერად გადაჭრას რამდენიმე წამში. ამასთან დაკავშირებით, მე ვერ ვხედავ მიზეზს, რომ შემოგთავაზოთ რაიმე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, უმჯობესია გეომეტრიულ საძირკველში კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი აგურის ჩაყრა:

როგორ გავავლოთ წრფე მოცემულის პარალელურად?

ამ უმარტივესი ამოცანის უცოდინრობის გამო, ბულბული ყაჩაღი სასტიკად სჯის.

მაგალითი 2

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. დაწერეთ განტოლება პარალელური ხაზისთვის, რომელიც გადის წერტილში.

გამოსავალი: უცნობი სტრიქონის აღნიშვნა ასოთი . რას ამბობს მდგომარეობა ამაზე? ხაზი გადის წერტილში. ხოლო თუ წრფეები პარალელურია, მაშინ აშკარაა, რომ „ce“ წრფის მიმართულების ვექტორიც შესაფერისია „de“ წრფის ასაგებად.

განტოლებიდან ამოვიღებთ მიმართულების ვექტორს:

უპასუხე:

მაგალითის გეომეტრია მარტივია:

ანალიტიკური შემოწმება შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1) ვამოწმებთ, რომ წრფეებს აქვთ ერთნაირი მიმართულების ვექტორი (თუ წრფის განტოლება სათანადოდ არ არის გამარტივებული, მაშინ ვექტორები იქნება კოლინარული).

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას.

ანალიტიკური გადამოწმება უმეტეს შემთხვევაში ადვილი შესასრულებელია სიტყვიერად. შეხედეთ ორ განტოლებას და ბევრი თქვენგანი სწრაფად გაიგებს, თუ როგორ არის წრფეები პარალელურად ყოველგვარი ნახაზის გარეშე.

კრეატიული იქნება დღევანდელი თვითგადაჭრის მაგალითები. იმიტომ, რომ ბაბა იაგას მაინც უნდა ეჯიბრო და ის, მოგეხსენებათ, ყველანაირი გამოცანების მოყვარულია.

მაგალითი 3

დაწერეთ განტოლება წრფის, რომელიც გადის წრფის პარალელურ წერტილში, თუ

არსებობს გადაჭრის რაციონალური და არც თუ ისე რაციონალური გზა. უმოკლესი გზა არის გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ გავაკეთეთ მცირე მუშაობა პარალელური ხაზებით და მათ მოგვიანებით დავუბრუნდებით. სტრიქონების დამთხვევის შემთხვევა ნაკლებად საინტერესოა, ამიტომ განვიხილოთ პრობლემა, რომელიც თქვენთვის კარგად არის ცნობილი სკოლის სასწავლო გეგმიდან:

როგორ მოვძებნოთ ორი წრფის გადაკვეთის წერტილი?

თუ სწორი იკვეთება წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატები გამოსავალია წრფივი განტოლებათა სისტემები

როგორ მოვძებნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი? გადაჭრით სისტემა.

აი შენ ორი უცნობი წრფივი განტოლების სისტემის გეომეტრიული მნიშვნელობაარის ორი გადამკვეთი (ყველაზე ხშირად) სწორი ხაზი სიბრტყეზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი

გამოსავალი: გადაჭრის ორი გზა არსებობს - გრაფიკული და ანალიტიკური.

გრაფიკული გზა არის უბრალოდ მოცემული ხაზების დახატვა და გადაკვეთის წერტილის გარკვევა პირდაპირ ნახაზიდან:

აქ არის ჩვენი აზრი: . შესამოწმებლად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მისი კოორდინატები სწორი ხაზის თითოეულ განტოლებაში, ისინი უნდა შეესაბამებოდეს იქაც და იქაც. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილის კოორდინატები არის სისტემის ამოხსნა. ფაქტობრივად, ჩვენ განვიხილეთ გადაჭრის გრაფიკული გზა წრფივი განტოლებათა სისტემებიორი განტოლებით, ორი უცნობით.

გრაფიკული მეთოდი, რა თქმა უნდა, არ არის ცუდი, მაგრამ არის შესამჩნევი უარყოფითი მხარეები. არა, საქმე ის არ არის, რომ მეშვიდე კლასელები ასე წყვეტენ, საქმე ისაა, რომ სწორი და ზუსტი ნახატის გაკეთებას დრო დასჭირდება. გარდა ამისა, ზოგიერთი ხაზი არც ისე ადვილია ასაშენებელი და თავად გადაკვეთის წერტილი შეიძლება იყოს სადღაც ოცდამეათე სამეფოში ნოუთბუქის ფურცლის მიღმა.

ამიტომ უფრო მიზანშეწონილია გადაკვეთის წერტილის ძებნა ანალიტიკური მეთოდი. მოდით გადავჭრათ სისტემა:

სისტემის ამოსახსნელად გამოყენებული იქნა განტოლებების ტერმინული მიმატების მეთოდი. შესაბამისი უნარების გასავითარებლად ეწვიეთ გაკვეთილს როგორ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა?

უპასუხე:

გადამოწმება ტრივიალურია - გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სისტემის თითოეულ განტოლებას.

მაგალითი 5

იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი, თუ ისინი იკვეთებიან.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამოცანა მოხერხებულად შეიძლება დაიყოს რამდენიმე ეტაპად. მდგომარეობის ანალიზი ვარაუდობს, რომ აუცილებელია:
1) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება.
2) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება.
3) გაარკვიეთ ხაზების ფარდობითი პოზიცია.
4) თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი.

მოქმედებების ალგორითმის შემუშავება დამახასიათებელია მრავალი გეომეტრიული პრობლემისთვის და ამაზე არაერთხელ გავამახვილებ ყურადღებას.

სრული გადაწყვეტა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს:

წყვილი ფეხსაცმელი ჯერ არ არის გაცვეთილი, რადგან მივედით გაკვეთილის მეორე განყოფილებაში:

პერპენდიკულარული ხაზები. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
კუთხე ხაზებს შორის

დავიწყოთ ტიპიური და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანებით. პირველ ნაწილში ვისწავლეთ როგორ ავაგოთ სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად და ახლა ქათმის ფეხებზე ქოხი 90 გრადუსით დაბრუნდება:

როგორ დავხატოთ მოცემული წრფის პერპენდიკულარული?

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. დაწერეთ განტოლება პერპენდიკულარულ წრფეზე, რომელიც გადის წერტილს.

გამოსავალი: ვარაუდით ცნობილია რომ . კარგი იქნებოდა სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის პოვნა. ვინაიდან ხაზები პერპენდიკულარულია, ხრიკი მარტივია:

განტოლებიდან „ამოგვაქვს“ ნორმალური ვექტორი: , რომელიც იქნება სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი.

ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას წერტილით და მიმართული ვექტორით:

უპასუხე:

მოდით გავშალოთ გეომეტრიული ესკიზი:

ჰმ... ნარინჯისფერი ცა, ნარინჯისფერი ზღვა, ნარინჯისფერი აქლემი.

ხსნარის ანალიტიკური შემოწმება:

1) ამოიღეთ მიმართულების ვექტორები განტოლებიდან და დახმარებით ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლივასკვნით, რომ წრფეები მართლაც პერპენდიკულარულია: .

სხვათა შორის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნორმალური ვექტორები, ეს კიდევ უფრო ადვილია.

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას .

გადამოწმება, ისევ და ისევ, მარტივია სიტყვიერად შესრულება.

მაგალითი 7

იპოვეთ პერპენდიკულარული წრფეების გადაკვეთის წერტილი, თუ განტოლება ცნობილია და წერტილი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამოცანაში რამდენიმე მოქმედებაა, ამიტომ მოსახერხებელია ამოხსნის პუნქტად მოწყობა.

ჩვენი საინტერესო მოგზაურობა გრძელდება:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

ჩვენს თვალწინ არის მდინარის სწორი ზოლი და ჩვენი ამოცანაა უმოკლესი გზით მივაღწიოთ მას. არ არსებობს დაბრკოლებები და ყველაზე ოპტიმალური მარშრუტი იქნება მოძრაობა პერპენდიკულარულის გასწვრივ. ანუ, მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძე.

მანძილი გეომეტრიაში ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასო "ro"-ით, მაგალითად: - მანძილი წერტილიდან "em" სწორ ხაზამდე "de".

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე გამოიხატება ფორმულით

მაგალითი 8

იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

გამოსავალი: ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის გულდასმით ჩაანაცვლოთ რიცხვები ფორმულაში და გააკეთოთ გამოთვლები:

უპასუხე:

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

ნაპოვნი მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის ზუსტად წითელი სეგმენტის სიგრძე. თუ თქვენ გააკეთებთ ნახატს ჭადრაკულ ქაღალდზე 1 ერთეულის მასშტაბით. \u003d 1 სმ (2 უჯრედი), შემდეგ მანძილის გაზომვა შესაძლებელია ჩვეულებრივი მმართველით.

განიხილეთ სხვა დავალება იმავე ნახაზის მიხედვით:

ამოცანაა იპოვოთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც სიმეტრიულია წერტილის მიმართ წრფესთან მიმართებაში. . მე ვთავაზობ მოქმედებების დამოუკიდებლად შესრულებას, თუმცა მე გამოვყოფ ამოხსნის ალგორითმს შუალედური შედეგებით:

1) იპოვეთ წრფე, რომელიც არის წრფის პერპენდიკულარული.

2) იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი: .

ორივე მოქმედება დეტალურად არის განხილული ამ გაკვეთილზე.

3) წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი. ჩვენ ვიცით შუა და ერთ-ერთი ბოლოების კოორდინატები. ავტორი ფორმულები შუა სეგმენტის კოორდინატებისთვისიპოვე .

ზედმეტი არ იქნება იმის შემოწმება, რომ მანძილიც უდრის 2.2 ერთეულს.

სირთულეები აქ შეიძლება წარმოიშვას გამოთვლებში, მაგრამ კოშკში მიკროკალკულატორი ბევრს ეხმარება, რაც საშუალებას გაძლევთ დათვალოთ საერთო წილადები. ბევრჯერ ვურჩიე და კიდევ გირჩევ.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის?

მაგალითი 9

იპოვეთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის

ეს არის კიდევ ერთი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. პატარა მინიშნება: გადაჭრის უსასრულოდ ბევრი გზა არსებობს. გაკვეთილის ბოლოს ბრიფინგი, ოღონდ სცადეთ თავად გამოიცნოთ, ვფიქრობ, კარგად მოახერხეთ თქვენი ჭკუის დაშლა.

კუთხე ორ ხაზს შორის

რაც არ უნდა იყოს კუთხე, მაშინ ჯამი:


გეომეტრიაში, კუთხე ორ წრფეს შორის აღებულია როგორც უფრო მცირე კუთხე, საიდანაც ავტომატურად ირკვევა, რომ ის არ შეიძლება იყოს ბლაგვი. ნახატზე წითელი რკალით მითითებული კუთხე არ ითვლება გადამკვეთ ხაზებს შორის. და მისი "მწვანე" მეზობელი ან საპირისპიროდ ორიენტირებულიჟოლოსფერი კუთხე.

თუ ხაზები პერპენდიკულარულია, მაშინ 4 კუთხიდან რომელიმე შეიძლება მივიღოთ მათ შორის კუთხედ.

რით განსხვავდება კუთხეები? ორიენტაცია. პირველ რიგში, ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია კუთხის "გადახვევის" მიმართულება. მეორეც, უარყოფითად ორიენტირებული კუთხე იწერება მინუს ნიშნით, მაგალითად, თუ .

რატომ ვთქვი ეს? როგორც ჩანს, თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ კუთხის ჩვეულ კონცეფციას. ფაქტია, რომ ფორმულებში, რომლებითაც ვიპოვით კუთხეებს, ადვილად შეიძლება უარყოფითი შედეგის მიღება და ეს არ უნდა გაგიკვირდეთ. მინუს ნიშნის მქონე კუთხე არ არის უარესი და აქვს ძალიან სპეციფიკური გეომეტრიული მნიშვნელობა. უარყოფითი კუთხისთვის ნახაზში აუცილებელია მისი ორიენტაციის (საათის ისრის მიმართულებით) მითითება ისრით.

როგორ მოვძებნოთ კუთხე ორ წრფეს შორის?არსებობს ორი სამუშაო ფორმულა:

მაგალითი 10

იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის

გამოსავალიდა მეთოდი პირველი

განვიხილოთ ორი ხაზი მოცემული განტოლებებითზოგადად:

თუ სწორი არა პერპენდიკულარული, მაშინ ორიენტირებულიმათ შორის კუთხე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

დიდი ყურადღება მივაქციოთ მნიშვნელს - ეს არის ზუსტად სკალარული პროდუქტისწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

თუ , მაშინ ფორმულის მნიშვნელი ქრება და ვექტორები ორთოგონალური იქნება და წრფეები პერპენდიკულარული. სწორედ ამიტომ გაკეთდა დათქმა ფორმულირებაში ხაზების არაპერპენდიკულარულობის შესახებ.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, გამოსავალი მოხერხებულად ფორმალიზებულია ორ ეტაპად:

1) გამოთვალეთ სწორი ხაზების მიმართული ვექტორების სკალარული ნამრავლი:
ასე რომ, ხაზები არ არის პერპენდიკულარული.

2) ხაზებს შორის კუთხეს ვპოულობთ ფორმულით:

ინვერსიული ფუნქციის გამოყენებით, ადვილია თავად კუთხის პოვნა. ამ შემთხვევაში ვიყენებთ რკალის ტანგენსის უცნაურობას (იხ. ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები):

უპასუხე:

პასუხში ჩვენ მივუთითებთ ზუსტ მნიშვნელობას, ისევე როგორც სავარაუდო მნიშვნელობას (სასურველია, როგორც გრადუსებში, ასევე რადიანებში), გამოთვლილი კალკულატორის გამოყენებით.

კარგი, მინუს, ასე რომ მინუს, არა უშავს. აქ არის გეომეტრიული ილუსტრაცია:

გასაკვირი არ არის, რომ კუთხე უარყოფითი ორიენტაციის აღმოჩნდა, რადგან პრობლემის პირობებში პირველი რიცხვი არის სწორი ხაზი და კუთხის „გადახვევა“ სწორედ მისგან დაიწყო.

თუ ნამდვილად გსურთ დადებითი კუთხის მიღება, თქვენ უნდა შეცვალოთ სწორი ხაზები, ანუ აიღოთ კოეფიციენტები მეორე განტოლებიდან. და აიღეთ კოეფიციენტები პირველი განტოლებიდან. მოკლედ, თქვენ უნდა დაიწყოთ პირდაპირი .